Oblicz długość odcinka

widziała ją pod kątem stopni do kierunku drogi. A z punktu pod kątem . Przejeżdżając przez punkt minęła elektrownię. Długość odcinka jest równa 20km.

 Oblicz miary kątów i .

 Oblicz długość odcinka .

 Oblicz odległość elektrowni od drogi.

 Ponieważ , mamy

Ponadto patrząc na trójkąt mamy

Odpowiedź:

 Jak zauważyliśmy wyżej, trójkąt jest równoramienny, czyli . Ponadto

Odpowiedź: 10km

 Sposób I Liczymy

Sposób II Skoro wiemy, że trójkąt jest równoramienny i , możemy długość wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa.

Odpowiedź: 17,5km

2)Paweł zamówił szybę w kształcie rombu o przekątnych 40 cm i 30 cm.

Zaproponował szklarzowi, by wyciął romb z prostokątnego kawałka szyby, tak jak na rysunku. Jakie wymiary ma ten prostokątny kawałek szyby?

Przyjmijmy oznaczenia z rysunku.

Ponieważ przekątne rombu dzielą się na połowy i są prostopadłe, trójkąt jest prostokątny i jego przyprostokątne mają długości 20 i 15. Możemy więc wyliczyć długość boku rombu (korzystamy z twierdzenia Pitagorasa)

Długości boków prostokąta obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I Zauważmy, że odcinek jest wysokością rombu, więc możemy wyliczyć jego długość ze wzoru na pole rombu. Pole to możemy obliczyć na dwa sposoby

Mamy zatem równanie

Długość odcinka możemy wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie . Liczymy

Sposób II Zauważmy, że trójkąty i są prostokątne i mają kąt wspólny . Są więc podobne i mamy

4)Huta szkła produkuje kulki szklane o promieniu 5cm. Do wysyłki będą one pakowane po 4 sztuki w sztywne pudełka w kształcie walca, którego wysokość wynosi 10cm, a średnica 24cm. Czy dobrze została dobrana średnica tych pudełek?

Zacznijmy od rysunku – ustalimy jakie najmniejsze wymiary może mieć pudełko.

Jeżeli połączymy ze sobą środki kulek, to widać, że średnica pudełka jest równa

Zatem pudełko o średnicy 24cm będzie za małe.

Odpowiedź: Nie, pudełko jest za małe.

5) Z kawałka materiału w kształcie czworokąta wypukłego o obwodzie 8m wycięto koło o polu styczne do wszystkich boków czworokąta. Oblicz pole figury powstałej z tego czworokąta po wycięciu koła, z dokładnością do .

Zacznijmy od szkicowego rysunku.

W rozwiązaniu skorzystamy ze wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, gdzie jest promieniem okręgu wpisanego, a jest połową obwodu tego czworokąta. Wzór ten łatwo

wyprowadzić dzieląc czworokąt na cztery trójkąty, łącząc wierzchołki tego czworokąta ze środkiem okręgu wpisanego.

Z podanego pola koła wpisanego wiemy, że jego promień jest równy . Zatem pole czworokąta jest równe

Po wycięciu koła pozostanie nam pole

6)Oblicz szerokość prostokątnej ramy obrazu wiedząc, że obwód zewnętrzny ramy jest o 28 cm większy od obwodu wewnętrznego tej ramy.

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy szerokość ramy przez i dorysujemy odcinki w narożnikach tak jak na rysunku, to widać, że obwód zewnętrzny jest większy od obwodu wewnętrznego o (pogrubione odcinki). Zatem

Odpowiedź: 3,5 cm 7)Kule o jednakowych promieniach ułożono w rzędach tworząc w ten sposób kwadrat. Gdyby usunięto 669 kul, to z pozostałych można by było zbudować trójkąt równoboczny (w

pierwszym rzędzie jedna kula, w drugim dwie, w trzecim trzy itd.) Bok trójkąta

równobocznego zawierałby wówczas o 8 kul więcej niż bok kwadratu. Z ilu kul zbudowany był kwadrat?

Powiedzmy, że na początku kwadrat był zbudowany z kul. Zatem trójkąt równoboczny zbudowano z kul. Wiemy ponadto, że na boku trójkąta było kul, czyli dokładnie tyle było rzędów, w których ułożono kuli.

Możemy zatem policzyć liczbę kul w trójkącie ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Zatem początkowo było kul.

Odpowiedź: 2209 kul.

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Z rysunku widzimy, że

Odpowiedź: 75 m

9)Czy okrągła serweta o średnicy 1,4m przykryje kwadratowy stół o boku 1m?

Pytanie brzmi: czy w koło o średnicy 1,4m da się wpisać kwadrat o boku 1m? Największy kwadrat jaki da się wpisać w takie koło to kwadrat wpisany.

Jeżeli oznaczymy bok takiego kwadratu przez , to ponieważ jego przekątna jest średnicą koła mamy

Zatem serweta taka nie przykryje stołu o boku 1m.

Odpowiedź: Nie, nie przykryje.

10)Czterej koledzy wybrali się na wakacje nad jezioro odległe o 80 km od miejsca zamieszkania. Po przyjeździe najmłodszy z nich zobaczył, że na mapie w skali 1:400 000 powierzchnia jeziora wynosi . Oblicz rzeczywistą powierzchnię tego jeziora.

Sposób I Mamy

Sposób II Pole powierzchni zmienia się jak kwadrat skali, zatem powierzchnia jeziora jest równa

11) Wazon ma kształt sześcianu, w którym wydrążony jest walec w taki sposób, że styczne górnej podstawy walca, równoległe do odpowiednich krawędzi górnej podstawy sześcianu, są odległe o 1 cm od tych krawędzi; natomiast odległość między dolną podstawą walca, a dolną podstawą sześcianu (grubość dna) jest równa 2 cm.

Wiedząc, że stosunek objętości walca do objętości sześcianu jest

równy , oblicz

 A)długość krawędzi sześcianu;

 B)objętość walca;

 C)do jakiej wysokości wazonu (licząc od dolnej podstawy walca) będzie sięgać poziom wody, jeśli wlejemy do wazonu 125 ml wody. Wynik podaj z dokładnością do 1 mm.

Oznaczmy promień podstawy walca przez . W takim razie długość krawędzi sześcianu jest równa

a wysokość walca Mamy więc równanie.

Zatem krawędź sześcianu ma długość Odpowiedź: 8 cm

 Liczymy Odpowiedź:

 Jeżeli oznaczmy szukaną wysokość przez to mamy równanie ( )

Odpowiedź: 4,42 cm

działki. Wynik zaokrąglij do 1 m.

Obliczamy długość boku

Zatem

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość odcinka

Wyznaczamy długość odcinka

Obliczamy pole powierzchni

Wykonujemy obliczenia pomocnicze

Zatem pole działki wynosi

13)Ile metrów kwadratowych wykładziny trzeba kupić na wyłożenie podłogi w prostokątnym holu, w którym jest troje drzwi o szerokości 0,8m każde, długość holu jest 3 razy większa od szerokości, a łączna długość listwy podłogowej jest równa 21,6m?

Z podanych informacji wynika, że obwód holu wynosi

Jeżeli oznaczymy szerokość holu przez to jego długość jest równa i mamy równanie

Zatem hol ma wymiary 3m na 9m i potrzeba wykładziny.

Odpowiedź:

14)Z okrągłego obrusa o średnicy 2m mama Jadzi chce zrobić kwadratowy obrus o boku 140cm. Czy to będzie możliwe, jeśli kwadratowy obrus ma być z jednego kawałka materiału?

Pytanie brzmi: czy z koła o promieniu 100cm można wyciąć kwadrat o boku 140cm?

Największy kwadrat jaki można wyciąć z takiego koła to kwadrat wpisany w to koło.

Jeżeli oznaczymy bok takiego kwadratu przez , to ponieważ jego przekątna jest średnicą okręgu, mamy

Zatem da się wyciąć kwadrat o boku 140cm.

Odpowiedź: Tak, da się.

15)Drzewo wysokości 10 m rzuca cień długości m. Oblicz miarę kąta, pod jakim promienie słoneczne padają do poziomu.

Wykonujemy rysunek pomocniczy

Kąt wyznaczamy z funkcji trygonometrycznej

Odpowiedź: