Matematyka starożytnej Grecji
Rozumowanie dedukcyjne, Tales z Miletu, Związek Pitagorejski,
Platon
Rozumowanie dedukcyjne
Dedukcja – rodzaj rozumowania logicznego, mającego na celu dojście do określonego wniosku na podstawie założonego wcześniej zbioru przesłanek. Jeśli jest przeprowadzone poprawnie, zaś zbiór
przesłanek nie zawiera zdań fałszywych, to wnioski wyciągnięte w wyniku rozumowania dedukcyjnego są nieodparcie prawdziwe.
• Twierdzenie musi dotyczyć abstraktów
• Twierdzenie musi być wyrażone formalnie
• Twierdzenie musi być zdaniem warunkowym
• Twierdzenia mogą być przyczynami innych twierdzeń
Tales z Miletu
Milet
Tales z Miletu (624-546)
Tales z Miletu– filozof (uczony) grecki okresu przedsokratejskiego (VII/VI w. p.n.e.)
przedstawiciel jońskiej filozofii przyrody.
Powszechnie uznawany za pierwszego filozofa i matematyka cywilizacji zachodniej oraz za
inicjatora badań nad przyrodą jako nauki. Należy też do kanonu siedmiu mędrców.
Tales dał podstawy geometrii, wprowadzając szereg pojęć:
• długość, powierzchnia, objętość
• kąt, własności trójkątów
• proporcje
Najbardziej znana anegdota związana z Talesem opowiada o pomiarze wysokości piramidy
Cheopsa wykorzystując jej cień.
Za życia zdobył sławę przewidując zaćmienie słońca.
Tales z Miletu
Nie zostawił spisanych wyników. Zdaniem Arystotelesa Tales udowodnił, że
• dwie linie przecinające się tworzą równe co do miary kąty przeciwległe (wierzchołkowe),
• kąt wpisany w półokrąg jest kątem prostym,
• trójkąt jest określony, jeżeli dana jest jego podstawa i kąty przy podstawie
• kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym są równe
• na każdym trójkącie można opisać okrąg (podał konstrukcję)
Sformułował też słynne twierdzenie Talesa: jeżeli
ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odpowiednie odcinki wyznaczone przez te proste na
jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim
ramieniu kąta
A B
C
D E
Pitagoras z Samos (572-497 pne)
Grecki matematyk, filozof i mistyk. Uczeń Talesa, mędrców egipskich i babilońskich. Twórca pojęcia filozof. Istoty człowieczeństwa poszukiwał w harmonii
Założyciel szkoły pitagorejczyków w Krotonie (529)
Crotone
Szkoła Pitagorejska – okres pierwszy
Harmonia spajająca świat najwyraźniej widoczna jest w muzyce, astronomii, arytmetyce i geometrii.
Pierwszy okres pitagoreizmu – wszystko jest liczbą
• Liczby doskonałe
• Liczby zaprzyjaźnione
• Trójki pitagorejskie
• Wielka czwórka liczb (punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń)
Geometria – pojęcia prostej, odcinka, kąta
• Figury podobne (dowód twierdzenia Talesa)
• Twierdzenie Pitagorasa
• Odkrycie niewymierności
Szkoła Pitagorejska – okres drugi
Proporcja wyraża harmonię świata
Akuzmatycy i matematycy (mathein=uczyć się)
• Budowanie odcinków o zadanej długości
• Złoty podział
• Pentagram
Problemy Delijskie
• podwojenie sześcianu
• kwadratura koła
• trysekcja kata
Wielokąty foremne
Wielościany foremne
Platon (424 pne - 348 pne),
Filozof grecki, ateńczyk, uczeń Sokratesa, kontynuował tradycje pitagorejczyków.
Jest uważany za jednego z
najważniejszych myślicieli w całej zachodniej tradycji intelektualnej.
Założył w Atenach Akademię, która jest uważana za pierwszą szkołę
filozoficzną w historii Zachodu.
Postulował ograniczenie środków
konstrukcyjnych w geometrii do cyrkla i linijki.
Utożsamiał cztery znane wówczas bryły foremne z czterema żywiołami. Teorię zmodyfikowało odkrycie
dwunastościanu (Teajtetos)
Akademia Platońska (IV w p.n.e. – VI w n.e.),
Szkoła założona przez Platona w Atenach w gaju herosa Akademosa. Zajmowano się w niej przede wszystkim filozofią i
matematyką, a także retoryką i naukami przyrodniczymi. Platon kierował Akademią przez 40 lat.
Wśród uczniów Akademii byli:
• Eudoksos z Knidos – twórca teorii proporcji i metody wyczerpywania
• Arystoteles, nauczyciel Aleksandra Macedońskiego, filozof bardzo silnie wpłynął na filozofię i naukę europejską.
Chrześcijańska odmiana arystotelizmu zwana tomizmem powstała w XIII wieku i jest do dziś uważana za oficjalną filozofię Kościoła katolickiego.
W 529 cesarz Justynian nakazał zamknięcie Akademii ze względów religijnych.
Nie znający geometrii niechaj tu nie wchodzi
Fresk Rafaela, przedstawiający Akademię Platońskąw Pałacach Watykańskich
Liczby w Akademii Platońskiej
Wielkości jednego rodzaju – definicja aksjomatyczna:
• Wielkości jednego rodzaju muszą się dać porównać,
• dla dwóch wielkości jednego rodzaju istnieje wielkość tegoż rodzaju równa ich sumie,
• jeśli A i B są wielkościami jednego rodzaju oraz A jest większa od B, to istnieje wielkość tego samego rodzaju, która dodana do B da wielkość równą A,
• dla dowolnych wielkości A i B istnieje takie całkowite
zwielokrotnienie wielkości B, które jest większe od A (tzw.
aksjomat Archimedesa).
Algorytm Euklidesa (Teajtetos, IV w p.n.e.): Jeśli dane są dwie
wielkości rodzaju A i B, przy czym A>B, to istnieje największa taka
liczba naturalna n, że nB jest mniejsza lub równa A. lub. Jeśli nB=A
mówimy, że A dzieli się przez B, jeśli zaś nB<A mówimy że reszta z
dzielenia A przez B wynosi A-nB
Dwie koncepcje wprowadzenia liczb rzeczywistych
Teajtetos (410-369 p.n.e.) – ciąg proporcji (w przyszłości ułamki łańcuchowe)
Dla dwóch wielkości A i B tego samego rodzaju, jeśli B ≤ A to istnieje liczba naturalna n taka, że nB≤ A <(n+1)B.
Jeśli A=nB to przyjmujemy n₁=n i kończymy konstrukcję.
W przeciwnym wypadku
powtarzamy konstrukcję (czyli dzielenie z resztą) dla
wielkości C=A-nB oraz B (jest to możliwe ponieważ C<B) W wyniku otrzymujemy ciąg
(n₁;n₂,n₃,...) opisujący proporcję A i B.
Przykładowo: liczba opisująca złoty podział przyjmie postać (1;1,1,1,1,1,…), zaś pierwiastek z
dwóch – (1;2,2,2,2,…)
Eudoksos (410-355 p.n.e.) – podejście aksjomatyczne (w przyszłości przekroje Dedekinda)
Wielkości A, B tego samego rodzaju tworzą tę samą proporcję co wielkości F, G tego samego rodzaju (choć
może innego rodzaju niż A, B ), gdy dla każdej pary liczb naturalnych (m, n) zachodzą warunki
Jeśli mA<nB, to mF<nG, jeśli mA=nB, to mF=nG, jeśli mA>nB, to mF>nG.
Eudoksos z Knidos – metoda wyczerpywania
Z figury, którą chcemy zmierzyć, wyjmujemy jej część, której miarę znamy, przy czym musi być ona większa od połowy pola całej figury (!). Z pozostałą częścią postępujemy tak samo.
Wówczas suma pól S1+S2+…+Sn
utworzonych figur tym lepiej
przybliża miarę szukanej figury im większe jest n oraz
nieskończona suma daje miarę figury
Zastosowanie metody wyczerpywania do obliczania pola obszaru
ograniczonego paraboląi prostą
Zastosowanie metody wyczerpywania do obliczania pola koła
