Dane jest równanie ró»niczkowe P dx + Qdy = 0, które nie jest zupeªne. Istnieje pewna funkcja µ = µ(x, y) taka, »e równanie
µP dx + µQdy = 0 jest zupeªne, czyli
∂(µP )
∂y = ∂(µQ)
∂x . Obliczaj¡c pochodne otrzymujemy:
∂µ
∂yP + µ∂P
∂y = ∂µ
∂xQ + µ∂Q
∂x. (1)
1. Przyjmuj¡c, »e funkcja µ = µ(x), czyli zale»y tylko od zmiennej x otrzymujemy ∂µ∂y = 0, czyli
µ∂P
∂y = dµ
dxQ + µ∂Q
∂x. Rozdzielamy zmienne i otrzymujemy:
dµ µ = 1
Q (∂P
∂y − ∂Q
∂x )
dx,
przy czym prawa strona zale»y tylko od zmiennej x. Zatem po obliczeniu caªek ln|µ| =
∫ 1 Q
(∂P
∂y − ∂Q
∂x )
dx.
St¡d
µ = exp{
∫ 1 Q
(∂P
∂y −∂Q
∂x )
dx}.
2. Przyjmijmy, »e µ = µ(y). Rozumuj¡c analogicznie otrzymamy µ = exp{
∫
−1 P
(∂P
∂y − ∂Q
∂x )
dx}.
3. Je»eli µ(x, y) = φ(x) · ψ(y), to równanie (1) przyjmie posta¢:
φ(x)ψ′(y)P + φ(x)ψ(y)∂P
∂y = φ′(x)ψ(y)Q + φ(x)ψ(y)∂Q
∂x. Dzielimy przez φ(x)ψ(y) i porz¡dkujemy:
ψ′(y)
ψ(y)P − φ′(x)
φ(x)Q = ∂Q
∂x − ∂P
∂y. Przyjmijmy, »e f(x) = φφ(x)′(x) oraz g(y) = ψψ(y)′(y). Wówczas µ = exp{∫
f (x)dx} · exp{∫
g(y)dy}.
