Mikroskopowa interpretacja bozonów „s" w formalizmie izospinu - Biblioteka UMCS

ANNALES

UNIVERSIT ATIS MARIAE CURIE-SKŁODOWSKA LUBLIN — POLONIA

VOL. XXXVIII, 14 SECTIO AAA î983

Instytut Fizyki UMCS Zakład Fizyki Teoretycznej Kierownik: prof, dr hab. Stanisław Szpikowski

Stanisław SZPIKOWSKI

Mikroskopowa interpretacja bozonów „s“ w formalizmie izospinu

Microscopical interpretation of s-bosons in the isospin formalism

Микроскопическая интерпретация бозонов в изоспинном формализме

WSTĘP

Model oddziałujących bozonów wprowadzony w 1974 r. przez Arima i lachello 01-20 (IBM-Interacting Boson Model) i następnie ugruntowany przez autorów zarówno opracowaniem teoretycznym, jak i interpretacją obszernego zakresu wyników doświadczalnych 030, jest w dalszym ciągu przedmiotem bardzo żywego zainteresowania.

W pierwszej wersji model ten opisywał własności jąder atomowych bez rozróżniania protonów i neutronów. Dopiero jego uogólnienie, tak zwany model IBM-2, pozwoliło na uwzględnienie stopni swobo­

dy protonowych i neutronowych. Jednakże wprowadzony w tym ce­

lu formalnie tak zwany F-spin ! 4 J nie miał żadnej interpretacji, a wydaje się i znaczenia fizycznego. Ostatnio Elliott i White 05 3 zaproponowali dołączenie do bozonów protono­

wych i neutronowych także bozonów protonowo-neutrpnowych, co pozwoliło na wprowadzenie fizycznego izospinu do przestrzeni bo- zonowej.

Według przyjętej interpretacji fenomenologicznej bozony trak­

tuje się w modelu IBM jako odpowiednio skorelowane pary nukleonów.

168 S Łani sław S z piko ws ki

Jednakże dokładne określenie tej korelacji, mimo wielu różnych prób, nie zostało do tej pory jednoznacznie ustalone. Podstawowy model bozonowy zawiera dwa fenomenologiczne bozony, bozon "s" o momen­

cie pędu L — O oraz bozon "d" o L — 2. W rozszerzonym modelu izospinowym [b^Jdodaje się izospinowy stopień swobody z liczbami kwantowymi całkowitego izospinu T » 1 oraz jego trzeciej składowej T

-1,0, + 1 odpowiednio dla bozonów protonowych, protonowo-neu- tronowych. W modelu bozonowym, aczkolwiek czysto fenomenologicz­

nym można stosunkowo łatwo zinterpretować matematyczne doświad­

czenie. Znaczenie tego modelu potwierdzone zostało właśnie sukce­

sami w opisie wyników eksperymentów. Ponadto, zaletą fizyczną mo­

delu jest to, że eksponuje się i wykorzystuje w modelu przede wszystkim własności symetrii. Matematyczna zaleta modelu polega natomiast na tym, że pewne specjalne stany jąder atomowych (np.

stany rotacyjne czy stany wibracyjne) dają się opisywać analitycz­

nymi formułami. Mimo tych zalet nie udało się do tej pory, na prze­

kór wielu próbom z częściowo pozytywnymi rezultatami [6-14J, po­

dać w sposób niesprzeczny mikroskopowej interpretacji modelu. Mo­

del ten jest także poddawany krytyce ze względu pa jego założe­

nia fizyczne O53

Praca niniejsza może być uważana za jeszcze jeden sposób powiązania modelu IBM z mikroskopowym, terminowym opisem jąder atomowych.

IZOSPINOWE BOZONY "s"

» .

Ograniczymy się tutaj do izospinowych bozonów "s" w celu uniknięcia niepotrzebnych komplikacji wprowadzonych przez bozony

"d". Pominięcie to nie będzie miało wpływu na zawężenie głównego celu tej pracy, a mianowicie na uzasadnienie nowego sposobu inter­

pretacji mikroskopowej modelu IBM, natomiast zapewni analityczny charakter rozważań.

Zaczniemy jednak od komentarza wskazującego na pewne

trudności izospinowego modelu bozonowego. Jeżeli ograniczymy się

tylko do bozonów protonowych i bozonów neutronowych, tak jak w

wersji ‘P-spinu Dl , to wówczas wektor stanu zapisany w liczbie

obsadzeń bozonów neutronowych i n oozonów protonowych

Mikroskopowa interpretacja bozonów "s ₁₆₉

jest ortogonalny do wektora

Sozonowy związek ortogonalności ma pełną analogię w przestrzeni fermionowej, w której odpowiednio skorelowane pary neutronów i pary protonów są odpowiednikiem bozonów. Jeżeli jednak dodamy do układu bozonowego bozony neutronowo-protonowe w liczbie nnp » to w przestrzeni bozonowej warunki ortogonalności pozostaną analogiczne

<n n n . . n , I n p np I n

natomiast w przestrzeni fermionowej wektory stanu | n^, np, nnp^>

o różnych liczbach par fermionowych nie będą ortogonalne, jeżeli tylko spełniony będzie warunek n^ •+ n₽ + n^ = const, oraz n^ - ip — const. Stąd wynika, że przestrzeń bozonowa zawierać będzie więcej niż potrzeba niezależnych wektorów ! stanu, co w spo­

sób nieunikniony wprowadzi stany niefizyczne ("duchowe") do prze­

strzeni bozonowej. Ta wada przybliżenia bozonowego znajduje się jednak poza zasięgiem problematyki tu rozważanej.

Druga uwaga dotyczy hamiltonianu, który w wersji oddziału­

jących bozonów izospinowych “s" zapisać można następująco (1) H. » V (S + S+) . (ś s )° + V (s + s + )2 • (ś ś )2=(Ho)b+ (H2^b

n 1 — T

gdzie operatorem anihilacji jest śj- - (-1 ) o. s_^ ;

-1, 0, +1, a mnożenie określone jest jako mnożenie skalarne, natomiast sprzężenie bozonów "s" do całkowitego izospinu rozumie się jako zwykłe sprzężenie przy pomocy współczynników Clebscha- -Gordana. W zapisie pominięto liczby kwantowe momentu pędu (b » 0, m “ 0), a pozostawiono jedynie liczby kwantowe całkowi­

tego izospinu, z wyjątkiem pojedynczego bozonu, którego liczbę kwantową T “ 1 też będzie się pomijać. Otóż w interpretacji mikro­

skopowej przyjęło się w modelu IBM traktować odwzorowanie wek­

torowych przestrzeni bozonowej i. fermionowej w zgodzie z interpréta-

170 Stanisław Szpikówski

cją bozonów jako odpowiednich par nukleonów. Odwzorowanie ope­

ratorów, w szczególności hamiltonianu, dokonywane jest w litera­

turze bozonowej na szereg różnych sposobów. Jeżeli jednak ogra­

niczymy się do skończonych odwzorowań modelu IBM, bądź typu uogólnionych odwzorowań Dysona-Maleeva, bądź też opartych na innych założeniach [j5,7,8,lQ], to wówczas hamiltonian oddziałują­

cych fermionów jest odwzorowany hamiltonianem oddziałujących bozonów. Taka interpretacja dominuje w bieżącej literaturze.

Skalamy hamiltonian fermionowy, w obu przestrzeniach mo­

mentu pędu i izospinowej, czynny tylko dla par sprzężonych do momentu pędu I « 0 (odpowiednik bozonów "s"), a z koniecżnych warunków antysymetrii sprzężonych także do izospinu T - 1, moż­

na prosto zapisać, ograniczając się do jednego poziomu j modelu powłokowego. Mianowicie:

Hf - G(a * a * )° 51 -(a. a.)0;1 (2)

, . ~ z . i j-m z , \ 1/2 - t

gdzie ajmt; “ (-1) ° aj-m-T oraz obecnie

k - 1/2. Liczby kwantowe sprzężeń par nukleonów zapisane są w kolejności (i, T). Przy porównywaniu hamiltonianów (1) i (2) widać, że w bozonowym występują dwa człony, tak zwany izoska—

lamy (T « O) i izotensorowy (T = 2), natomiast w hamiltonianie fermionowym - tylko człon izowektorowy T •> 1. Jeśli się zważy, że w obu przypadkach izospiny mają odpowiadać fizycznym izos­

pinom, to sytuacja ta jest w rażącej sprzeczności z przyjmowaną interpretacją modelu IBM.

Jedyny, jak się wydaje, sposób zapewnienia odpowi edniości sprzężeń izospinowÿch w przestrzeni bozonowej i fermionowej po­

lega na przyjęciu założenia, że dwuciałowe oddziaływanie bozonowe jest odpowiednikiem czterociałowego efek­

tywnego oddziaływania w przestrzeni fer­

mionowej. Wówczas bowiem, odwzorowanie zachowujące sprzężenia izospinowe hamiltonianu bozonowego (1) jednoznacznie zapisać można.w przestrzeni fermionowej następująco:

H< - < [(’/"Ф0“ • (»;.;3r-° • [(L ï )011- (W.)011] т-°.

*— J J JJ- * L-JJ J J -J

Mikroskopowa Interpretacja bozonów "s* 171

Zajmiemy się następnie szczegółowym przebadaniem porównania obu hamiltonianów (1) i (3), jak też i energii własnych tych operatorów.

HAMIDTONIANY

Rozpisując hamiltonian (1) i wykorzystując odpowiednie war­

tości współczynników Clebscha-Gordana, otrzymuje się

H , - V (2s+s+ -s+s * )(2ss - s s ), (4) ob o ' n. p np np' ' n p np np' *

Hm

V» I 1 * S S S S 2b 2 I n n nr n

+ 2- ♦ s * s+ »• s n n n n

+ 2/3 ♦ (s+ s+ s+ s+ ) (s s + s s ) ' ' n n np np' n p np np' + 2 sp * np snpsnp

(5) + 1 • s * S * s s 1,

p p p PJ •

Podocnie rozpisać można hamiltonian fermionowy (з) w terminach operatorów kreujących i anihilujących pary nukleonowe sprzężone do momentu pędu I « 0 oraz izospinu T - 1 Г16~]

S+ - 1/2 (-l)j“m a * a * , n ' m ' ' mn —mn * S* - 1/2 £ (-l)j-m a* a+ ,

p ’ m mp -mp

s+ . 1/2 (-Ip“*” (a+ S * + a+ a+

np ' m ' ' ' mp -mn mn -mp

172 Stanisław Szpikowski

S - (S * ) + *, S - (S+)+ S - (S+ )+ (6)

n ' n' * p

• np ' np' , ' '

Przyjmujemy tutaj ograniczenie konfiguracji nukleonów do jednego poziomu j, chociaż identyczne wyniki ' otrzymać można dla dowolnego układu zdegradowanych poziomów, dopisując je­

dynie wskaźnik sumacyjny uwzględnionych poziomów j. Tak więc hamiltonian (з) wyrazi się następująco przy pomocy operatorów (ó)

Hof - 16 <2 (2S * sj - 1/2 S * p S * p) (2SnSp - 1/2 Snp Snp) (7)

H2f - lóv2'/fi 2 S * S(i s s n n n

+ S n S S S np np n

(2S+ S

n P S * S+ ) (2S S + S S ) np np' ' n p np np'

+ S P S S S np np p

S S P P P

gdzie <2 —2j+l, albo dla układu zdegerowanych poziomów

=^(2j+l).

Porównanie wzorów (4-5) i (7-8) wskazuje na niezgodność współ­

czynników liczbowych obu hamiltonianów. Zauważyć wszakże należy, ze bozony "s" i pary fermionowe nie mają takiej samej normalizacji, gdyż bozony "s" unormowane są do jedności, tj.

<^0 I ®s+ J o> = 1 ,

natomiast pary nukleonowe. nie. Wprowadzając zamiast (ó) pary unor­

mowane

S

* - (tfi/2)1/2

(Sn} norm’

S P

(Ä/2)1/2 (S^)

p norm

M.kro^»kopowŁ interpretacja bozonów ws 173

S+ - (tß/2)1/2 (S+ ) (9)

np xwu* ' np 'norm ' '

oraz odpowiednio pary anihilacyjne, otrzymujemy na podstawie (?)

H . - 4v ' fr2(S+) (S+) -(S* ) (S+ )

of o )L n'norm ' p'norm ' np'norm 4 np normj x [2(S ) (S ) - (S ) (S ) ~]1

L n'norm' p'norm ' np'norm ' np normJJ (10)

со z dokładnością do globalnego czynnika 4 odpowiada współczyn­

nikom hamiltonianu bozonowego (4). Podobnie zapisując (8) w po->.

staci par unormowanych, otrzymuje się te same współczynniki licz­

bowe, co w hamiltonianie bozonowym (5).

Równość współczynników obu hamiltonianów, bozonowego i fermionowego, aczkolwiek znacząca, nie przesądza niczego; wszak hamiltonian bozonowy jest dwuciałowy, działa w przestrzeni bozono- wej o bardzo prostych warunkach komutacji w odróżnieniu do czte- rociałowego hamiltonianu fermionowego o skomplikowanych warunkach komutacji operatorów kreujących i anihilujących odpowiednie pary nukleonów. Ponadto, hamiltonian bozonowy związany jest z prostą symetrią izospinową grupy SU(2), podczas gdy hamiltonian fermio- nowy kreuje bardziej złożoną symetrię grupy ortogonalnej SO(5)[_16^]

Porównamy jednak energie własne obu hamiltonianów na przekór tym zasadniczym różnicom.

ENERGIE WŁASNE

Rozważmy na początku diagonalizację hamiltonianu bozonowe­

go (1). W tym celu należy skonstruować dwa komutujące operatory fizyczne o znanych wartościach własnych, które wyrażać się będą liniowymi kombinacjami operatorów i ^b’ operatorami mogą być kwadrat operatora liczby cząstek i kwadrat operatora całkowitego izospinu bozonowego. Prosta konstrukcja prowadzi do następujących wyników

N 2 - N + (S + (S+S+)2 (ss)2

174 Stanisław Szpikowski /'

^--Ke+gj1 (s^)1 - 2N-2(s+s+)° (sg)°+(ss)2 (ś * s +)2

(12) Zatem

(e+e+)° (Ss)° - 1/3 (N2 + N - Î2) ; (13)

(s*Ś*)2 (W2 - X/3 (2N2 - 4N + Г2) (14)

Z tożsamości (13) i (14) otrzymujemy natychmiast energie oddziały­

wania "skalarnego" i "tensorowego" w przestrzeni izospinowej

Eob " vo/3 (" - T) (n + T + 1) (15) E2b " vo/3 $2n<n - 2) + Т(Т + 1)] (16)

Formuły (13-14) są w zasadzie równoważne związkom (1) i (3) w pracy Elliotta i White'a [~5Z] ■ jeżeli te os­

tatnie zawęzimy do bozonów "s".

Diagonalizacja czterociałowego hamiltonianu fermionowego (3) wymaga bardziej złożonego postępowania. Punktem wyjścia jest uwaga,

że zbudowany jest onz generatorów grupy kwazispinowej SO(5), wykorzystanej do diagonalizacji oddziaływania pairing dla układu pro­

tonów i neutronów DC Stosując rozwiniętą w ramach tej grupy tech­

nikę algebraiczną, można także zdiagonalizować oddziaływanie (7-8).

Taka diagonalizacja została ostatnio dokonana dla celów badania czterociałowego efektywnego oddziaływania fermionowego w zastoso­

waniu do jąder z powłoki sd - f?y2 Otrzymano tam następu­

jące formuły algebraiczne

Eof=Vo/12 (n-v-2TXn-v+2T+2)(2£+4-n-w2T)(2Ä+6-n-v+2T), (1?)

E2f“v^^2Eo{ , +2(n-ffi-4) ßn-v)(2ffi+6-n-v)+2T(T+l)(n-i2-4|j O

(18) Porównanie energii bozonowych (15-16) z energiami fermionowymi nie wskazuje! na pierwszy rzut oka, na żadne podobieństwo. Zauważmy jednak, że przy porównaniu należy uwzględnić następujące korelacje.

Po pierwsze, liczbę fermionów we wzorach (17-18) należy zastąpić

Mikroskopowa interpretacja bozonów "s” ... 175

liczbą bozonów kładąc n^-2n , gdyż we wzorach (15-16) występu­

je liczba bozonów. Po drugie, w przypadku tu rozważanych bozonów

"s”, seniority v jest równa zeru, należy więc we wzorach (17-18) położyć v=0. Po trzecie, odwzorowanie bozonowe jest obrazem przy­

bliżonym. Dlatego też, wzory na energie fermionowe należy uważać, w ramach przyjętych założeń, za dokładne, a energie bozonowe

(15-16) za przybliżenie, głównie ze względu na niezachowanie za­

sady Pauliego w przestrzeni bozonowej. Przybliżenie bozonowe bę­

dzie zatem tym lepsze, im mniej par fermionowych obraz bozonowy będzie opisywał, a także tym lepsze, im większa przestrzeń fermiono- wa będzie dostępna dla tych par. Wyrażając ten ostatni argument w postaci matematycznej, należy położyć we wzorach (17-18) п/ф->о.

Jeżeli wprowadzimy do wzorów (17-18) trzy powyższe korelacyjne po­

prawki, to otrzymany

Eof “ 4 (vó&2)/3 (% - T) (nb + T + 1) (19)

E2f “ 4 (V2Ä { 2nb " 4 nb + T + (20)

Nieoczekiwanie, także dla autora, otrzymuje się zasadniczą identycz­

ność obu par analitycznych formuł na energie fermionowe (19-20) i energie bozonowe (15- 16). Jedyna różnica obu par formuł wystę­

pująca w czynniku 4 jest właściwie potwierdzeniem identyczności, gdyż ten sam różniący czynnik występował w diagonalizowanych hamiltonianach bozonowym (4-5) i fermionowym (10). Natomiast czyn- nik przestrzeni fermionowej t2 włączyć można do natężenia oddzia-

2 o 2

ływania, kładąc

° oraz v2 - v2'ö .

KONKLUZJE

Przedstawione w pracy bozony izospinowe "s" i „ich fermiono­

we odwzorowania mają tą zaletę, że energie własne obu hamiltonia- nów są dane formułami analitycznymi. Odpowiedniość obu rozwiązań, mimo różnych symetrii SU(2) i SO(5) rządzących odpowiednio ha­

miltonianem bozonowym i hamiltonianem fermionowym nasuwa nieod­

party wniosek, że właściwe odwzorowanie dwuciałowego hamiltonia­

nu bozonowego uzyskane jest przez czterociałowy hamiltonian fermio-

nowy. Możliwe jest także zwężenie otrzymanych wyników do jednego

176 Stanisław Szplkowski

rodzaju bozonów "s" i jednego rodzaju par nukleonowych kładąc nb ° T. Otrzymuje się wówczas przypadek trywialny.

Włączenie bozonów "d” nie powinno podważyć ogólnej kon­

kluzji wynikającej formalizmu izospinowych bozonów "s". Jedynie trudności techniczne, nawet dla jednego rodzaju cząstek, wzrosłyby niepomiernie, w szczególności w przestrzeni fermionowej, uniemoż­

liwiając ogólną dyskusję opartą na znajomości rozwiązań anali­

tycznych.

Przedstawiona w pracy nowa propozycja interpretacji mikro­

skopowej modelu bozonowego może być poddana krytyce wynikają­

cej ze stwierdzenia, że model bozonowy stosuje się z dużym powo­

dzeniem do opisu jąder atomowych, które w przestrzeni fermionowej są V/ zasadzie wystarczająco opisywane przy założeniu dwuciało- wego tylko oddziaływania fermionówego. Jeżeli jednak przyjęlibyśmy czterociałowe oddziaływanie fermionowe za oddziaływanie efek­

tywne, wówczas powyższe zastrzeżenie odpadałoby. W takiej interpretacji, jednocząstkowe energie bozonów należałoby traktować jako energie uwzględniające już korelacje dwufermionowe, natomiast • człon oddziałujących bozonów odpowiadałby efektywne­

mu oddziaływaniu czterociałowe- m u w przestrzeni fermionowej, oddziaływaniu wynikającemu z oddziaływania dwuciałowego w obciętej przestrzeni stanów fermiono- wych.

Podkreślimy także, że warunkiem zgodności energii w przes­

trzeni bozonowej i fermionowej było przyjęcie n/iS->0. Warunek ten, nie pierwszy raz pojawiający się w rozważaniach odwzorowań becońowych, potwierdzony został w pracy jako warunek dobroci odwzorowania bozonowego.

Praca niniejsza została zainicjowana w. czasie bytności auto­

ra w Uniwersytecie Technicznym w Monachium, a zakończona pod­

czas pobytu w Uniwersytecie Sussex, Brighton. Autor wyraża podziękowanie zarówno profesorowi K. Dietrichowi z. jak i profesoro­

wi J. P, EUiottowi za ich gościnność oraz za istotne dyskusje doty­

czące problemu pracy.

I Mikroskopowa interpretacja bozonów “s 177

PI SM1ENNICTWO

1. Feshbach 84. 211 (1974).

F., lachello F.: Ann. ot Phys.

2. I a c h e 1 1 o F., A r i m a A.: Phys. Lett. 538, 309 (1974).

3. A r i m a A., lachello F.: Ann. of Phys. 99, 253, (1976): 111, 201 (1978); 123, 468 (1979).

4. A r i m a A., Otsuka T., lachello F., Tairai I.: Phys. Lett 66B, 205 (197?).

5. E 1 1 i о t t J. P., White A. P.: Phys. Lett. 97B, 169 (1980).

6. O t s u к a T., Arima A., lachello F.S NucL Phys. A309, 1 (1978).

7. Ginocchio J. N., Talmi I.: Nuci. Phys.

; Д337 431 (1980).

8. G e y e r H. P., H a h n e F. J. W.î Phys. Lett. 97B, 6 (1980); NucL Phys. A363, 45 (1981).

9. К 1 e i n A., Vailiers M.t Phys. Lett. 98B, 5(1981) 10. Arima A., Yoshida N., Ginocchio J.:

Phys. Lett 101B, 209 (1981).

11. Hahne F. J. W.: Phys. Rev. C 23, 2305 (1981).

12. G e y e r H. B., Lee S. Y.: Phys. Rev. C 26, 642 (1982).

13. С о h e n T. D., Klein A.: NucL Phys. A390, 1 (1982).

14. C h i n g - t e h Li.; Phys. Lett 120B, 251 (1983).

15. Bohr A., Mottelson B. R.: Physica Scripta 22, 468 (1980); 25, 915 (1982).

16. Flowers B. H., S Phys. Soc. 84, 193 (1964).

17. Szpików ski S.,

zpikowski S.: Proc.

T r a j d о s M.: oddano do

publikacji.

178 Stanislaw Sxpikowski

SUMMARY

The microscopical interpretation of the s- boson two-body Hamiltonian is given by means of the four-body effective fertnion interaction. The analytical formulas for energies in both boson and fermion spaces were shown to be equivalent. Those formulas were - also used to get the condition of a good approximation of the interact­

ing boson model in the description of nuclei.

РЕЗЮМЕ

В работе представлено микроскопическую интерпретацию двух­

частичного Гамильтониана бозонов "S " при помощи четырехчасти­

чного эффективного фермийного взаимодействия. Аналитические формулы для энергий в бозонном и фермионном пространстве ока­

зались равновесными. Использовано их для получения точности бозонного приближения в описании атомных ядер.

Złożono w Redakcji 5 Vin 1983 roku.