Poprawkowy sprawdzian zaliczeniowy z analizy matematycznej I, analityka gospodarcza, rok 1, termin 2
21 II 2018
Informacje dla zdających:
1. Sprawdzian trwa 90 minut.
2. Podczas sprawdzianu wolno korzystać jedynie z prostego kalkulatora, narzędzi do pisania i ma- teriałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczegól- ności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny”
pod jakim wynik sprawdzianu zostanie ogłoszony.
Zadania:
1. a) (100 punktów) Rozwiązać nierówność (uwzględniając jej dziedzinę):
arcos 1 5x + 3
< π 3. b) (100 punktów) Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) =q
3 + log1
2(2x − 1).
2. (200 punktów) Dla poniższej funkcji f wyznaczyć przedziały monotoniczności, wklęsłości i wypukłości, oraz podać wszystkie argumenty, dla których funkcja osiąga maksima, minima oraz punkty przegięcia:
f (x) = ex−5(x2+ 2x − 2).
3. (200 punktów) Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji:
f (x) = x
ln x; g(x) = x3− 4x2+ x + 6 4x2− 11x − 3 . 4. (200 punktów) Obliczyć granice poniższych funkcji:
x→−∞lim x7x; lim
x→∞
3x + 1 3x + 5
x
.
5. (100 punktów) Podać definicje funkcji ciągłej w danym punkcie i funkcji różniczkowalnej w danym punkcie. Podać, przykłady funkcji rzeczywistych (lub, jeśli takie przykłady nie istnieją, wyjaśnić dlaczego):
a) ciągłej, ale nieróżniczkowalnej w punkcie x = 2;
b) różniczkowalnej, ale nieciągłej w punkcie x = 2;
c) nieróżniczkowalnej i nieciągłej w punkcie x = 2.
Wybrane wzory:
sin 0 = 0; sinπ 6 = 1
2; sinπ 4 =
√2
2 ; sinπ 3 =
√3
2 ; sinπ 2 = 1.
