Ćwiczenia nr 13
Kognitywistyka: Wstęp do matematyki Zadania z gwiazdką, 27.1.2020
Zadanie 1. Mamy 20 zł, a na powrót do domu potrzebujemy 40 zł. Idziemy do kasyna i gramy w ruletkę amerykańską z szansą wygranej pojedynczej kolejce równej p = 18/38. Rozważamy dwie strategie:
(a) (ostrożna) Stawiamy po 1 zł i liczymy, że w końcu uzbieramy kwotę na powrót do domu.
(b) (odważna) Od razu stawiamy 20 zł.
Która ze strategii jest lepsza (daje większe prawdopodobieństwo sukcesu)?
Zadanie 2. Pijak (i to pijany) stoi 3 kroki od przepaści. Szansa wykonania kroku w kierunku przepaści wynosi 1/3, w przeciwnym — 2/3, kroki są niezależne. Jaka jest szansa ocalenia?
Zadanie 3. Rzucamy wielokrotnie standardową kostką. Jakie są szanse, że szóstka wypadnie przed wyrzuceniem z rzędu dwóch liczb mniejszych niż 3.
Zadanie 4. Jaś i Staś rzucają na przemian symetryczną monetą. Gra kończy się wygraną Jasia, jeśli w ciągu wyników pojawi się OOR przed ORO. Jeśli zaś ORO wystąpi wcześniej, to wygrywa Staś. Uzasadnij, że gra skończy się wygraną Jasia lub Stasia z prawdopodobieńswem 1. Jakie są szanse, że wygra Jaś?
Zadanie 5. Staś zdaje egzamin z prawa jazdy, który składa się z części teoretycznej (test) i jazdy po mieście.
Szansa zdania testu w jednej próbie przez Stasia wynosi p, a jazdy po mieście — q. Żeby zdać jazdę po mieście, trzeba najpierw zdać test. Opłata zarówno za test, jak i za jazdę po mieście wynoszą 100 zł.
Wiadomo, że Staś zapłacił już 1300 zł i nie zdał jeszcze egzaminu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie zdał jeszcze testu?
Zadanie 6. Po upływie pewnego czasu ameba może zginąć, przeżyć lub może podzielić się na dwie jednako- we z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio 14,14,12. W następnym okresie dzieje się to samo ze wszystkimi amebami. Ile ameb i z jakim prawdopodobieństwem będzie istniało w końcu drugiego okresu?
Zadanie 7. Ile jest n cyfrowych liczb naturalnych, których cyfry w systemie dziesiętnym tworzą ciąg nierosną- cy? (Przykładem takiej 7-cyfrowej liczby jest 6443220.)
Zadanie 8. W ciągu 20 rzutów monetą liczymy serie 5 orłów. Każdy ciąg sąsiadujących ze sobą 5 orłów uznajemy za serię. Przyjmujemy, że serie mogą „zachodzić na siebie”, na przykład w ciągu
R O O O O O O O R O O O R O O O O O R R
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
mamy 4 serie, zaczynające się od miejsc 2, 3, 4 i 14. Oblicz wartość oczekiwaną liczby serii 5 orłów w 20 rzutach.
Zadanie 9. Jaś ma dwie monety asymetryczne. Na jednej wypada orzeł z prawdopodobieństwem 1/4, na dru- giej — z prawdopodobieństwem 3/4. Losuje monetę z równym prawdopodobieństwem, a następnie rzuca wylosowaną monetą dwa razy. Niech X oznacza liczbę wylosowanych orłów. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
Zadanie 10. W pewnej grze rzucamy kostką tak długo, aż wyrzucimy szóstkę. Wygrywamy tyle złotych, ile wypadło liczb różnych niż 6. Jeśli wyrzucimy szóstkę w pierwszym rzucie, tracimy x złotych. Ile może co najwyżej wynosić x, żeby gra była dla nas opłacalna?
Zadanie 11. 2n zawodników, z czego n w koszulkach niebieskich i n w czerwonych, stanęło na przeciwko siebie w sposób całkowicie losowy. Znajdź wartość oczekiwaną zmiennej losowej
X = {liczba osób mających na przeciwko siebie osobę o tym samym kolorze koszulki}.
Dla n = 2 proszę podać rozkład zmiennej losowej X.
