Vraagstukken over analytische meetkunde en lineaire algebra

-VRAAGSTUKKEN

OVER

ANALYTISCHE MEETKUNDE

EN

LINEAIRE ALGEBRA

door

B.

W. STE G G

ER DA e.a.

EGE N D E DRUK 1971 ~

é

.\

.

v -,

'IIS (.:~

0

'·~

7

1

<,: '.j o' --(.) .~.. Cl ~ rf\ :,.1fl i\...~ Ç,l' )

'

1

,/

)

!:\J ".1 ' O ~ ,-; Co ~ <; fl(rI -N";:.~,' 1rl'·<: ....OIJ~'.:..::. ....1.~.ti.: ~•..;

«J'

.

.

.

.

-

...

./ ·:l eL t· \/

-

-

-VERENIGING

VOOR STUDIE- EN STUDENTENBELANGEN DELFT

VOORBERICHT

BIJ DE EER ST E DRUK

Dit boekje is in hoofdzaak samengesteld met de bedoeling oefenmateriaal te verschafTen aan de studenten van de Technische Hogeschool bij hun voo rbereid ing voor het PI (P)-examen.Ook voor andere beoefenaren van de analytische meetkunde en de lineaire algebra kan deze verzameling van dienst zijn.

In de hoofdstukken I-IV wordt de analytische meetkunde van het platte vlak (inclusief pooltheorie en bundels) behandeld. Aan de hogeregraads-kromme is een afzonderlijk hoofdstuk (V) gewijd.

Van de analytische meetkunde van de ruimte (hoofdstuk VI) zijn vraag-stukken opgenomen over lijnen, vlakken, waaiers en verza melingen van

rechten (regelvlakken).

Wordt de analytische meetkunde behandeld met de methoden van de lineaire algebra, waarop het tweede gedeelte van deze verzameling (hoofd-stukken VII-XI) betrekking heeft, dan kunnen de hoofdstukken I-lIl hierbij als inleiding gebruikt worden.

Naast oorspronkelijke vraagstukken zijn vele tentamen- en examenop-ga ven van de Technische Hogeschool opgenomen, terwijl het niet uitge-sloten is, dat enkele opgaven in bestaande verzamelingen zijn terug te vinden.

Wij houden ons aanbevolen voor kritische opmerkingen.

De heer C. van Werkhoven en zijn staf danken wij voor de keurige ver-zo rging.

Delft,september 1953. De samenstellers:

G. W. M. Kallenberg D. Kijne

J. Seidel

B.W. Steggerda R. J.Wille.

4 BIJ DE TWEEDE DRUK

De samenstellers. Delft, september 1955.

In vergelijking met de eerste druk is hoofdstuk IX aanzienlijk gewijzigd; het is geheel omgewerkt en belangrijk uitgebreid. Van hoofd stukIII zijnde vraagstukken beter gerangschikt, _{terwijl aan de hoofdstukken I, VII en} VII I enkele vraagstukken'_{zijn toegevoegd. Deze wijzigingen zijn medete} danken aan de welwillende kritiek van verscheidene gebruikers, in het bijzonder van onze collega's aan de T.H. Wij zeggen hen hiervoorv rien-delijk dank en blijven ons aanbevolen houden voor opbouwende kritiek.

BIJ DE DERDE DRUK

De tendentie,_{reeds in de beide vorige drukken aanwezig,om de methode} met vectoren een belangrijke rol te laten spelen bij de behandeling der analytische meetkunde, heeft zich in deze druk voortgezet. Als gevolg hiervan is het hoofdstuk over kegelsneden in algemene ligging als zodanig verdwenen en zijn de betreffende vraagstukken naar achteren geplaatst (Hoofdstuk IX,§3).

In de hoofdstukken over lineaire algebra zijn een aantal wijzigingen van< ondergeschikt belang aangebracht; min of meer overladen paragrafen werden ontlast, de redactie van enkele vraagstukken werd herzien, enkele nieuwe vraagstukken werden toegevoegd. Voor de schrijfwijze van de vergelijkingen van bol en cirkel is tenslotte aan de klassieke de voorkeur gegeven boven die in inwendig-produktvorm.

Het boekje is thans zo ingericht, dat het tevens kan dienen voor de voor-bereiding van de P2_{-exa mens aan de Technische Hogeschool. Hiertoezij n} vraagstukken opgenomen over lineaire vectortransformaties in R_n,alsmede klassificatie- en andere vraagstukken over kwadratische oppervlakken. In verband met deze wijzigingen zijn de paragrafen over de bol en over om-wentelings- en regelvlakken naar het laatste hoofdstuk (IX) overgebracht. Het hoofdstuk over hogeregraadskrommen is vervallen.

In verband met zijn benoeming tot hoogleraar aan de Technische Hoge-school te Eindhoven heeft dr. J. Seidel zich als samensteller teruggetrokken. Wij danken hem hartelijk voor de prettige samenwerking,welke wij bij de samenstelling bij de vorige drukken hebben ondervonden.

Voor de bestudering van de voor deze vraagstukken benodigde leerstof verwijzen wij naar de zo juist in dezelfde serie verschenen handleiding a-S

5

van dr. J.Bijl en W.J. H. Salet: Analytische Meetkunde.

Zoals steeds houden wij ons aanbevolen voor kritische opmerkingen. ~d; de en te let . n-:k.

Delft, september 1957. De samenstellers:

G. W. M.Kallen berg D. Kijne

B.W.Steggerda R. J. Wille. BIJ DE VIERDE DRUK

rs.

Deze druk is op enkele correcties na identiek aan de vorige.

De samenstellers. je

er BIJ DE VIJFDE DRUK

Ig

ig In deze druk heeft in de eerste plaats de rangschikking van de vraagstukken st een belangrijke wijziging ondergaan, mede naar aanleiding van de grotere

uniformiteit t.a.v.de leerstof in de analytische meetkunde voor het eersteen n tweede studiejaar aan de T.H.

n Dientengevolge hebben de hoofdstukken I-VII alleen betrekking opRzen e R3 (leerstof eerste studiejaar); de hoofdstukken VIII en IX hebben be-e trekking op Rn, terwijl hoofdstuk X moeilijkere opgaven over opper-.r vlakken in R₃bevat (leerstof tweede studiejaar).

Verder zijn bij verschillende onderdelen nieuwe vraagstukken opgenomen en is gestreefd naar uitbreiding van verscheidenheid.

Aan Hoofdstuk III is één en aan Hoofdstuk IX, § 7 zijn vier vraagstuk(ken) toegevoegd.Overigens is deze druk, op verschillende correcties na, gelijk aan de voorgaande.

De samenstellers. De samenstellers.

Delft, september 1964 BIJ DE ZESDE DRUK Delft, september 1962.

f n e a

6 BIJ DE ACHTSTE DRUK

Bij deze druk is de indeling gewijzigd. De eerste tien hoofdstukken, die samen het eerste deel vormen,_{bevatten alleen vraagstukken die betrekking} hebben op Rl en R₃•Het tweede deel_{,bestaande uit de hoofdstukken XI} t/m XIII,_{heeft betrekking op vraagstukken over R, (n~4), moeilijkere} vraagstukken over R_{3 en vraagstukken over complexe} vectortransfor-maties.

Gezien de toenemende belangstelling voor lineaire transformaties is het aantal hierop betrekking hebbende vraagstukken sterk uitgebreid. Verder zijn vraagstukken die niet meer in de belangstelling staan,vervangen door andere.

In verband met zijn vertrek naar Zuid-Afrika heeft Dr.R.1. Wille zich als samensteller teruggetrokken. Vanaf deze plaats danken wij hem hartelijk voor de samenwerking, ondervonden bij het tot stand komen van de vorige drukken.

1. 2. 3. Delft,september 1968

BIJ DE NEGENDE DRUK

De samenstellers: G. W. M. Kallenberg D. Kijne B.W.Steggerda. 4. 5. Aan de hoofdstukken II (§4), _{IV (§2), V (§§5 en 6),XII (§§1 en 3) en XIII} zijn enige vraagstukken toegevoegd.

Overigens is deze druk, op enkele correcties na, gelijk aan de voorgaande.

Delft, september 1971 _{De samenstellers.}

6.

EERSTE DEEL

7. De punten A(2, 5), B(5, I) en C( - 2, 2) zijn de hoekpunten van LABe. 1°. Tussen de punten A en B ligt een punt P zo, dat A P :PB~'4 : 1.

Bereken de coördinaten van P. 6. Gegeven A( -2,4), B(2, 1) en C(4,6).

1°. A, B en C zijn de hoekpunten van een parallellogram ABCD. Bereken de coördinaten van D.

2°. A, Ben C zijn de hoekpunten van een trapezium ABCD waarbij CD evenwijdig is aan BA en gelijk aan de helft van BA. Bereken de coör-dinaten van 0 en van hel snijpunt der diagonalen.

HOOFDSTUK I

VECTOREN IN R2EN R3

Gegeven is de vectorf!.Construeer de vectoren 2 a,- 3!!,0f!. Gegeven zij n twee vectorenf!en

h.

Construeer~= 3f!:-2

h.

§ 1. Vectoren.

Op de zijde AB van driehoek OAB ligt een punt P tussen A en B, zo, dat AP: PB= À:u.Druk de vector OP met behulp van de getallen Àen Jluit in de vectoren OA en OB.

4. 1°. 2is het zwaartepunt van driehoek OAB. Druk de vector02 uit in de vectoren OA en OB.

2°. 2 is het zwaartepunt van driehoek ABe. Druk de vector02uit in de vectoren OA, OB en Oe.

5. Gegeven A( 1,2), B(3, - 2) en C(6, I).

Bereken de coördinaten van de hoekpunten van de driehoek, die ontstaat door driehoek ABC

1°. t.o.v, 0 met 3 te vermenigvuldigen, 2°. t.o.v. 0 met -2 te vermenigvuldigen,

3°. t.o.v, P( -I, - 3) met

-t

respectievelijk - 3 te vermenigvuldigen. e. II rg die mg XI ;:re or-let Ier -or 1. als ij k 2. de 3.

I. 1 8

20. Op het verlengde van AB ligt een punt Q zo, dat AQ: QB= -4:I. Bereken de coördinaten van Q.

30. Bereken de coördinaten van het zwaartepunt Z van6.ABe.

8. In parallellogram OABC is M het midden van Be. De rechte OM snijdt de diagonaal AC in S. Bewijs dat CS : SA = 1 : 2.

9. Men vermenigvuldigt de punten (2,3,1) en (6,5, -3) ten opzichte van 0(0,0,0)respectievelijk met 2,- 1 en - 2. Bereken de coördinaten van de produktpunten.

10. Gegeven zijn de punten A(2,3, 1), B(6,5, - 3) en C(1,2,2).

1o. Op het verlengde van AB ligt een punt 0, zodanig dat AD = 3 AB. Bereken de coördinaten van D.

20. Op het verlengde van BA ligt een punt E, zodanig dat BE = 3 BA. Bereken de coördinaten van E.

30. Bereken de coördinaten van een punt F, zodanig gelegen,dat CF even-wijdig is aan en gelijkgericht is met AB en CF = 3 AB.

11. Men vermenigvuldigt een driehoek met hoekpunten (1,0 ,2), (-2,3,1) en (0,1 ,0) ten opzichte van het punt (-1,2, - 2) met 3.

Bereken de coördinaten van de hoekpunten van de produktfiguur. 12. Gegeven zijn de punten A( -2,4,0), B(4, - 2, 3), C(I,- 5,3) en 0(1,3,2).

10. Bereken de coördinaten van het zwaartepunt van 6.ABe.

20. Bereken de coördinaten van het zwaartepunt E van viervlak ABCD. 13. De punten A = (0,1,2),B = (3,5,- 4),C = (0, I, I) zijn hoekpunten van een

trapezium ABCD,waarbij AB evenwijdig is aan DC en AB = 2 CD. Be-reken de coördinaten van

10. het hoekpunt 0,

20. het snijpunt van de diagonalen AC en BD,

30. het snijpunt van de verlengden der zijden AD en Be.

14.

(

~~~~)

is een parallellepipedum. P is het snijpunt van AF en EB. Druk de vector OP uit in OA, OC en 00.

15

2

2

9 15. Bewijs, dathet punt A= (3,4)ligt op de rechte

x= (1,5)+)"(2,-1).

. 1.1

16. Bepaal de vergelijkingvan de rechte

x= (2, 1)+)" (1, 3).

Bepaal decoördinaten va n de snijpunten van deze rechte met de coördi-naatasse n.

Doe evenzo voor de rechte

x

=

(2,I)

+

,u

(0,1).

17. Geef een parametervoorstellingvan de rechte,die als vergelijking heeft x+3 y-2=0.

Doedit eveneensvoor de rechte 3 y-:2=0.

18. Bepaaleen vectorvoorstelling en de vergelijking van de verbindingsrechte van depunten (2,3)en (4,1).

19. Bepaalhet snij punt van de rechten

x= (2, 1)+ À(I,3)enx= (O, -3)+

,u(I,1).

20. Idem bij de rechten

x= (1,2)+À (- 6,9)en 3 x+2 y-ll =0. 21. Bewijs datdevolgende rechten door een punt gaan:

X=(0,2)+}.(-1,1) ; x=(3,

I)

+,u(

-

5,3) ; 2 x+y=O.

22. Bepaal door het punt (2,3)de rechten I,m en n respectievelijk evenwijdig met

1°. de rechte x= (2,0)+)" (1,2), 2°. derechte 3x- 2 y+5=0,

3°. de verbindingsrechte van de punten (2,1)en (- 1,2).

23. Geef een parametervoorstelling van de rechte,die gaat door het eindpunt van!!=(2,1 ,1)en evenwijdig is aan

h

= (1, - 1,0).Bepaal de snijpunten van dezerechte met de drie coördinaatvlakken.

27. Gevraagd het vlak door

A=(1,2,I),B=( - 1, 1,4) en C=(5,-2,I).

32. Gevraagd wordt de vergelijking van het vlak, waarvan een parametervoor-stelling luidt:

-30. Bepaal het punt C op het verlengde van AB zo, dat AC=2AB, wanneer A=(1,4, -3) en B=(3, -1,2).

5

6. 10

l. I

35. Bepaal in parametervorm de snijlijn van de vlakken x-z=I en 2 x-y+3 z=5.

36. Bepaal de parametervoorstelling van het vlak door de rechte I en evenwijdig met de rechte m.

I: x=(1,2,3)+}"(4,5,6); m: x=(7,8,9)+/1(7,5,3). 34. Geef een parametervoorstelling van de vlakken:

x-2 y+3 z=4, x+3 z=O, x=4.

X= (0,1,2) + }"(I,- 1,0)+ /1(0,I, I). Dezelfde vraag voor het vlak:

x=(O,1,2)+ cx(I,2,0)+fJ( - 1, 1,0). 29. Bepaal het midden van het lijnstuk AB, wanneer

A=(3, -5,4)en B=(6,-3,-I). 28. Bewijs,dat de volgende drie punten op een rechte liggen:

A=(6, I,- 3), B=(O,-2,3), C=(IO,3,- 7).

31. Bewijs, dat de volgende vier punten een parallellogram vormen: A = (3,3,3),B=(4, 1, I,),C= (1,2,- I), en D=(6,2, 5).

33. Bepaal het snijpunt van de rechte I en het vlak V.

l:x=(1,2,-I)+}.(2,1,0), V:2x-y+3z=6.

25. Geef een parametervoorstelling van het vlak, dat gaat door het punt A=(1,2,I) en evenwijdig is aan de rechten

X= ( - 6,2,0) + À(I, 1,1)enX= (5,1,3) +/1(6,2,1). 26. Gevraagdhet vlak door de oorsprong0 en de rechte

4. Gegeven is een driehoek ABC. Op AC ligt een puntPen op BC ligt het punt Q zo, dat PQ evenwijdig is aan AB.

Bepaal de verzameling van het snijpunt van AQ en BP. 5. Gegeven het punt A( 1, 1,2) en de lijn m voorgesteld door

K=(O,O,I)+À(I,O,O).

Bepaal de vectorvoorstelling van de lijn door A, die m en de Y-as snijdt. 2. Bepaal de vergelijkingen van de rechten,die gaan door het snijpunt van

4x - 3 y + 4=0 en 3x - 3 y + 8 = 0, en de verbindingslijn van de punten A(6,4) en B( -4,-I)snijden in een punt, welks afstanden tot A en B zich respectievelijk verhouden als 2: 3 (2 gevallen).

1.2 11

§2. Lijnenwaaiers en verzamelingen van punten.

I. Gegeven zijn de rechten I: 3 x - 8y - 25 = 0, m: 4 x

+

5Y- 11 = 0 en n: 3

x-

3 y +7=O. Ien m snijden elkaar in S.

Gevraagd wordt de vergelijking van de rechte door:

1°. Sen(9,-1), 4°. S, evenwijdig aan de X-as, 2°. S en (3, - 2), 5°. S,evenwijdig aan n. 3°. Sen (4,-I),

6. De rechte door P=(ct.,{J,2),evenwijdig aan de lijn K=À(2,-1,4), snijdt het XOY-vlak in Q, hetXOZ-vlak inR.

]0. Druk de coördinaten van het midden M van het lijnstuk QR uit in ct.en {J.

2°. Aan welke betrekking moeten ct. en {J voldoen, als P de lijn z = 2, x + y - z = 0 doorloopt?

3°. Bepaal in dit geval de vectorvergelijking van de verzameling van M. 3. Gegeven is punt P(ct., {J). De rechte doorP,evenwijdig aan de lijn x + y=0,

snijdt de X-as in het punt Q. De rechte door P, evenwijdig aan de lijn x - y = 0, snijdt de Y-as in het puntR.

10. Druk de coördinaten van het midden M van lijnstuk QR uit inct.en {J. 2°. Aan welke betrekking moeten ct. en {J voldoen, als P de rechte

2 x+y-6=0 doorloopt?

I. 2,3 12

7. Gegeven de punten A=(2, -I,S), B=(- 3,2,1), en C=(- 2, 2,3),).

Bepaal deverzameling van het zwaartepunt van drieh oek ABC,alsCde

rechteK= (- 2,2,0) + ).'(0,0,I) doorl oopt.

8. Gegevenzijn de lijnen a,b,c :

a: K= (1,0,0)+À(0,2, 1), b: K= (O,1,0) +j1(1,0,I), c: K= (I,-1,0)+v(2,1 , 2).

De lijn I snijdt a en b en isevenwijdigmetc.

Bepaal de parametervoorstelling van I en de coördinaten vandesnijpunten

van I metaen b.

9. Gegeven zijn in R3de recht enI:K=(2,0, - 4)+ ).(2,- 2,4)en

m: K=(0,2 ,6)+j1(- 6,2,8). Bepaal een vectorvoorstellin g voor de v

er-zamelingvan de middensvan de verbindingsrechtenderpunten van Ien m. Leid hieruit de vergelijking in x,y, z van deze verzamelingaf. Onderzoek of de rechte n:K= (4,0 ,- 3)+(;((5, - 2,- 5) een punt van de verza meling bevat.

10. In R3 zijn Pen Q twee gegeven punten,R doorloopt een rechte

I.Bewijs

dat het zwaartepunt van driehoek PQR eveneenseenrechte doorloopt. 11. a,

12

ençzijn gegeven vectoren in R3. Men verbindt de eindpunten van de

vectoren À

a

en ç+).

12

.

Bewijs dat, bij vera nde rlijke waa rde va n I"~ het

midden van het verbindingsstuk op een vaste rechte ligt.

12. 1°. Bepaal de vergelijking van het vlak door het punt (1,2 ,3) en door de snijlijn sva n devla kken

2x-3y+4z-5=Oen3x-y = ~

2°. Bepaal het vlak doors,evenwijdig met derechte

K=(1, 2,3)+À (2, 1, 0). 3°. Bepaal de projecterendevla kken va n s.

§ 3. Gemengde opgaven.

1. Gegeven zijn P(2,1, - 1) en de rechte I:K= (2,2,3)+),(I,- 1,2). Bepaal de vergelijking van het vlak door P enI.

en het vlak

~=(5, - 1,1) + rx(2, 1,0) +f3(I,- 1, 1).

1.3

7. Bepaal het snijpunt van derech te

~=(-4, 7,2)+),(-3,4, 1)

6. Gegeven zijn het vlak V:

~=(1,4,2)+)

,(1,

0,-

I)+ p( I, I,I),

het vla k

W: 2x-4 y-3 z-7=0, en de lijn I:~=( 1,2,1)+r(l , - 1,3).

Bepaal de vergelijking van het vlak UdoorI,evenwijdigaan de snijlij nvan VenW.

4. Gegeven zijn de vlakken V: x-y-z=O, W: x+y-'3 z+2=0, en de lijnen I: ~= (1,0,0)+ À(I,2, 1), m: ~=(1, - 1,1 ) +p(l, - 2,1).

10. Bepaal de vectorvoorstelling van de lijn n, die evenwijd igismet VenW en delijnenIenmsnijdt.

2°. Bepaal de vergelijking van het vlakdoornevenwijdig met W. 3. Gegeven:de rechteI,bepaald als snijlijnvan de vlakken:

{

4 x+2 y-z=O

-x+ y+z=O

en de rechte m:~= (7,3,2) +À(3,2, 0).

1°. Bewijs,datIenm elkaarsnijde nen berekenhet snij puntS.

2°. Bepaal in het vlak doorIen m een rechte n,die doorSgaaten eve n-wijdig loopt aan het vlak x + 2 y - 3 z + 3 = O.

2. Bepaalhet snijpunt van de rechten I en m:

10. I { x- y+3 z= 6 {X+3 y-3 z=-4 : 3 x- 2 y + 7 z = 14, m: x + y + z = 4. 2°. I:~= (2,- 5,- 4)+),(1,2,5), m:~= ( - 1,1,5) +p(I , - 1, - 1). 3°. I

_:

~=(1 3

,

,

-

4)

+/

1

,

(3

,

- ,

32)

,

m:{ x -2 y-23z=4 1 x+y+ z= - . 13

5. Een lijn p gaat door A = (0, 3,5) enis evenwijd igaan de vecto r~=(- 1,1, 2). Eenlijnqgaat door B = (3, 3,7) en C = (4,2,8).

10. Bepaal de vectorvergelijkingvan delijnxdoo r0,diepenqsnij dt. 2°. Bepaal de coördinaten van het snijpunt Pvan xmetpen van het s

nij-punt Q van x met q.

3°. Bepaal de vectorvergelijking en de coördina te nvergelij king van het vlak door het midden van OQ,evenw ijdigaanpenq.

9. I:x=(2, 1,0)+ },(1,2,-1); U: x- 2 y+z=4.

Gevraagd wordt de scheve projectie van de rechte Iop het vlak U,als de projecterende lijnen evenwijdig zijn met de rechteX=Il(3,- 1,3).

8. Gegevenzijn het vlak V: X=a(1,0,0) +P(1,1,I) en de rechte I: X=(1,0,0) +

)

.(1,

-

1,1).

10. Bepaal de vergelijking van het vlak V.

2°. Bepaal de rechte m, die door het punt P(O,O,1) gaat,evenwijdigis aan V,en 1 snijdt.

14 1.3

10. Gegeven zijn de vier rechten

x=(O)"O); x= ( I, O, /l) ;

x=(p, 1,1); x=(2 - 0', 2,o}

Bepaal de rechte,die deze rechten alle vier snijdt. Bepaal ook de coördi-naten van de vier snijpunten.

11. Gegeven zijn de rechten

I:2x - 3y= 10,5x

+

7z= 10en m: x+3 y=6, 10 x+z=7.

1°. Bepaal de projecterende vlakken van de rechte n, die de Z-as en m snijdt en evenwijdig is aan1.

2°. Het vlak z=p snijdt de Z-as in P en Iin Q. Bepaal de vergelijkingen van de verzameling van het midden van PQ,bij veranderlijke waarde van p.

12. De rechte I gaat door de punten (5,7,- 2) en (11,5,0);de rechte m gaat door het punt (- 3,3,6)en heeft de richtingsgetallen [ - 3,2,4]. De rechte n is de snijlijn van de vlakken: x-2 y+z=O en 2 x-z+ I =0.Een vlak V,met vergelijking7=;"snijdtI.Inen n respectievelijk in de plinten L.M en N.

Bepaal de vergelij kingen van de verzameling van het zwaartepunt van 6.LMN bij veranderlijke }"

13. De rechte I gaat door de punten (5,7,-2) en (ll,5,0). De rechte m gaat door het punt ( - 3, 3, 6) en heeft de richtingsgetallen [- 3,2,4]. De rechte n heeft de richtingsgetallen [2,7, - 5] en snijdt I in A, m in B en het XOY-vlakin C.

Bepaal de coördinaten van het punt 0 op n,zodanig dat A het midden is van CO.

15 1.3

14. InR3zijn gegeven de lijnen:

I: K=(0,2,3)+}.(1,2,0) en m:X=(2,0, - 6)+jl(I,O,-1).

1°. Men verbindt een willekeurig punt P van I met een willekeurig punt

Q

van m en neemt op de lijn door Pen

Q

het punt S zo, dat

PS:SQ=1:2.

Bepaal de vergelijking van de verzameling van S als P en Qde lijnen I en m doorlopen.

2°. Ga na, dat 0 tot de verzameling behoort. Waar liggen P en Q als S in 0 valt?

15. Bewijs dat de middens van de zijden van een scheve vierhoek de hoek-punten zijn van een parallellogram.

16. Bewijs dat de verbindingslijnen van de middens van paren overstaande ribben van een viervlak door één punt gaan.

HOOFDSTUK II

METRIEK

§ 1. De afstand van twee punten en de grootte van de hoek tussen twee rechten.

1. Bereken de afstand tussende punten:

1°. (0,0) en (6,-8); 2°. (3,-5) en(11 , -1) ; 3°. (2,1,3) en (-1 ,2,4); 4°. (1, -2,0)en(3,1 ,4).

2. Gegeven A( - 2,4) en B(2,1).

A enBzijn dehoekpunten van een ruitABEF,waarvan de zijden BE en AF evenwijdig zijn met de X-as.Bereken de coördinatenvanEenF (2 gevallen).

3. Bepaal de vergelijking van de verzameling van de punten die een afstand 5 hebben tot (- 2, 3).

4. Bepaal de vergelijking van de verzameling van de punten die gelijke af-stand hebben tot de punten (3. - 2) en (- 1,6).

5. Gegevenzijn de punten A(a, a) en B(3a,4a).

1°. Bepaal de vergelijking van de verzameling van de punten P,zodanig gelegen,dat: PA2

_ PB2 = 7a2.

2°. Bepaalde vergelijking van de verzameling van de punten P, zodanig, dat PA:PB

=

1: 2.

3° . Welke meetkundige figurenworden door de onder 1°.en2°.gevond en vergelijkingen voorgesteld?Licht Uw antwoord toe.

6. Bepaalde vergelijking van de verzameling van de punten die gelijke àf-standen hebben tot het punt F(ip,O) en de rechte door A( - ip,O) even-wijd ig aan de Y-as.

7. 1°. Bepaal de vergelijking van de bol met M(I,2,-2) als middelpunt en eenstraalgelijkaan 3.

17 11. 1 2°. Bewijs, dat deze bol door de oorsprong gaat.

3°. Bereken de coördinaten van de andere punten, waarin de coördinaat-assen deze bol snijden.

8. Bepaal de vergelijking van de verzameling van de punten die gelijke afstand hebben tot de punten (-2,3,4) en (6,-1,0).

9. JU. Bepaal de vergelijking van de verzameling van de punten P, zodanig gelegen, dat AP : 0 P = 2, waarbij A de coördinaten (3,0, - 6) heeft en

o

de oorsprong is.

2°. Wat voor een soort oppervlak is deze verzameling?

10. Bepaal de vergelijking van de verzameling van de punten die gelijke afstand hebben tot het punt (1-P,O,O) en het vlak door het punt (-1P,0,0) evenwijdig aan het YOZ-vlak.

11. Gegeven is de vectorvergelijking van de lijn

x=t>+Pg,

waarbij

9.

de lengte 1 heeft.

Toon aan, dat

Ipi

de afstand voorstelt van het eindpunt vanXtot het

eind-punt van

E'

12. Gegeven is de vectorvergelijking van lijn I: x=(2,1,12)

+

À.(2,-3,6).

Gevraagd de afstand van het punt (2,1,12) tot het snijpunt van I met het XOY-vlak.

13. Gegeven zijn de vier punten:

A=(3,-2,1); B=(3,4,4); C=(1,2,3); 0=(6, -2,1).

1°. Bewijs, dat de punten een gelijkbenig trapezium vormen. 2°. Bepaal de vergelijking van het vlak, dat door de vier punten gaat.

14. Bereken de cosinus van de hoek tussen de vectoren:

1°. (1,2,2) en (3,0,4); 2°. (2, -1, -3) en (-4,2,6);

3°. (-7,I)en(4,3); 4°. (1,I,O)en(O,-I,J);

5°. (2,-I)en(I,2); 6°. (1,-1,2)en(I,3,1).

15. De hoekpunten van driehoek ABC zijn A=(1,2), B=(3,3),C=(4,0).

18. Gegeven zijn de vectorenç ,u eny, waarbij

lçl

=

I

yl

=

I

yl

=1;(~,y.)=(~ y) =p;

p~0,(!!,

Y

)

=0 encp is de hoek die~maakt met het vlak door y. eny.

10. Druk cos cp uit in p. 2°. Bewijs dat p~

tJ

2

.

19. Gegeven zijn de vectoren y. eny;

I

IJl

=

lyJ

= 1 en dehoek tu'sseny.enyiscp. Bewijs dat

lu

-

y

l2

=4 sin?

t

tp,

16. Bepaal de scherpe hoek tussen de rechten I en m: I:X=(1,1,2)+À(5,- 3,4)

m: x=(2,

-1,0)+11(5

,4,3).

17. Gegeven zijn de punten A=(l,O,l) ; B=(2,2,3) ; C=(6,4,-1) en

0 =(3,1,-1).

10. Toon aan, dat A,B,C en 0 in één plat vlak liggen.

2°. Bepaal de hoeken van de vierhoek ABCO.

.3°. Bepaal de.oppervlakte van de vierhoek ABCO.

4°. Bepaal de coördinaten van het snijpunt S van AC en BD.

18 11. 1

20. Bepaal alle vectoren,die gelijke hoeken maken met de vectoren a =(2,2, 1) en 12=(4,0,3).

21. Bepaal de vergelijkingen van de verzameling van de pu_nten die even ver verwijderd zijn van de lijnen:

X=À(- 2, 3,6) enx=}.(4, 4, 7).

22. Bepaal de vectoren,die behoren tot het vlak,opgespannen door de vectoren

a=( -2,0,1) en 12=(1,2,0), die gelijke hoeken maken met de vectoren

~=(8,-1,4)en

d=(2

,

-1,2)en waarvan de lengte .)6 is.

23. De halflijn I maakt met de positieve X- en Y-as een hoek van 60°,terwijl de hoek met de positieve Z-as scherp is.De halflijn m maakt met de posi-tieve X-as een hoek van 120°, met de positieve Y-aseen hoek van 60°,

terwijl de hoek met de positieve Z-as stomp is. 10. Bereken de hoek die I en m met elkaar maken.

2°. Bepaal vergelijkingen van de rechte n door (I,1,1), loodrecht op I en m. 24. Gegeven zijn de rechtenI: x+2y=z-l =0 en m: 4 x=17 y,2 z- 5 y=2.

10. Bewijs dat I en m elkaar snijden. 2°. Bereken de hoek tussen I en m.

19

25. Gegeven zijn depunten A(2,4,6), B(3,10,- 2)enC(6, 6,1 0). Bereken de hoeken van .6A BC.

11. 1,2

26. Gegeven : P(1,2,3),I : 2x- y +3 z =7, 2x+y -5z =5,

m: 3 x- 2 y =5,z+ 1=

°

en V: x+ y - z + 7=

°

Gevraagd :

10. decoördinatenvan het snijpuntvan V met de rechte door P evenwijdig aan I,

2°. de vergelij kingenva n de rechte door P loodrecht op Ien m, 3°. de vergelij king van het vlak door Pen m. .

27. Gegeven: 0(0,0,0), A(2,2,1), B(3,4,-12) en C(5,2, - 11). Bepaalde lengte van de projectie van:

1°. OA op de rechte OB; 2°. AC op de rechte Be; 3°. AC op de rechte OB.

28. Gegeven de punten A(2,! ,0) en B(3,1,1) en de rechte I: K=(1 ,2 ,3)+

+

),(2,

i

,

2).

Ber ekende lengteva n de projectieva n AB op I.

§ 2. De vergelijking van een rechteinR2en van een vlakinR3•

1. Gegeven isde vector

a.

=(5,7) .

Bep aalde vergelij king van de lijn door 0 loodrecht op

a.

;

vervolgensvan de lijn door P=( - 3,2)loodrecht op

a.

.

Bepaal alle vectoren,die loodrecht op

a.

staan.

2. Bepaal de vergelijking van de rechte, die gaat door het snijpunt van de rechten 11x - 11Y+36=

°

en 3 x + 4 Y- 22 = 0,en loodrecht staat op de rechtedoor de punten A( - 2,3) en B(6, - 1).

3. Een veranderlijke rechte snijdt de Y-as in het punt P(O,À) en de X-as in het punt Q(5 - 2..1.,0). Het punt R ligt op PQ, tussen P en Q, zodanig, dat RQ=4 PRo

1°. Bepaal de vergelijking van de loodlijn door Rop PQ.

2°. Bewijs,datdeze loodlijnen een waaier vormen alsÀvera nderlij k is. 3°. Bepaal de top van deze waaier.

4. Het positieve deel van de X-as en het in het tweede kwadrant gelegen deel van de rechte a: 4 x + 3 y = 0, vormen de benen van een stompe hoek. Op de benen van deze hoek kiest men de veranderlijke punten A en B. A ligt op a,waarbij OA = 5 },.B ligt op de X-as. OB = 5(1- },).

1°. Bepaal de coördinaten vanA.

2°. Bepaal de vergelijking van deloorlliindoor A op a.

3°. Bepaal de coördinaten van het snijpunt P'van deze loodlijn met de rechte door B evenwijdig met de Y-as.

4°. Bewijs, dat PA + PB constant is.

11.2 20

5. Gegeven zijn de punten A(4,O) en B(-2,6).Men bepaalt de punten C en0 zodanig dat CA loodrecht op OA en DB loodrecht op OB staat, terwijl CA

= OA en0 B = 0 B en C en 0 niet in het eerste kwadrant liggen.

Bewijs, dat BC, AD en de loodlijn uit0 op AB door één punt gaan.

6. Gegeven A(-2, 1), B(4,-3)enl:2x-3y+5=0.

Bereken de tangens van de scherpe hoek die de rechte door A en B met I maakt.

7. Bepaal de scherpe hoek tussen de rechten 3 x - 4Y- 13= 0 en x + 7 y + 4=0.

8. Van een rechthoekige driehoek ABC ligt de hypotenusa AB langs de Y-as. Het hoekpunt C ligt op deXvas.A is een vast punt (0,12).

1''. Bepaal de vergelijking van de verzameling van het zwaartepunt van MBC, indien C de X-as doorloopt.

2°. Schets deze verzameling.

9. Bepaal de verzameling van de punten die zodanig gelegen zijn,dat hun projecties op twee gegeven snijdende lijnen een gegeven afstand hebben.

10. Alle vectoren in R₃die loodrecht staan op de vector (4, -1,3), liggen in een vlak. Bepaal van dit vlak de parametervoorstelling en de vergelijking. 11. Bepaal de parametervoorstelling van de rechte door het punt P = (2, I, - 3)

en loodrecht op het vlak U: 2 x - y + z = 2.

12. Bepaal de vergelijking van het vlak U door het punt P=(1,2, -1) en lood-recht op de lood-rechte

A

- - - - -- -

-21 1. { 2 X-Y+ z= l

. x-y+2z=2.

13. Bepaal de scherpe hoek tussende rechte I en het vlak U:

1:

K

= (1, 2,3)+I

,

(1,0,7)

U: x+y +2z=5.

14. Bepa alde hoek tussende vlakken Uen V.

U: 2x+2 y - z= 5; V: x-z=~

11.2

15. Bepaal de vergelijking van het vlak U door P=(0,3,1) loodrecht op de

verbindingslijn 1van de punten Q=(2,0,3)en R=( -1,6,6). Bereken de coördinaten van het snijpuntSvan1en U.

16. Gevraagd wordt de rechte, die loodrecht staat op het vlak

x+ 2y+ 3z = 6

en die derechten

1:

K

= (O,

1,

1)

+À(2,

1,1)

enm:

K

= (4,0,0)+ p(1, 2, 1)

beidesnijdt.

17. Gegeven zijn de punten P=(4,3,3)en Q=(l,O,O).

1°. Bepaal de vectorvergelijking van de lijn m,die in het vlak met verge-lijking x =3 ligt en PQ loodrecht snijdt.

2°. Bepaal de vectorvergelijking van de in het vlak z = 3 gelegen lijnen n en p,die m onder een hoek van 60°snijden.

18. Vlak U ontstaat door wenteling van vlak V:

K

=À(I, 1, 2)+ p(- 2, 1, - 1)

over eenhoek van 90°om de snijlijn van V met hetXOY-vlak.

Bepaal de vergelijking van U.

19. De rechte 1staat loodrecht op de vectoren a.=(0,1,1) en 12=(1,1,0) en

snijdt bovendien de rechten

m:

K

= (2,1,3)+ À(1, - 1,2)

en n:

K=

(2,

-1,7) +

p(2

,0, -

1)

.

10. Bepa alde parametervoorstellingvan de rechte1.

2°. Bepaaldecoördinaten van de snijpunten vanImet m en n.

20. Ontbind de vector p=(5,2 , - 3) in een vector die loodrecht staat op het

21. Bepaal de projectie van de rechte

I: X= (3, -10,6)+À.(4,-9,7) op het vlak U: x-5 y+3 z= 1.

11.2,3 22

22. Bepaal de vergelijking van het vlak dat 10.evenwijdigisaan desnij lij nva n

de vlakken x+2 y+4=0 en x-y-z-2=0, 20.loodrecht staat op het

vlak x+y +2 z-3=Oen30.gaat door P=(1,2 ,2) .

23. Een vlak V snijdt van deX-, Y- en Z-as respectievelijk de volgende segmen-ten af: - 6,- 2 en 4.

10. Bereken de hoeken,dieV met de coördinaat vlakkenmaakt. 20. Bereken de hoeken, die de coördinaatassen met V maken.

24. A(O, -2,8), B(0,1O, 8), C(4,0,0) en D(2,13,12) zijn de hoekpuntenvan een viervlak.

10. Bereken de standhoeken op de ribben AB en BC.

20. Bepaal de vergelijking van het vlak door A evenwijdig metvla k BCD.

25. Gegeven zijn de vlakken V: 2 x+y+2 z=l, W: 6 x-4y-z =5en

U: x+3y+z+2=0. Gevraagd worden:

1o. de vergelijking van het vla k door de snij lij nsvan V en W en door 0, 20. de vergelijking van het vlak door s,loodrecht op U.

§ 3. De normaalvergelijking.

1. Gegeven de vector

E

=

H

-

,

j

).

Teken de lijn I met vergelijking:

(E,x)=3.

Als het eindpunt A van X= (xo,y o)niet op I ligt,geef dan de betekenisvan

(p,x)-3

en bewijs dit. (Neem A aan de andere kant van I als 0).

2. Gegeven L\A BC, waarvan A(-2,3), B(2,0) en C(1,-3).

10. Bereken de lengte van de hoogtelijn uit C en van de zwaartelijn uit C. 20. Bereken de grootte van de hoeken vanL\ABC.

30. Bereken de oppervlakte van L\ABC.

40. Bepaal de vergelijking van de rechte die de hoogtelijn uit

C

loodrecht middendoor deelt.

50. Bepaal de vergelijking van de rechte, evenwijdig aan AB op een afstand 2, aan de kant van C gelegen.

"

-

- - - -- -- - -

-23 11.3

3. Bepaal de vergelijkingen van de rechten die gaan door het snijpunt van de rechten x + y = 2 en x + 8 y + 2 = 0 en die tot het punt (3, - 4) de afstand 3 hebben.

4. Door het punt A( - 5,0)trekt men een veranderlijke lijn I,die de Y-as in P snijdt. Op de X-askiest men het punt Q, zo, dat xQ +Yp= 3. Door Q trekt men de loodlijn op1.

1°. Toon aan,dat deze loodlijnen door een vast punt S gaan. 2°. Bepaal de coördinaten van S.

3°. Bepaal de vergelijkingen van de rechten door S,die tot 0(0,0) de af-stand 3 hebben.

4°. Liggen de punten 0 en B(- 29,12) aan dezelfde kant of aan verschil-lendekantenvan de onder 3°.bedoelde lijnen?

5. Bewijs, dat P=(2,- 5) en Q = (3,3) aan verschillende kant liggen van de rechte 3 x-5 y+ 3= 0.

6. Bepaal de verzameling van depunten die gelijke afstandenhebben tot het punt F= (2, - 3) en delijn 3 x- 4 Y+2=O.

7. Gegeven zijn de rech ten I: 12 x - 5Y+ 7=0 en m : 3 x + 4Y- 13=O.Bepaal de vergelij king van de verzameling van de punten,waarvoor geldt,dat de afstanden tot I en m zich verhouden als 5: 13.

8. Bepaalde verzameling van de punten met de eigenschap, dat de som van de afstanden tot twee gegeven lijnenconstant is.

9. Bepaal de afstand van de oorsprong 0, resp. P=(I,I,I), respectievelijk Q=(I, -2, - 1) tot hetvlak

2 x-3 y+6z=9.

10. Gegeven is het vlak U: 2x+3y-4z=1 en het punt P=(2,1,1). Onderzoek of

1°. Q=(1,3,2)aan dezelfde kant van U ligt als P. 2°. R=(I, - I,1) aan dezelfde kant van U ligt als P.

11. A(O, - 2, 8), B(0,10, 8), C(4,0,0)en 0(2,13,12)zijn gegeven punten. Bepaal de vergelijking van het vlak evenwijdig aan vlak BCD, op een afstand 2,aan de zijde vanA.

12. A(O, -2,8), B(0,10,8), C(4,0,0) en D(2, 13,12) zijn de hoekpunten van een viervlak.

Bereken de inhoud van dit viervlak.

11.3,4 24

13. Gegeven zijn het vlak

U: 2x-3y+6z+7=0 en de punten P=(3,-6,3) en Q=(I,-6,0).

1°. Toon aan, dat Pen Q aan dezelfde kant van U liggen. 2°. Spiegelt men P t.o.v.U, dan verkrijgt men het punt P*.

Bereken de coördinaten van P*. 3°. Bereken de afstand van Q tot P*.

4°. Bepaal een parametervoorstelling van de lijn QP*.

14. Gegeven zijn het punt Q(I, 1,4), de rechte I: x+z= 1,y= -3 en het vlak V: x + y + 2 z + 1= 0. De rechte I snijdt V in S.

Gevraagd:

1°. Bereken de coördinaten van een punt P op I en van een punt R in V, zodanig, dat PQRS een rechthoekig trapezium is met Pen Q als rechte hoeken.

2°. Toon daarbij aan, dat Pen Q aan dezelfde kant van V liggen. 3°. Bereken de oppervlakte van het trapezium PQRS.

4°. Bereken de inhoud van de pyramide OPQRS.

§ 4. Uitwendige produkten.

I. Gegeven zijn de vectoren !J.=(u1,u2 ,u3 ) en Y=(v1,v2 ,v3 ) . 1°. Wat zijn de kentallen van uxy?

2°. Toon door berekening aan dat !J.xy loodrecht staat op !J..

3°. Toon door berekening aan dat de lengte van het uitwendig produkt gelijk is aan de oppervlakte van het parallellogram beschreven op !J. en y.

4°. Bereken de oppervlakte van driehoek 0 PQ als 0 de oorsprong is, P=(2, 1,1) en Q=(1,2,2).

2. g,

12

en~zijn drie van de nulvector verschillende vectoren in één vlak.De drager van b is verschillend van die van a en die vanç,

Als gegeven is dat ~x

(12

xc)=(~x

12)

x~ bewijs dan dat ~en~ dezelfde drager hebben (bijvoorbeeld door middel van een meetkundige beschou-wing).

ti

-=--

_

_

25

3. V is een vlak evenwijdig met de vectoren !l en Q.

Bewijs dat(0 Pxfb

12)

constant is als het punt Phet vlak V doorloopt. 11.4

4. Gegeven zijn de vectoren

E.

en

g

,

waarbij

(E.'

g)

=0.

Wat stelt de vergelijking

E.

xX=

g

meetkundig voor? Het antwoord toelichten.

5. Gegeven zijn de vectoren fb

12

en ~.

1°. Herleid ((a- b-c)xb,a- b) en verklaar het resultaat meetkundig. 2°.

a

en

12

hebben verschillende dragers,~

i=

0.

en

E

=~x (!lx

12).

Bewijs dat

E

gelegen is in het vlak V dat opgespannen wordtdoora en Q. Hoe ligt~t.o.v. het vlak Vals gegeven is:

E

=o.?

3°.

a

en~hebben verschillende dragers,

12

i=

0.

en

a

x

(12

x~)=

(a

x

12)

x~=

0..

Bewijs: 1°.

12

staat loodrecht op het vlak door

a

en

s.

2° . (fb~)

=

O.

4°. Bewijs dat !lx

12

=

12

x~=~x!l als gegeven is: !l +

12

+~=

0..

Verklaar het resultaat meetkundig.

6. Van twee vectoren !l en

12

is gegeven

(a.a)

+

(12

,12)

= (!l+

12&

+

12)

= 25en

ta

x

121

= 12. 10. Bewijs dat

lal

=3en

1121

=4of andersom.

-2°. Bereken

la

+

12

+!l x

121·

7. De punten A,B en C in R3 zijn respectievelijk de eindpunten van de vec-toren fbQen~=!lxQ.

l". Bewijs dat de vergelijking van het middelloodvlak van AB is: (!l- Q, 2X-!l-

12)

=~O='--,-,--,.,~~=

2°. Bewijs: Oppervlak driehoek ABO=!Jlill 2.1Q]2-(fbQ)2. 3°. Bewijs:Inhoud viervlak OABC=i-lçY

8. Gegeven inR3 :de lijnI :X=!l + ÀQ,

(12

i=

0.);

0 Pis de vector

E

:

Bewijs dat de afstand van PtotIgelijk is aan

I(p-!l)x

b

i

IQ]

9. In R₃zijn gegeven de vectoren fb Q,

E.

en

g.

Het stelsel !l- Q,

E.

en

9.

is lineair onafhankelijk.

10. Bewijs dat de rechten I:X=!l + Àpen m: X=

12

+J.lqelkaar kruisen. 2°. Geef met behulp van in- en uitwendige produkten van de vectoren

11.4,5 26

10. Vanuit de oorsprong 0 tekent men de vectoren ili

b.

en~met eindpunten A, Ben C.

1°. Toon aan dat het vlak V door C evenwijdig met

a

en

b.

voorgesteld wordt door

(ax b,K-~)=O.

2°. Geef een vectorvoorstelling van de rechte I die door het zwaartepunt van driehoek OAB gaat en loodrecht staat op vlak V.

§ 5. De afstand van een punt tot een lijn en de afstand van twee kruisende lijnen in R3 •

1. Gegeven zijn de rechte I: K=(-1,14,-3)+}.(-1,2,-2) en het punt P=( -1,2,3).

10. Bepaal opIhet punt Q zo, dat PQ1-1.

2°. Bepaal de afstand van P tot Ien een parametervoorstelling van de lood-lijn PQ op I.

2. Bepaal de afstand van het punt P = (3, - 1,5) tot de lijn

I: K=(O, -1,2)+À(2,2, 1).

3. Gegeven zijn de punten A(2, - 1,3), B(3,2, - 1) en C( - 5, - 2,1).

10. Bepaal de afstand van C tot AB.

2°. Bepaal de oppervlakte van .6.ABC.

4. Gegeven zijn de punten A=(I, 1,0), B=(0,3, 1) en C=(1,4,2). 10. Bepaal de vergelijking van het vlak ABC.

2°. Bereken de oppervlakte van .6.ABC. 3°. Bereken de inhoud van viervlak OABC. 5. Gegeven zijn delij nenIen m:

I: K=(3,2,5)+}.(0,2,-I)

m: K=(4, -3, -I)+Jl(3, -4, 1).

Bepaal:

10. de afstand tussenIen m,

2°. de vectorvergelijking van de lijn n die de lijnenIen m loodrecht snijdt. 6. Gegeven de lijnen: I:{X-Z=2

y-z=2 {

X- y = O

m'

;.~

27 11.5,6

1°. Onderzoek de onderlinge stand van I en m. 2°. Bepaal de afstand van I en.m.

3°. Bepaal het punt P op de X-as dat een zo klein mogelijke afstand tot I heeft.

7. Gegeven zijn de lijnen I en m met vectorvergelijkingen x.=(0, 1,0)+).(2, 1, 1) en x.=( -1,0,0)+ /1(1,2,1). De lijn n snijdt I en m loodrecht, I in Pen m in Q.

1°. Bepaal de vectorvergelijking van n. 2°. Bepaal de afstand PQ.

3°. Bepaal de vergelijking van het middelloodvlak van PQ.

8. Gegeven zijn de punten A(6,0, -2) en B(I, -4,0) en de rechte I: x-tye-O, 5 x +y+ z = 7. Bepaal de vergelijkingen en bereken de lengte van de kortste verbindingslijn van AB enI.

§ 6. Bissectrices en bissectricevlakken.

1. Gegeven zijn de punten A(2,0), B(- 3,0) en C(0,4). De rechte I door A staat loodrecht op Be. Bepaal de vergelijking van de bissectrice van de stompe hoek die I met de X-as maakt.

2. Gegeven zijn de punten A(O, - 2), B(5,3), C(2, - 3) en 0(1,4). 1°. Bepaal de vergelijkingen van AB en CD.

2°. Bepaal de vergelijking van de bissectrice van die hoek, gevormd door AB en CD, waarbinnen 0(0,0) ligt.

3°. Bewijs, dat de verbindingslijn van de middens van AD en BC gelijke hoeken met AB en CD maakt.

3. De punten A( -10,15), B(15,15) en C(6,3) zijn de hoekpunten van .6.ABC. Bepaal de vergelijking van:

1°. de binnenbissectrice van L C, 2°. de buitenbissectrice van L B.

4. Gegeven zijn de puntenA(4,6), B(-4,0) en C( -1,4).

Gevraagd: .

10. de vergelijkingen van de rechten door C die met AB een hoek van 45° maken,

11.6 28

5. Gegeven zijn de punten A( - 8,4)en B(28,- 11).

1°. Bepaal de coördinaten van het snijpunt van AB met de Y-as.

2°. Bepaal op de Y-as een punt C, zodanig, dat de Y-as de bissectrice is van LACB.

3°. Stel de vergelijkingen op van de andere binnenbissectrices van .6ABC. 6. A en B zijn de eindpunten van de vectoren

.a.

en

12.

C is het snijpunt van de

binnenbissectrices van driehoek OAB. Druk de vector OC uit in

.a.

en

12.

7. Gegeven de punten A(6,2,0), B(4,1,2) en C{5,3,4).

Bepaal:

10. een vectorvoorstelling van de deellijn van L ABC; 2°. de coördinaten van het snijpunt van deze deellijn met AC. 8. Gegeven de lijnen

I: X=A(2,-1,2)en

m:

x=(9,

-9,O)+jl( -1,2,2). 10. Bewijs dat I en m in één vlak liggen.

2°. Bereken de hoek tussen I en m.

3°. Bepaal de bissectrice van één der hoeken tussen I en m.

9. Bepaal de bissectrice van de scherpe hoek gevormd door de X-as en de lijn I: X= A( -1,2,2).

10. Bepaal de vergelijking van het bissectricevlak van de scherpe hoek tussen het XOY-vlak en vlak V: x-2 y+2 z=24.

11. Bepaal de vergelijkingen van de vlakken door0,die gelijke hoeken maken met de vlakken 3 x+2 y- 2 z=4 en 2 x- 3 y+2 z= 5, en die deze vlakken volgens evenwijdige lijnensnijden.

12. Gegeven zijn de vlakken V: 2 x+y-2 z=O en W: 3 x-2 y+6 z+4=0 en het punt P(l, -1,2).

Gevraagd worden de vergelijkingen van de volgende exemplaren uit de door V en W bepaalde vlakkenwaaier :

10. het vlak evenwijdig aan de rechte x + 2Y= Y- z = 0, 2°. de vlakken op een afstand 3 van P,

3°. de vlakken, die de hoeken tussen V en W middendoor delen.

29

11.6,7 1o. Bereke nde afstand van 0 tot hetvlak door I en m.

20. Bepa al devergelijk ing van de verzameling van de punten die gelijke

afstanden hebb en tot I en m. 14. Gegeven zijn de rechten

I: x=(I, O, O)+A.(-1,2 ,-2),

m: x= (2, I, O) + JL(2,- 1,2), n: X= (I, 3,-2)+v(- 4,8,9).

10. Bewijs, dat Ien m elkaar snijden. Bepaal het snijpunt Sen de

ver-gelijki ngvan hetvla kVdoorIen m.

20. Bepaalde vergelijkingva n het vlakW door n,loodrecht opV. 30. Toon aan dat Ween bissectriceloodvlakis vanIen m.

15. 10. Gevraagd de parametervoorstelling van elk der beide rechten,die door

het punt A=(I ,6 , - 6) gaan, gelijke hoeken maken met de vlakken

U: x+2 y+2 z=I en V: 2 x-y + 2 z=2 en die tevens evenwijdig zijn met hetvlak W: x-y - z = O.

20. Op elk dezer rechten het punt te bepalen,dat even ver van U en V·

verwijderd is.

§ 7. Gemengde opgaven.

1. Gegeven zijn de punten 0(0,0,0) en A( - 2,2,- 1) en het vlak

V: x+2 y-2 z+4=0. Gevra agd:

10. devergelij king van het vlak door OA,loodrecht opV,

20. devergelijking van de vlakken door OA,dieVsnijden onder een hoek

van 450.

2. Gegeven zijn het punt A(1,- 2,3), de rechte I: x+y+3 z + 2=0,

2x-y+3z+7 = 0 en het vlak V: x+y = 2 z+2.

Gevraagd :

10. de vergelijking van het vlak door A loodrecht opI, 20. de afsta ndva n A totI,

30. de vergelijkingen van de rechte door A,dieIsnijdt en evenwijdig aan

V is.

3. Gegevenzijn de punten 0(0,0 ,0)en A(- 2,2,- 1)en het vlak

II. 7 30

10. de coördinaten van het snijpunt van OA en V, 2°. de hoek, waaronder OA vlak V snijdt, 3°. de lengte van de projectie van OA op V. 4. 10. Bewijs, dat de rechten I: 2 x = - 2Y= z en m:

2 x - 3 y = 5, 2 x - 3 y - z = 3 in één vlak V liggen;

2°. Bepaal de richtingsgetallen van de rechte in V,door het snijpunt van I en m, evenwijdig aan vlak x + 2 y - 3 z + 3 = 0, getrokken.

5. Gegeven zijn de punten A(O, -1,4), B(0,6,4) en C(2,0 ,0).

Gevraagd:

1°. Op de X-as een punt 0 te bepalen zo, dat AC loodrecht staat op BD en te bewijzen, dat dan ook BC loodrecht staat op AD.

2°. Bereken de afstand van de lijnen AC en BD. 3°. Bereken de inhoud van ABCD.

6. Bepaal de vergelijkingen van de in het XOY-vlak gelegen rechten door0, die de rechte 4 x + y = 5, y + 4 z = 1 op een afstand 1 kruisen.

7~ 1°. Bepaal de rechte die de rechte 1:K= ( - 2,1, - 2)+ 2(1, - 2,1) en de snijlijn m van de twee vlakken x - 4 z + 9 = 0

y+5 z-18=0 loodrecht snijdt.

2°. Bepaal de verzameling van de middens der lijnstukken, die een punt van I en met een punt van m verbinden.

8. 10. Bepaal de parametervoorstelling van de lijn m door het punt P = (3,4,2), die de lijn I met vergelijking K=(1,4,1)+),(I,-I,I) loodrecht snijdt. 2°. Bepaal de parametervoorstelling van het vlak door m, dat evenwijdig

is aan de lijn met vergelijkingK= (- 2, 1, 10)+ },(2,3, - 1).

3°. Bepaal de vergelijking van dat vlak.

9. Gegeven de vlakken x+y+z=O; x-z=O en x-2 y+z=O. 10. Bewijs, dat deze vlakken twee aan twee loodrecht op elkaar staan. 2°. Bepaal de verzameling der punten,waarvoor de som der kwadraten

van de afstanden tot die drie vlakken gelijk is aan 9..

10. Van een vierkant OABC is0 de oorsprong, is A=(12, -4,3), en ligt C in het YOZ-vlak.

31 11. 7 2°. Bepaal de coördinaten vanB.

3°.AlsA derechte K= )"(12, - 4,3)doorloopt,bepaal dan de verzamelingen van een B.

11. Gegeven zijn de vlakken

V: 2 x- 2 y + z = 0 enW: x - 2 = 0 en depunten A(- 2,2 ,4)en B(2,0,2).

IU

• Bepaal de verzam eling van de punten P met gelijke afstanden tot V en W en tevensmet gelijke afstanden tot A enB.

2°. Bepaal op die verzamelingéénpunt P zodanig dat de projectie van 0P op een nonnaaI van V de lengte 2 heeft.

12. Gegevenzijn het punt P: (1, 2,-3) en de rechte m: x+z+2 =0, x+2y-2 =0.

De vlakkenIXen

fi

gaandoor m.De afstanden van P totIXen

fi

zijn gelijk

aan1.

1°. Bepaal de vergelijkingvan IXen

fi

.

2°. Bewijs,dat de vlakkenIXen

fi

loodrecht op elkaar staan. 3°. Bereken de afstand van P tot m.

13. Gegeven is het vla k U: 3x +2y -6z =14. Gevraagd wordt een vector-voo rstellingvan de lijnI,die evenwijd ig ismet U,op een afstand 3va n U is gelegen, en waarvan de projectieop U langs de snijlijn van U met het vlak XOY valt. De lijn I moet met de oorsprong van het coördinatenstelselaan dezelfdekant van het vlak U gelegen zijn.

14. Laat W het vlak zijn (opgespannen) door de vectoren

w

[

=(9, 1,-4) en W2=(O, 1,2).Verder is~= (4, 9,- 1).

Bepaal de projectie

E

van~op Wen bepaaldaarna een orthonormaal stel-selvecto renY[,Y2,Y3 zo, datY[ langs

E

valt enY210 0d recht op Wstaat. 15. Geefeen orthogonaal genormeerde basis Y[,Y2,Y3 aan voor de

driedimen-siona le ruimte zo,dat Y[ en Y2 liggen in de ruimte,opgespannen door de vecto ren (l,1,4) en (0,1,2), terwijl Yl bovendien gelegen is in de ruimte, opgespa n ne n door (2,1,0)en (1,3 ,2).

16. Gegeve n : de lijn I:K=~+ÀY,

vlak V: (11K)=P waarbij11delengte 1 heeft. Berekende hoek tussenI en V.

11.7 32

17. Gegeven zijn de rechten I: K=(0,3,a)+},(0,1,0)

m: K=(b,O,O)+fl(a,O,b) p: K=(b,O,O)+v(b,O,-a). a en b zijn niet beide 0.

1°. Bepaal een vectorvoorstelling van de rechte dieIen m loodrecht snijdt. 2°. Bepaal een vectorvoorstelling van de rechten door 0 die loodrecht

staan op p en gelijke hoeken maken metIen m.

18. Gegeven driehoek ABe. De oorsprong is het hoogtepunt van deze drie-hoek.De hoekpunten A, B en C zijn respectievelijk de eindpunten van de

vectoren OA=ä,OB=b.en OC=~

10. Geef een vectorvoorstelling van de middelloodlijn van respectievelijk

AB, BC en CA.

2°. Bepaal de vector OM als M het snijpunt is van de middelloodlijn van AB en die van Be.

3°. Bewijs dat de middelloodlijn van AC ook door M gaat.

4°. Bewijs dat0,Zen M op één rechte lijn liggen en bereken de verhouding OZ: OM als Z het zwaartepunt van 6ABC is.

19. Gegeven:

Vlak V met vergelijking (I1K) - p =

°

waarbij

n

de lengte 1 heeft. Punt A bepaald door de vectorli.

Gevraagd:

1°. Een vectorvoorstelling van de loodlijnIuit A op V neergelaten. 2°. Het snijpunt B van I met V.

3°. De afstand van A tot B.

20. Gegeven zijn de vectoren ä, een

n; Inl

= 1.

P is het eindpunt van p, A is het eindpunt vanli.

1°. Geef met behulp-van inwendige produkten de vergelijking van het vlak V door A dat

n

tot normaalvector heeft.

2°. Bepaal de vector

g

waarvan het eindpunt

Q

het spiegelpunt is van P ten opzichte van V.

21. Vanuit de oorsprong 0 tekent men de vectoren ä, b.en~met eindpunten A, Ben e. Het vlak door B loodrecht op a noemen we V. Het punt0 is het spiegelbeeld van C bij spiegeling ten opzichte van vlak V.

Druk de vector00 uit in de vectorena,b.enç ,

33 11. 7

Aen B zijn respectievelijk de'eind punten van

a

en

12;

Ipl

=

1. 10. Toon aan dat B niet ligt op de lijn m door A evenwijdig met p.

2°. Vanuit B laat men de loodlijn I neer op m; I snijdt m in C, hëi eindpunt van vector

,Ç.

Toon aan:

,Ç=i!.+(b.-fLE)E.

3°. Een punt 0, eindpunt van vector

g,

ligt zodanig dat DC loodrecht staat op I en op m en DC even lang is als Be.

Toon aan: Q.

=,DZ

(a-

12)

x

e.

23. In R₃zijn gegeven: Vlak V met vergelijking

(!1K)=O

(lol

= I). Punt P niet in V met plaatsvector

e

.

Punt Q wel in V met plaatsvector

9.'

op afstand 1van O. 1°. Geef een vectorvoorstelling van de loodlijn muit P ol? V, bepaal de plaatsvector! van de loodrechte projectie van P op V en bepaal de afstand d van P tot V.

2°. Geef de vergelijking van het vlak W door m loodrecht op de lijn OQ en bewijs dat het kwadraat van de afstand van m tot OQ gelijk is aan

(E

'

E) - (E

'

n.f -

(E

'

9.)2

en aan

(E'

nx

9.)2.

HOOFDSTUK III

LINEAIRE AFHANKELIJKHEID IN R2 EN R3

1. a is lino afhank, van

b:

en~. Bewijs, dat !b

II

en ~een lino afhank.stelsel vormen.

2. !b

II

en~vormen een lino afb.stelsel. Volgt hier noodzakelijk uit, dat a lino afh. is van

II

en~?

3. 10. Bewijs,dat!b

II

en~dan en slechts dan een linoonafh. stelsel vormen,

als a + b.,

II

en~een linoonafh, stelsel vormen.

2°. Bewijs, data,

II

en~dan en slechts dan een lin.afb.stelsel vormen,als a + ll,

II

en~een lino afb. stelsel vormen.

4. Bewijs,dat de vectoren!b

II

en~een lineair afhankelijk stelsel vormen, als a+b., ll+~en~+adit doen.

5. Voor welke waarden van p vormen de vectoren (p, 1,3),(4,p,6) en (6,1 ,4) een lineair onafhankelijk stelsel?

6. aen

II

vormen een lin. afb.stelsel ;~is willekeurig.Bewijs, dat!b

II

en~een lino afb. stelsel vormen.

7. Gegeveni a,

II

en~vormen een lineair onafhankelijk stelsel. Ga na of de volgende stelsels vectoren een lineair onafhankelijk dan wel een lineair afhankelijk stelsel vormen:

1. a+ll+~ a+2 llen~-ll,

2. a+2b.,~+aen~.

8. a is linoafh. van

b.

De vector~is willekeurig. 1°. Is~lin. afb.van a en

h?

2°. Is a lino afh. van

II

en~?

3°. Is lllin. afh.van a en~?

35 lIl. 9. a. en12 vormen een lin.onafh,stelsel;!!, 12en~vormen een lin.afh.stelsel.

Bewijs,dat~lin. afb. is vana.en

b

.

10. a.islin.afh,van 12en ç ; 12islin.afh,van~en

d

.

Bewijs,dat !!,~en deen lin.afh.stelselvor men.

I I. Gegeven is:

1°. a.islin.afh.van12 en~ 2°. 12islin.onafh..vana.en~ 3°. a.;6Q.

Bewijs,dat~lin. afh.is van

a

.

.

12. Bewijs,dat a,12 en~dan enslechts dan een linoonafh.stelselvormen, als

~l

+

À~ 12

+

J1~en~een linoonafh,stelsel vormen

p

.

enJ1willekeurig).

13. Bewijs,dat de vectoren (a"aZ,a 3)' (0,bz,b3),(0,0,C3)

dan enslech tsdan een lino onafh.stelsel vormen, als albZC3;6

°

is.

14. Bewijs:

1°. (2,

I

)

islinoafh.van (1,0)en (0,1), 2°. (7,5) is1in.afh,van(I,1)en (3, 2), 3°. (0,0)islin,afh. van (I,I)en (3,2), 4°. (2,2) islin.afh.van (0,0)en(I,I), 5°. (1,2, 3) islin.afh. van(1,J..1)en (0,2,4).

15. Bewijs,dat elk der volgende stelsels 'vectoren eenIin. onafh.stelselis. 1°. (1,0,0), (0,1,0)(0,0,1),

2°. (3,- 2),(0,5),

3°. (3,0,0) ,(0,6,0),(5,2,7).

16. Bewijs, dat elk der volgende stelsels vectoren een lin. onafh. stelsel is.

1°. (I, I),(2,3),

2°. (1,I,1), (1,2, 1), (6,2,1),

3°. (5,4 ,3),(2,3, - 2),

(1

,

I, 1). 17. Bewijs :

1°. ~=(- 4, 5, 10) is lino afh.van a.=(2,3,4)en 12=(5,2,I), 2°. ~=(8, 7) islin.afh.vana=(2,- I) en 12=(1,5),

111. 36 40

• f!= (2, 1,3), 12=(-2,1, 2) en ~= (- 6, - 1, - 4) vormen een lin. afb. stelsel.

18. Bewijs met behulp van vectoren,dat in een driehoek twee zwaartelijnen elkaar verdelen in stukken,die zich verhouden als 2 : 1.

19. Gegeveneen driehoekABC. Op de zijde AB ligt het punt F,zodanigdat AF

=

3FB en op de verlengden van dezijdenAC en CB liggen de punten

Een0,zodanig dat CE

=

2AC en BD

=

CR

Bewijs,dat de rechten AD,BE en CF door één punt S gaan en bereken

de verhouding AS:SD.

20. Gegeveneen driehoekABC. Op de zijdeAC ligt het puntE, zoda nig dat AE

=

3EC;0 is het midden van BC. Als de rechte DEhet verlengdevan de zijde AB in F snijdt,bereken dan de verhouding AB: BF.

21. Bewijs, dat de rechte K= (0,7, 6)+À(- I,I, I) evenwijdig is aan het vlak

K=(6,1,2)+ a(I ,2 ,3) +{3(5,1,3). 22. Bewijs,dat het vlak

K=(0, 2, 5)+

À

(I,

5,- 2) +

,u(I

,

7, 3) door de oorsprong gaat.

23. Onderzoek,of de volgende viertallen punten in een vlak liggen:

'la. (3,2 ,18),(I,-2,4),(5,0 ,2)en (2,-3,- 4); 20

• (-4,-2,3),(1,3 , - 2), (0, 3,-2) en (5,-2,0).

24., Gegeven zijn de vectorenf!,

ho

E

en~in R₃en de reële getallen m en n met

de volgende betrekking:

E-

~

=

ma

+

nb,

De rechten l , en 1₂zijn gegeven door de vectorvergelijkingen :

- 11 : K= E+ af!; 12:K= ~+{3h. la. Bewijs dat l_I en 1₂ tenminste één punt.gemeen hebben. 20

• Onder welke voorwaarde voor f! en 12 hebben beide lijnen hoogstens één punt gemeen?

25. In een driedimensionale ruimte trekt men uit de oorsprong 0 vier v ec-toren f!,

ho

~en d, waarvan de uiteinden (in de aangegeven volgorde) de hoekpunten vormen van een parallellogram,gelegen in een vlak dat niet door 0 gaat.

37

Bewijs,dat de uiteinden vande vectoren

Àf!,1112.v~en

wd

(ÀI1VW#-0) in een plat vlak liggen, indien:

1 1 1 1

-

+ - =- +- .

À v 11 W

HOOFDSTUK IV

DETERMINANTEN, MATRICES EN VERGELIJKINGEN

§ 1. Determinanten.

I. Bereken de waarde van de volgende determinanten:

I

~

~

\

, \ - 2 -5\ 3°. \

-~

- 3\ \0. 2°. 7 \ , \ , 2 \ 3 7 9 4 7 - 3 8 4°. 4 - ]

°

5°. 6 5 4 6°. 9 \\ 5 - 7 2 ] , 2 5 3 , 8 8 3 . 2. Los x op uit: x 2 3 2 x-2 4 1°. 2 x 3 =0, 2°. \ x-I 2 =0, 3 2 x 2

°

x+3 x 2 2 3°. 4 x 5 =x2+7x. 3 5 x 3. Bewijs,dat a+b c+d ] b+c a a

\0. b+c d+a \ =0, 2°. b c+a b =4 abc,

c+a b+d ] c c a+b a 2 a bc a 3°. b 2 b = - (a- b)(b-c)(c-a)= ca b c2 c ab c yz zx xy 4°. x2 y2 z-

,

= (x - y)(y- z)(x - z)(xy + yz + zx). x y z

39 IV. 1.2 4. Bepaa l de oppervlakte van het parallellogram, opgespannen door de

vectoren : 1°. (1,0)en(0, I); 2°. (2,1) en(3, - 2). 3. Gegeven : A(2,3), B(3, - 2),

C{

1,2). Bep aalde oppervlakte va n: 1°. het parallellogram ABCO ; 2°. de driehoek ABC.

6. Bepaalde inhoud van het viervlak,opgespannen door de vectoren 1°. a=(1,4 ,5), h=(I, - I,I),~=(3,1,5).

2°. f!=(2, 3,- I), h=(I, - 1,2),~=(- 2, 10, -11).

7. Bepaal de inhoud van het viervlak, gevormd door de punten 1°. A=(I, 1,0),B=(0,0,2), C=(2,0, 2), 0 =(-2,-I,1).

2°. A=(4,15,2), B=(-4,34, - 4), C=(2,15,4),0=(-2,17, - 2).

3°. A=(I , - 3, 2), B=( -12,2,3),C=(2,-2,1),0 =(4,6, - 5). 8. Gegeve n zijn de punten A=(al ,aZ)' B=(b l,bz),C=(cl,cz),

Istelt de oppervlaktevoorvan driehoek OAB;Jstelt de oppervlakte voor van driehoek ABC. Bewijs, dat

al a z 1 1° l= t bi b_z 1 O O I

9. Bewijsmet behulp van een determinant,dat de punten

A=(3,- 4),,B=(2, - 2) en C=(-4,10) op een rechte lijn liggen.

10. Geefin determinantvorm de vergelijking van de rechte door de punten A=(7,- 3) en B=(5,2).

IV.2 2. Gegeven: 3. Bereken: I'

n

D(:

-

2

1 40 4. Bereken: I'

(J

(4 2

l)

en (1 2

-liG}

2°. het inwendig produkt van (1,2, -3) en (4,2,3).

5. Bereken,op twee manieren, het inwendig produkt van: 1°. (1,3,2}en(-1,2,4);

2°. (2,1,3)en

(1,

-1,0).

6. Voor welke waarden van J.heeft de matrix

een inverse?

(

2

J.

3)

A= 1 -3 1

Î.2 7 3

7. A is een (3,3)-matrix. Bewijs: Det (IA)

=

},3 Det A. 8. Bewijs voor Det Af=0 : (AT)-I

=

(A- Ir

9. A, B en C zijn reguliere matrices. Bewijs: (ABC)-I

=

C- IB- IA-I. 10. A is een (n,n)-matrix.

Bewijs dat AAT en ATA symmetrische matrices zijn. 11. Gegeven: A en B zijn symmetrische matrices.

Bewijs dat AB dan en slechts dan symmetrisch is indien AB

=

BA. 12. Gegeven: A is een reguliere ma trix en AB= AC.

41 IV.3 § 3. Vergelijkingen. I. Los op: ° {2 X-3 Y+5Z= 7 1 . 5Y- z=-9 x+ y+ z= 0, { X+ y-5z= 26 3°. x+2y+ z= -4 x+3y+6 z=- 29, { x- y+3 z= 6 2°. 3x - 2 Y+7z

=

14 x+3y-3 z= -4. { 3x

+

5 Y

+

2z= 0 4°. 2x+3y- z=-15 x+3y+3z = 11. 2. Los op : { 5x+ 4y-2z=0 . 13 x+14 y - 4 z = 0 - 7 x- 5 y+3 z=O 11 x + 13Y- 3 z =

o.

Geef vanelk der volgende stelselsvan vergelijki nge nde oplossingeninv ee-tor vorm. 6. 3 1 6 9 =-6.

o

x+2y 5.

r

x+4 y-2 z= 4

1

2x3x ++6z=-4z=-S12 -2 x-S y+4z= -S. , xt+ x2 - 2 x3=0 2xt+ x2 - 3 x3=0 4xt - 2 x2 - 2 x3=0 6 xt- 'x2- 5 x3=0 7 xl-3x2 - 4x3= 1. 4.

7. Gegeven is,dat er een vectorK=(xt, X2, X3) bestaat,waar van de kentallen voldoen aan { 3 Xt- 5 X2+ 7x3=11 4xt- 6 x2+ Sx3=12 5x1 - S x 2+11x3=a 6xt - 9_{X 2}

+

12_{X 3}

=

IS.

Bepaal a. Bepaal alle vectoren & waarva n de ken tallen voldoe n aan dit stelsel.

IV.3 42

{

3 X- y-z =O

m :_{. 4 x-6y+z =2.}

8. Voor welke waarden van aen bzij n de volgende vergelijkingen onoplos-baar?Voor welkeoplosbaar en wat isdan de oplossing?

{

x + y+ z=1

x+ay+ z=a

x+ y+bz=a.

9. Bepaal t zo dat de drie vlakken

2x- y- z=o

4x+ y-llz=1

x-3 y+ 7z=t

tenminste één punt gemeen hebben. Onderzoek de doorsnede va n deze drie vlakken.

10. Gegeven de drie vlakken 2 x+y-z=O, 2 x-y+z=O, x+y+Àz=O. Bepaal },zo, dat de vlakken een rechte I gemeen hebben.

11. Bewijs,dat de rechte I in het vlak V ligt.

I' {2 x + y- 3 z = 4 V: 4 x+7 Y- 19 z= 16. . 3 x-y+2z=2,

12. Bewijs,dat de rechten I en m in één vlak liggen. Bepaal de vergelijking van dat vlak.

I' {x+ y-z+I=O

. x-3y+z =1.

13. Gegeven is dat het volgende stelsel vergelijkingen in x,y en z meer dan één oplossing heeft:

x+ y- z=2

2 x+8ay+ z=8+5 a x+ 3 y+bz=5

Bereken a en b en geef alle oplossingen van het stelsel aan.

14. Los op voor de verschillende waarden van a. (I -a)x +(a+ I)y+ 2 z=2 (a+3)x+(a+l)y+4 z=2 (a+ I)x- ay = 2. IS. Ga na voor welke waarde(n) van },de volgende vlakken

~

----43 IV.3

U : 2x

+

y

+

3z

= -

4 ),

V: x+().+I)y+ z =Ü

W: - 2x + ().-4)z=3

respectievelijk één gemeenschappelijk punt, een gemeenschappelijke rechte of drie evenwijdige snijlijnen hebben.

16. Gegeven zijn de vlakken:

U: 2x

+

y

+

3uz= 3).fl

V: x+2y- 2z=ü W: x- y+ z=3fl

Voor welke waarden vanÀenfl

1°. gaan U, V en W door één punt? Bepaal de coördinaten van dat punt. 2°. gaan U, V en W door een zelfde rechte?

3°. hebben U, V en W geen punt gemeen? 17. Gegeven zijn de vlakken:

U: ).x+ y+ z=1 V: x+),y+ z=), W: x+ y+Àz=À2

1°. Voor welke waarde(n) vanÀvallen deze 3 vlakken samen? 2°. Voor welke waarde(n) van Àlopen de snijlijnen evenwijdig? 3°. Bepaal in de overige gevallen het snijpunt S van deze 3 vlakken.

HOOFDSTUK V

LINEAIRE VECTORTRANSFORMATIES

§ 1. Het bepalen van de matrix.

1. 10. De transformatie A isgegev~ndoor AK= K+

c.:

~is een gegeven vector

ongelijk aan de nulvector. Bewijs dat A niet lineair is.

20. A is de afbeelding van R₃die Kafbeeldt op K- 2(a.,K)il; il is een gegeven

vector. Bewijs dat A lineair is.

2. Door het punt P(O,p,q) van het YOZ-vlak trekt men de rechte I evenwijdig

met de vector il=(2,-1,1). Het snijpunt van I en het XOY-vlak is R. Aan

iedere vector OP van het YOZ-vlak wordt de bijbehorende vector OR in het XOY-vlak toegevoegd. Bewijs dat deze transformatie lineair is.

3. In R3 zijn twee vectoren u en y gegeven.

Men beschouwt de transformatie

AK=

(y,

K)!!+

(!J.,

K)Y.

Toon aan dat A lineair is.

4. Bewijs dat de volgende transformatie A lineair is: AK=(a.,K)b.+2 K;

il en b.zijn gegeven vectoren.

5. a., b. en ~zijn gegeven vectoren. Bewijs dat de transformatie A,welke is

gegeven door AK=

(a,

K)il +

(b.,

K)b -

(ç,

K)Ç, lineair is.

" Gegeven is de lineaire vectorformatie

K

= Tx, waarbij T(l,0)=(2,1)

T(O,1)=( -1,3).

la. Gevraagd:T(2,0), T(I,I), T(I, -2).

20. Teken de vectoren en hun beeldvectoren voor het geval de vectoren

45 V.l

~egeven

is de lineaire vectortransformatie x' = Tx., waarbij

T(I,0,0)=(2,1,3) T(O, 1,0)=( -1,2,1). 10. Gevraagd:T(2, 0,0), T(2, - 3,0).

2°. Is T(2, - 3, 1) door de gegevens bepaald?

Y

Gegeven is de lineaire vectortransformatie

X=

Tx,waarbij T(I,0,0)=(2,1,3)

T(O, 1,0)=( -1,2,1) T(O,O, 1)=( -1,0,2).

1°. Druk de kentallen van x=(x',y',z')uit in de kentallen van x=(x,y,z). 2°. Bepaal de matrix, die bij de lineaire vectortransformatie behoort. 3°. Waar vindt men de kentallen van de beeldvectoren T(l,O,O), T(O, 1,0),

T(O,O,1) in de matrix?

~

egeven

is de lineaire vectortransformatie x'= Tx, waarbij (1,0,0)overgaat in (1,1,0) (0,1 ,0)overgaat in (2,1, -1) (0,0,1) overgaat in (1,2,3). Gevraagd: 10. de matrix van T, 2°. de transformatievergelijkingen, 3°. de kentallen van T(2, -1,0),

4°. het beeld van de lijn x=(2, -1,0)+2(1,2,3),

5°. de vector,die op (5,10,13) wordt afgebeeld._

.fi

Gegeven is de lineaire vectortransformatie x'=Tx,waarbij (1,0,0) -> (1,2,-2) (0,1,0) -> (2,1,2) (0,0,1) -> (2,-2,-1). Gevraagd: 1°. de matrix van T,

ze

'

.

de vergelijkingen,

3°. aan te tonen dat elke vector na transformatie 3 maal zo lang wordt. 11. Gegeven is de lineaire vectortransformatie, waarbij

(1,1,0) -> (1,2,0) (2, -1, 1)-> (6,4,5)

(1,0,1) -> (3,4,3) Bepaal de matrix.

v.

i 12. Evenzo voor: (1,1,1) -+ (0,3,3) 1°. (1,2,3) -+ (-1,7 ,2) (2,0,1) -+ (5,4 ,5), 46 (1,0 ,1) -+ (5, - 1, 2) 2°. (1,1,0) -+ (5,3,4) (1,2,3)-+ (1, -5, - 2). 13. In R₂ zijn de volgende transformaties gegeven:

1°. spiegelingt.o.v.de x-as, 2°. projectie op de lijn y = x,

3°. draaiing om 0 over een hoek

i

in positievezin.

Bewijs dat deze transformaties lineair zijn en bepaal de bijbehorende matrices.

14. Gegeven is de lineaire vectortransformatiex'= TKmet de matrix

(2

1

-

3)

4 .

Bepaal de kentallen van de beeld vectoren T(I,O), T(O,1),T(2,3). 15. Gegeven is de lineaire vectortransformatie,waarbij

(1,-2) -+ (2,3) (-1,3) -+ (1,- 4).

10. Toon aan,dat (1, - 2), ( - 1,3)een lin. onafh. stelsel vormen. 2°. Waarin gaat (1, -2)+( -1,3) =(0,

I)

over?

3°. Waarin gaat (1, -2)+2(0,

I)

=(1, 0) over? 4°. Bepaal de matrix.

5°. Bepaal de vergelijkingen.

16.

Va~

een lineaire vectortransfJmatie is gegeven, dat (1,1,0) -+ (1,0,2) (2,0,1) -+ (3,1,2)

(I,- 1, 1)-+ (2,1 ,0) .

Waarom is de transformatie door deze gegevens niet bepaald? .

17. T is een transformatie van R₃ in zichzelf. Voor alle waarden van a,b en c geldt voor de vector (a, b, c) dat

T(a, b, c)=(2c,b-c,a).

Bewijs dat T lineair is en bepaal de bijbehorende matrix.

18. In R₂ is gegeven de rechte I: 3x-4y=0. De vectoren van R2 worden

gespiegeld ten opzichte van I.Bepaal de matrix behorende bij deze spiege-ling.

· - - - "

-

- -

- - - .- - _ . ~'--

-"'-47 V.l

19. Ten opzichte van de orthonormale basis wordt een lineaire transformatie

van R₃in zichzelf beschreven door de matrix

(

a a a)

T

=

a 0 1 a I O .

1°. Xiseen vecto r die loodrecht staat op de vector (0,1, - 1). Toon aan dat de transformatie die vectorXovervoert in een vector die loodrecht staat op de vector (0,I,- 1).

2°. Bepaal het beeld van het vlak y + z = O.

20. Gegeven zijn de punten A=(I,O,- 1), B=(O, I, 1) en 0=(0,0,0).

De vectoren in R₃worden gespiegeld ten opzichte van vlak AOB. Stel de matrix op behorende bij deze transformatie.

21. In R2zijn gegeven de transformaties Den P. D is een draaiing om 0 over~

in positieve zin,P is een projectie op de x-as. 2

1°. Geef de matrices voor D en P.

2°. Laat door matrixvermenigvuldiging zien, dat het inwendig produkt (DPy, PDy)=O voor elke vectory= (x, y).

3° Geef hiervan een meetkundige interpretatie.

22. Gegeven is de lino vectortransformatie x'= Tx, bepaald door: x'= x-3 y

y'=2x+ y.

1°. Bepaal de matrix T. )0. 0

- ruk de kentallen x resp. y in de kentallen x'en y'uit. 3°. Wat is de inverse matrix T-1_?

4° Verifieer, dat T- 1T=TT-1= E. 23. Gegeven:

-

~ =~)

o

- I . Bepaal T-1_: 1°. zoals in no. 22. 20. 1

V.l,2

48

-

-24. Gegeven is de lineaire vectortra nsformatiex'=Tx,waarbij

T

=

(-~ -~ ~)

4 1 1 .

De kentallen van x=(x,y,z) voldoen aan de betrekking x+ 2 y-z=1. 1°. Aan welke betrekkingvoldoen de kent allen van hetbeeld

X

= (x', y',z').

2°. Wat is het beeld van de lijnx=(I, O, 1)+).(1,2, - I)? 25. Gegeven is de lineairevectortransformatie met de matrix

T

=(~ =

_{1 -2}

~

-

~)

_{0 .}

Wat is het beeld van het vlak x- y+z=O?

26: Gegeven is delineaire vectortransformatie met de matrix

T

-

(_~

n.

Wat is het beeldvan de vectorenX=(x,y),waarbij 7x2-12 xy-2 y2=I?

§ 2. Nulruimte (kern) en beeldruimte. 1. Gegeven:

h

(~

-

:

D

1°. HeeftTeen inverse? (BerekenITI). 2°. Bepaal de beeldruimte.

3°. Bepaal de nul ruimte.

2. Gegeven is de lineaire vectortransformatie,waarbij (1,0,0) -> (1,2,4)

(0,1,0) -> (-1 ,3,- 5) (0,0,1) -> (5,0,22). Bepaal:

10. een linoonafh.basis voor de beeldruimte, 2°. de dimensie van de beeldruimte,

--

-_

. .

-"

.

49 V.2

;

4°. de dimensie van de nulruimte,

5°. de betrekking, die bestaat tussen de dimensies van de nulruimte en de beeldruimte.

3. Gegeven is de lineaire vectortransformatie met matrix

T =

G

~).

Bepaal:

1°. de dimensie en een lino onafh. basis voor de nulruimte, 2°. de dimensie en een lin. onafh, basis voor de beeldruimte, 3°. de vectoren, die in (4,8) overgaan.

4. Door de lineaire vectortransformatie met matrix

T~(:

:

~)

wordt R₃afgebeeld op een deelruimte. Geef van deze deelruimte (de beeld-ruimte)

1°. een Iin. onafh. basis, 2°. de dimensie, 30 de vergelijking

,waaraan de kentallen van de vectoren moeten voldoen,

4° de vectoren die op (6,2,0) worden afgebeeld. 5. Door de lineaire transformatie met matrix

T~H

-

~

wordt R₃afgebeeld op een vlak V. 1°. Bepaal de vergelijking van V. ')_0. B_{epaal de nulruimte.}

30 B

ewijs,dat de vectoren van de nul ruimte loodrecht op V staan. 6. Van een lineaire transformatie T eist men dat de vectoren x=(5,-1,0)+

«(I, I, - 2), ex willekeurig, tot beeld de vector (2,2,4)hebben en dat T(-2,0 ,2)=(6,2,0) is.

1°. Toon aan dat T bestaat en bepaal de bijbehorende matrix. ')0

B

- . epaaI de nulruimte (kern).

3°..Bepaal een lineair onafhankelijke basis van de beeldruimte. 4°. Bepaal het beeld van het vlak x+y-z=O.