Rozwiązania fundamentalne zagadnienia quasi-statycznego termodyfuzji sprężystej

Seria : B U D O W N IC T W O z.84 N r kol. 1376

Barbara W IE C Z O R E K

ROZWIĄZANIA FUNDAMENTALNE ZAGADNIENIA QUASI- ST ATYCZNEGO TERMODYFUZJI SPRĘŻYSTEJ

S tre sz c z e n ie . W opracow aniu analizow ane je s t zadanie p oczątkow o-brzegow e dotyczące w yznaczenia stanu p rzem ieszczenia w ośrodku sprężystym z u w zględnieniem przepływ ów m asy i ciepła, opisanych rów naniam i dyfuzji i p rzew odnictw a cieplnego.

FUNDAMENTAL SOLUTIONS FOR THE QUASI-STATIC PROBLEM OF ELASTIC THERMODIFFUSION

S u m m a ry . T here is analysed an initial-boundary problem o f the displacem ent evaluation in the elastic body w ith the flow o f m ass and heat consideration, described w ith diffusion and conductivity equations.

1. WPROW ADZENIE

Z agadnienie statyczne sprzężonej term odyfuzji sprężystej (p o r.[2]) opisane je s t układem pięciu rów n ań różniczkow ych cząstkow ych drugiego rzędu, określających charakter w zajem nego oddziaływ ania p o la cieplnego i dyfuzyjnego oraz p o la naprężeń. P ostać tych rów nań je s t następująca:

P rzy w yznaczaniu ro zw iązania u kładu (1) stosow ana b ędzie transform ata F ouriera, która dla dow olnej funkcji f ( x n t ) określonej w przestrzeni 9U zdefiniow ana je s t w zorem :

(ł)

[ /( * /> ') ] = / ( J/>®) = t A t J 7 ( * , . ' ) e l^XiSl+tC0)dxj

(2 K) d t

gdzie i = (st ,s 2,S j) , a pow tarzające się indeksy są sum ą od 1 do 3.

T ransform atę o dw rotną określa w yrażenie

f { x „ t ) = F ■1[/(j,.ffl)] = -^T F \ f { s l ,a>)el^X‘S‘ +tC°^dsid(0

\l n ) w Z definiow ane przekształcenie m a następujące w łasności:

oraz

F [ / ( * , ,t )* g (x i ,<)] = (2?r)2/ ( i , ,<w)g(i, ,0))

f ( x i ,t) * g ( x l ,t) = j f ( x , - x ' , t - t ' ) g ( x ' , t ' ) d x ' d t ' W

oznacza splot funkcji / i g .

W ykorzystane zo stan ą rów nież następujące relacje przy czym

S (t) 1

K S2

gdzie: |x| = ^ j( x ,x ,)

4 Kt d

_ a d (*.*.)

2 ---

41 , dla t > 0

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

0 , dla t < 0

R óżniczkując pierw sze z rów nań układu (1) i w prow adzając dylatację przem ieszczania

dxi otrzym uje się układ trzech rów nań różniczkow ych:

- ( A + 2 n )e M + 7 , 5 , + y c cM = pFi , Pr,

(7)

- y , e + k 5 - m5 , 1 c„ = (8)

- 7ce.„ ~ 1 Sj, + hć - n c, = j -

w którym przyjęto oznaczenia

k i

2. ROZW IĄZANIE FUNDAMENTALNE

R ozw ażany uk ład (8) m ożna zapisać w postaci m acierzow ej:

Ą j , , d , ) y = f (9)

gdzie:

y 't = [ e , S , c \ r = pK

1

przy czym m acierz układu je s t określona następująco:

A U A ,1 A n

Ą d , A ) = A 21 A22 A23 (10)

_AS1 A32 A»_

gdzie:

A n —('!' + 2 /t) du A i2 — y s du A » = Y(

A2i = ~ Y s du A n = k<9,-m<9„ <N II 1 1—1

II<N"N

oś5

1II

'*T - l d u A33 = M

D la zagadnienia opisanego układem rów nań różniczkow ych (9) w yznacza się rozw iązanie podstaw ow e o p eratora term odyfuzji poszukując dystrybucji E spełniającej rów nanie

A (d i , d , ) E = b ₍₁₁₎

gdzie 8 = S ( x ) 8 ( t ) . R ozw iązanie układu (11) sprow adza się do w y znaczenia m acierzy niezależnych dystrybucji tem perow anych.

Po w ykonaniu transform acji F ouriera na rów naniu (11) zgodnie ze w zorem (2) otrzym uje się układ rów nań:

A (s :,a)) E ( s l , a>) ■■ 1

M 2

(12)

który je s t układem rów nań algebraicznych, a m acierz I je s t m acierzą jed n o stk o w ą. M acierz układu (12) je s t określona następująco:

^12 ~ Y ss

A22 - k ico + m r A n — l i

gdzie:

Au = (A + 2 n)s2

^ 21 ~ Y ss

Ą , = r c s 2

przy czym i 2 = s f + j 2 + s 3 .

W yznacznik m acierzy a(s3,0)) przyjm uje w artość:

d e t ( / l ) = s 2 ( t f ,s 4 + ft2ico s 2 — t ^ m 2) , gdzie:

= n y 2 - 21y,.yr + my2 + (A + 2/z) ( m n - 1 2)

$2 = hy52 + k y 2 + (A+ 2¿i) (hm + kn) Ą = hk(A + 2/i)

W yrażenie (14) m ożna zapisać w postaci:

d e t ( ^ ) = ń , s 2 ( j 2 + a / t u ) ( i 2 + b r r o ) przy czym stałe a i b są określone zależnościam i:

~ Y c s

A23= l s 2 A 1} = hz'£0 + n i

- Ą - J $ - 4 ó,ó3 - t ? 2 - V t ? / - 4 t 9 ; Ą

3 " 2 0 , b " 2r>;

Z u kładu (12) w yznacza się m acierz rozw iązań E , której postać je s t następująca:

gdzie:

E „ =

E „ E n E

J*l> Jf3 II E n E n E

E „ e32 E

1 — h k t a 2 + (h m + kn)ztay2 + ( m n - l 2)s 4 K

■En =

d e t

(

}

1 h y , » W + ( n y i. - l y c ) i 4 4/r2 d e t(/i)

- _ * l kyczta?2+ ( m y * - l y , ) i 4 13 " 31

~

E 22 =

1 h(A + 2/r)z'fflts2 + ()'l + (A + 2/z)n]li4

4tt2 d e t | 1

(14)

(15)

(16)

(17)

E 23 = E u = ~

1 {YsYc + (* + 2 / i ) l ) i 4 ,2 '

E „ =

4 n 2 d e t ( i )

1 k(A + 2 /i)icas2 + ( y 2 + (A + 2/j.)m )sA

4n

O gólnie elem enty m acierzy E w y rażają się w zoram i:

E = 1 j , s* + 1 , & ^ ~ g<, ^ J 4k2 s 2 ( i 2 + a i£w) ( s 2 + b ico) gdzie ¿'j , i]„ oraz są elem entam i macierzy:

m n - 1 2 n y s —l y f.

£ = l y ( - n y s n(A + 2 /x) + y 2 l r s - m y (; - l ( A + 2 /r) - y s y c

dla i , j = 1,2,3

myr - l y s -l(A + 2/z)-ysyc

m(A + 2 / i ) + y 2

hm + k n h / s k / c h k 0 0'

p = - h r s h(A + 2 n ) 0 ę = 0 0 0

- k y t. 0 k(A + 2 n ) 0 0 0

W yrażenie (18) m o żn a rozłożyć na ułam ki proste w postaci:

^,J

a

s + a ico s + b ico

gdzie stałe Ptj , i E,, o k reślają zależności:

$ , a 2 - l f r a + f r - ^ b ^ b - g . a ( a - b ) .

& = -

b ( a - b )

= - a b

(18)

(19)

(20)

W ykorzystując w zó r n a retransform atę (3) i w łasności (6), uzyskuje się m acierz rozw iązań podstaw ow ych:

E { x , , t ) =

E ll E 12 E 13 E 21 E 22 E 23 E j, E¡2 E 33 J o elem entach:

E u = Pij Ea M + Q* E* M + R1J T T

(21)

(22)

gdzie w spółczynniki PtJ , QtJ oraz R:J są określone następująco:

N atom iast funkcje F ( * ,,/ ) i r b (xn t) zdefiniow ane są następująco:

r A x n t ) =

r bM =

_j b (*,*,)

4* ' ^ 2 “ 41

dla t > 0

¿ /a / < 0

dla t > 0

c//a 1 < 0

3. ROZWIĄZANIE OGÓLNE

O kreślona w zoram i (21) i (22) m acierz rozw iązań podstaw ow ych zaw iera 9 niezależnych dystrybucji i m oże posłużyć do w yznaczenia rozw iązania źródłow ych zagadnień sprężonej term odyfuzji zgodnie z relacją

y = E * f (23)

W ów czas

P ole p rzem ieszczeń «, uzyskuje się analizując transform atę F ouriera rów nania:

- H utJj - (A + p ) { y , } _ + y s { y 2 } . + y c { y 3}_ = pF, , (25) która m a postać:

p s 2u, - (.l + p ) i s , { y , } + Y s “ ) { & } + Y c t e i f o } = P Ż (26) przy czym pFi je s t transform atą czynnika pF, ■

Po w ykonaniu transform at rozw iązań (24), podstaw ieniu do (26) i uporządkow aniu otrzym uje się następującą zależność:

określającą transform atę pola przem ieszczeń.

Stałe w ystępujące w rów ności (27) określone są w zoram i:

f j + (27)

1

4 n 2 s 2 5 /, 2 7 2

J s + a ICO 1 -, — + G , —y

j + b itw

Gu = ~ [ ( /l + v ) p u - y s P2> - Yc.p3j] g2j = - i- [ ( a + p )Q lj - Y s Q2J - YcQ3j]

H- M

G j' + ~ y s R ’J - Y c R }]] G,

(28)

W ykonując transform atę o dw rotną w yrażenia (27) otrzym uje się odpow iednio dla układu rów nań zależność określającą pole przem ieszczeń:

= i i 0 J I ^ ■ ') * / , + G 4 F, * ^ } (29)

\x

lub w rów now ażnej postaci:

u —

4n

(*/ '0 = ( G/ /r a ( x „ 0 + G« r b (*< ' O K + W5 ( ,)

4. PODSUM OW ANIE

O prócz przedstaw ionego ujęcia term o dyfuzji sprężystej p rzeanalizow ano dodatkow o układy rów nań:

W y + (A + m K .> + PF, - Y A ~ Ycc j = P«,

p7' ' ^ [ y , “ J J + m 0 + 1C] ~ = Pri i3 ')

p ć + k 2 [YcUj j + 1 d + n c] = r, oraz

l * , j + { l + P -h j* + pF, - Y Aj - YmM , = pu,

d_

dt [7 r« y j + n>0 + 1A / ] - fc;0 u = pr, (32) ł ,M“ y j + i e + nM ’ ] “ ^ 2 ^ / = r2

p u ,ji + (A + p ) u /p + pF, - yA ~ YmK = P“,

~ PT°~dt [7rU j'J + m 9 + 1 M ] “ k ie .u = Pri (33)

- ^ [ r M«y j + 1 0 + nA / ] - = r2

określające rów nież charakter w zajem nego oddziaływ ania pola cieplnego i dyfuzyjnego oraz pola przem ieszczeń. W ynikają one z różnych ujęć term odynam icznych problem u i ze sposobu oddziaływ ania pól rozpatryw anego zagadnienia. W układach tych jak o niew iadom e w ystępują odpow iednio tem peratura, koncentracja, entropia i potencjał chem iczny oraz pole przem ieszczeń. W w yniku analogicznych przekształceń uzyskuje się ro zw iązania układów rów nań (31), (32) i (33), które m ają identyczną postać ja k w przypadku układu (1), przy czym w spółczynniki G, ., G2 j , G}J i Gv oraz a i b zależą bezpośrednio od w spółczynników w ystępujących w odpow iednich układach i w odm ienny sposób niż w om ów ionym zadaniu.

L IT E R A T U R A

[1] D O M A Ń S K I Z., P ISK O R E K A.: M atrices o f fundam ental solutions fo r the system of quasi-static equations o f therm oelasticity and the system o f dynam ic equations o f therm al stresses., A M S 23,2,1971.

[2] K U B IK J.: T herm odiffusion in viscoelastic solids., SG T 8,2,1986.

R ecenzent: D r hab. inż. Jerzy W yrw ał Prof. Politechniki Opolskiej Abstract

T he problem o f statical convoluted elastic therm odiffusion in described w ith the system o f fine partial differential equations o f the second order, describing character o f m utual reaction o f the heat, diffusion and stress fields. T here w as four different form s o f these equations system s, resulted o f the w ay o f fields reactions.

T here w as presented the m ethod o f the solution for one o f the eq u atio n s’ system. W ith the F ourier transform ation, its propertied and theory o f distribution w as build a fundam ental solution o f that system . On their basis w as obtained the solution o f the basic system.

P er analogy the solution w as obtained for tw o rest equation system s w hich describe the therm odiffusion problem .