Infinitarna Logika Ernsta Zermela
Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM
www.logic.amu.edu.pl
Opole Pozna«
20042006
Praca wykonana w latach 20042006 w ramach projektu badawczego KBN 2H01A 00725 Metody niesko«czono±ciowe w teorii de nicji, kierowanego przez Profesora Janusza Czelakowskiego w Instytucie Matematyki i In- formatyki Uniwersytetu Opolskiego.
Niniejsze notatki nie s¡ w obecnej postaci przeznaczone do druku.
Przedmowa
Celem tego opracowania jest prezentacja zaªo»e« programu pod- staw logiki i matematyki zaproponowanego przez Ernsta Zermel¦.
W szczególno±ci, uwzgl¦dnione zostan¡ nowe ustalenia dotycz¡ce tego programu, dokonane niedawno przez badaczy Nachlaÿ Zer- mela. Re eksja nad propozycjami Zermela, faktem pocz¡tkowego nikªego (a wªa±ciwie »adnego) odd¹wi¦ku na nie oraz po¹niejszym o dwie dekady pocz¡tkiem rozwoju logik in nitarnych pozwala, by¢ mo»e, na nowe spojrzenie na histori¦ tworzenia si¦ i utr- walania paradygmatu uprawiania logiki matematycznej. Z tego powodu, omawiamy propozycje Zermela w nieco szerszej perspek- tywie, po±wi¦caj¡c (mo»e nieproporcjonalnie) sporo uwagi tak»e dokonaniom innych (nie tylko ówczesnych) autorów dotyczy to przede wszystkim re eksji zwi¡zanych z paradoksem Skolema oraz z wyªanianiem si¦ poj¦¢ metalogicznych. Nadto, omawiana problematyka jest istotna z metodologicznego punktu widzenia w rozwa»aniach dotycz¡cych metod niesko«czono±ciowych w teorii de nicji.1
Autor wyra»a wdzi¦czno±¢ Panom Profesorom: Romanowi Murawskiemu, Janowi Wole«skiemu oraz Janowi Zygmuntowi za mo»liwo±¢ korzystania z ich kompetentnych opracowa« dotycz¡cych historii logiki, za pomoc w tro- pieniu ¹ródeª bibliogra cznych oraz za »yczliwe rady i krytyczne komentarze udzielane w rozmowach i korespondencji. Osobne podzi¦kowanie nale»ne jest Panu Profesorowi Januszowi Czelakowskiemu za przyjazn¡ ufno±¢, i»
pisz¡cy te sªowa podoªa intelektualnie wywi¡za¢ si¦ z zaszczytnego dla niego zaproszenia do udziaªu we wspomnianym projekcie badawczym.
1Fragmenty niniejszych dot¡d niepublikowanych notatek prezentowane byªy na konferencjach w ostatnich latach; zob. przytoczone w odno±nikach bibliogra cznych infor- macje dotycz¡ce tych odczytów.
Spis Tre±ci
1. Zermelo informacje biogra czne. . . 5 2. Granice fantazji w teorii mnogo±ci. . . 18
2.1. Pocz¡tki teorii mnogo±ci
2.2. Pierwsze prace Zermela z teorii mnogo±ci 2.3. Aksjomatyka z 1930 roku
2.4. Teoria mnogo±ci mªodo±¢, dojrzaªo±¢ i staro±¢
3. O paradoksie Skolema. . . 39
3.1. Twierdzenie Löwenheima-Skolema 3.2. Stwór z logicznego Loch Ness
3.2.1. Systemy kanoniczne Romana Suszki
3.2.2. Michaela Resnika wyprawy przeciw Skolemitom 3.2.3. Timothy Bays o paradoksie Skolema
4. Logika mi¦dzy Principia Mathematica a Grundlagen der Ma- thematik. . . 85
4.1. Pocz¡tki: próby kategorycznej charakterystyki podstawowych struktur matematycznych
4.2. Kategoryczno±¢ a zupeªno±¢ i peªno±¢
4.3. Czarny ko« w ku¹ni poj¦¢ metalogicznych: zwarto±¢
4.4. Twierdzenie o niewspóªmo»liwo±ci. Utrata niewinno±ci meta- logicznej
4.5. W¡tki pomini¦te. Alternatywne historie logiki
5. Projekt logiki in nitarnej Ernsta Zermela. . . 115 5.1. Tezy o niesko«czono±ci i wykªady w Warszawie 5.2. O sporze dotycz¡cym poj¦cia De nitheit
5.3. Projekt logiki in nitarnej 5.4. Zermelo a Gödel
5.5. Próba odrzucenia paradoksu Skolema 6. Also, doch ist die Zeit angekommen.... . . 137
6.1. Logika in nitarna okres prenatalny 6.2. Logika in nitarna rozwój
6.3. Logika in nitarna kilka uwag o wspóªczesno±ci 6.3.1. Ile mocy (wyra»eniowej) potrzebuje logika?
6.3.2. Metalogika dla logik in nitarnych 6.3.3. Nie nitarne reguªy inferencji
6.3.4. Zbiory dopuszczalne i uogólniona rekursja 6.3.5. Realizacja programu Zermela?
Odno±niki bibliogra czne. . . 154
Wykorzystywane notatki wªasne. . . 181
Wykorzystywane notatki wªasne
Druga Wyprawa Przeciw Skolemitom. O znaczeniu twierdze« metalogicznych dla teorii j¦zyka. Niepublikowany tekst wykªadu wygªoszonego 15 kwiet- nia 2002 roku w Instytucie J¦zykoznawstwa w Poznaniu.
Systemy kanoniczne Romana Suszki. Trzy (albo 4?) odczyty wygªoszone na Seminarium Opolskim, Instytut Matematyki i Informatyki Uniwer- sytetu Opolskiego, wiosna 2002 roku [wspólnie z prof. Jackiem Haw- rankiem].
Po co metalogika lingwistom? Odczyt wygªoszony podczas uroczystej sesji Komitetu Nauk J¦zykoznawczych PAN, Warszawa, kwiecie« 2002.
Jak »y¢ z paradoksem Skolema? Odczyt wygªoszony podczas VIII Konferen- cji Zastosowania Logiki w Filozo i i Podstawach Matematyki, Karpacz, maj 2002.
O paradoksie Skolema. Odczyt wygªoszony podczas Warsztatów Logiczno- Filozo cznych, Zawoja, wrzesie« 2002.
Resnik i Skolemici. Odczyt wygªoszony na Seminarium Opolskim, Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Opolskiego, jesie« 2002 roku.
Three Little Dots. Logician's Nightmares. Tekst niepublikowany, Konstanz, wiosna 2003 roku.
O tworzeniu si¦ poj¦¢ metalogicznych. Kategoryczno±¢, zwarto±¢, peªno±¢ i zupeªno±¢. Tekst niepublikowany, Konstanz, wiosna 2003 roku.
O tworzeniu (si¦?) poj¦¢ metalogicznych. Odczyt wygªoszony podczas XLIX Konferencji Historii Logiki, Kraków, pa¹dziernik 2003.
Twierdzenie o niewspóªmo»liwo±ci. Odczyt wygªoszony na Seminarium Opol- skim, Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Opolskiego, lis- topad 2003.
Jak tworz¡ si¦ poj¦cia metalogiczne? Odczyt wygªoszony podczas kon- ferencji Von Neumann's Birth Centenary Conference. Computational Power for Social Research, Zakopane, grudzie« 2003.
181
Mrzonka metalogiczna Gabelbarkeitssatz Carnapa. Odczyt wygªoszony na seminarium Zakªadu Logiki Matematycznej UAM w Poznaniu, gru- dzie« 2003.
Ku ±wiadomej impotencji. Samoograniczenia metalogiczne. Odczyt wy- gªoszony podczas VIII Konferencji Zastosowania Algebry, Zakopane, marzec 2004.
Zermelo: antyskolemizm dobrze ufundowany. Odczyt wygªoszony podczas IX Konferencji Zastosowania Logiki w Filozo i i Podstawach Matema- tyki, Karpacz, maj 2004.
Zermelo: pocz¡tki logiki in nitarnej. Odczyt wygªoszony na seminarium Zakªadu Logiki Stosowanej UAM w Poznaniu, pa¹dziernik 2004.
Zermelo i Skolemici. Odczyt wygªoszony podczas L Konferencji Historii Logiki, Kraków, pa¹dziernik 2004.
Wielokropek. Odczyt wygªoszony podczas X Konferencji Zastosowania Logiki w Filozo i i Podstawach Matematyki, Szklarska Por¦ba, maj 2005.
Projekt logiki in nitarnej Ernsta Zermela. Tekst zªo»ony do ew. publikacji w tomie zbiorowym przygotowanym w 2005 roku przez Zakªad Logiki Stosowanej UAM.
182
