Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 16, 16.04.2012

Podstawy Fizyki IV

Optyka z elementami fizyki współczesnej

wykład 16, 16.04.2012

wykład: Czesław Radzewicz

pokazy: Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

ćwiczenia: Ernest Grodner

Wykład 15 - przypomnienie

 przepis Huygensa na propagację fali

 całka Fresnela-Kirchoffa, całka Sommerfelda

 zasada Babineta

 dyfrakcja Fraunhofera

- przybliżenie dalekiego pola

- szczelina, szczelina pod kątem, dwie szczeliny, otwór kołowy

 przybliżenie Fresnela

 strefy Fresnela

 płytka strefowa Fresnela

Przybliżenie Fraunhofera

Krok 2:

zakładamy: 𝛿 ≅ ^{𝑥−𝑥0 2}_2𝑧^{+ 𝑦−𝑦0 2} ≪ 𝜆 i zastępujemy wycinek okręgu przez odcinek prostej 𝑟₀₁ ≅ 𝑟₀ −𝑘^𝑦_𝑧 ⇒ 𝐸 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧 = _𝑖𝜆𝑧¹ 𝐸(𝑥, 𝑦, 0)𝑒^{𝑖𝑘 𝑟0−𝑘𝑦𝑧} 𝑑𝑥𝑑𝑦

Formuła Sommerfelda 𝐸 𝑥

, 𝑦

, 𝑧 = 1

𝑖𝜆 𝐸(𝑥, 𝑦, 0) 𝑧 𝑟

𝑒

𝑟

𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐴

Krok 1: wymieniamy 𝑟₀₁ na 𝑧 w mianowniku wyrażenia podcałkowego 𝐸 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧 = 1

𝑖𝜆𝑧 𝐸(𝑥, 𝑦, 0)𝑒^{𝑖𝑘𝑟01}𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐴

𝑦

𝑧 𝐴

𝑥, 𝑦, 0 𝛿

𝑥₀, 𝑦₀, 0

Θ 𝑟₀

𝑟₀₁

Przybliżenie Fresnela

Krok 2: rozwijamy pierwiastek kwadr. w szer. Taylora:

𝑟

= 𝑥 − 𝑥

+ 𝑦 − 𝑦

+ 𝑧

= 𝑧 1 +

≅ 𝑧 +

−

Jeśli

𝑥 − 𝑥

+ 𝑦 − 𝑦

≪ 8𝑧

𝜆 to

𝑟

≅ 𝑧 +

i

𝐸 𝑥

, 𝑦

, 𝑧 ≅ 1

𝑖𝜆𝑧 𝑒

𝐸(𝑥, 𝑦, 0)𝑒

𝐴

𝑑𝑥𝑑𝑦 faza odpowiada sferze a nie powierzchni otworu

Krok 1: 𝐸 𝑥

, 𝑦

, 𝑧 =

𝐸(𝑥, 𝑦, 0)𝑒

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑦

𝑧 𝐴

𝑥, 𝑦, 0 𝛿

𝑟₀₁

Formuła Sommerfelda 𝐸 𝑥

, 𝑦

, 𝑧 = 1

𝑖𝜆 𝐸(𝑥, 𝑦, 0) 𝑧 𝑟

𝑒

𝑟

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐴

metoda obrazkowa – otw. kołowy, 1

Numeracja: strefa o indeksie 𝑚 jest ograniczona okręgami o indeksach 2𝑚 + 1 oraz 2𝑚.

Jednocześnie

kolejne strefy dają pole o przeciwnym znaku

𝑒^{𝑖𝑘𝜚2𝑚+1} = −𝑒^{𝑖𝑘𝜚2𝑚} Czyli

𝐸 = 𝐸₁ − 𝐸₂ + 𝐸₃ − 𝐸₄ + ⋯

dzielimy otwór na koncentryczne strefy Fresnela i sumujemy ich wkłady do pola.

Zgodnie z wykładem 15 przyjmujemy

𝜚

= 𝑚𝜆𝑧

Daje to stałą powierzchnię strefy 𝜋𝜚

− 𝜋𝜚

= 𝜋𝜆𝑧 otwór kołowy, pole na osi

 2

l l  3

1 l 

E E 0 E ...

Liczba stref: 𝑚 ≅

𝜋𝐷2 4

𝜋𝜆𝑧

=

• Fraunhoffer

≪ 1

• Fresnel 1 <

≪

𝐷²

𝑟_0𝑚 𝑟_0𝑚+1 𝜚_𝑚

𝜚_𝑚+1

𝐷

𝑧

𝐸 𝑥, 𝑦, 0 = 𝐸₀

dzielimy strefę Fresnela na 𝑁 węższych pierścieni 𝜚

= 𝜆𝑧 𝑚 + 𝑙/𝑁 , 𝑙 = 1, 2, … , 𝑁 co daje mniejszą powierzchnię strefy

𝜋𝜚

− 𝜋𝜚

= 𝜋𝜆𝑧 𝑁 otwór kołowy, pole na osi, trochę dokładniej

metoda obrazkowa – otw. kołowy, 2

𝑟_0𝑚 𝑟_0𝑚+1 𝜚_𝑚

𝜚_𝑚+1

𝐷

𝑧

𝐸 𝑥, 𝑦, 0 = 𝐸₀

Aby policzyć pole pochodzące od 𝑀 wąskich stref korzystamy z formuły Sommerfelda, w której całkę przybliżamy dyskretną sumą

𝐸 0,0, 𝑧 = 1

𝑖𝜆 𝐸(𝑥, 𝑦, 0) 𝑧 𝑟₀₁

𝑒^{𝑖𝑘𝑟01}

𝑟₀₁ 𝑑𝑥𝑑𝑦

≅ 1

𝑖𝜆𝑧 𝐸₀

𝑀 𝑙=1

𝜋𝜆𝑧

𝑁 𝑒^{𝑖𝑘𝑟𝑙} = 𝜋𝐸₀

𝑖𝑁 𝑒^{𝑖𝑙𝜋𝑁}

𝑀 𝑙=1

𝑀 = 𝑁 = 8 Im𝐸

Re𝐸

𝑀 = 16, 𝑁 = 8 Im𝐸

Re𝐸

𝐸 = 0

metoda obrazkowa – otw. kołowy, 3

𝐸(0,0, 𝑧) ≅ 𝜋𝐸

𝑖𝑁 𝑒

𝑀

𝑙=1

Im𝐸

Re𝐸 𝑁 → ∞

𝐸 = 2𝐸₀

𝑁→∞

lim 𝑒

= 2𝑁 𝜋

𝑁

𝐸(0,0, 𝑧) ≅ 2𝐸

𝐸 = 0 Im𝐸

Re𝐸 𝑁 → ∞

𝑁→∞

lim 𝑒

= 2𝑁 𝜋

2𝑁

𝐸(0,0, 𝑧) ≅ 0

otwór kołowy, pole na osi, jeszcze dokładniej

metoda obrazkowa – otw. kołowy, 4

𝑟_0𝑚 𝑟_0𝑚+1 𝜚_𝑚

𝜚_𝑚+1

𝐷

𝑧

𝐸 𝑥, 𝑦, 0 = 𝐸₀

𝜋𝜚

− 𝜋𝜚

= 𝜋𝜆𝑧 𝑁

𝐸(0,0, 𝑧) ≅ 𝜋𝐸

𝑖𝑁 𝑒

𝑀

𝑙=1

lepsze przybliżenie uwzględniające cos Θ

z całki Fresnela-Kirchoffa

𝐸(0,0, 𝑧) ≅ 𝜋𝐸

𝑖𝑁

𝑧 𝑟

𝑒

𝑀

𝑙=1

E

Re𝐸 Im𝐸

Im𝐸

Re𝐸 𝑀 = 𝑁 = 8

otwór kołowy, pole na osi - od Fraunhoffera do Fresnela

2/ 4 D 2 /D

ognisko główne ognisko

nr 2 ognisko

nr 3

metoda obrazkowa – otw. kołowy, 5

E

ognisko nr 3

ognisko główne ognisko

nr 2

Przybliżenie Fraunhofera 𝜚

2 𝜚

+ 𝑧

≪ 𝜆

Re𝐸

Formuła Sommerfelda 𝐸 𝑥

, 𝑦

, 𝑧 = 1

𝑖𝜆 𝐸(𝑥, 𝑦, 0) 𝑧 𝑟

𝑒

𝑟

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐴

𝐸 0,0, 𝑧 =

𝐸

𝑒

𝑑𝜚 Nowa zmienna 𝑙 = 𝜚

:

Kiedy 𝜚 ≪ 𝑧 mamy 𝑑𝑙 = 2𝜚𝑑𝜚 co daje

𝐸 0,0, 𝑧 =

𝐸

𝑒

𝑑𝑙

metoda obrazkowa - uwagi

nieregularny kształt przesłony – trudniejsze rachunki

𝐸

= 2𝐸

𝐼

= 4𝐼

0 2 2

 

 

 dl E d

z

dyfrakcja Fresnela na otw. kołowym, 1

dyfrakcja Fresnela na otw. kołowym, 2

dyfrakcja Fresnela na otw. kołowym, 3

Dyfrakcja na dysku

okrągła przeszkoda, obserwacja na osi

plamka Arago

Re E Im E

E

E

E

0





E E E

pole bez przesł. 𝐸₀

pole od apertury

Kołowej 𝐸

pole od dysku 𝐸

Zasada Babineta:

𝜚

𝑧²+𝜚²

𝑒

𝑑𝜚

∞

0

=

𝑒

𝑑𝜚 +

𝑒

𝑑𝜚

𝑟_0𝑚+1 𝜚_𝑚

𝜚_𝑚+1

𝐷

𝑧

𝐸 𝑥, 𝑦, 0 = 𝐸₀

𝑃₀

Wiemy, że

𝐸 0,0, 𝑧 = 2𝜋𝑧

𝑖𝜆 𝐸

𝜚

𝑧

+ 𝜚

𝑒

𝑑𝜚

∞ 0

= 𝐸

Dyfrakcja na dysku i pierścieniu

zasłonięte 3 pierwsze strefy Fresnela

odsłonięte strefy 4-8

Plytka strefowa Fresnela raz jeszcze

metoda obrazkowa - szczelina

r

P

przykład – szczelina, obserwacja na krawędzi y

y

z

dzielimy szczelinę na strefy Fresnela 𝑦

= 𝑚𝜆𝑧

𝑟

= 𝑦

+ 𝑧

o powierzchni malejącej z indeksem 𝑚 𝛿𝑦

= 𝑦

− 𝑦

=

𝑚+1+𝑦_𝑚

=

Możemy wypisać sumę składowych pola ale nie umiemy jej policzyć

𝐸 = −1

𝑙_𝑚𝑎𝑥

𝑙=1

𝛿𝑦

 4 l

E Im E

Re E E

podział na wąskie paski

𝐸 𝑥

, 𝑦

, 𝑧 = 1

𝑖𝜆 𝐸(𝑥, 𝑦, 0) 𝑧 𝑟

𝑒

𝑟

𝑑𝑥𝑑𝑦

metoda obrazkowa - półpłaszczyzna

odkrytą półpłaszczyznę dzielimy na strefy Fresnela

𝑟

− 𝑟

= 𝑚

2

𝑟

= 𝑦

+ 𝑧

𝑟

= 𝑦

− 𝑦

+ 𝑧

𝑦

= 𝑦

+ 𝑚𝜆𝑧 − 𝑦

Dla 𝑦

= 0 szerokość strefy to 𝛿𝑦

=

y

z y

 

0

0,

, P y z r

r

r

y

y

r

Natężenie dla 𝑦

= 0 liczymy z zasady Babineta:

𝐸 = 𝐸

/2 co daje 𝐼 = 𝐼

/4 Im E

Re E

Podział na węższe paski

E

...





1

, ,





 

l

E x y z E

Przybliżenie Fresnela – ukł. kartezj., 1

x y

y0

x0

z ( , )x y ( ,x y^{0 0})

Formuła Sommerfelda 𝐸 𝑥

, 𝑦

, 𝑧 = 1

𝑖𝜆 𝐸(𝑥, 𝑦, 0) 𝑧 𝑟

𝑒

𝑟

𝐴

𝑑𝑥𝑑𝑦

Krok 2: rozwijamy pierwiastek kwadr. w szer. Taylora:

𝑟

= 𝑥 − 𝑥

+ 𝑦 − 𝑦

+ 𝑧

= 𝑧 1 +

≅ 𝑧 +

−

Jeśli

𝑥 − 𝑥

+ 𝑦 − 𝑦

≪ 8𝑧

𝜆 to

𝑟

≅ 𝑧 +

i

𝐸 𝑥

, 𝑦

, 𝑧 = 1

𝑖𝜆𝑧 𝐸(𝑥, 𝑦, 0)𝑒

𝐴

𝑑𝑥𝑑𝑦

Krok 1: 𝐸 𝑥

, 𝑦

, 𝑧 =

𝐸(𝑥, 𝑦, 0)𝑒

𝑑𝑥𝑑𝑦

otwór prostokątny 𝐸 𝑥, 𝑦, 0 = 𝐸₀rect _𝐷^𝑥

𝑥 rect _𝐷^𝑦

𝑦

Przybliżenie Fresnela – ukł. kartezj., 2

Mamy wtedy: 𝑈_𝑥 = ¹₂ 𝑒₀^{𝑥𝑒 𝑖𝜋𝜈22} 𝑑𝜈− ¹₂ 𝑒₀^{𝑥𝑏 𝑖𝜋𝜈22} 𝑑𝜈 Korzystamy a tożsamości Eulera 𝑒^𝑖𝜂 = cos 𝜂 + 𝑖 sin 𝜂

żeby wprowadzić całki z funkcji rzeczywistych (całki Fresnela) 𝐶 𝑠 = cos₀^{𝑠 𝜋𝜈}₂² 𝑑𝜈

𝑆 𝑠 = sin₀^{𝑠 𝜋𝜈}₂² 𝑑𝜈 i zapisać

𝑈_𝑥 = 1

2 𝐶 𝑥_𝑒 − 𝐶 𝑥_𝑏 + 𝑖 𝑆 𝑥_𝑒 − 𝑆 𝑥_𝑏 x

y

y0

x0

z ( , )x y

0 0

( ,x y )

 D

/ 2

x

/ 2 D

𝐸 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧 = 1

𝑖𝜆𝑧 𝐸(𝑥, 𝑦, 0)𝑒^{𝑖2𝑧 𝑥−𝑥𝑘 0 2+ 𝑦−𝑦0 2}

𝐴

𝑑𝑥𝑑𝑦 Załóżmy stałą amplitudę na otworze 𝐸 𝑥, 𝑦, 0 = 𝐸₀

Podwójna całka da się sprowadzić do iloczynu dwóch całek: jedna po 𝑥 a druga po 𝑦

oznaczamy

𝑈_𝑥 = 1

𝜆𝑧 𝑒^{𝑖𝑘 𝑥−𝑥0}

2

2𝑧 𝑑𝑥

𝐷_𝑥/2

−𝐷_𝑥/2

= 1

2 𝑒^𝑖𝜋𝜈

2

2 𝑑𝜈

𝑥_𝑒

𝑥_𝑏

gdzie 𝜈 = _𝜆𝑧² 𝑥 − 𝑥₀ , 𝑥_𝑏 = _𝜆𝑧^{2 𝐷}₂^𝑥− 𝑥₀ , 𝑥_𝑒 = _𝜆𝑧^{2 𝐷}₂^𝑥+ 𝑥₀

Przybliżenie Fresnela – ukł. kartezj., 3

a natężenie 𝐸 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧 = 𝐼₀

4 𝐶 𝑥_𝑒 − 𝐶 𝑥_𝑏 + 𝑖 𝑆 𝑥_𝑒 − 𝑆 𝑥_𝑏 ² 𝐶 𝑦_𝑒 − 𝐶 𝑦_𝑏 + 𝑖 𝑆 𝑦_𝑒 − 𝑆 𝑦_𝑏 ² ostatecznie, pole

𝐸 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧 =^𝐸0𝑒_𝑖^𝑖𝑘𝑧𝑈_𝑥𝑈_𝑦 =

=^𝐸0_2𝑖^{𝑒𝑖𝑘𝑧} 𝐶 𝑥_𝑒 − 𝐶 𝑥_𝑏 + 𝑖 𝑆 𝑥_𝑒 − 𝑆 𝑥_𝑏 𝐶 𝑦_𝑒 − 𝐶 𝑦_𝑏 + 𝑖 𝑆 𝑦_𝑒 − 𝑆 𝑦_𝑏 podobnie

𝑈_𝑦 = 1

𝜆𝑧 𝑒^{𝑖𝑘 𝑦−𝑦0}

2

2𝑧 𝑑𝑦

𝐷_𝑦/2

−𝐷_𝑦/2

= 1

2 𝑒^𝑖𝜋𝜈

2

2 𝑑𝜈

𝑥_𝑒

𝑥_𝑏

gdzie 𝜈 = _𝜆𝑧² 𝑦 − 𝑦₀ , 𝑦_𝑏 = _𝜆𝑧^{2 𝐷}₂^𝑦− 𝑦 , 𝑦_𝑒 = _𝜆𝑧^{2 𝑦}₂+ 𝑦 𝑈_𝑦 = 1

2 𝐶 𝑦_𝑒 − 𝐶 𝑦_𝑏 + 𝑖 𝑆 𝑦_𝑒 − 𝑆 𝑦_𝑏

Spirala Cornu

s

( ) S s

( ) C s Przypomnienie: całki Fresnela 𝐶 𝑠 = cos

𝑑𝜈

𝑆 𝑠 = sin

𝑑𝜈

 

S s

 

C s

 

s

  s

 0 s

𝑑𝑙² = 𝑑𝐶²+ 𝑑𝑆² = cos² 𝜋𝜈²

2 + sin² 𝜋𝜈²

2 𝑑𝑠² = 𝑑𝑠² 𝑑𝑙 = 𝑑𝑠

Dyfrakcja Fresnela – półpłaszczyzna, 1

y

z

1

2 3

4 y

0

1 2

3

4

 x y z

,

, 

𝐸 𝑥, 𝑦, 0 = 𝐸

step(𝑦)

𝐼 𝑦

, 𝑧 = 𝐼

2 𝐶 ∞ − 𝐶 𝑦

+ 𝑆 ∞ − 𝑆 𝑦

𝑦

= −

𝑦

𝑦

Dyfrakcja Fresnela – szczelina, 1

x

y

y

x

z

0 0

( , x y )

 

S s

 

C s

D

Przypomnienie

𝑑𝑙 = 𝑑𝑠

długość „sznurka” 𝑦_𝑒 − 𝑦_𝑏 = ²

𝜆𝑧𝐷 początek „sznurka” 𝑦_𝑏 = − _𝜆𝑧^{2 𝐷}₂+ 𝑦₀

szczelina

𝐸 𝑥, 𝑦, 0 = 𝐸₀rect 𝑦

𝐷

𝐼 𝑦

, 𝑧 = 𝐼

2 𝐶 𝑦

− 𝐶 𝑦

+ 𝑆 𝑦

− 𝑆 𝑦

𝑦

= −

+ 𝑦

, 𝑦

=

− 𝑦

 

S s

 

C s

Dyfrakcja Fresnela – szczelina, 2

1 2 3

Rozważmy szczelinę o szerokości takiej, że 𝑦_𝑒 − 𝑦_𝑏 = 1 ⇔ 𝐷 = 𝜆𝑧

2 1. Środek szczeliny – „sznurek” ułożony

symetrycznie (1)

2. Punkt obserwacji na granicy cienia geometrycznego (2)

3. Punkt obserwacji w cieniu geometrycznym (3) – pole maleje monotonicznie z odległością od szczeliny

im szersza szczelina tym więcej oscylacji

amplituda oscylacji największa przy krawędziach

Fraunhofer:

𝐷²

𝜆𝑧 ≪ 1 ⇒ 𝑦_𝑒 − 𝑦_𝑏 = 2

𝜆𝑧𝐷 ≪ 1 długość „sznurka” 𝑦_𝑒 − 𝑦_𝑏 = _𝜆𝑧² 𝐷 początek „sznurka” 𝑦_𝑏 = − _𝜆𝑧^{2 𝐷}₂ + 𝑦₀

 

S s

 

C s

Dyfrakcja Fresnela – szczelina, 3

0

0

y 

:

1 3 2

Obserwacja na osi 𝑦₀ = 0; zmieniamy szerokość szczeliny (1) 𝐷 = ^𝜆𝑧₂

(2) 𝐷 = 2𝜆𝑧 (3) 𝐷 = ∞

D 2

 z 0

1

2 3

natężenie na osi

długość „sznurka” 𝑦_𝑒 − 𝑦_𝑏 = _𝜆𝑧² 𝐷

Dyfrakcja Fresnela – szczelina, 4

x

y

y0

x0

z

0 0

( ,x y )

Dy

szczelina

𝐸 𝑥, 𝑦, 0 = 𝐸₀rect 𝑦 𝐷

E

E

E

szczelina

E

Dyfrakcja Fresnela - drut

x y

y0

x0

z

0 0

(x y, )

Babinet:

𝐸₀ = 𝐸_{𝑑𝑟𝑢𝑡} + 𝐸_{𝑠𝑧𝑐𝑧𝑒𝑙𝑖𝑛𝑎} 𝐸_{𝑑𝑟𝑢𝑡} = 𝐸₀− 𝐸_{𝑠𝑧𝑐𝑧𝑒𝑙𝑖𝑛𝑎}

Jasny prążek na osi symetrii 𝐸 𝑥, 𝑦, 0 = 𝐸₀rect 𝑦

𝐷

Dyfrakcja Fresnela – otwór prostokątny

x y

y

x

z ( , ) x y

0 0

( , x y )

 

S s

 

C s

otwór prostokątny 𝐸 𝑥, 𝑦, 0 = 𝐸₀rect _𝐷^𝑥

𝑥 rect _𝐷^𝑦

𝑦

𝐼 𝑥

, 𝑦

, 𝑧 = 𝐼

4 𝐶 𝑥

− 𝐶 𝑥

+ 𝑆 𝑥

− 𝑆 𝑥

× 𝐶 𝑦

− 𝐶 𝑦

+ 𝑆 𝑦

− 𝑆 𝑦

𝑥

= −

𝜆𝑧 𝐷_𝑥

2

+ 𝑥

, 𝑥

=

𝜆𝑧 𝐷_𝑥

2

− 𝑥

𝑦

= −

+ 𝑦

, 𝑦

=

− 𝑦

Dyfrakcja Fresnela – otwór prostokątny