Wyprowadzenie równań dla pewnego typu układów o zmiennej masie

S e r i a : Me o h a n i k a z . 47 Nr k o l . 339

A n d r z e j MIĄDOWICZ, J a n u s z SZOPA I n s t y t u t K o n s t r u k c j i i T e o h n o l o g i i U r z ą d z e ń A u t o m a t y k i i E l e k t r o n i k i

WYPROWADZENIE RÓWNAŃ DLA PEWNEGO TYPU UKŁADÓW O ZMIENNEJ MASIE

S t r e s z o z e n i e . W n i n i e j s z e j p r a c y p o k a z a n o s z o z e g ó ł o w o t o k t r a n s f o r m o w a n i a r ó w n a n i a r u c h u M l e s z o z e r s k l e g o ( o p i s u - J ą o e g o r u c h p u n k t u m a t e r i a l n e g o o z m i e n n e j m a s i e ) do w s p ó ł ­ r z ę d n y c h u o g ó l n i o n y o h . Wzorowano s i ę na w y p r o w a d z e n i u r ó w­

n a ń Ł a g r a n g e ' a - u w y p u k l a j ą o p o w s t a n i e nowyoh r e a k c j i wy­

n i k a j ą c y c h z f a k t u z m i e n i a n i a s i ę masy u k ł a d u . D l a i l u s t r a ­ c j i r o z w i ą z a n o p r z y k ł a d , p r z y ozym p r z y j e g o d o b o r z e k i e ­ r o w a n o s i ę m o ż l i w o ś c i ą u z y s k a n i a a n a l i t y c z n e g o r o z w i ą z a n i a o t r z y m a n y c h r ó w n a ń .

W w i e l u o t a o z a j ą c y o h n a s z j a w i s k a c h mamy do o z y n i e n i a z z a g a d n i e n i e m z mi a n y masy punkt ów i o l a ł w o z a s i e l o h r u c h u . Pr o b l e me m tym z a o z ę t o s i ę z aj mowa ó d o p i e r o pod k o n i e c w i e k u XIX i [ l ] ,

(XI

o d r ę b n i ł y s i ę dwa z a g a d n i e n i a : 1 . masa J a k o f u n k o j a o z a s u j 2. masa j a k o f u n k o j a p r ę d k o ś o i .

O d n o ś n i e p i e r w s z e g o a s p e k t u można w y r ó ż n i ó dwa u j ę c i a : M i e s z c z a r s k i e g o t p j ) i N o w o s i e ł o w a ( [ 4 ] ) .

R o z p a t r u j e m y r u o h n punkt ów m a t e r i a l n y c h o z m i e n n e j ma s i e w y o h o d z ą c * o d r ó w n a n i a M i e s z o z e r s k i e g o . Dla k - t e g o p u n k t u ma ono p o s t a ó :

z m i a n y masy I p r ę d k o ś ć d o ł ą c z a j ą c e ] s i ę masy w y n o s z ą o a p o w i e a m o : o - r a z u fc; Pk , n a t o m i a s t o z n a c z a wypadkową s i ł c z y n n y c h i r e a k c j i d z i a ł a j ą ­ c y c h na k - t y p u n k t .

¿t. _ dmk _

“ k 3 T " = ? k " 3 F ~ i u k _ Yk ) ^{(1 )}

k = 1 , 2, o /

g d z i e

106 A n d r z e j M i ą d o w i o z , J a n u s z Szopa

Z a k ł a d a m y , że ma aa k - t e g o p u n k t u z a l e ż y j a w n i e od o z a s u i od r a c j i u k ł a d u ;

■Qk ~ \ x p

9

^^9

g d z i e

r.^. j e s t w e k t o r e m wodzącym k - t e g o p u n k t u .

Poza tym u k ł a d s k r ę p o w a n y j e s t w i ę z a m i t y p u g ę o m e t r y o z n e g o ;

F m x 2* **** s n* t ) = O

m —1, 2

,

o r a z r ó ż n i c z k o w y m i , l i n i o w y m i wz gl ę de m p r ę d k o ś c i ą

im v ^{^ +}

^{= °}

k=1

g d z i e

i B*2 ^ s ą danymi f u n k o j a m i w s p ó ł r z ę d n y c h i c z a s u ,

pk p

Po z r ó ż n i c z k o w a n i u r ó w n a ń ( 2 ) o t r z y ma m y ;

S ' T i 1 ) — , r("* ^ _ n

2 —i Amk ' k m f

g d z i e

k=1

a i 1 ^ E __S. i + SL i + — E k

mk ^ 3 y k 0 d \

Ró wn a n i a ( 4 ) w r a z z r ó w n a n i a m i ( 3 ) d a j ą w s z y s t k i e z a l e ż n o ś o i k o ś c i m o ż l i w e .

k o n f i g u -

(²)

( 3 )

( 4 )

na p r ę d -

Z a k ł a d a j ą c i s t n i e n i e więzów i d e a l n y c h , t z n . t a k i c h , d l a k t ó r y c h p r a c a r e a k c j i na p r z e s u n i ę c i a c h w i r t u a l n y c h j e s t równa z e r u , co wyraża z w i ą z e k :

g d z i e

R,£ r e a k c j a wywoł ana i s t n i e n i e m więzów ( 2 ) 1 ( 3 ) d z i a ł a j ą c a na k - t y p u n k t ;

r ^ p r z e s u n i ę c i e w i r t u a l n e k - t e g o p u n k t u ;

możemy wz or y na r e a k c j e więzów p r z e d s t a w i ć n a s t ę p u j ą c o :

Tak w i ę c r ó w n a n i a L a g r a n g e ' a p i e r w s z e g o r o d z a j u w naszym p r z y p a d k u ma­

j ą p o s t a ć :

Do c h o d z ą do t e g o z w i ą z k i p o w s t a ł e ze z r ó ż n i c z k o w a n i a równań p r ę d k o ś o l m o ż l i w y c h , t z n . r ó w n a n i a moż l i wyc h p r z y s p i e s z e ń .

W d a l s z e j o z ę ś o i n a s z y c h r o z w a ż a ń wprowadzi my w s p ó ł r z ę d n e u o g ó l n i o n e

J e ó l i u k ł a d me c h a n i c z n y p o s i a d a t y l k o w i ę z y h o l o n o m i o z n e , t o można t a k d o b r a ć w s p ó ł r z ę d n e u o g ó l n i o n e , że r ó w n a n i a więzów s t a n ą s i ę t o ż s a m o ó o i a n l - w t e d y w s z y s t k i e m n o ż n i k i L a g r a n g e ' a w y s t ę p u j ą o e w r ó w n a n i a o h (ó ) z e r u ­ j ą s i ę .

Będą j e d n a k ż e w y s t ę p o w a ł y pewne r e a k c j e spowodowane f a k t e m zmi any Basy p u n k t ów u k ł a d u .

n

Y Z Sk d *k • ° i k = l

1 1.' r

( 5 )

m=1 r=1

d ¥ k - mk 5 F ~ = p k +

B=1 r®1

ł 1 , <ł2 > **• * 9r o l l a r a l c t e r y z u ^ oe k o n f l g u r a o J ę u k ł a d u , d z i ę ­ k i cz e mu:

( 7 )

108 A n d r z e j M i ą d o w i o z , J a n u s z Szopa

W c e l u u z y s k a n i a t r a n s f o r m a c j i r ó w n a ń r u c h u M i e s z o z e r s k i e g o do w a p ó i - r z ę d n y o h u o g ó l n i o n y c h , mnożymy r ó w n a n i e ( 6 ) p r z e z 2—Ł i sumujemy wzgl ędem Ir

k j ot r zymamy w t e d y : J

k=1 11 k=1 J k=1 m=1 3

+ V " V * l z ) I i 2 ) i f Ł V " 1 dB|£: (5 V ( a l r k m T “ 2 _ , 3 T " ( u k “ v k ' a g ? ( 8 )

k=1 r = 1 3 k - 1 3

P o n i e w a ż

y 1 - f S ł „ ' y a ( B . i _ y - i p _ j k k fl q, Z -j Ot k k » q , Z —, k 3 q 7

k = l 3 k=1 u 3 k - 1 3

Z ] \ *k Sr (9)

d r k a r k Ą 3r k d ^ k ,

3 q J “ M J 1 a q j = 3 F (3 5 J )

( p a t r z [ 5 ] ) , a wi ęo ( 9 ) p r z y j m i e p o a t a ó :

S— ' dBk * a r k _ d ,dE . 9E

~ i— i cft“ k gc u a F F o T ~ 99-t

k=1 3 3 J

\ ' dBk — ^ r k 1 'i— ' rlBk -J- —

- ł — i w ~ r k 3 9 7 + 7 g o T ^ k r k ( 1<n

g d z i e

e - ? E Bk r k Tk eDe:rS i a k i n e t y c z n a u k ł a d u . k - 1

Zmiana masy u k ł a d u powoduje wi ęo p o w s t a n i e pewnyoh d o d a t k o w y c h r e a k c j i p o s t a o l :

o i m ) _ o V - ’ ^ * £ > £ 1 V ś * j " 2 — i 3 T " fc a a . “ 7 A _ j *k k a a .

k=1 J k - 1

_ £ bj ł - a i k Z__j 3 t k aa.

k = l j

i ś i i 1 5 i ( i 1 )

j d<łj ^ k s W j

= \ / , (2 i , r , § - & — ” k k 5 q , b, fik k - 1

Wp r o w a d z a j ą c 3 i ł y u o g ó l n i o n e ;

Qj a f E \ a ^ (12)

k - 1 J

1 d o b i e r a j ą o t a k w s p ó ł r z ę d n e u o g ó l n i o n e , a b y p r ę d k o ś o l i p r z e s u n i ę c i a mo­

ż l i w e b y ł y w z a j e m n i e n i e z a l e ż n e , ot r zymamy n a s t ę p u j ą c ą p o s t a ć d l a r ó w n a ć r u o h u M i e s z o z e r s k i e g o :

a r " 3 o j qj + B j { 1 3 )

J e ś l i pewne s i ł y m a j ą o h a r a k t e r p o t e n c j a l n y , o ż y l i , ż e i s t n i e j e , f u n k - o j a V t a k a , że

n d ,a v . av ,

Qj =

3

-

7

110 A n d r z e j M i ą d o w i o z , J a n u s z Szopa

wt e d y w p r o w a d z a j ą c nową f u n k c j ę L = E - V, mamy:

h % > - § ł j = Qj + r j “° (15)

g d z i e

Cl* - s i ł y z e w n ę t r z n e n i e u w z g l ę d n i o n e w z w i ą z k u ( 1 4 ) *

R o z p a t r z m y t e r a z p r z y k ł a d u k ł a d u m e c h a n i c z n e g o o z m i e n n e j m a s i e , d l a k t ó r e g o

E = — m ( t ) x 2

T = j o ( t ) x 2

Zakł adamy d a l e j że o ( t ) = - 2 m ( t ) o r a z u k = 0 . Kamy w t e d y ;

L = (m x 2 - o x 2 ) ,

I r (0 P = JF (m ż) = * * + n *• " Mf

Równanie r u c h u ( 1 5 ) b ę d z i e m i a ło p o s t a ó ;

m x + m x + o x = 2 m x ,

c ż y l i

m x - m x — 2 i r i x = 0 .

C a ł k ą o g ó l n ą t e g o r ó w n a n i a j e s t

* = 2 m x + i *

g d z i e A - dowol na s t a ł a .

R o z w i ą z a n ie o g ó l n e ma p o s t a ó ( [ ó j ) .

c x

B i o r ą o pod uwagę w arunki początk ow e

i ( V = *o » x l t o ) = x o* = ®o* ® { t 0) = o 0 , mamy

J*

j.

o

LITERATURA

1 . A . RAYLEIGH - Theory, o f S o u n d . , T . I . 1 8 7 7 .

2 . E. ROUTE - Dynamio o f a s y s t e m o f r i g i d h o d i e s , The advanoed p a r t . , 1 8 8 4 .

3 . I . MIESZCZERSKI - Rabo.ty po m l e o h a n l k i e t l e ł p l e r i e m i e n n o j m a s y , I z d s - t l e l s t w o N a u k a , Moskwa 1 9 3 2 .

4 . W.S . NOWOSIEŁOW - Ana l i t l o ze ska Ja m leohaplk a s i s t i e m s p l e r l e m i e c n y m l m asam i, I z d a t l e l a t w o Lenln gradskow o U n l w i a l r s l t l e t a , L e n in g r a d 1 9 6 9 . 5 . B . SKAIMIERSKI - Dynamika układów m e o h a n lo z n y o h , Wydawnictwo P o l i t e c h ­

n i k i Ś l ą s k i e J , G l i w i c e 1 9 6 9 .

6 . E . KAMKE - S p r a w o o z o lk po ohykaowlannym d i f f i e r e n o j a l n y m u r a w n le n ia m , I z d a t l e l s t w o ' Nauka, Moskwa 1 9 6 9 .

7 . R . GUTOWSKI - Meohanlka a n a l l t y o z n a , PWN, Warszawa 1 9 7 1 .

8 . W. BOGUSZ, J . ADAMCZYK - Meohanlka układów o z m ien n ej m a s i e , Maszyno­

p i s , Kraków 1970 (p r a o a n i e p u b l i k o w a n a )•

3H3CH yPABHŁHkk HEKOTOPOrO T k liA UkUTEUH C H E l EŁiEHlOti ŁlACUOk

P e s jo m e

B paóOTe pac.MOTpeHO TinaTejiŁHo x o j TpaHCipopuMpoBaHHa ypasHeszK luemepcKi r o b oÓoómeHHHe KoopjHHaTH. Gder ano eTo aHaJiomuHO kok n p s BHBOse ypaBHe

hmm J l ar panwa - nofluepKHBaa. BOBHHKHOBeHtte hobłtc peaicnnz b nocjieflCTBH H3M HeHBH MaccH y.BHsymiixcs ToueK. PerneHo npHMep K-.no.naHo aHanuTimeoKHM pe 3yjtBT aT o

112 A n d r z e j Ml ą d o wi o z * J a n u s B Szopa

DERIVATION 0 ? EQUATIONS FOR SOME TYPE SYSTEM WITH VARIABLE MASS

S u m m a r y

l a t h i s paper *ie have made th e t r a n s f o r m a t i o n t h e H l e s z o z e r s k l ' s equa­

t i o n s i n t o t h e u n i v e r s a l s y s te m o f c o o r d i n a t e s . We have f o l l o w e d t h e La­

g r a n g e ' s e q u a t i o n s ' th e e x a m p l e - s e t o f f t h e new r e a c t i o n s whioh f o l l o w e d from t h e f a o t o f ohange t h e mass o f t h e d i s p o s i t i o n . For t h e i l l u s t r a t i o n we have t a k e n one example and have o b t a i n e d a n a l y t i o a l s o l u t i o n .