Lista 3: Grupy permutacji.

Lista 3: Grupy permutacji.

(1) Niech σ =  1 2 3 4 5 5 1 4 2 3



i niech τ =  1 2 3 4 5 1 5 4 2 3

 . Wskaza´ c

σ(1), σ(5), τ (1), τ σ(3), στ (3), σ

(4), τ

(2), τ

(4).

(2) σ =  1 2 3 4 5 4 3 1 2 5



i niech τ =  1 2 3 4 5 2 3 5 4 1



. Obliczy´ c τ σ, στ, τ στ, σ

, τ σ

, τ

στ.

(3) Zbudowa´ c tabelk¸e dzia lania w grupie S

. (4) W grupie S

rozwi¸ aza´ c r´ ownanie:

(a)  1 2 3 4 5 6 3 1 6 2 4 5

 x

 1 2 3 4 5 6 4 1 2 6 3 5



=  1 2 3 4 5 6 5 6 4 2 3 1



(b)  1 2 3 4 5 6 3 2 6 1 5 4



x

 1 2 3 4 5 6 6 5 3 4 1 2



=  1 2 3 4 5 6 2 6 4 1 5 3



(c)  1 2 3 4 5 6 2 3 4 1 6 5

 x

 1 2 3 4 5 6 3 1 2 6 4 5



=  1 2 3 4 5 6 5 3 4 2 6 1



(5) Zapisa´ c dane cykle ze zbioru S

w postaci dwuwierszowej: (4, 2, 5), (3, 5, 4, 2, 1, 6), (4, 5).

(6) W´sr´ od poni˙zszych permutacji wskaza´ c cykle i zapisa´ c je w postaci jednowierszowej:

σ =  1 2 3 4 5 6 2 4 1 3 5 6



, τ =  1 2 3 4 5 6 2 1 5 4 6 3

 , π =  1 2 3 4 5 6

5 4 6 3 2 1

 .

(7) Dane s¸ a cykle τ = (2, 3, 5, 4, 6) i σ = (1, 5, 4, 3, 6). Obliczy´ c τ σ, στ .

(8) Dan¸ a permutacj¸e przedstawi´ c w postaci iloczynu cykli roz l¸ acznych:

(a)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 9 2 7 6 8 4 1 3



(b)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 7 9 3 5 8 6



(c)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2 6 9 5 4 1 3 8



(d)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 5 1 9 2 8 6 7 4



(e)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 9 1 3 7 6 5 2 8



1

2

(9) Dan¸ a permutacj¸e przedstawi´ c w postaci iloczynu transpozycji i sprawdzi´ c, czy permutacja jest parzysta czy nieparzysta:

(a)  1 2 3 4 5 6 7 8 3 2 7 5 1 4 6 8



(b)  1 2 3 4 5 6 7 8 1 7 4 2 8 5 3 6



(c)  1 2 3 4 5 6 7 8 6 1 3 8 7 2 5 4



(d)  1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 8 4 6 5 7 1



(e)  1 2 3 4 5 6 7 8 3 7 2 6 5 4 8 1



(f)  1 2 3 4 5 6 7 8 5 8 4 2 3 1 7 6