Elementy Kombinatoryki
19 marca 2017
Zasada Szufladkowa Dirichleta.
Twierdzenie 1
Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n>m to istnieje szuflada z przynajmniej dwoma obiektami.
19 marca 2017 2 / 24
Zasada Szufladkowa Dirichleta.
Wniosek 2
Wśród niełysych mieszkańców Krakowa w każdej chwili jest dwóch o tej samej liczbie włosów na głowie.
Zakładamy, że liczba włosów na głowie nie przekracza 500000.
19 marca 2017 3 / 24
Zasada Szufladkowa Dirichleta.
Wniosek 3
Malujemy każdy punkt jednostkowego okręgu czerwonym lub niebieskim kolorem udowodnij, że istnieje trójąt równoramienny wpisany w ten okrąg, którego wszystkie wierzchołki są tego samego koloru.
19 marca 2017 4 / 24
Zasada Szufladkowa Dirichleta.
Wniosek 4
Grupa 30 osób wita się podając sobie ręce.
Nikt nie wita się z samym sobą i żadna para osób nie wita się podwójnie.
Udowodnij że są dwie osoby, które przywitają taką samą liczbę osób.
19 marca 2017 5 / 24
Zasada Szufladkowa Dirichleta.
Wniosek 5
Udowodnij, że wśród dowolnych 2017 liczb (powtórzenia są dozwolone ) można znaleźć takie, których suma dzieli się przez 2017. Pokaż, że dowolne 2016 liczby nie mają tej własności.
19 marca 2017 6 / 24
Uogólniona Zasada Szufladkowa Dirichleta.
Twierdzenie 6
Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n>rm to istnieje szuflada z przynajmniej r+1 obiektami.
19 marca 2017 7 / 24
Zasada włączeń i wyłączeń.
Twierdzenie 7
Niech A, B będą zbiorami skończonymi. Wtedy
|A ∪ B| + |A ∩ B| = |A| + |B|, czyli równoważnie
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|,
|A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B|.
19 marca 2017 8 / 24
Zasada włączeń i wyłączeń.
Wniosek 8
Niech A, B, C będą zbiorami skończonymi. Wtedy
|A ∪ B ∪ C | = |A| + |B| + |C | − |A ∩ B| − |B ∩ C | − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C |.
19 marca 2017 9 / 24
Zasada włączeń i wyłączeń.
Twierdzenie 9
19 marca 2017 10 / 24
Zasada włączeń i wyłączeń.
Twierdzenie 10
19 marca 2017 11 / 24
Zasada włączeń i wyłączeń.
Szkic dowodu
19 marca 2017 12 / 24
Permutacje
19 marca 2017 13 / 24
Permutacje
19 marca 2017 14 / 24
Permutacje
19 marca 2017 15 / 24
Permutacje
19 marca 2017 16 / 24
Kombinacje
19 marca 2017 17 / 24
Kombinacje z powtórzeniami
19 marca 2017 18 / 24
Kombinacje z powtórzeniami
Uwaga 11
Liczba wyborów k liczb z powtórzeniami ze zbioru {1, 2, . . . , n} to liczba sposobów rozmieszczenia k identycznych przedmiotów w n rozróżnialnych pudełkach.
Jest
n+k−1 k
, czyli
k+n−1 n−1
, sposobów rozmieszczenia k identycznych przedmiotów w n rozróżnialnych pudełkach.
Dowód
Dla k = 6, n = 4 wskazówka schemat poniżej
ooo|o||oo −→ 000101100.
19 marca 2017 19 / 24
Wariacje bez powtórzeń
19 marca 2017 20 / 24
Wariacje z powtórzeniami
19 marca 2017 21 / 24
Podziały liczby
19 marca 2017 22 / 24
Podziały liczby
Lista podziałów 8 na 3 składniki
1 + 1 + 6, 1 + 2 + 5, 1 + 3 + 4, 2 + 2 + 4, 2 + 3 + 3.
19 marca 2017 23 / 24
Podziały liczby
19 marca 2017 24 / 24
