Zastosowanie sterowania liniowego w liniowych modelach teorii car-following

(1)

Seria: T R A N SPO R T z. 42 N r kol. 1524

M ariusz PO RD ZIK

ZASTOSOWANIE STEROWANIA LINIOWEGO W LINIOWYCH MODELACH TEORII CAR-FOLLOWING

S treszczen ie. W artykule przedstaw iono m odel sterow ania dla dw óch pojazdów znajdujących się pod autom atyczną kontrolą. Zaproponow ano w łasny m odel sterow ania oparty na założeniach sterow ania A HS (A utom ated H ighw ay System ), który został w ykorzystany do zbudow ania algorytm u sterow ania. U tw orzony m odel porów nano z istniejącym i m odelam i car-follow ing pod w zględem „śledzenia” przyspieszenia dla dw óch pojazdów .

APPLICATION OF LINEAR CONTROL IN LINEAR CAR-FOLLOWING MODELS

S u m m a ry . A m odel o f control betw een tw o autom ated cars has been proposed in this paper. The proposed m odel based on AHS w as tested and com pared w ith available car- follow ing m odels. R esults o f spacing, follow velocity and acceleration w ere illustrated in graphs.

1. W PR O W A D Z E N IE

R osnąca liczba użytkow anych sam ochodów pow oduje obniżenie prędkości jazdy, w zrost zanieczyszczenia środow iska naturalnego i w iele innych efektów negatyw nych. W celu polepszenia w arunków ruchu p ow stają program y badaw cze, które koncentrują się na pojedynczych rozw iązaniach składających się na system inteligentnego transportu. W ram ach tych program ów D RIV E, PR O M ETH EU S - w Europie, V1CS - w Japonii, czy w reszcie IV HS, PA TH - w U SA , realizuje się zagadnienia złożonych problem ów transportu. W ram ach takich program ów m ożna w yodrębnić grupę rozw iązań AHS (A utom ated H ighw ay System ), czyli system y autom atycznej autostrady [1], G łów nym założeniem takich system ów je st zastosow anie autom atycznej kontroli odległości pom iędzy pojazdam i jadącym i w kolum nie.

Poza tym , że system taki je st bardziej bezpieczny niż istniejące to pozw ala on także zm niejszać luki pom iędzy pojazdam i przy jednoczesnym zw iększeniu średniej prędkości pojazdów i w zw iązku z tym prow adzi do zw iększenia przepustow ości drogi.

(2)

100 M. Pordzik

Jednym z najczęstszych zagrożeń je s t najechanie pojazdu na pojazd poprzedzający.

D otychczasow e rozw iązania polegały na opisie zjaw isk ruchu, który odbyw a się w norm alnych w arunkach sterow ania pojazdem , tzn. człow iek w ystępuje w roli sterow nika m ającego w pływ na zm ianę przyspieszania i ham ow ania pojazdu. Tego typu m odele behaw ioralne po uw zględnieniu losow ości pew nych faz ruchu doskonale op isu ją rzeczyw isty ruch drogow y. M odele takie służą do sym ulacji ruchu pojazdów w różnych sytuacjach drogow ych, np. takich ja k korek drogow y, duży udział pojazdów ciężarow ych w ruchu czy ruch pojazdu uprzyw ilejow anego.

N ow e rozw iązania pojaw iające się w literaturze dotyczą zautom atyzow ania ruchu na drodze. O becnie dotyczy to dróg szybkiego ruchu AHS. Z akłada się, że pojazdy p oruszają się bez udziału kierow cy. Istnieją także co najm niej dw a podejścia co do sposobu sterow ania.

Pierw sze podejście polega na tym , że sterow niki znajdujące się w pojeździe pobierają inform acje z sygnalizatorów um ieszczonych w zdłuż drogi. T aka m etoda pozw ala m .in. na paczkow anie pojazdów (konw ój) i zw iększanie ich prędkości [2]. D rugi sposób polega na m ontow aniu na pojazdach czujników laserow ych oceniających odległość od poprzednika.

M etoda ta je s t o w iele tańsza, ale pozw ala jedynie na sterow anie odległością pom iędzy dw om a pojazdam i. Sterow anie konw oju pojazdów je st w drugim przypadku m ożliw e, jed n ak w ym agane są w iększe odległości pom iędzy pojazdam i niż w przypadku pierw szym . Z aletą m etody drugiej je s t m ożliw ość sterow ania w zdłużnego i poprzecznego pojazdam i jadącym i w kolum nie [3].

W niniejszym artykule przedstaw iono problem autom atycznego w zdłużnego poruszania się pojazdu następnika za pojazdem lidera. Pom inięto opis sposobu przekazyw ania danych o ruchu lidera do pojazdu następnika. Z ałożono, że dane takie p ochodzą z laserow ego czujnika pom iaru odległości um ieszczonego na pojeździe następnika. Pojazd następnika porusza się autom atycznie. Poniew aż przedm iotem pracy je s t m oduł m odelow ania num erycznego w takim układzie sterow ania, pom inięto opis budow y sterow ników w pojeździe. R ozw iązaniem tego problem u zajm ują się m.in. naukow cy U niw ersytetu w Berkeley [4].

2. SC H E M A T UK ŁA D U ST ER O W A N IA

N ajprostszym i z m odeli car-follow ing są m odele liniow e. M odele takie m ożna przekształcić w ten sposób, aby problem sterow ania sprow adzić do problem atyki sterow ania optym alnego w system ach liniow ych z kw adratow ym w skaźnikiem jakości. Przez w łaściw e sform ułow anie liniow o-kw adratow ego problem u sterow ania optym alnego m ożna w yrazić praw ie w szystkie standardow e w ym agania staw iane liniow ym układom sterow ania [5],

V i+ I V j

di+i M---►

Xi+l L i

---

►

R y s. 1. S y tu a c ja r u c h o w a d w ó c h in te lig e n tn y c h p o ja z d ó w F ig . 1. T r a ff ic m o d e l o f tw o in te llig e n t v e h ic le

(3)

W m odelach car-follow ing jak o sterow anie w ystępuje przyspieszenie. W tym przypadku będzie to przyspieszenie pojazdu następnika a,+i zależne od przyspieszenia poprzednika aj w w iększości m odeli, a czasem zależne rów nież od przyspieszenia lidera ao.

N a rys. 1 przedstaw iono dwa pojazdy, z których pojazd i+ l-s z y będzie nazyw any następnikiem , a pojazd i-ty liderem. Pojazdy następnika i lidera p oruszają się odpow iednio z prędkościam i Vi+r i oraz znajdują się odpow iednio w odległości x,+i i x, od um ow nego początku drogi. C zujnik pojazdu następnika odczytuje w artość d m , któ rą m ożna rów nież obliczyć m ając pow yższe dane i długość pojazdu lidera L,.

P oniew aż w naszym system ie sterow ania zakładam y, że sygnałem w ejściow ym je st inform acja o odległości d m , regulacja m usi polegać na w ypracow aniu odpow iedniego przyrostu przyspieszenia pojazdu następnika, które pozw oli zachow ać zadaną w ielkość odstępu dj+i. Rys. 2 przedstaw ia blokow y schem at sterow ania dla sytuacji pokazanej na rys. 1.

W artość odległości dm porów nyw ana je s t z zadaną odległością dz. O dległość d2 m oże być albo poprzednio obliczoną odległością dm i stanow ić blok zam ykający sprzężenie zw rotne, lub m oże być to w artość z góry zadana (stała). Porów nanie tych w artości pozw ala obliczyć błąd, który dla pierw szej sytuacji będzie błędem pom iaru, a dla drugiej będzie to błąd położenia od stanu zadanego. N a podstaw ie takich danych jesteśm y w stanie obliczyć podstaw ow e param etry ruchu w danej chw ili czasu (O PR ) i zastosow anie tych w artości do obliczenia sterow ania (w tym przypadku przyspieszenia pojazdu następnika) w w ybranym m odelu liniow ym (M L). R óżnica pom iędzy przyspieszeniem w danej chw ili a przyspieszeniem potrzebnym do utrzym ania stałej odległości dz stanow i przyrost przyspieszenia Aaj+i, które podaw ane je s t do układu sterującego silnikiem pojazdu następnika.

d i + i

R y s. 2 . B lo k o w y s c h e m a t s te r o w a n ia [6]

F ig . 2 . B ło c k c o n tr o l s c h e m e [6 ]

W iększość istniejących m odeli liniow ych podaje w yrażenie na przyspieszenie am w ynikające bądź z różnicy prędkości, różnicy odległości, lub kom binacji obydw u w artości.

K ażda różnica je s t przem nażana przy tym przez pew ien param etr sym bolizujący bądź opóźnienie w ynikające z reakcji kierow cy (m odele behaw ioralne), bądź opóźnienie w ynikające z reakcji silnika na sygnał przyspieszenia lub zw olnienia (m odele AHS).

D odatkow ym problem em staje się w ięc dostosow anie tego rów nania do system u regulacji, który bazuje na odległości dj+|. O ile w tradycyjnym zapisie je s t to dosyć trudne, o tyle stosując zapis m acierzow y m ożna przedstaw ić o gólną postać w szystkich m odeli liniow ych.

3. M O D EL AHS

W celu w ygodnego zapisu istniejących liniow ych modeli car-follow ing przedstaw iono ogólny zapis system u dynam icznego w postaci rów nania:

X = AX + Bu (1)

P o r ó w n a n ie d m z z a d a n y m d z

ed

O P R + M L A a i+ i W

(4)

102 M. Pordzik

O gólny zapis rów nania (1) dla n-pojazdów w konw oju (paczce) przedstaw ia rów nanie:

x0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x0 0

*0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x0 1

X1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 X1 0

xl Ml X,2 " Ml ^-X12 0 0 0 0 0 0 0 0 X1 P2

x2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 x2 0

*2 = 0 0 X21 A-22 - x 2i ■ X22 0 0 0 0 0 0

x2 + 03

xn-l xn-l xn . xn .

0 0 0 0

0 Xn-I,

0 0

0 Xn-I.2

0 0

0

" Xn-1, 0 V l

1

~ Xn-I.2 0 M.2

0 0 0 - M u

00 1

" Xn,2_

x n-l xn-l

x n

. x n . 0 P„-l0 . Pn .

W dalszej części artykułu będziem y się zajm ow ać uproszczonym m odelem dla dwu pojazdów . Pow yższe rów nanie zapiszem y w ów czas w postaci:

’

x,

‘

^{" 0} ¹ ⁰ ⁰ ^{X ,} ⁰

d x, 0 ⁰ ⁰ ⁰ ^X, 1

= +

dt Xi *, ⁰ ⁰ ⁰ 1 _{X , „} ⁰

K -3 -, -*■2. .*1,1. . P i .

[x]

⁽²⁾

W tablicy 1 przedstaw iono niektóre liniow e m odele car-follow ing.

Tablica

M odel Sterow anie W artości X, dla w zoru (3)

CH K t = 3.(xj - x i+1) >* II O V II >*

11

O

HR = x -(x , - x ,* i )

OIIca.o'II<<r<II<<

QG x it, = a ( x , - x w ) + b ( x , - x ltl) Z, = a,X 2 = b ,ß 2 = 0 BU x „ , = a ( x , - x w ) + b x ¡ Z, = 0 , ź 2 = a , ß , = b

ZH x w = a ( x j - x j t l ) + b X j Z, = a,X 2 = 0 ,ß 2 = b

BA x w = a [ v ( x ( - x w ) - x w Z, = a V , ź 2 = 0 ,-X 2 = a , ß = 0 Ź ródło: na podstaw ie [1].

Te klasyczne m odele car-follow ing zostały zebrane m.in. w pracy [7], Przyjm ując pew ien stan początkow y zapisany w postaci:

’

x,

‘

0 1 0 0 '

’

^X,

'

^{'0 '}

d X| 0 0 0 0 X, 1

+ dt _Xj+1 0 0 0 1 x itl 0

0 0 0 0 .Xi*l. 0

[x ,]

(3)

oraz przyjm ując, Ze rzeczyw ista odległość S pom iędzy pojazdam i lidera i następnika je st różna od pom ierzonej odległości dj+i, a ich różnica w ynosi ds (przy czym ds—>0):

(5)

S - ( x i - x iłl) = d , (4) m ożna obliczyć, po odpow iednich przekształceniach zgodnie z LQR, optym alne sterow anie u w postaci [8]:

2 |S - d , | ,ł 17 | S - d s

gdzie:

D max - m aksym alne opóźnienie.

4. P O R Ó W N A N IE M ODELI

N a podstaw ie opisyw anych liniow ych modeli car-follow ing zbudow ano prosty algorytm w yznaczający dla pojazdu następnika param etry ruchu na podstaw ie danej o odległości d|+i (patrz rys. 2) i przeprow adzono sym ulacje dla różnych w artości param etrów w każdym z m odeli. Stanem początkow ym je s t bezruch obydw u pojazdów oraz ustalona odległość dj+i.

W yniki przedstaw iono dla odległości 50 m.

Sterow anie pojazdem następnika odbyw a się w czasie rzeczyw istym , w ięc najprostszym sposobem porów nania m odeli ruchu je s t w ykres odległości dj+i- O dległość ta pow inna się utrzym yw ać na tym sam ym , zadanym na początku, poziom ie. W literaturze brak je s t jed n ak takich porów nań. Zastępuje się je „śledzeniem ” przyspieszenia lidera przez pojazd następnika.

W ykresy tych dw óch przyspieszeń pow inny być w m iarę jednakow e i niezbyt przesunięte w zględem siebie. W idealnym przypadku pow inny się pokryw ać. Jednak, ja k w ykażem y w system ach A H S, najw iększe znaczenie m a zm iana w ielkości luki dj+i.

" Ś le d z e n ie " p r z y s p ie s z e n ia lid e ra d la ró ż n y c h Id

/•/

21 31 41 S I 61 71 \ . 81 : 91 101

X-

131 141 151 161

- lid e r następnik ld= 1 następnik ld= 1 9 następnik ld =0 7

R y s. 3. Ś le d z e n ie p r z y s p ie s z e n ia d la r ó ż n y c h \

F ig . 3 . F o llo w a c c e le r a tio n f o r d ifferen tA .

(6)

104 M. Pordzik

N ajpierw dla każdego m odelu w yznaczono takie param etry ruchu, dla których

„śledzenie” przyspieszenia lidera je st najlepsze, tzn. sum a kw adratów różnicy pom iędzy przyspieszeniem lidera a przyspieszeniem następnika je st najm niejsza. Przykładow o, dla m odelu x l+1 = - x j+l) w ykres przyspieszenia następnika w zależności od różnych w artości param etru X pokazano na rysunku 3. Z w ykresu tego w ynika, że dla tego m odelu bardzo trudno dobrać param etr X, aby spełnione były jednocześnie dw a w arunki: ja k najdokładniejsze śledzenie przyspieszenia lidera i m inim alna w artość odchylenia luki od w artości zadanej. Z w ykresu luki dla odpow iedniego X (rysunek 4) w ynika w ięc, że sam a różnica prędkości nie je s t w ystarczająca do ustalenia optym alnego sterow ania w opisyw anym przypadku.

W a r t o ić o d a le g ł o i ć luki d la różn ych Id

R y s. 4 . O d le g ło ś ć p o m ię d z y p o ja z d a m i d la r ó ż n y c h X F ig . 4 . D is ta n c e b e tw e e n tw o c a r s fo r d if f e r e n tk

W y k res zm ia n o d le g ło ć c i p o m ię d z y p o ja zd a m i

R y s. 5 . O d le g ło ś ć p o m ię d z y p o ja z d a m i d la r ó ż n y c h m o d e li F ig . 5. D is ta n c e b e tw e e n tw o c a rs f o r d if f e re n t m o d e ls

(7)

W celu rozróżnienia w pływ u poszczególnych param etrów ruchu pow stały m odele, np.

takie ja k m odel B ando dany rów naniem x j+l = a [ v ( x j - x i+l) - x i+1]. M odele takie m ają na celu łag o d n ą zm ianę przyspieszenia i ham ow ania. U zyskuje się w tedy łagodny przebieg przyspieszenia pojazdu następnika. Podobne rezultaty zaproponow ano w pracy [9],

P od o b n ą analizę przeprow adzono dla pozostałych m odeli liniow ych. Jak w ynika z rysunku 5, m odel ogólny dany rów naniem (2) w ykazuje najlepsze w łasności zachow ania zadanej odległości przy jednoczesnym zachow aniu m ożliw ie najlepszego śledzenia przyspieszenia lidera. D la każdego z m odeli w ybrano w ykres, dla którego błąd zm iany luki od w artości zadanej był najm niejszy przy zachow aniu praw idłow ego śledzenia przyspieszenia lidera. D la luk z rys. 5 przedstaw iono odpow iednie wykresy prędkości na rysunku 6. W ykres prędkości pokazano jednocześnie, aby pokazać, że testy odbyły się dla dużych prędkości (jedno z założeń A HS).

model Chandera model qG azis model AHS

R y s. 6 . P o ró w n a n ie ś le d z e n ia p rę d k o ś c i d la lin io w y c h m o d e lic a r-f o llo w in g F ig . 6 . C o m p a ris o n fo llo w v e lo c ity fo r lin e a r c a r-fo llo w in g m o d e ls

P orów nanie przedstaw ionych liniow ych m odeli car-follow ing pokazuje, ja k trudno pogodzić łagodne przyspieszanie i ham ow anie autom atycznego pojazdu przy jednoczesnym zachow aniu zadanej odległości pom iędzy nim i. N ajlepsze w łaściw ości w ty m w zględzie w ykazuje ogólny m odel (2). Jego zapis pozw ala także na łatw ość analizy. Zastosow anie tego m odelu daje w yniki „śledzenia” przyspieszenia lidera porów nyw alne z nieliniow ym i m odelam i przedstaw ionym i w pracach [10], [11], [12], lecz w ykazuje lep szą w łaściw ość przy sterow aniu luką. Pozw ala to przypuszczać, że m odel ten będzie m ożna łatw o zaadaptow ać dla konw oju (paczki) pojazdów oraz późniejszego badania stabilności takich układów .

D obór param etrów w m acierzach A i B m oże być jeszcze bardziej dokładny, je śli model (3) będziem y m ogli zidentyfikow ać na podstaw ie rzeczyw istych pom iarów .

(8)

106 M. Pordzik

L iteratura

1. Pordzik M ., Socha L.: Porów nanie m odeli ruchu pojazdów typu car-follow ing, M iędzynarodow a K onferencja N aukow a T ransport XXI w ieku, str. 213-220, W arszaw a 2001.

2. V araiya P.: Sm art cars on sm art roads: Problem o f control, IEEE Transaction on A utom atic Control, vol. 38, no. 2, pp. 195-207, Feb. 1993.

3. Fritz A.: Lateral and Longitudinal C ontrol o f a V ehicle C onvoy, V ehicle System D ynam ics, O ctober 30, 2000, in print.

4. http://w w w .path.berkeley.edu/~varaiya.

5. G órecki H., F uksa S., K orytow ski A ., M itkow ski W.: Sterow anie optym alne w system ach liniow ych z kw adratow ym w skaźnikiem jakości, PW N , W arszaw a 1983.

6. Schiehlen W ., Fritz A.: N onlinear Cruise C ontrol C oncepts for V ehicles in Convoy, V ehicle System D ynam ics Supplem ent, vol. 33, pp. 256-269, 1999.

7. Z hang X ., Jarret D. F.: Stability analysis o f the classical car-follow ing m odel”, Transp.

Res.-B , vol. 31, no. 6., pp.441-462, 1997.

8. C hang T.H ., Lai I.S.: A nalysis o f characteristics o f m ixed traffic flow o f autopilot vehicles and m anual vehicles, Transportation R esearch C, vol. 5, no. 6, pp. 333-348, 1997.

9. Pordzik M ., Socha L.: M odele sterow ania pojazdam i na trzypasm ow ej autostradzie, Z eszyty N aukow e Pol. Śl., Seria: Transport, z. 41, nr kol. 1491, str. 103-112, 2000.

10. Ioannou P., X u Z.: T hrottle and brake control system s for autom atic vehicle follow ing, IV H S Journal, vol. 1, no. 4, pp. 345-377, 1994

1 1 .H an eb u tte U ., D oss E., Ew ing T., Tentner A.: Sim ulation o f vehicle traffic on an A utom ated H ighw ay System , M athl. C om put. M odeling, vol. 27, no. 9-11, pp. 129-141, 1998.

12. C hang K.S., H edrick J.K ., Zhang W .B., V araiya P., T om izuka M., Shladover S.E.:

A utom ated H ighw ay System experim ents in the PA TH program , W H S Journal, vol. 1, no.

l , p p . 63-87, 1993.

Recenzent: D r hab. M arian T urzański

A bstract

A linear m odel o f control betw een tw o autom ated cars has been proposed in this paper.

T he proposed m odel based on A HS (A utom ated H ighw ay System s). It w as used for sim ulation study and com parison analysis w ith literature m odels. By suitable choice o f param eters o f the proposed m odel satisfactory results o f spacing, follow velocities and accelerations w ere presented in graphs.

Praca w ykonana w ram ach pracy wlasnej BW 4 2 9 /R M 10/2001