GAL (I INF)
Kolokwium 14-01-2009
Uwaga: ka˙zde zadanie warte jest 6 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.
Zadanie 1. Dana jest macierz A =
1 −1 2 −3 0
−1 1 −2 3 0
0 −1 0 5 1
.
Znajd´z bazy podprzestrzeni R(A) ⊆ R
3i N (A) ⊆ R
5.
Zadanie 2. W przestrzeni P
|R4wielomian´ow rzeczywistych stopnia co najwy˙zej 3 dana jest baza:
p
0(t) = 1 + t, p
1(t) = 1 − t, p
2(t) = t
2(1 + t), p
3(t) = t
2(1 − t).
Wyznacz baz e do niej sprz
,e˙zon
,a w (
,P
|R4)
∗.
Zadanie 3. Znajd´z czynniki rozk ladu P A = LR macierzy
A =
1 1 1 1 1 1 1 1 2 3
−1 0 2 2 0 1 2 5 6 7
.
Nast epnie znajd´z rozwi
,azanie og´olne uk ladu r´owna´
,n A~x = ~e
4.
Zadanie 4. Przekszta lcenie liniowe f : P
|R5→ R
3dane jest wzorem
f (p) =
p(0)
p
0( −1) + p
0(1) p
00(0)
.
Wyznacz macierz f w bazach (1, t, t
2, t
3, t
4) przestrzeni P
|R5i (~e
1, ~e
2, ~e
3) przestrzeni R
3. Czy przekszta lcenie f jest r´o˙znowarto´sciowe?
Zadanie 5. Oblicz wyznacznik
det
n
0 2 3 4 . . . n − 1 n 1 2 3 4 . . . n − 1 n 1 0 3 4 . . . n − 1 n 1 0 0 4 . . . n − 1 n ... ... ... ... ... ...
1 0 0 0 . . . n − 1 n 1 0 0 0 . . . 0 n
.
1
