_ z wieloma źródłami głośnych zakłóceń Minimaksowe decyzje w pewnych problemach sterowania

A nd rz ej G r z y bo w s k i

Częstochowa

Minimaksowe decyzje w pewnych problemach sterowania z wieloma źródłami głośnych zakłóceń

(Praca wpłynęła do Redakcji 1986.05.12)

Wprowadzenie. W pracy rozważa się układ stochastyczny opisany równa- niem (1). Niezależne ciągi zmiennych losowych vk0, vkl, ..., k = 1, . . s, mo- żna interpretować jako zakłócenia działające na system i pochodzące z s niezależnych źródeł. O zakłóceniach tych zakładamy, że są „głośne”, tzn. że w chwili n znamy wartości wszystkich zakłóceń do chwili n — 1 włącznie.

Zmienne losowe vk0, kl,... mają rozkład o znanej funkcji gęstości pk(vk, źk) zależnej od nieznanego parametru Xk. Ponadto w rozpatrywanym modelu zakładamy, że sterowania un nie oddziaływają na system w sposób zdetermi- nowany, lecz są zniekształcane przez losowy „błąd wzbudzony” w„. Dla takiego układu chcemy zaleźć sterowania minimaksowe. Szczegółowo rozwią- zano ten problem w sytuacji, gdy zakłócenia składają się z sumy zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym oraz z komponenty ciągłej o rozkła- dzie normalnym.

I. Sformułowanie problemu. Rozważmy układ stochastyczny zadany przez równanie

S

(1) *n+l =a„X„ + W„u„+ £ yk»Vkn>

k= 1

*o = e, n = 0, 1, ..., M,

gdzie xn jest zmienną stanu, un jest sterowaniem, w„, vkn, k = 1, ..., s, n = 0, 1, _, j6f są niezależnymi zmiennymi losowymi; a„, ykn, e — dane stałe.

Przyjmujemy, że w chwili n znamy: V f”1 = (vk0, vki, ..., r*n_i),

k = 1, ..., s, oraz X„ = (x0, x l5 ..., x„). Zakładamy, że dla n = 1 ,..., M un

jest rzeczywistą funkcją borelowską X„, V f ' 1, k = 1, ..., s. Przyjmujemy, że

dla każdego k = 1, ..., s, vk0, vkl, ... mają ten sam rozkład PAfc oraz że PXk

należy do wykładniczej rodziny rozkładów z kwadratową funkcją wariancji, tzn. jego gęstość względem <r-skończonej miary q na R = ( — 00, 00) ma postać:

(2) pk (vk, Xk) = Sk (vk, qk) exp [qk Ak (Xk) + vkBk (Xk)],

gdzie Xk eA k jest parametrem. Zakładamy parametryzację naturalną, dla której zachodzą warunki podane w pracy [ 1], z których wynika, że (3) Ekk (vkn) = qkXk, Eh (vkn) = qkl Xk2 + qk2 Xk + qk3

dla pewnych stałych qk > 0; qkl, qk2, qk ³ - Będziemy zakładać, że znamy postać pk(vk, Xk), k = 1, ..., s, nie znamy jednak wartości parametru Xk.

Rozkład zmiennych losowych w„ jest nieznany, ale zakładamy, że dane są jego pierwszy i drugi moment, tzn. znamy: E(wn) = px, £(wj) = p2 •

Niech u0, ulf ..., uM będą sterowaniami. Wektor U =(u0 , ..., uM) nazy- wamy strategią sterowania.

Przyjmujemy, że sterowanie odbywa się do losowego momentu N. Zakła- damy, że ten losowy horyzont jest ograniczoną zmienną losową, niezależną od w„, vkn, k = 1, ..., s, n = 0, .. ., M, o danym rozkładzie:

(4) P(N = n) = pn, pM > 0, Y M j Pi = L i= 1

Wprowadzimy oznaczenie: X = (Xl5 X2, ..., Xs). Zdefiniujemy funkcję ryzyka dla danej strategii sterowania U jako:

(5) «(I, ^{U) = EP} {£x[S (dl. D ^ ’di, _{i = 0} ^{W + k} ,«?)]} =

= Ep {Ex [ Y (aoo x } + Y a*k + 2 Y a 0 k xi Xk +

i == 0 k= 1

s — 1 s

+ 2 1 z flk/Xfc x, + ki uf

*=

/= ^{k+ 1} gdzie macierze

4°o ao\ ••• flffi

(6) ^{A (i)} = ^{n (i) “ 11}

_a{ol

• • ^{a {i)}

_J

są nieujemnie określone, o^i) > 0, > 0, (x,, X) = (xf, .Xx, ..., Xs), £ p( ) ozna-

cza wartość oczekiwaną względem rozkładu (4) zmiennej losowej N, ^{E x (} )

oznacza wartość oczekiwaną względem rozkładu zmiennych losowych

w0, wM, vk0, ..., vkM, k = 1, ..., s, gdy X jest znanym parametrem.

Załóżmy, że parametry Ak są niezależnymi zmiennymi losowymi. Niech 77 będzie rozkładem a priori wektora losowego X. Funkcję

(7) r(77, U) = j R(X, U) dli

Ai x ... x /ls

nazywamy ryzykiem bayesowskim.

W dalszym ciągu będziemy zakładali, że jedyną informacją o parametrach ,..., As jest to, że FI należy do pewnej rodziny rozkładów r . Będziemy rozważali tylko te strategie sterowania U, dla których ryzyko bayesowskie jest skończone dla każdego l l e r . Zbiór tych strategii oznaczymy przez A r.

Strategię U{0)e A r, dla której

(8) supr(77, U{0)) = inf supr(77, U\

ner UeAp ner

nazywamy r-minimaksową strategią sterowania.

r-minimaksowych strategii sterowania będziemy szukali w przypadku, gdy ryzyko dane jest wzorem (5), a klasa r jest określona przez zadanie pewnych momentów dla rozkładów zmiennych losowych Xl5 ..., As.

II. Naturalna rodzina wykładnicza z kwadratową funkcją wariancji. Załóż- my, że dla danego k zmienne losowe vk0, vkl, ... mają rozkład z gęstością pk(vk, Xk) określoną wzorem (2). W [1] pokazano, że istnieje dokładnie sześć rozkładów — nie licząc ich liniowych transformacji — należących do klasy wykładniczej i spełniających warunek (3). Są to rozkłady: Poissona, dwumia- nowy, ujemno-dwumianowy, gamma, normalny i GEHS.

Oznaczmy przez 7 7 ^ rozkład o gęstości danej wzorem (9) gk (X*, Pk, rk) = Ck (pk, rk) Bk (/k) exp [& Ak (żk) + rk Bk (Xk)], gdzie parametry (£k, rk)eS k.

W [3] podano postacie zbiorów Sk parametrów (/?k, rk), gdy pk(vk, Ak) jest gęstością jednego z sześciu wskazanych rozkładów.

Gdy FIpkrk jest rozkładem a priori parametru Ak, wtedy rozkładem a posteriori tego parametru, gdy znamy £ vki, jest' ^k(Xk, ^k„, rkn), gdzie n- 1

i=0 n— 1 (10) Pkn = Pk + nqk, rk„ = rk+ £ vki.

i= 0

Dla rozkładu a priori 77Jgfcrfc parametru Ak mamy (patrz [2], [3])

( 1 1 ) E ix jv r 1) ^

Pkn oraz

£ ( 4 2/ n " “ ‘) = V

r,2„ + T ń r» „+ Ę ,

( 12 )

gdzie E(-/Vk *) oznacza warunkową wartość oczekiwaną, gdy jest dany wektor Fk"_1; T£, i = 1, 2, 3, są stałymi zależnymi od fikHt fik0 = pk,rk0 = rk.

III. Strategie bayesowskie i ich ryzyka. Niech X = (At , ..., As) ma rozkład 77. Strategię sterowania Un €Ar spełniającą warunek

(13) r(77, Un) = inf r(77, U)

UeJp nazywamy strategią bayesowską.

Wprowadzamy oznaczenia: fi = fia-i),r = (rit ra_i).__

Niech U*(fi, r, ps, rs) = (u$, uf, ufa) będzie strategią sterowania określoną w następujący sposób:

(14) «Sr = 0,

U* = - P„Xn~ X Qknrkn = - PHXn- £ ^ M _ 1 ’

Pkn

gdzie

(15)

k= 1 k= 1

P„ = n „+1 ctnAn+lfi1 77„

—— An+1 p2 77n

~ 77„ +1 ^n+l Tkn^k + ^fc.n+l 1 0 *„ = -p r~ P i 77,

M

= I p„

, , 77„+1 ,, Pkn

kn+ ——— An+i g ²

k 1, ..., s,

stałe A„, Dkn, k = 1, ..., s, spełniają równania rekurencyjne

4 - n (") i ^ n + 1 ,4

— “00+ ^n+1

(16)

^ ~2 i ^ n+ 1 /( _j - j An+1 <X 0C„ _2 .,2

“ u , , 77w+1 ^

^"+1 ^2

Dkn — a0ik + 77„ + 1 C^kn Qk An+ i "ł" Dk n+ i] ^ ( IIn+i A '„2\

n

^n+1 ^

n„ , 77„+1 a

+ ^ n + l/^2 77,

z warunkami początkowymi: = a(0^ , 7)kM = a ^ , k = 1 ,..., s. Przez <r2 oznaczono wariancję zmiennych losowych w„.

Podobnie jak w [2] przez zastosowanie metod programowania dynami-

cznego dowodzi się, że wyżej opisana strategia sterowania jest bayesowska

względem rozkładu a prio ri77 = n Pin x llp 2r2 x ... x / 7 ^ , gdy (/?, r, /?s, rs)

eSi xS2 x ... xSs. Przez {fi, r, /?s, rs) rozumiemy wektor

(fil* r 1, 02, r2,..., 0S, rs).

Niech Vn~1 = (F 1"“ 1, K2"_1, ..., Fs"-1) oraz niech M n ~

(17) R„(ż, 17) = £ x {£ — I f + k u f W" - 1, Xn},

gdzie X J oznacza warunkową wartość oczekiwaną przy danych wartościach Vk ~x, k = 1, s, X n.

Oczywiście R 0 (X, U)

R (X, U).

Stosując metody podobne jak w [2] dowodzi się, że Rn(I, U) spełnia następujące równanie rekurencyjne:

(18) R„(X, U) = (x„, X)A<">{x„ X)r + ^«„2 + % i £ x[R„ł I (I, U ) / V ~ \ X„], a następnie, że

(19) R(X, r, A, r,)) = a(0’x3 + £ [ C ^ + 4 °U ,2 + 21il0'x 04 +

k = 1

+ 2 X 4? Xi + 2 £ (fcg* rk r} + mg* Xk Xj) + g(k0) Xk] + z(0),

j= 1 J= k 1

gdzie stałe a(0), 4 0); ^k0), 4?\ g[0), z(0); k, j = 1 , ..., s, k ^ r ^ s , k < / < s, można otrzymać z następujących, rekurencyjnych ze względu na n równań:

a'"> = A„, Ą"' = Din,

t& = 4 a , . 0 , . + % - f e An k iQknQ „ + b ^ l>y

d** =: akk H jj C^n+1 7k« Qki + 2Dk „+ j yk„ qk +

+2K+1,* + M ri,<h l+4"+11],

(20) = % - [ - / ( ,+, a . ^y„q,lii+bi }+1 1 , a„M. + « r “i

mli? = 4 ? + /7^ L‘ [ 4 + i Tta7in9»9i + 1 Vi„9i + Di,.+1 A,9„ +

+ ® +119ft + S'* " 9, + J) 9* 9, + mlT "],

4 ”’

2 '"' =

n ^»+1

n„+i n„

[An+ i ykn4k2 + frk*+1)4k2+0k"+1)]>

K +1 i yk2^k3+ _{k= 1 k= 1} i

z warunkami początkowymi: a(M) = affl, Ą M) = a[k\ hk = ajj?, mkł = affK i pozostałymi stałymi dla n = M równymi zeru. Rozwiązanie tego układu równań jest następujące:

( 21 )

, ( n )

A„ /ii"* = Dkn,

i M - 1 o(i)

U(n) _ V 3fcr

kr n n it f i kifiri’

Ąn) = — n n

m _ _ L

~ ⁿ XX n

M - l ... -

t'k’-Z q t Z ( i- n ) - ~ + Z

i = n + l Pki i = n + l \Pki) .

C(i)

M- 1 _{ł fck}

M — 1 o(i) M - l o (0

Z / + « , Z

i = n Pki i - n + 1 Pki Pji _

4 ? i _{#•(«) _}

rki Hk

M - 1

i = n + 1 Z

Z(n) =

+ HkHi Z

i = n + l P k i P l i _ Hk2

- - c(0 M -1 o(0

Z Z ( * - » ) = * +

1 ' Pki i = n + 1 Pli

C (0

M - 1

C(i)

i V1 /• \ ^kk

i = n + l \Pki) J

77

rr 1 s Z ^k3

i J n k= 1

M - l o (0

. /• x *^kk

gdzie niezależne od fi, /?s stałe są dane równaniami:

^k? = H k n H i n ( I I n+ 1A n+ k f i 2 + n „ k n),

= n„ a g + Z n i+! t ó ^ki 4-+1 + 2ykt- qk Dk>i+i + 1}),

M - 1

( 2 2 ) tffl = F l n a f f + Y

H i + 1 (Jki 7 u Hk Hi A - + i + 7ki Hk A , i + 1 + 7 u Hi D k,i + 1 + a u + 1 ))»

i~ n

4 ? = fti (* ~ n) + Hk (i — n)(i — n — 1),

M - 1

ykn = Z 7ki 77f + i A l + ! . i = n

IV. Granice strategii bayesowskich. Podzielmy zbiór indeksów «/ =

= {1,2, . . .,s — l} na trzy rozłączne podzbiory J u J 2, </3 takie, że J = / j u Ą u Ą . Oznaczmy ten podział zbioru </ przez Wprowadzimy następujące oznaczenia związane z podziałem ^ zbioru J . Przez fi* =

= {fi*, /?f-i) oznaczamy punkt w /f*- 1 — być może niewłaściwy — taki,

że fit = fik, gdy k fit = oo, gdy k e J 2, gdzie Analogicznie,

przez P = (rf, rf_x) oznaczamy punkt w Rs~x taki, że r$ = mk, gdy k e J t v J 2, rf = rk, gdy k e J 3.

Niech m* = (mf, m f-J, y = (yi, ys_-i), = (<71 ? będą punktami w I?5-1. Będziemy pisali, że y -►/?*, jeżeli dla każdego k e J : yk -*/?*, oraz że %. -*m*, jeżeli — ->m* dla k e J i KjJ2 i — “*-77' dla k e</3.

y l k 7k Pk

Z danym podziałem & zbioru J związane są strategie sterowania, których oznaczenia i definicje podajemy poniżej.

Oznaczmy przez U#{(}*, P , /3S, rs) = (u0, uM) strategię sterowania, dla której:

«m = 0,

(mk)

(23) un = - P nx„ - Y. HtĄ ---- £ Hknmk —

k e ^ i Pkn k e S 2

~ I H j - p - H j f - , n = 1...M - 1,

k e S

Pkn Psn

uo — ~ P o xo~ X Hkomk~ Z ^ko~n Hs0— .

k e ^ i

Pk Ps

Podobnie przez +Up(j3*, r, oo, mj = (+u0, +Mi> •••» +% ) oznaczamy stra- tegię, dla której

+“M = °’ <»*>

(24) +u„ = - P . x . ~ Y. HtĄ ---- X Hk„mk-

k e S ^ Pkn k e J 2

~ Y H k n j 1 - H s n m s , n = 1 , . . . , M — 1, k e J 3 Pkn

+ U0 ~ ~ P o X0~ X HkOmk~ X ^ k0~R HsOms- ke^i kj J2 *6^3 Pk

Wreszcie przez ~Up(j3*, P , /?s, ms) = (- u0, _ m 15 ..., _wM) oznaczamy strategię zdefiniowaną następująco:

mm —

J mk>

Un = ~ PnXn~ £ H kn~£---Z H kn ™k ~ r kn

keSi Pl ^kn

(ms)

- I n = 1... M - l ,

k e S

Pkn Ps

U0 — ~ PoX0~ Z ^kO mk — Z ^*0 71 #s0 ms • keSj u-^2 ke^3 Pk

( 25 )

Występujące w powyższych definicjach symbole /?*„, rkn mają znaczenie

n— 1

nadane im wzorami (10), a rk™k) = ]T vki-\-mk^k.

Dla f c e { l,...,s | będziemy pisali, że mkESkl, jeżeli istnieje ciąg i=0

{(7ki» <*«)};= i, (Va, dla którego yki -+ oo, — ^ m k dla i -> oo. Podob- nie będziemy pisali, że (fłk, mk) eSk2, jeżeli istnieje ciąg {(yki, tfki)};=i, dla 7ki

którego (yu , aki)e S k, yki -►&, — ^ m k dla i -►oo.

Z postaci zbiorów Sk wynika, że dla każdego z sześciu rozkładów należących do klasy wykładniczej z kwadratową funkcją wariancji Pk > 0, jeżeli (Pk,r k)eS k (patrz [3]).

Załóżmy, że

mk eSkl, (yk, ak) eSk dla k e J 2t (26) (fik, mk) eSk2, (yk, <rk) eSk dla /c 6 J u

(pk,r k)eS k dla k e J 3, k = s.

Wtedy z (19) i (21) otrzymujemy

(27) R (I, f*. ft, O) = lim R(X, £/*(f, <f, ft, rj).

f-ł*

-=• ->m*

Jeżeli mseSsl,(ys,trs)eS s, to

(28) R (f,+l/,(? * ,r* ,o o ,m J)= lim R (X, U* (y, 5, y„ aj).

-»m*

yc -►oo,--- ►mc s

Vs s Jeżeli (&, ms)e Ss2, (ys, <Js)eS s, to

(29) R(X, ~ U<?($*, r*, f}s, mj) = lim R(X, U*(y, a, ys, aj).

y-+ P *,J -*m*

yS~*Ps’ys ~*mSas

V. Strategie r-minimaksowe. Niech U* (/?, r, ps, rj będzie strategią baye- sowską wzgjędem rozkładu a priori 7 7 ^ x 7 7 ^ = 7 7 ^ x n fi r x ... x /7^

parametru k. Wtedy z (19) i (21) otrzymujemy, że jeżeli TI jest rozkładem a priori parametru I, to

(30) r ( n ,V * t f , r, ft, r,)) = £ Ą01 £ (A?) + fc= 1

+ £ (2Dfc0 + 9l°> + 2 £ IJj? ij) £ (A*) ■+ 2 ’£* £ mg' £ (A*) E (A,) +

*=1 j = l k = 1 j= k + 1

+ io ^ o + z(0) + i B ^ + 2 Z b[?rkrj).

fc = 1 j= k+ 1

Załóżmy, że dla k e J zmienne losowe vk0, vkl, ... mają rozkład dwumia- nowy z parametrem Xk, a zmienne losowe vs0, vsl, ... mają rozkład normalny z parametrem Xs.

Załóżmy, że r jest zbiorem tych wszystkich rozkładów a priori parametru I, dla których

(31) E(Xk) — mk, 0 < mk < 1 dla k e J oraz

(32) £(żs2) = ms, ms > 0,

gdzie stałe mk, k = 1 , ..., s, są dane.

Gdy pk(vk, żk) jest gęstością rozkładu dwumianowego, wtedy dla rozkładu a priori parametru Xk zdefiniowanego wzorem (9) mamy, gdy (Pk, rk)eS k, że E(Xk) = j - oraz

Pk

(33) E (11) = g s* = {/V- rk > 0, rk > 0}.

Gdy pk{vk, Xk) jest gęstością rozkładu normalnego, wtedy dla rozkładu a priori parametru Xk zadanego wzorem (9), gdy (Pk, rk) eSk, mamy że E(Xk) = oraz

Pk

(34) E(li) = § + - j - , Sk = % > 0, rk eR\.

Pk Pk t

Wobec tego, jeżeli iJ^>Fx/7^ eT i {Pk,r k)e S k, k = 1, ..., s, otrzymujemy (35)

oraz (36)

— = mk, k e ./,

Pk

r2 1

1 2

+ - = ms.

Pt Ps

Z (30) wynika, że jeżeli n eT, to ryzyko bayesowskie r(J7, U* (P, r, /łs, rs)) przyjmuje postać

(37) r { n ,U * tf,r ,P „ r ,)) =

= i ' Ą ^ M E U D + Z .W , f, Ps, rs)E ls + Z 20 , f, A, rj, k= 1

gdzie

s — 1

Z itf, r, rs) = 2Ds0 x0 + g(s0) + 2 £ /Js0)r, + 2 X m j?S -

j= i ;= i

( 38 )

W nawiasach przy współczynnikach we wzorze (37) zaznaczono ich faktyczną zależność od wskazanych zmiennych.

Wprowadzimy podział , / zbioru indeksów ,/ = [1, s — 1] związany z własnościami współczynników Ą0)( ). Rozłączne zbiory / l5 , / 2, ^3 podziału , / określamy następująco:

k e J 1 o d ia każdego fi > 0 djt0)(/ł) > 0, (39) / c g / 2 o dla każdego fi > 0 <40)(/ł) <0, /c g o istnieje fik takie, że d{k0)(j3k) = 0.

Oczywiście / = i t u i 2u / 3, co wynika z ciągłości funkcji c40)(-) dla /?k > 0.

Przyporządkujmy temu podziałowi punkty fi*, r*, m* (określenie patrz IV), dla których:

& = 0 dla k e J u fik = fik dla / c g / 3, r* = mk dla / c g , / i u . / 2, rk = mkfik dla / c g , / 3, m* = mk dla / c g / ,

gdzie mk = £żk, / c g ,/.

Z analizy postaci współczynnika Z t (fi, r, fis, rs) łatwo widać, że spełnia on przynajmniej jeden z trzech poniższych warunków

(A) lim Z 3 (y, a, fis, J m s - fis) ^ 0, y ~*P*A */v) -"i* Ps-<*>

(B) lim Z ^ y , a, Ps, - ^ / m sf ó - p s) ^ 0, y-*P*,(óly)

Ps-°°

(C) istnieją fis ^ — i rs takie, że (&, rs) eSs i ms f Gs (^s ’ fis» rs) dXs TYls

As oraz

lim Z i {y, o , fis, rs) = 0.

y o/y) ~*m*

Ponadto zauważmy, że Z x(-, •, ■, •) jest ograniczoną funkcją swoich zmien- nych, gdy spełniają one warunki (35) i (36).

Stosując wyżej wprowadzone oznaczenia, sformułujemy twierdzenie poda- jące r-minimaksowe strategie sterowania (.T-MSS) w każdym z możliwych

przypadków zachowania się współczynników d(k0)(•), / c g ,/; Z l (-, •, •, •)•

T w ie r d z e n ie . Przypuśćmy, że zmienne losowe vk0, vkl, ... mają dla k e J rozkłady dwumianowe, a zmienne losowe vs0, vsl, ... mają rozkład normalny.

Wtedy:

1) jeżeli spełniony jest warunek (A), to strategia + Up(fi*, r*, oo, y/ms) jest r-MSS;

2) jeżeli spełniony jest warunek (B), to strategia + Up(j3*, r*, oo, — ^/m^

jest r~MSS;

3) jeżeli spełniony jest warunek (C), to strategia U<?($*, r*, \8S, rs) jest T- MSS.

Do dowodu twierdzenia potrzebny jest, znany z teorii decyzji, lemat (patrz twierdzenie 6.5.2 [4]), który podamy w wersji zamieszczonej w [3]

L e m a t . Niech {TJk j ® będzie ciągiem rozkładów a priori na przestrzeni A, n ke r i niech [Uk} f oraz 1 r(n k, Uk) ] ® będą odpowiadającymi mu ciągami bayesowskich strategii sterowania i ich ryzyk bayesowskich. Jeżeli U° jest strategią sterowania spełniającą warunek

supr(77, U°) = limsupr(17fc, Uk),

Ile r k -* oo

to U° jest r-minimaksową strategią sterowania.

D o w ó d tw ierdzenia. Przypuśćmy, że spełniony jest warunek (A).

Z (37) i (28) mamy

r (n, r*, oo, ^/mj) = lim r(J7, U*(y, 5, y„ - 7>» = y-*P*,(a/y)->m* ys-ao

= lim [ £ 4 0»(Vl) £ tó ) + £ 4 0l(y*)£(^) + E 4 01 ( « £ « ) +

k e ^ i k e J 2 k e J 3

( a/y) -*m*

+ z 1 (y, O, ys, J m sy 2 - ys) EXs + Z 2{y, a, ys, J m sy2s - ys)] ^

< lim [ X dk0)(yk)mk+ Z 4 0)(yfcW + Zi(y, o, ys, j m sy2s- y s) ^/ms +

y ^ p * ,y s -*oo k e f i

+ z ² (y, V, ys, \/™sy2- y s)] = lim [V Ą 0)(yk) ak^ k + 1^ +

y-+P*, vs - « k e J yk (y k + 1)

(a/y) ->m*

/ 2

+ Zi(y, ó, ys, J m sy2 - ys) ^ — h + z 2{y, d, ys, J m sy2- y s)] =

Js

= _ lim r(n f ^ x IJ ______> U*(y, 5, ys, J m s y2s - ys)).

y-*p*,ys ->ao V*’v msy 2 + ys

(a/y) S

Powyższe granice oblicza się przy warunkach (yfc, <rfc) eSk, co oczywiście zawsze jest możliwe; mk, /?* spełniają warunki (26), a y/ms eSsl.

Ponieważ wykazana nierówność granic zachodzi dla każdego l l e r , więc na mocy lematu strategia +Up(J}*, r*, oo, yjms) jest w rozważanym przypad- ku T-MSS.

Podobnie dowodzi się prawdziwości punktów 2) i 3) twierdzenia 1.

Zauważmy, że ponieważ jeden z warunków (A), (B), (C) musi być spełnio- ny, więc z twierdzenia 1 wynika, że w rozpatrywanym problemie strategie T- minimaksowe zawsze istnieją.

Na koniec, zwróćmy uwagę na fakt, że strategie bayesowskie zostały wyznaczone przy ogólnym założeniu, że gęstości pk(vk, A*) należą do klasy wykładniczej z kwadratową funkcją wariancji. Na podstawie analizy wzoru (38) oraz wyników części IV widać, że w sytuacji, gdy zmienne losowe vs0, vsl, ... mają, zamiast rozkładu normalnego, jeden z pozostałych rozkładów należących do rozważanej klasy, można podać twierdzenie analogiczne do zawartego w tej pracy.

Prace cytowane

[1] C. M orris, Natural exponential families with quadratic variance functions, Ann. Statist. 10 (1982), str. 65-80.

[2] S. T ry b u ła, K. S zajow ski, Minimax control of a stochastic system with disturbances belonging to the exponential family, Zastos. Mat. 18.4(1985), str. 525-539.

[3] S. T ry b u ła, Some problems of control with noisy disturbances, Systems Science, przyjęto do druku.

[4] S. Z aks, The theory of statistical inference, J. Wiley and Sons, New York and London

1971.