LUDWIK BORKOWSKI Profesor Dr Izydorze DąmbskieJ z okazji Jej Jubileuszu
W SPRAW IE IN TU IC Y JN EJ IN TERPR ETA C JI LO G IK I TRÓJW ARTOŚCIOW EJ ŁUKASIEW ICZA
1. In tu icy jn ą in terp retację zbudowanego przez siebie trójw artościow e
go rach u n k u zdań om aw iał Łukasiew icz w a rty k u le (1), a następnie ob
szerniej w a rty k u le (4), opublikow anym po jego śmierci. N aw iązując do in te rp re ta c ji Łukasiewicza podanej w (4) J. Słupecki "W a rty k u le (7) po
dejm u je próbę jej dokładniejszego usystem atyzow ania, polegającą na sfor
m ułow aniu pew nych założeń dotyczących zdarzeń, relacji opisywania zda
rzeń przez zdania i zw iązku przyczynowego, a następnie na udowodnieniu na podstaw ie tych założeń i odpowiednich definicji tw ierdzeń o związkach podanych w tabelkach funktorów trój wartościowego rachunku zdań Ł u
kasiewicza.
W (7) używ a się zm iennych f, f,, f, jako zm iennych przebiegających zbiór w szystkich zdarzeń, zm iennej g jako zm iennej przebiegającej zbiór w szystkich zdarzeń m inionych lub. z chw ili obecnej, w yrażenia „p Sc f ” jako w yrażenia stw ierdzającego, że zdanie „p” opisuje zdarzenie1 f, w y ra
żenia ,.f f j” jako w yrażenia stwierdzającego, że zdarzenie f jest przy
czyną zdarzenia f lf a znaków: + , •, jako znaków sum y, iloczynu i dopeł
nienia zdarzeń.
Za pomocą ty ch oznaczeń zapisuje się założenia:
i- A V ( p * f>
P |
2. ( p * f ) a (Pi* f j ) - f ( A P p ! * f + f i ) 3. ( p * f ) /W p i* f ł) - ^ - ( K p , p , * f - f i ) 4. (p * f) (N p * f ')
5. ( f i-> f i + f 2)— ( f H > -fi)v (£ »—»- f 2)
6. (f f • f2) = ( f ^ f,) a (f h ) 7. V (£ f 1) ---V ( f V )
f i
8. (fi 1-* f) rf\ (fi ‘ % f)
62 L U D W I K B O R K O W S K I
9. (fj—fo) A —> (fg I)
10
. \/(g w -i • fi)^ Vfe ^ f) a W «■’ fi)
g g eZałożenie 8 stwierdza, że jeśli zdarzenie f t jest przyczyną zdarzenia f, to również iloczyn zdarzenia f s i dowolnego zdarzenia f ; je s t przyczyną zdarzenia f. Otóż należy stwierdzić, że założenie 8 budź', poważne w ątpli
wości. K onsekw encją założenia 8 je st bowiem wyrażenie:
a) (f »-*f)
A więc z 8 wynika, że zdarzenie niemożliwe je st przyczyną dowolnego zdarzenia mającego jakąś przyczynę.
K onsekw encja taka je st nie do przyjęcia, a więc i założenie 8 należy odrzucić.
W (7) w związku ze w zorem 8 zauważa się, że Łukasiew icz rozumie stosunek przyczynow y jako stosunek konieczny: po przyczynie skutek na
stępuje „niezawodnie”.
Odrzucając 8 m ożna b y to ostatnie zdanie zapisać następująco:
b) j (p!* f,) A (p * f) -> t(fi (Pi P)]
Z b w ynika:
c) (p i* f }'j A (p2* f 2) A (p * f ) -»■ [(fi t-> f) -> (p1A p2 -> p)]
W yrażenie b m ożna odczytać jako w yrażenie stw ierdzające, że jeśli fi je s t przyczyną f, to je śli istnieje fj, to istnieje f. W yrażenie b m ożna tra ktow ać jako nie budzące zastrzeżeń, n atu ry intuicyjnej ujęcie za pomocą form alizm u wprowadzonego w (7) stw ierdzenia, że „po przyczynie nastę
puje niezawodnie sk u tek ”.
Jednakże w dowodach podanych w (7) w yrażenie b nie może zastąpić założenia 8.
Założenie 8 je s t w ykorzystane w (7) tylko do dowodu w zoru
mianowicie do dowodu im plikacji odw rotnej odpowiadającej równoważ
ności 11.
W ydaje się, że 11 nie budzi ty ch zastrzeżeń n a tu ry intuicyjnej co 8.
N asuw a się więc myśl, żeby zam iast 8 przyjąć 11 jako jedno z założeń do
1 Zwrócił na to uwagą m'gr Toshiharu Waragai na sem inarium z logiki prowa
dzonym przeze m nie w r. 1975/75.
wodów podanych w (7). T rzeba jed n ak odeprzeć wątpliwość, czy 11 nie je s t rów now ażne z 8 n a gruncie pozostałych założeń. Otóż m ożna wykazać m etodą interp retacji, że 8 nie d aje się w yprow adzić z 11 i pozostałych za
łożeń. T rak tu jąc mianowicie zm ienne f, fi, i* g jako zm ienne zdaniowe i in terp re tu ją c znaki: f->, = , + , •, A, K, N odpowiednio jako znaki:
A , = , V , A , ■—, = , V , A, otrzym ujem y z założeń 1-7, 9, 11 tezy kla
sycznego rachunku zdań z kw antyfikatoram i, a z 8 w yrażenie fałszyw e tego rachunku. A więc w yrażenie 8 nie je st konsekw encją w yrażeń 1-7, 9, 11.
2. W dyskusji n ad re feratem Łukasiew icza na zjeździe w Zurichu- w 1938 r. (por. (2)) padały krytyczne uw agi w zw iązku z sensem intuicyj
nym im plikacji trójw artościow ej. W (7) z przyjęty ch założeń i odpowied
nich definicji w yprow adza się tab elk i dla m odalnych funktorów możli
wości (M) i konieczności (L). Im plikacja trójw artościow a Łukasiewicza mo
że być zdefiniow ana za pomocą funktorów A, N, K, M. W (8) w pro
w adza się im plikację zdefiniow aną za pomocą A, N, L o tabelce:
0 1
2 1
0 1 1 1
1 1 1 1
2
1 0 1
2 1
System z (8) je st rów now ażny z im plikacyjno-negacyjnym trójw artościo
w ym system em Łukasiewicza. W ten sposób unika się kw estii związanych z sensem intuicyjnym im plikacji trójw artościow ej.
Czy wobec tego problem intuicyjnej in terp re tacji logiki trójw artościo
wej Łukasiew icza m ożna uw ażać za w yczerpany?
W problem ie tym należy odróżnić dw a zagadnienia:
1. Zagadnienie w yprow adzenia tabelek funktorów trójw artościow ej logiki Łukasiewicza z dokładnie sform ułow anych założeń odpowiadających in tencjom Łukasiewicza.
2. Zagadnienie, czy uzyskany w ten sposób system nie budzi poważnych zastrzeżeń n a tu ry intuicyjnej.
•Wydaje się, że w yw ody zaw arte w (7), z m odyfikacją omówioną w p. 1, Stanowią rozwiązanie pierwszego z ty ch zagadnień.
Nie w ynika jed n ak z tego, że można dać tw ierdzącą odpowiedź na d ru gie pytanie.
N ajpow ażniejszy .argum ent za negatyw ną odpowiedzią n a to pytanie przytoczył m oim zdaniem A. N. P rio r w (5), s. 135.
64 L U D W IK B O R K O W S K I
Mianowicie w trójw artościow ej logice Łukasiewicza koniunkcja dwóch zdań o trzeciej w artości logicznej m a trzecią w artość logiczną również w przypadku, gdy jedno z nich jest negacją drugiego. Jeśli zdanie „Ju tro będzie bitw a m orska” m a trzecią wartość logiczną, to i jego negacja ma też trzecią w artość logiczną, a więc i ich koniunkcja m iałaby też trzecią wartość logiczną. W ydaje się to niezgodne z intuicją skłaniającą nas do przyjęcia, że koniunkcja „ Ju tro będzie bitw a m orska i ju tro nie będzie bitw y m orskiej” je st po prostu fałszywa.
A rgum ent ten w ydaje się nie do odparcia.
Uzupełniając argum entację P riora zauważymy, że w logice trójw arto
ściowej Łukasiewicza mamy:
A więc w logice tej w yrażenia K M p M N p , M K p N p dla tej samej wartości zm iennej m ają te sam e wartości. Tezą tej logiki jest więc impli
kacja
d) C K M p M N p M K p N p i ogólniej, tezą jest każde w yrażenie
e) F K M p M N p M K p N p ,
gdzie „F ” jest jakim ś funktorem im plikacji lub równoważności spełniają
cym w arunki: F l l = l, F00 = 1, F lw = l — w = 1, a więc np. funktorem im
plikacji z (8) lub naw et im plikacji zdefiniowanej w yrażeniem N K p N q.
Można też sprawdzić, że także w yrażenia K M p M ą , M K p ą dla tych samych układów w artości logicznych zm iennych przy jm u ją te same w ar
tości w logice trójw artościow ej Łukasiewicza, a więc tezą tej logiki jest w yrażenie:
f) C K M p M q M K p q lub ogólniej:
g) F K M p M q M K p q K M p M N p 0 1 1 0 0 1
M K p N p 0 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
1 2 2 2 2
0 0 0 1 0
Teza d jest podstaw ieniem tezy f, teza e — podstawieniem tezy g.
Otóż w yrażenia d, f w ydają się nie do przyjęcia, jeśli przyjm ujem y
istnienie zdań o trzeciej w artości logicznej, a p rzy ty m koniunkcję takich dwóch zdań sprzecznych uw ażam y za fałszywą. Nie są też one tezam i w żadnym z systemów Lewisa, F eysa czy von W righta. W prawdzie Ł uk a- siewicz w (3) próbuje podać argum enty przem aw iające za przyjęciem w y
rażenia f jako tezy, ale argum entacja ta nie je st przekonująca.
Jeśli koniunkcję dwóch zdań sprzecznych uw ażam y za fałszywą, to trzeba przyjąć, że altern aty w a A p N p —• jako rów now ażna w yrażeniu N K N p N N p — jest praw dziw a rów nież w tedy, gdy jej człony m ają trzecią w artość logiczną. J e s t to zgodne ze stanow iskiem A rystotelesa, k tó ry uw ażał altern aty w ę „ Ju tro będzie bitw a m orska albo ju tro nie bę
dzie bitw y m orskiej” zą praw dziw ą, mimo że jej człony m ają trzecią w a r
tość logiczną
3. Pow staje pytanie, jak można by zmodyfikować pew ne założenia u ję te w (7), by uwzględnić uwagi podane w p. 2, i jaki system otrzym am y w w yniku takiej modyfikacji.
W (7) w dowodach tw ierdzeń o związkach charakteryzujących tabelki funktorów logiki trójw artościow ej oprócz w ym ienionych powyżej założeń w ykorzystuje się założenia dotyczące zdarzeń i definicje Df. 1-5, 12-15.
Pojęcie zdarzenia jest rozum iane w (7) w ten sposób, że jeśli f jest zda
rzeniem , to f ' f ' i f + f ' są zdarzeniami. Pierw sze z nich zwykło się nazy
w ać zdarzeniem niemożliwym, drugie koniecznym.
A by uzyskać wniosek, że koniunkcja K p N p m a w artość 0, zaś a lte r
n atyw a A p N p m a w artość 1 rów nież w tedy, gdy ich człony nie m ają ani w artości 1, ąn i 0, w ystarczy zmodyfikować D f.l w następujący sposób:
Df. 1'. D(f)= V (f= fi+ fi') V V fe *>
fi s
Stąd na podstaw ie dwóch praw algebry J3oole’a p rzyjętych w (7) otrzym u
jem y:
D ( f ' ) = V ( f = fi • f , ' ) v V f e ^ f ')
li 8
W pozostałych definicjach w ystępujących w {7) symbol „D” będzie ro
zum iany w sensie ustalonym w D f.l'. W tedy w m yśl Df.3 i Df.4:
. ( p * f ) - * [ i ( p ) ^ V ( £ = f i + f i ') v V ( gt, g ( p * f ) - * [ o ( p ) = V < f = f i f v ) v V ( s t ^ O i
fi s
A więc zdanie ma w artość 1, gdy zdarzenie opisywane przez to zdanie jest sum ą dwóch zdarzeń sprzecznych lub gdy istnieje przyczyna tego zdarze
nia. Zdanie m a w artość 0, gdy zdarzenie opisywane przez to zdanie jest 2 Por. A r y s t o t e l e s . K ategorie. H erm eneutyka. Warszawa 1975 s. 65,
5 —JR oczni ki Filnzoftc/.ni?
66* L U D W IK B O R K O W S K I
niemożliwe (jest iloczynem dwóch zdarzeń sprzecznych) lub istnieje p rzy
czyna zdarzenia sprzecznego z nim.
Dopuszczamy przy tym przypadek, że istnieją takie zdania, które nie m ają ani wartości 1, ani 0 i których koniunkcja też nie m a ani wartości 1, ani 0, np. zdania: Za rok o tej porze będę w Warszawie. Za rok o tej porze będę w teatrze.
Z D f.l', Df.2-4 wynika, że zdanie nie m a ani wartości 1, ani 0, gdy zdarzenie f opisywane przez to zdanie spełnia w arunek D(f), tj. gdy:
~ V ( f = f 1+ f 1')A ~ V ( f = f i ■ ^ ~ V fe ^ r >-
J. *. g I
Zdania opisujące takie zdarzenia dzielimy na dwie rozłączne klasy w następujący sposób: Jeśli jakieś zdanie należy do jednej z tych klas, to jego negacja należy do drugiej. Koniunkcja dwóch zdań należących do tej samej klasy należy do tej samej klasy. K oniunkcja dwóch zdań nale
żących do różnych klas jest fałszywa. A lternatyw a dwóch zdań należących do tej samej klasy należy do tej samej klasy. A lternatyw a dwóch zdań należących do różnych klas jest prawdziwa. Przyjm iem y, że zdania nale
żące do jednej z tych klas m ają wartość 2, a zdania należące do drugiej m ają wartość 3.
Przyjm ując zatem, że koniunkcja dwóch zdań o w artości różnej od 1 i 0 może mieć w pew nych przypadkach wartość 0, a w innych wartość różną od 1 i 0, trzeba przyjąć, że istnieją co najm niej dwie w artości różne od 1 i 0. Dochodzimy więc do potrzeby w prow adzenia czterech wartości logicznych.
U żyjemy symbolu 4 dla oznaczania fałszu, a symboli 2 i 3 dla oznacza
nia wartości logicznych różnych od praw dy i fałszu. W tedy Df.2, Df.3, 12, 14 pozostają bez zmiany, w Df.4, 13, 15 zastępujem y symbol 0 symbo
lem 4, a zam iast Df.5 przyjm ujem y w arunki:
( p * f ) [2 ( p ) v 3 ( p ) = D (£)]
2 (p )—3 ( N p )
2 <p)A 2 (pi) -*■ 2 (K p P ,)A 2 (A p pi) 3 ( p ) /\ 3 (pi) -* 3 (K p p ,) A 3 (A p pi)
2 (p)A 3 (p i)\/3 (p )A 2 (pi) - > 4 ( K p P , ) a 1 (A p P!>
Na podstawie tych wzorów i pozostałych założeń otrzym ujem y następu
jącą m atrycę:
K 1 2 3 4 N M L A 1 2 3 4
1 l 2 3 4 4 1 1 1 V 1 1 ]
2 2 2 4 4 3 1 4 2 1 2 1 2
3 3 4 3 4 2 1 4 3 1 1 3 3
4 4 4 4 4 1 4 4 4 1 2 3 4
M atryca ta pokryw a się z m atrycą, k tó rą podaje A. N. P rio r w (6) na s. 22. P odana je s t tam pew na in tu ic y jn a in te rp re ta c ja te j m atrycy. Dla fu n k to ra C zdefiniowanego przez w yrażenie N K p N q otrzym ujem y ta belkę:
c 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 1 3 3 3 1 2 1 2 4 1 1 1 1
Rozważana m atry c a spraw dza w szystkie tezy system u S5. Nie spraw dza an i w yrażenia d, k tó re dla p = 2 lub p = 3 p rzy jm u je w artość 4, ani w yrażenia f, k tó re d la p = 2, q = 3 lub dla p = 3, q = 2 przy jm u je w a r
tość 4. M atryca ta dla C i N pokryw a się z m atrycą Ł-fodalnego system u Łukasiew icza z (3). Różni się od tej ostatniej tabelkam i dla funktorów m odalnych. Rozważaną m atry cę dla funktorów N, K, A, C m ożna otrzy
m ać przez przem nożenie dwóch m atryc dwuwartościowych. S tąd w ynika, że spraw dza ona w szystkie (i tylko) tezy klasycznego rach u n k u zdań zapi
sane p rz y pom ocy ty ch funktorów .
D la równow ażności E p q, określonej przez w yrażenie K C p q C q p, otrzym ujem y tabelkę:
E i 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 1 4 3 3 3 4 1 2 4 4 3 2 1
D la p = 3, q = 4 w yrażenie C E p q E M p M q m a w artość 3. Dla p = 1, q =i 2 w yrażenie C E p q E L p L q m a w artość 3. A więc w sy
stem ie określonym przez rozw ażaną m atrycę fu n k to ry m odalne M, L nie są ekstensjonalne.
Z przeprow adzonych rozw ażań w ynika, że zachowując koncepcję zdań o w artości różnej od 1 i 0 i uw zględniając uw agi podane w p. 2 trzeba od logiki trójw artościow ej przejść do logiki co najm niej czterowartościowej, a w w yniku rozw ażanych m odyfikacji otrzym ujem y system istotnie różny od trójw artościow ego system u Łukasiewicza.-
BIBLIOGRAFIA
1. Ł u k a s i e w i c z J.: Philosophische Bemerkungen zu m ehrw ertigen. Systemen des Aussagenkalkuls. „Comptes rendus de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie” Cl. III 23:1930.
6 8 L U D W IK B O R K O W S K I
2. Ł u k a s i e w i c z J.: D ie Logik und das Grundlagenproblem. W: Les śntretiens de Ziirich sur les fondements et la methode des sciences mathematiques 6-9, 12.
1938. Ziirich 1941.
3. Ł u k a s i e w i c z J.: A System of Modal Logic. „The Journal of Computing Sy
stem s” 1:1953 No 3.
4. Ł u k a s i e w i c z J.: O determinizmie. W: Z zagadnień logiki i filozofii. Warsza
w a 1961.
5. P r i o r A. N.: Past, Present and Futurę. Oxford 1967.
6. P r i o f A. N.: Time and Modality. Oxford 1957.
7. S ł u p e c k i J.: Próba intuicyjnej interpretacji logiki trójwartościowej Łukasie- w icza. W: Rozprawy logiczne. Księga pamiątkowa ku czci profesora Kazimierza Ajdukiewicza. Warszawa 1964.
8. S ł u p e c k i J., B r y l l G., P r u c n a l T.: Some Remarks on Threevalued Logic of Łukasiewicz. „Studia Logica” 21:1967.
O determ inizm ie oraz polski przekład (1) i (3) ukazały się w wyborze pism: J. Ł u- k a s i e w i c z . Z zagadnień logiki i filozofii. Warszawa 1961.
ON THE INTUITIVE INTERPRETATION OF ŁUKASIEWICZ’S THREE-VALUED LOGIC
Summary
Two ąuestions dealing w ith the intuitive interpretation of Łukasiewicz’s three- -valued logie are discussed in the paper. It is shown that one assumption used in deriving the truth-tables for three-valued functors is not intuitive and can be re- placed by a more intuitive assumption. The question is also discussed w hat system we obtain if w e assume that the conjunction of tw o contradictory propositions is false and their alternation is true in the case w hen both propositions have a third logical value.
i
