Badanie sterowalności dla niektórych układów opisanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi typu parabolicznego

Z E SZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚL ĄSKIEJ Seria: A U TO MA TY KA z. 61

________ 1961 Nr kol. 701

Derzy KLAMKA

BADANIE STEROWALNOŚCI D L A NIEKTÓRYCH U K Ł A D Ó W OPISANYCH RÓWNANIAMI RÓ ŻN ICZKOWYMI CZĄSTKOWYMI TYPU PA RA BO LI CZ NE GO

S t r e s z c z e n i e . W pracy podano definicje aproksymacyjne] sterowal- n o ś c i , aproksymacyjnej brzegowej st er owalności oraz aproksymacyjnej całkowitej sterowalności dla układów dynamicznych opisanych równa­

niami różniczkowymi, cząstkowymi liniowymi typu parabolicznego z w arunkami brzegowymi typu mieszanego. Sf or mu ło wa no kryteria badania różnych ro dzajów sterowalności omawianych u k ła dó w dynamicznych. Kry­

teria te, mające postać w a ru nk ów koniecznych i w y s t a r c z a j ą c y c h , zo­

stały wy pr owadzone przy użyciu wa rtości własnych i we ktorów włas­

nych. Ro zp atrzono również szereg szczególnych przypadków oraz poda­

no kilka przykładów.

Zagadnienia sterowalności uk ładów dynamicznych opisanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi były w ostatnich latach wiel ok ro tn ie rozpatry­

wane w literaturze £1-10] . W niniejszej pracy podano definicje aproksy­

macyjnej brzegowej sterowalności oraz aproksymacyjnej całkowitej sterowal­

ności dla uk ła dó w dynamicznych opisanych liniowymi równaniami różniczko­

wymi typu pa ra bo li cz ne go z mieszanymi warunkami brzegowymi. Sformułowano warunki konieczne i wystar cz aj ąc e różnych rodz aj ów st erowalności dla roz­

patrywanych uk ła dó w dynamicznych. Ro zp at rz on o także szereg przypadków szczególnych, dotyczących uk ła dó w z waru nk am i brzego wy mi typu Dirichleta oraz z warunkami brzegowymi typu Neumanne. Korz ys ta ją c z ogólnych kryte­

riów sterowalności dla przypadku mieszanych waru nk ów brzegowych, otrzyma­

no warunki konieczne i wystar cz aj ąc e sterowalności tych układów. W koń­

cowej części prac y za mi es zc zo no kilka przykładów ilustrujących zastosowa­

nie podanych w a ru nk ów sterowalności. Przy kł ad y te dotyczą przypadku ukła­

du o stałych ws pó łc zy nn ik ac h 1 warunkach brzegowych typu Dirichleta.

Niech będzio dany układ dy na mi cz ny S o rozłożonych parametrach opi­

sany liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym typu pa ra bo li cz ne go z mie­

szanymi wa ru nk am i brzegowymi, następującej postaci:

(1)

określonym dlB ( t ,x )e [o,t]x [o,l] , sp eł ni aj ąc ym wa runki brzegowe

( F w )(t ,x) « B v ( t ) 'Z)

6 O. Klamka

L2 [0,l]

(x) 6 L2 |p,l] (3) oraz warunki początkowe

liro ||w(t ,x) - w (x

t-0+ °

gdzie

p(x) s C2 [o, lj, p ( x ) > O dla x e [o,l] , q ( x ) 6 C° [o ,l], b( x)eL2 [o,l]

\

B Jest stałą macierzą 2 x 2 - wy mi ar ow ą postaci następującej

'b li b 12 b 2 1 b 2 2

(4)

Operator brzegowy F: H2 [o,l] — R2 , (H2 (o,lJ Jest przestrzenią Sobolewa) jest określony następującą równością

(Fw) (t ,x )

aQOw ( t ,0) + a 10 -gx (t ,0)

a 0 i w ( t (l) + a ^ ^ (t,l)

(5)

gdzie

S 00 'B 0 1 ,810'a ll 6 R ' a00 + a lO * °' a 01 + a ll * 0 ( 6 )

W przypadku warunków br ze go wy ch typu Dirich le ta “ B1 1 = °» a0o

= aQ1 = l), operator brzegowy F « FD jest postaci

( F p W )(t , x )

w (t ,0) w(t ,l)

>7)

a odpowiedni układ dy na mi cz ny oznacza się symbolem SQ . W przypadku wa ru nk ów brzegowych typu Neumanna (arn = a r operator brzegowy F = FN Jest postaci

°- a lO='a ll = 1 ) '

(FNw)(t,x) =

£ ( « . ! )

( 8 )

a odpowiedni układ dynami cz ny oznacza się sym}>olem S N .

Uk ł a d y dynamiczne o zerowych waru nk ac h brzegowych (B = O), oznacza się odpowiednio symbolami ^o'^OD'^ON' natoln:*-B3t uk ła dy dynamiczna, dla któ­

rych b(x) = O, dla x e [p,l], oznacza się odpowiednio symb ol am i S ° , S° , S°. Dla przypadku szczególnego, gdy p(x) *> 1, q(x) = O, dla x e [0,l]

Badania st er owalnoścl dla niektórych.. 7

wprowadza się oznaczenia 5, S Q , 3°, 3 q D , S o N , 3^, 3^. Zakłada się, że sterowania do pu sz cz al ne u(t) e L2 [0,T] = U oraz v(t) 6 L2 ¡0,T ; R2J » V.

Przy powyższych założeniach równanie (l) posiada j e dn oz na cz ne rozwiązanie w(t,x), spełniające warunki brzegowe Ç2) i warunki początkowe (3) oraz o- kreślone w obszarze [0,Tjx[o,l]. ‘

D e f i n i c j a . U k ł a d dynamiczny S,(S°) Viazywa się ap ro ks ym ac yj ni e (brze­

gowo, całkowicie), sterowalnym w przedz ia le [o,t] , jeżeli dla dowolnego stanu w chwili t ■> O, w Q (x) 6 L2 [6,l] , dowolnej funkcji w^(x) e U2 [o,lj oraz dowolnego 6 > 0 , istnieje sterow an ie dopuszczalne (u(t),v(t)) e U x V, ( v ( t ) e V ) , ( u ( t ) e U ) takie, że odpowiadająca temu sterowaniu trajektoria w(t,x) układu dynamicznego S , (S °) ,( S ), spełnia na st ępujący warunek

||w(T,x) - W — ( X ) ¡1 „ < & . (9)' L [0.1]

Celem uzyskania efektywnych kryteriów aproksymacyjnej sterowalnoścl za­

stępuje 3ię układ dynamiczny S, pr zeliczalnym układem liniowych, st ac jo­

narnych równań różniczkowych zwyczajnych.

Niech A: D(a) — L2 [o ,l] , będzie liniowym ni eo gr an ic zo ny m operatorem, zdefin io wa ny m następującą równością

(Aw) ( t ,x ) - | ^ ( P (x ) ~ % — ) ♦ q(x )w( t ,x) (10)

o dziedzinie

D(a) » I w( t ,x) e L2 [o ,1] : ( A w )( t ,x ) e L2 [0,1] , (F w )( t ,x ) - oj ( 11 )

Wi adomo [l] , [4], [6], [7], [a], że operator A jest s a m o s p r z ę ż o n y , a Jego w a rtości wł asne , (i»l ,2 ,3 ,... ) są rz ec zywiste i pojedyncze, a o d p o ­ w i ad aj ąc e im funkcje wł asne g ^ x ) ,x € [O,l], (i«l ,2 ,3 ,... ), tworzą pr ze­

liczalną bazę ortogonalną w przestrzeni L2 [o,lj .Zatem rozwiązanie w(t,x) równania (l) można przedstawić w postaci

i»*o

w(t,x) ° 'y (t )gH (x) ( t ,x ) e [o,Tjx [0,l] , (12)

' i=l

gdzie ws pó łczynniki w ± ( t ),(i = l .2,3,...), są rozwiązaniami następującego pr zeliczalnego układu równań różniczkowych zwyczajnych

J. Klamka

gdzie 1

b± » J b ( x ) g 1 (x)dx 1=1,2,3,... (14)

O

B i - [ f 01. f j e 1=1.2.3.... (15)

d g .

a „„ -pnr(O) - a. g (O)

f Ł » p(O) — ----

^ ^2-1

00 lo

dg.

f.\ = p(l) — ■ — --- s--1-1 --- 1=1.2,3.... (17) a . + a".

01 11

Ko rz ys ta ją c z wp ro wadzonych powyżej oznaczeń, nożna sformułować warunki konieczne i wystar cz aj ąc e aproksymacyjnej (brzegowej, całkowitej), s t e r o ­ walności układu dynamicznego S ,(S°) , (S0 ).

Tw ie rd ze ni e 1 . Układ dynamiczny S Jest ap roksymacyjnie sterowalny w przedziale [0,T] wted y i tylko wtedy, gdy

rząd [b i " B i] ” 1 dla 1=1,2,3,... (18)

D o w ó d . Wa ru ne k (9) w definicji aproksymacyjnej sterowalności Jest speł­

niony wted y i tylko wtedy, gdy istnieje możliwość dowolnej zmiany w s p ó ł ­ czynników w^ t), dla 1»1,2,3,..., co jest równoważne sterowalności w s zy st ki ch uk ła dó w dynamicznych opisanych za le żnościami (13). Stąd, w y k o ­ rzystując znane [8] , [9] warunki konieczne i wy st arczające sterowalności liniowych stacjonarnych uk ła dó w dynamicznych o parametrach skupionych, o- trzymuje się bezpośrednio tezę twierdzenis 1.

Twierdzenie 2 . Układ dynamiczny Sn Jest ap ro ks ym ac yj ni e sterowalny w przedziale [0,T] wtedy 1 tylko wtedy, gdy I

rząd X b i'bllp(0)% 0) - b2 1 p(l)T l ( l ) *

d9< dg -i

''b1 2 p(0)-3 7 (0) " b2 2 p( l ) - 3 7 (l)J * 1 dls (19)

D o w ó d . Ponieważ dla układu dynamicznego SQ , a lQ = a ^ = O oraz a Q o =

■ a Ql = 1, więc na mocy zależności (14), (15), (16), (17) oraz twierdze­

nia 1 uzyskuje się tezę twierdzenia 2.

Tw ie rd ze ni e 3 . Uk ł a d dynamiczny Jest ap ro ks ym ac yj ni e sterowalny w przedziale [0,tJ wted y i tylko wtedy, gdy

Badanie 3terowalnoścl dla niektórych. 9

rzęd [ b ^ b ^ p i l J g ^ l ) - b ^ p ( O ) g1(0) ,

b22p ( l ) g1(l) - b1 2p(0)g± (0)J - 1 dla 1 = 1 ,2,3,... (2 0)

Dowód. Po nieważ dla układu dynamicznego S ,a = a . = O oraz a. =

' 3 n oo ol lo

= a1 1 = 1, więc na mocy zależności (lś), (15), (16), (17) oraz twierdze­

nia 1 uzyskuje się tezę twierdzenia 3.

Wniosek 1 . Uk ła d dy na mi cz ny S° Jest ap ro ks ym ac yj ni e brzegowo ster o­

walny w przedziale [o.t] wtedy i tylko wtedy, gdy

rzęd [ B j = 1 dla 1 = 1,2,3,... (21)

D o w ó d . Ponieważ dla układu dynamicznego S°, b(x) » O dla x e [o,l], więc także bA ■ O dla 1=1,2,2,... Stęd, na mocy twierdzenia 1 uz ys ku­

je się tezę wn iosku 1.

W n iosek 2 . Uk ła d dy na mi cz ny S Q Jest ap ro ks ym ac yj ni e całkowicie ste­

rowalny w przedziale [o,tJ , wted y i tylko wtedy, gdy

b t / O dla 1=1,2.3,... (2 2)

P o w ó d . Ponieważ ¿la układu dynamicznego S Q , S = O, więc także ■ O dla 1=1,2,3,... Stęd, na mocy twierdzenia 1 uzyskuje się tezę wniosku 2.

Wniosek 3 . Deżell układ dynami cz ny S ,(S°) ,(SQ ) Jest apro ks ym ac yj­

nie (brzegowo, całkowicie) sterowalny w przedziale [o, T] , to Jest on także apro ks ym ac yj ni e (brzegowo, całkowicie) sterowalny w dowolnym pr ze­

dziale [0,'f] , ( 0 < T ) .

W n iosek 4 . Oeżeli b1 2 = b21 « O, to układ dynamiczny Jest ap ro­

ksymacyjnie brzegowo sterowalny w przedziale [o,T], wted y i tylko wtedy, gdy

(P (O) (aoo—3^ 0 ) - aio 9 i (0 )))2bll +

d9n ■> o

+ ( p ( A ) ( a 1 1 g ± (l) - a 0 i “ 3 7 ( l ) ) ) b2 2 * 0 i “ 1 «2 -3 ____ < 2 3 )

W n iosek 5 . Deżeli b12 = b22 = O, to układ dynamiczny S° Jest apro k­

symacyjnie brzegowo sterowalny w pr ze dz ia le (o.tJ , wtedy i tylko wtedy, gdy

10 0. Klamka

Wn iosek 6 . Oeżeli fc>12 = b21 » 0, to układ dynamiczny Jest ap ro­

ksymacyjnie brzegowo sterow al ny w przedziale [ 0,tJ, wted y i tylko wtedy, gdy

(bl1p ( ° ) ^ ( 0 ) ) 2 + (b2 2 p(l) -^ |( l) )2 j* 0 i-1,2,3,.’.. (25)

Wniosek 7 . Oeżeli b12 = b22 = 0, to układ dynamiczny sJJ Jest ap ro­

ksymacyjnie sterowalny w pr ze dz ia le [o,t] brzegowo, wt ed y i tylko wtedy, gdy

(b2 1 p ( i ) g i (l) - b 1 1 p ( 0 ) g 1 (0))2 / 0 i=l,2,3,... (25)

Wniosek 8 . Oeżeli bi 2 “ b21 = to układ dynamiczny S° Jest ap ro­

ksymacyjnie brzegowo sterowalny w pr ze dz ia le [o,t] , wted y i tylko wtedy, gdy

(b1 1 p ( 0 ) g i (0))2 + (b2 2 p ( l ) g 1 (l))2 / 0 1 = 1 , 2 , 3 ____ (27)

Wniosek 9 . Oeżeli b12 = b22 » O, to układ dynamiczny S° Jeet ap ro­

ksymacyjnie brzegowo sterowalny w przedziale [o,t] , wtedy i tylko wtedy, gdy

dg dg „

<bl l p(0)“ 3 7 (0) " b 2 1 p(l)“ 3 7 (l>) t 0 l = i , 2 , 3____ (28)

Powyższe wnioski wynikaj? bezpośrednio z twierdzeń 1, 2, 3 oraz z a le żn o­

ści (7) i (8).

Pr zy kł ad 1 . Niech będzie dany układ dynamiczny , dla którego b 12 =

= b22 = O, Wiadomo, [3J , [7], [8] , że dla układu dynamicznego §Q w a r t o ­ ści własne i funkcje wł as ne wyrażaj? się następujęcyrai wzorami

- -(iOl)2 1=1,2,3,... (29)

g t (x) = V2sin(iflx) x £ [o,l] 1 = 1 , 2 . 3 ___ (30)

Funkcje własne g 1 (x), 1=1,2,3,... tworzę ortonormalny układ zu pełny w przestrzeni L2 [0,l].

Korzystajęc z zależności (30) otrzymuje się

d g , ( x )

— 3 « i Ot Y 2 c o s (13tx ) x i [ o , l ] 1=1,2,3,

Badanie 9t er owalności dl» niektórych. 11

Stąd

-gi(0) - 1-1,2,3,...

-^|(l) - i3£Y2cos(iiO - ijTYIY-l)1 1-1,2,3,...

Ponieważ p(o) '» p(l) - 1, zatem na mocy wniosku 9 rozpatrywany układ dy na mi cz ny Sp Jest apro ks ym ac yj ni e brzegowo st er ow al ny w przedziale

[O.t], wt ed y i tylko wtedy, gdy

i /

(bH - b2 1 (-l)1 )2 / 0 i » 1,2,3,..'.

co Jest równoważne następujęcamu warunkowi

■ ! • -,

l bl l M b2 ll

Pr z y kł ad 2 . Niech będzie dany układ dynami cz ny Ś o D , dla którego funk­

cja b(x) spełnia nast ęp uj ęc y warunek

b(x) = -b(l - x) x e [0,1]

Wykorzystuj ęc zależność (30) otrzymuje się ,

1 1

b Ł = J b ( x ) g i (x)dx - J b ( x )V i s i n C i U x )dx

0, dla i=2k-l /O, dla i=2k

gdzie k = l ,2,3,...

Zatem na mocy twierdzenia 1 oraz wn iosku 2, rozpatrywany układ dynamiczny

§ oD nie Jest ap ro ks ym ac yj ni e całkowicie sterowalny w przedziale [0,T], Pr zykład 3 . Niech będzie dany układ dynamiczny § o 0 > dla którego:

.= - b ?1 , b12 = b22 = O. Na podstawie przykładu 1 wiadomo, że układ ten nie jest sterowalny. W y bi er zm y stan początkowy w Q (x) tak, aby spełniał na st ęp uj ęc y warunek

w o (x) = - « o (l - x) dla x 6 [o . lj| (3l)

Stęd, podobnie jak w pr zy kł ad zi e 2 uz yskuje się równości

n f O dla i=2k-l

= I w (x)g,(x)dx - I w (x )2sin(iJIx )dx - i S

31 t/p 0 1 JQ ° 1 / 0 dla i=2k

(32)

k-1 , 2 , 3 , , . .

3. Klamka

Ponieważ b,^ = -t>21 , więc na mocy .15), (16.', (l? oraz przykładu 1 o- trzymuje się zależności

3Ł » [i5tV2b1 1 , -i OiY^C-l )ib21] = [i JtV2'b11 . i 3Ł V?f-1 )1b11]

Q iv(t) = ;i * - l ) i )iOl Y2b11v i (t)

C dla i=2k-l /O dla i=2k

i=l .2 .3 ___

i = l .2,3,.

Zatem, uwzględniając relacje (13 jraz (29) otrzymuje się równania róż­

niczkowe zwyczajne dla funkcji w (t), 1 = 1,2 3,...

dv. ^ . t dl

-(iJi)2 w i (t) dla i=2k-

-(iJl)2w 1 (t) + 2T^’i K b 11v 1 (t ) i=2k k=l,2,3,.,. (33)

o i ' z warunkami poczętkowymi w ^ O )

Stąd, bioręc pod uwagę zależności (32) uzyskuje się

exp(-(iTl) t)wQi = O dla i=2k-l

exp(-( i?i)2 t )wQi + J 2 l ? l e x p (-(i?t)2 ( t-T) )b11v^ (T)d? dla i=2k ,

0 k = l ,2,3,... (34)

Zatem na mocy (l2), (30) oraz (34) trajektoria układu w(t,x) wychodząca ze stanu początkowego w Q (x) Jest postaci następującej

i 500

i *1

kaoo

w( t ,x ) =>

E

-E

E

k»l k=l , .

k = l (35)

Ponadto, ponieważ g2 k (0.5) = 2sin(0.5iJl) >= O, dla k » l , 2 , 3 ... więc no mocy (35) otrzymuje się zależność następującą

w(t,0.5) = O dla t > 0

Przykład 4 . Niech będzie dany układ dynamiczny Sp. dla którego: b 12 =

= b22 * O, b ^ c ^21" Na P°dstawie przykładu 1 wiadomo, że układ ten nie Jest sterowalny. W y bi er am y stan początkowy w Q (x) tak, aby spełniał na­

stępujący warunek

n o(x) = **o (l - x ) . dla x e [o,l] (36)

Badanie 3terowalnoścl dla nlaktćrych. 13

Stęd, korzystaj ęc z zależności (30), podobnie jak w przykładzie 2 uzyskuje się na st ęp uj ęc e równości

i i

w » / w (x)g (x)dx = | w (x) 2sin(iJIx)dx

oi J o 3 i J o

O dla i=2k

k = l ,2 .3,... (37)

¿0 dla i=2k-l

Poni ew aż = b21 ’ w x ^c na mocY (15), (16), (17) oraz przykładu 1 o- trzymuje się zależności

B a = [i t f Y ^ b ^ , -i Ol V2?(-l )it>2 1 J » [ i 3 i V 2 b l:l, 1 3 lV 2( -l )i + 1b 11j i « 1 . 2 ----

B.v(t) = (l + f-l )i + 1 )i ii i i ? b. .v. (t )l i i

O dla i=2k / O dla i=2k-l

k=l ,2,3,,..

Z a t e * , u w zg lę dn ia jgc relacje ;13) oraz (29) otrzymuje się równania różnicz­

kowe zwyczajne dla funkcji (t ). 1=1,2,3,...

d w ^ t ) ćft

- (i 3i) 2w A (t ) dla i=2k

k = l ,2 ,3,... (38) -(i?()2w 1 (t) * 2^2 i7ib11v 1 (t ) dla i=2k-l

z warunkami poczętkowymi w.(0) = w Q i , 1=1 ,2,3,...

Stęd, bioręc pod uwagę zależności (37) uzyskuje się

w 1 (t)

exp(-(ljl) t)wQi = O dla i=2k

exp (- ( i Di)'

*1

Zatem na mocy (12), (30) oraz (39) trajektoria układu w(t.x) wychodzęca ze stanu po cz ęt k o w e g o w Q (x) Jest postaci następujęcej

i aoo

w(t,x) = 'y w i ( t ) g i (x) 1=1

E

k eoo

_l(t )g2 k- l^x ^ “ X I ” 2 k - l 32 k - l ' 1-x/

k = l

v( t , 1 - X ) (40)

czyli Jest funkcję parzystę względem środkowej odcinka [o,lJ.

Przeds ta wi on a w pracy metoda badania aproksymacyjnej sterowalności mo­

że być zastosowana do szerszej klasy uk ładów dynamicznych o parametrach rozłożonych, określonych w pr zestrzeniach n - w y m i a r o w y c h , a także do ukła-

14 3. Klamka

dów dynamicznych opisanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi elip ty cz­

nymi lub hiperbolicznymi. Ponadto, można tę metodę wy ko rz ys ta ć do bada­

nia różnych ro dzajów sterow al no śc i układów dynamicznych o parametrach roz­

łożonych z wielok ro tn ym i opóźnieniami, zarówno w sterowaniu brzegowym jak i w sterowaniu rozłożonym. M a n k am en te m przedstawionej metody Jest koniecz­

ność wyznaczania w a r t oś ci własnych oraz od powiadajęcych im funkcji wł as­

nych operatora liniowego.

Niniejszy ar tykuł stanowi rozszerzonę w wyniku dyskusji we rsję refe­

ratu [ll] , wy gł os z o n e g o w dniu 2 9 . X I . 1979 r. na Se mi na ri um U r z ą dz eń i Uk ładów Automatyki.

LITERATURA

[1] Gl othln G.E. : A modal control model for distributed systems with ap­

plication to bo undary co ntrollability. International Óo ur na l of C o n ­ trol, vol. 20, no 3, 3. 417-432, 1974.

[2] Glothin G.E.: Co nt ro ll ab il it y, ob se rv ab il it y and duality in an di­

stributed parameter system with continouou3 and point spectrum. IEEE Transactions, vol. AC-23, no. 4, s. 687-690, 1978.

[3] Fattorini H . O . : B o un da ry control of temperature distributions in a pa rallelepipedeon. SIAM Oo ur na l on Control, vol. 13, no 1, s. 1-13, 1975.

[4] Fattorini H.O. , Ru ss el l D . L . : Exact co ntrollability theorems for li­

near pa ra bo li c equations in one space dimension. A r ch iv e for Ra t i o ­ nal M e ch an ic s arid A n al ys is , vol. 43, no 4, s. 272-292, 1971.

[5j Russell D.Li: A un if ie d bo un da ry cont ro ll ab il it y theory for hiperbo- lic and parabolic pa rtial di ff er en ti al equations. Studies in A p pl ie d Ma th ematics, vok. LII, no 3, s. 189-211, 1973.

[6] Sakawa Y. : Co nt r o l l a b i l i t y for partial differential equations of pa- a. - rabolic type. SI AM Oo ur na l on Control, vol. 12, no 3, 1974.

f7j Se idman T.I.: A p p r o x i m a t e bo un da ry c o nt ro ll ab il it y for the heat equation. 3. Math. A n a l ys is and App. , vol. 23, no 5, s. 699-703,1968.

[b] Triggiani R. : Co nt ro ll ab il it y and ob se rvability in Banach space with bounded operators. SIAM 3. Control, vol. 13, no 2, 1975.

[9] Triggiani R.: Ex te ns io ns of rank conditions for cont ro ll ab il it y and observ ab il it y to Banach space and unbounded operators. SIAM Oo ur na l on Control, vol. 14, no 2, s. 313-338, 1976.

[10] W8 ng P.K.C. : Op timal control of parabolic systems wi th bo undary con­

ditions involving time delays. SIAM, vol. 13, no 2, 1975.

[11] Klamka 3. : Prob le ma ty ka sterow al no śc i dla uk ła dó w opisanych równ a­

niami częstkowymi. Referat nr 258, Se mi na ri um U r z ą dz eń i U k ła dó w A u ­ tomatyki, Gl iwice 1979.

Zł ożono w redakcji 13.12.79 r.

W formie ostatecznej 2 0 .0 3. 80 r.

R e c e n z e n t :

Doc. dr inż. R e g i na ld K r zy ża no ws ki

Badanie sterowalnriścl dla niektórych. 15

nPOBJLEMbl yilPABJIHEMOCTH .UJIfl CHCTEM OlWCUBAEMUX yPABHEHHJMH

B

qACTHHX nP0H3B0AHHX

P e 3 » ^m e

B c T a T b e a s h o o n p ex ejieH H H n p n 6 ;in x e H H o it y n p aB X H eM o ciH , npH fijm xeH H O ft K p a e - B oft y n p a B a « ew o o T H h npH6JiHsceHHOii rjio d a jib H o ii y n p aB jiaeM o cT H j,n a . AHHaM HtjecKHx C H C ieu o n H cu B aeM u x JiHHefiHHMH ynpaBjieHHHM H n a p a 6 o jiH 'te c K o ro T H n a c cuemaHHbniH

KpaoBUMH ycjioBHBMH. OnpeAeAemj KpHTepua HcnuTaHHH ajih onpe^ejieHHa pa3Horo

B K ia y np aB JiaeM o cT H ^H H auatieoK H X C H C ie u . 3 t h K p a T e p a a HueioT $opM bi H eoC xoA H - MUX H AOCTaTOHHUX yCJIOBHii yilpaBJIHeM OCTH C^lOpMyjlHpOBaHU Ha HSHKe COfiCTBeHHHX HHCeJI H COdCTBeHHttX BeKTOpOB. PaCCMOTpeHO He CKOJIBKO OCOdeHHHX C X yH aeB H n po B e^eH O HecKOJibKO npH M epoB •

THE PROB LE MS OF C O NT RO LL AB IL IT Y FOR SYSTEMS DESCRIBED BY PA RT IA L DI FF ER E N T I A L EQUATIONS

S u m m a r y

In thi9 paper the definitions of approximate controllability, ap pr ox i­

mate bo undary co ntrollability and approximate complete controllability are given for dynamical systems described by linear partial differential equa­

tions of parabolic type with mixed boun da ry conditions. Criterions for investigation for different types of co ntrollability are 'formulated. T h e­

se criterions have the form of necessary and sufficient conditions and have been derived by using the eigenvalues and eigenvectors. M o re ov er se­

vera l special cases ara considered and some examples are given.