Wyznaczniki

Algebra

Wyznaczniki

Alexander Denisjuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Wyznaczniki

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/

Wyznaczniki macierzy małych wymiarów

Permutacje

• _{Ωn = { 1, 2, . . . , n }}

• _{Wzajemnie-jednoznaczne odwzorowanie π : Ωn → Ωn} nazywa si ˛e permutacj ˛a.

• _Oznaczenie: 1 2 . . . n π(1) π(2) . . . π(n) ! • _{Mno˙zenie permutacji: τ σ = τ ◦ σ} ◦ _{przykład: τ =} 1 2 3 4 2 3 4 1 ! , σ = 1 2 3 4 4 3 2 1 ! ◦ _{τ σ 6= στ} Algebra – p. 4

Grupa permutacji

Cykle

• _{permutacja a1 7→ a2 7→ . . . 7→ ak 7→ a1, pozostałe elementy} zostaj ˛a na miejscu (a 7→ a) nazywa si ˛e cyklem długo´słci k

• _{zapis: (a1 a2 . . . ak)}

• _{cykl gługo´sci 2 nazywa si ˛e trapspozycj ˛a}

• _{dwa cykle s ˛a niezale˙zne, je˙zeli nie maj ˛a wspólnych} elementów

• _{mno˙zenie niezale˙znych cykli jest przemienne}

Twierdzenie 1. Ka˙zda permutacji mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

niezale˙znych cykli. Jednoznacznie z dokładno´sci ˛a do kolejno´sci czynników

Cykle

• _{permutacja a1 7→ a2 7→ . . . 7→ ak 7→ a1, pozostałe elementy} zostaj ˛a na miejscu (a 7→ a) nazywa si ˛e cyklem długo´słci k

• _{zapis: (a1 a2 . . . ak)}

• _{cykl gługo´sci 2 nazywa si ˛e trapspozycj ˛a}

• _{dwa cykle s ˛a niezale˙zne, je˙zeli nie maj ˛a wspólnych} elementów

• _{mno˙zenie niezale˙znych cykli jest przemienne}

Twierdzenie 2. Ka˙zda permutacji mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

niezale˙znych cykli. Jednoznacznie z dokładno´sci ˛a do kolejno´sci czynników

Wniosek 3. Ka˙zda permutacja mo˙ze by´c przedstawiona jako iloczyn

Przykłady

Znak permutacji

Twierdzenie 4. Niech π ∈ S_n,

π = τ₁τ₂ . . . τ_k, (1)

gdzie τ_j s ˛a transpozycje (j = 1, . . . , k). Wtedy

ε(π) = (−1)k

nie zale˙zy od reprezentacji (1). Pozatym ∀α, β ∈ S_n

ε(αβ) = ε(α)ε(β).

Definicja 5. • permutacja σ ∈ S_n jest parzysta, je˙zeli ε(σ) = 1

Obliczenie znaku permutacji

Definicja 6. Niech dana b ˛edzie permutacja

π = 1 2 . . . n

π(1) π(2) . . . π(n) !

Para (π(i), π(j)) tworzy inwersj ˛e, je˙zeli i < j oraz π(i) > π(j).

Twierdzenie 7. Permutacjia π ∈ S_n jest parzyst ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ona parzyst ˛a ilo´s´c inwersji.

Dowód. • tnasposycja (a_i a_i+1) zmienia parzysto´s´c permutacji

• _{ogólna transpozycja zmienia parzysto´s´c permutacji}

Przykład 8. π = 1 2 3 4 5 6

5 4 1 3 2 6 !

Definicja wyznacznika

Wyznacznik macierzy transponowanej

Funkcje wieloliniowe i antysymetryczne

Definicja 12. Funckcja D : Rn × Rn

| {z }

m razy

→ R nazywa si ˛e

1. wieloliniow ˛a, (m-linow ˛a) je˙zeli jest ona liniowa według ka˙zdego z

argumentów, e.g. ∀j = 1, . . . m, ∀α, β ∈ R, oraz

∀x₁, . . . , x_j−1, a, b, x_j+1, . . . , x_{m ∈ R}n D(x₁, . . . , x_j−1, αa + βb, x_j+1, . . . , x_m) = = αD(x₁, . . . , x_j−1, a, x_j+1, . . . , x_m)+ + βD(x₁, . . . , x_j−1, b, x_j+1, . . . , x_m) 2. antysymetryczn ˛a, je˙zeli ∀x₁, . . . , x_m ∈ Rn, ∀1 6 i < j 6 m D(x₁, . . . , x_i, . . . , x_j, . . . , x_m) = −D(x₁, . . . , x_j, . . . , x_i, . . . , x_m)

Wła´sciwo´sci wyznacznika

Twierdzenie 13. Wyznacznik jes wieloliniow ˛a antysymentryczn ˛a funkcj ˛a wierszy (column)

Twierdzenie 14. det I = 1

Wniosek 15. • det(λA) = λn det(A),

• _{Je˙zeli macierz A ma zerowy wierz (kolumn ˛e), to det A = 0,} • _{Je˙zeli A ma dwa jednakowe wierze (kolumny), to det A = 0,}

• _{det A nie zmienia si ˛e po elementarnych przekształceniach rodzaju II.}

Twierdzenie 16. det      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n 0 a₂₂ . . . a_2n . . . . 0 0 . . . a_nn      = a₁₁a₂₂ . . . a_nn Algebra – p. 14

Minory i algebraiczne dopełnienia

Definicja 17. • Wyznacznik macierzy, powstałej z macierzy A przez skre´slenie wiersza i oraz kolumny j nazywa si ˛e minorem, M_ij

• _{Aij = (−1)}i+j_M

ij nazywa si ˛e dopełnieniem algebraicznym

Twierdzenie 18. 1.

det A = Pn_i=1(−1)i+ja_ijM_ij = Pn_i=1(−1)i+ja_ijA_ij

2. det A = Pn_j=1(−1)i+ja_ijM_ij = Pn_j=1(−1)i+ja_ijA_ij

Przykład 19.        1 −2 0 3 0 1 −1 1 −3       

Wyznacznik iloczynu macierzy

Twierdzenie 20.

det AB = det A det B

Wyznacznik a macierz odwrotna

Twierdzenie 21. Macierz A jest nieosobliw ˛a ⇐⇒ det A 6= 0, przy czym

   a₁₁ . . . a_1n . . . . a_n1 . . . a_nn    −1 =    A₁₁ . . . A_n1 . . . . A_1n . . . A_nn   

Wzory Cramera

Twierdzenie 23. Je˙zeli wyznacznik układu równa ´n

     a₁₁x₁ + · · · + a_1nx_n = b₁, . . . . a_n1x₁ + · · · + annxn = bn,

ró˙zni si ˛e od zera, to jedyne rozwi ˛azanie układu dane jest wzorami

x_k =        a₁₁ . . . b₁ . . . a_1n . . . . a_n1 . . . b_n . . . a_nn        det A k = 1, 2, . . . , n Algebra – p. 18