Egzamin z analizy matematycznej, analityka gospodarcza, rok 1, termin 2
10 IX 2018
Informacje dla zdających:
1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10 minut.
2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny”
pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.
Grupa A Zadania:
1. (200 punktów) Wyznaczyć dziedzinę, przedziały monotoniczności, przedziały wklęsłości/wypukłości oraz wszystkie ekstrema i funkcji przegięcia funkcji:
f (x) = x2+ ln x2
2. (200 punktów) Obliczyć całkę podwójną z funkcji f (x, y) = xy po obszarze ograniczonym krzywymi: y = x2+ 3, y = 14x2+ 6.
3. (200 punktów) Firma wydaje x na inwestycje kapitałowe, a y na pensje i premie (x, y > 0).
Jej funkcja użyteczności z tych wydatków jest postaci: u(x, y) = x + 3xy + ln(xy) +√3
y + 5y + 1.
Załóżmy, że obecne wydatki konsumenta są opisywane przez parę (x0, y0) = (10, 8).
a) Sprawdzić, czy funkcja u spełnia prawo Gossena ze względu na obydwa rodzaje wydatków.
b) Firma decyduje się przeznaczyć dodatkową (małą) jednostkę dochodu na te dobra. W jakich proporcjach powinna podzielić tę jednostkę między inwestycje kapitałowe, a pensje i premie, by maksymalnie zwiększyć swoją użyteczność z tego wydatku?
c) Za pomocą pochodnej kierunkowej sprawdzić, czy użyteczność wzrośnie, czy zmaleje, jeśli firma zmniejszy o (małą) jednostkę wydatki na inwestycje kapitałowe i 34 tej jednostki przeznaczy na pensje i premie.
d) Wyznaczyć elastyczność substytucji inwestycji kapitałowych przez pensje i premie dla danej firmy i koszyka wydatków (x0, y0). Podać słowną interpretację wyniku.
4. (200 punktów) Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego:
dy
dx − x2y = 5x2; y(0) = 2.
5. (100 punktów) Co to jest szereg liczbowy? Jaki jest warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego? Podać przykład szeregu, który spełnia taki warunek, ale jest rozbieżny.
Wybrane wzory:
f0(t) = fx0(x, y)x0(t) + fy0(x, y)y0(t);
Z b a
f (x)dx ≈ 1
2h[f (x0) + f (xn) + 2
n−1
X
i=1
f (xi)];
k−1
X
n=0
f(n)(x0) · (x − x0)n
n! = f (x0) + f0(x0)x − x0
1! + f00(x0)(x − x0)2
2! + . . . + f(k−1)(x0)(x − x0)k−1 (k − 1)! ;
Exf (x0) = x0
f (x0)·f0(x0); εij(a) = ai· u0x
i(a)
aj· u0xj(a); sin 0 = 0; sinπ 6 = 1
2; sin π 4 =
√2 2 ; sinπ
3 =
√3 2 ; sinπ
2 = 1.
