Rząd macierzy

Algebra

Rz ˛

ad Macierzy

Aleksander Denisiuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Rz ˛

ad Macierzy

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Macierze a układy równa ´n liniowych

• _{Niech dana b ˛edzie macierz}

A =      a₁₁ a₁₂ . . . a_1m a₂₁ a₂₂ . . . a_2m . . . . a_n1 a_n2 . . . a_nm      .

• _{W przestrzeni R}n _{rozwa˙zmy otoczk˛e liniow ˛a V układu}

kolumn macierzy A: V = hA(1), A(2), . . . , A(n)i = *      a₁₁ a₂₁ .. .      ,      a₁₂ a₂₂ .. .      , . . . ,      a_1m a_2m .. .      + .

Macierze a układy równa ´n liniowych —II

• _{Niech dany b ˛edzie wektor b ∈ R}n_{. Pytanie: czy wektor b}

nale˙zy do otoczki liniowej układu A(1), A(2), . . . , A(n) ?

• _{Czy istniej ˛a współczynniki x1, . . . , xm ∈ R, takie ˙ze}

x₁       a₁₁ a₂₁ .. . a_n1       + x₂       a₁₂ a₂₂ .. . a_n2       + · · · + xm       a_1m a_2m .. . a_nm       =       b₁ b₂ .. . b_n       ? •          a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + · · · + a_1mx_m = b₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + · · · + a_2mx_m = b₂, . . . . a_n1x₁ + an2x2 + · · · + anmxm = bn.

Oznaczenia dla sumowania

• _{x1 + x2 + · · · + xn =} Pn i=1 x_i = Pn i=1 xi • Pn i=1 (λxi) = λ n P i=1 x_i • Pn i=1 (xi + yi) = n P i=1 x_i + n P i=1 y_i • Pm j=1 n P i=1 a_ij = m P j=1  _n P i=1 a_ij  = n P i=1 m P j=1 a_ij ! = n P i,j a_ij

Definicja rz ˛edu macierzy

Definicja 1. Rz ˛edem maciery A nazywamy liczb ˛e

rank A = rank nA(1), A(2), . . . , A(n) o = dimhA(1), A(2), . . . , A(n)i

Twierdzenie 2. rank A nie zmienia si ˛e po elementarnych przekształceniach macierzy A. Dowód. m X i=1 α_iA(i) = 0 ⇐⇒ m X i=1 α_iA′(i) = 0

Rz ˛

ad macierzy według wierszy

Definicja 3. Rz ˛edem maciery A według wierszy nazywamy liczb ˛e

rankw A = rank



A₍₁₎, A₍₂₎, . . . , A_(m) = dimhA₍₁₎, A₍₂₎, . . . , A_(m)i

Twierdzenie 4. rank_w A nie zmienia si ˛e po elementarnych przekształceniach macierzy A.

Rz ˛

ad macierzy a układ równa ´n liniowych

Twierdzenie 6. Ilo´s´c głównych niewiadomych układu Ax = b nie zale˙zy od sposobu sprowadzenia macierzy do postaci schodkowej i zgadza si ˛e z rank A Dowód.                a₁₁ . . . a_1k . . . a_1l . . . a_1s . . . a_1m 0 . . . a_2k . . . a_2l . . . a_2s . . . a_2m 0 . . . 0 . . . a_3l . . . a_3s . . . a_3m . . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . a_rs . . . a_rm 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0               

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Twierdzenie 7 (Kronecker-Capelli). Układ Ax = b ma rozwi ˛azanie ⇐⇒