Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej

Podstawy Fizyki IV

Optyka z elementami fizyki współczesnej

wykład: Czesław Radzewicz

pokazy: Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek ćwiczenia: Ernest Grodner

wykład 2, 17.02.2012

Równania Maxwella  r-nie falowe

c = 299 792 458 m/s (dokładnie) ≈ 3·10

m/s

próżnia:

𝛻 × 𝐻 = 𝜖

𝜕𝑡

(1) 𝛻 × 𝐸 = −𝜇

𝜕𝑡

(2) 𝛻 ∙ 𝐻 = 0 (3) 𝛻 ∙ 𝐸 = 0 4

𝜖

≅ 8.85 × 10

C

/N ∙ m

𝜇

≅ 4π × 10

N ∙ m

/C

r-nie (2): 𝛻 × 𝛻 × 𝐸 = −𝜇

𝛻 × 𝜕𝐻

𝜕𝑡 tożsamość: 𝛻 × 𝛻 × 𝐸 = 𝛻 𝛻 ∙ 𝐸 − 𝛻

𝐸

z r-nia (4) 𝛻 ∙ 𝐸 = 0

ostatecznie: 𝛻

𝐸 − 𝜇

𝜖

𝜕𝐸

𝜕𝑡

= 0

przyjmując 𝜇

𝜖

= , dostajemy 1

𝑐

𝛻

𝐸 − 1

𝑐

𝜕𝐸

𝜕𝑡

= 0

Podobnie: 𝛻

𝐻 − 1 𝑐

𝜕𝐻

𝜕𝑡

= 0 r-nia (1) i (2): 𝛻 × 𝜕𝐻

𝜕𝑡 = 𝜕

𝜕𝑡 𝛻 × 𝐻 = 𝜖

𝜕

𝐻

𝜕𝑡

Płaska fala EM w próżni

Wybieramy układ odniesienia tak, że pole rozchodzi się wzdłuż 𝑥:

𝐸 = 𝐸(𝑘𝑥 − 𝜐𝑡) Liczymy jego dywergencję :

𝛻 ∙ 𝐸 = 𝜕𝐸

𝜕𝑥 + 𝜕𝐸

𝜕𝑦 + 𝜕𝐸

𝜕𝑧 = 𝜕𝐸

𝜕𝑥 = 0

i stąd: czyli 𝐸 𝜕𝐸

= 0

𝜕𝑥 = 0 Przyjmijmy, że: 𝐸 = [0, 𝐸

, 0]

Liczymy rotację pola 𝐸 i korzystamy z równania Maxwella (2):

0,0, − 𝜕𝐸

𝜕𝑥 = −𝜇

𝜕𝐻

𝜕𝑡 , 𝜕𝐻

𝜕𝑡 , 𝜕𝐻

𝜕𝑡 ⟹ 𝐻 = 0,0, 𝐻

Transverse Electro- Magnetic 𝐸 ⊥ 𝑘

𝐻 ⊥ 𝑘 𝐸 ⊥ 𝐻

𝐸 ⊥ 𝑘

𝐸

𝐻 𝑘

Płaska, monochromatyczna f. EM w próżni

x y

z

B E 𝐸

= 𝐸

𝑒

𝜕𝐻

𝜕𝑡 = − 1 𝜇

𝜕𝐸

𝜕𝑥 = − 𝑖𝑘

𝜇

𝐸

𝑒

𝐻

= − 𝑖𝑘

𝜇

𝐸

𝑒

𝑑𝑡 = 1

𝑐𝜇

𝐸

𝑒

= 1 𝑐𝜇

𝐸

czyli:

Ponieważ 𝐵 = 𝜇

𝐻 to: 𝐵

= 1 𝑐 𝐸

Siła Lorentza:

mała prędkość:

𝐹 = 𝑞 𝐸 + 𝜐 × 𝐵 = 𝑞 𝐸 + 𝜐 𝑐 × 𝐵

𝐵 𝐸

𝐹 ≅ 𝑞𝐸

Energia fali EM

Gęstość energii w próżni (pola stacjonarne):

1. pola elektrycznego

2. pola magnetycznego:

c t  y

z A

x k

𝑢

= 𝜖

2 𝐸

, J/m

𝑢

= 1

2𝜇

𝐵

𝑢

= 1

2𝜇

𝐵

= 1 2𝜇

𝐸

𝑐

= 𝜇

𝜖

𝐸

2𝜇

= 𝑢

𝑢 = 𝑢

+ 𝑢

= 𝜖

𝐸

Strumień energii:

𝑆 =

= 𝑢𝑐

= 𝑐𝜖

𝐸

= 𝑐

𝜖

𝐸

=

0

𝐸𝐵

Natężenie fali EM, wektor Poyntinga

Wektor Poyntinga

x y

z

B E

𝑆 = 1

𝜇

𝐸 × 𝐵

= 𝐸 × 𝐻

𝐸

𝐵 𝑆

oscylacje harmoniczne – uśredniamy po okresie 𝐸 = 𝐸

cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝑆 = 𝑐𝜖

𝐸

𝑐𝑜𝑠

0

𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑐𝜖

𝐸

2

natężenie światła:

𝐼 = 𝑆 , W m

dla fali harm.

mamy:

𝐸 = 𝐸

cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝐼 = 𝑐𝜖

𝐸

2 = 1

2 𝜖

𝜇

𝐸

oporność falowa próżni 𝜂 = 𝜖

𝜇

≅ 377Ω

Ciśnienie światła

y

z

x k

F

żagiel słoneczny - Cosmos 1

kometa Halleya

𝑃 = 𝑢 = 𝑆

𝑐

Pęseta optyczna

http://www7.nationalacademies.org/bpa/Tweezers.pdf

Kwantyzacja pola EM

1900 – Max Planck, prom. c. d. c; atomy absorbują i emitują pakiety energii 1903 – J.J. Thomson, granulacja w jonizacji gazu prom. X

1905 – A. Einstein, zjawisko fotoelektryczne; praca wyjścia, energia elektronu

źródło

F/A

[foton/s·m

laser 1PW, 20𝜇m 10

światło słoneczne 10

światło Księżyca 10

światło gwiazd 10

minimalna porcja energii pola EM - foton

stała Plancka

𝐸 = ℎ𝜈

ℎ ≅ 6.626 × 10

J ∙ s

jak duży jest foton widzialny?

𝜆 = 0.6 × 10

m ℎ𝜈 = ℎ 𝑐

𝜆 ≅ 6.626 × 10

3 × 10

0.6 × 10

J ∙ s ∙ m/s ≅ 3 × 10

J m

pęd fotonu

𝑝 = ℎ𝑘

foton jako cząstka

ℰ = 𝑐𝑝

+ 𝑚

𝑚

= 0

Fotografia z małą liczbą fotonów

Advances in Biological and Medical Physics V, 1957, 211-242

Efekt Dopplera (klasyczny)

Przykład: fala akustyczna w powietrzu prędkość rozchodzenia się 𝜐

ogólna formuła: 𝜈

= 𝜐 ± 𝜐

𝜐 ∓ 𝜐

𝜈 Liczba cykli jest niezmiennikiem – nie zależy

od układu odniesienia

obserwator







drgająca membrana

1. ruchomy obserwator

częstość = liczba cykli w jednostkowym czasie 𝜈

= 𝜐𝑡 + 𝜐

𝑡

𝜆𝑡 = 𝜐 𝜆

𝜐 + 𝜐

𝜐 = 𝜐 + 𝜐

𝜐 𝜈

drgająca membrana

obserwator





 ^

 ^

2. ruchome źródło

𝜐𝑡

𝜆

𝑡 = 𝜐

𝜐𝑇 − 𝜐

𝑇 = 𝜐

𝜐 − 𝜐

𝜈

Efekt Dopplera dla światła, 1

Niezmiennikiem jest faza fali wyznaczająca liczbę cykli!

' x y

' y

' z

z



k

x

obserwator

o

,

k 

źródło

s

,

k 

STW 

𝑥 = 𝑥

+ 𝜐𝑡′

1 − 𝜐

/𝑐

𝑡 = 𝑡

+ 𝜐𝑥

/𝑐

1 − 𝜐

/𝑐

cos 𝑘

𝑥 − 𝜔

𝑡 =

cos 𝑘

𝑥

+ 𝜐𝑡′

1 − 𝜐

/𝑐

− 𝜔

𝑡

+ 𝜐𝑥

/𝑐

1 − 𝜐

/𝑐

= cos 𝑘

− 𝜐𝜔

/𝑐

1 − 𝜐

/𝑐

𝑥′ − 𝜔

− 𝑘

𝜐

1 − 𝜐

/𝑐

𝑡′

𝑘

𝜔

zasada względności +

konwencja znaku prędkości

1.  układy oddalają się

2.  układy zbliżają się 𝑢 = −𝜐

𝑢 < 0

𝑢 > 0

𝜔

< 𝜔

𝜔

> 𝜔

dopplerowskie przesunięcie częstości: 𝜔

= 𝜔

1 + 𝑢/𝑐 1 − 𝑢/𝑐

dla małych prędkości: 𝜔

= 𝜔

1 + 𝑢/𝑐

1 − 𝑢/𝑐 ≅ 1 + 𝑢

𝑐 𝜔

Efekt Dopplera dla światła, 2

z

' y

y z '

'

 x



granica klasyczna:

STW, czterowektory:

energia-pęd ↔ częstość-wektor falowy

poprzeczny efekt Dopplera:

k

dopplerowskie przesunięcie częstości:

x

obserwator

o

,

k 

źródło

s

,

k 

𝑘

= 𝜔

𝑐 , 𝑘 , 𝑘

= 𝑘

+ 𝜐 𝑐 𝑘

′ 1 − 𝜐

/𝑐

𝜔

𝑐 = 𝜔

𝑐 + 𝜐 𝑐 𝜔

𝑐 cos𝛼 1 − 𝜐

/𝑐

𝜔

= 𝜔

1 − 𝜐

/𝑐

1 − 𝑢

𝑐 cos𝛼

𝛼 = 𝜋

2 ⟹ 𝜔

= 𝜔

1 − 𝜐

/𝑐

𝑢 ≪ 𝑐 ⟹ 𝜔

≅ 𝜔

1 + 𝑢

𝑐 cos𝛼 zasada względności +

konwencja znaku prędkości

1.  układy oddalają się 2.  układy zbliżają się

𝑢 = −𝜐

𝑢 < 0

𝑢 > 0

Efekt Dopplera dla światła, 3

Przykład:

atom sodu ²³Na, m = 28x10^-27 kg, T = 300ºC = 573K linia 590 nm

średnia prędkość termiczna atomu

średnie przesunięcie częstości – szerokość profilu linii

𝜈

≅ 1 + 𝑢

𝑐 𝜈

𝜈_𝑠 ≅ 5.1 × 10¹⁴Hz

𝑢 = 3𝑘𝑇

𝑚 ≅ 790 m/s

Δ𝜈 ≅ 𝑢

𝑐𝜈_𝑠 ≅ 1.3 GHz

Przykład:

atom sodu ²³Na, linia 590nm, prędkość gwiazdy

Przesunięcie ku czerwieni daje nową częstość

Nowa długość fali:

𝜈

≅ 1 + 𝑢/𝑐 1 − 𝑢/𝑐 𝜈

𝑢

𝑐 = 0.8

𝜈_𝑜 ≅ 1 + 𝑢/𝑐

1 − 𝑢/𝑐𝜈_𝑠 ≅ 0.33𝜈_𝑠

𝜆_𝑜 ≅ 1.8 μm

Laserowe chłodzenie atomów

absorpcja fotonu

wyświecenie

bilans

Δ𝑝_𝑎 = −ℎ𝑘

Δ𝑝_𝑎 = 0

Δ𝑝_𝑎 = −𝑛ℎ𝑘



częstość (Hz)

l

dł. fali (m)

h

energia (eV)

(1GHz)

(1MHz)

(1kHz) (1THz)

10³ 10⁶ 10⁹ 10¹² 10¹⁵ 10¹⁸ 10²¹

10³ 10⁰ 10^-3 10^-6 10^-9 10^-12 10^-15

10⁰ 10³ 10⁶ 10²⁴

10⁹

10^-3

10^-6

10^-9

g

podczerwień X ultrafiolet

mikrofale

fale radiowe

źródła naturalne

jądra atomowe

elektrony wewnętrzne

elektrony zewnętrzne oscylacje i rotacje

cząsteczek spin elektronu

spin jądra

źródła sztuczne

akceleratory

lampy rentgenowskie lampy wyładowcze,

iskry, łuki, lampy żarowe, lasery prom. termiczne lampy elektronowe

układy elektroniczne

(1MeV)

(1eV)

zakres widzialny

Zakresy fal EM