13. 8 25.04.2019

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

KOLOKWIUM nr

8

^25.04.2019

13.

Obliczyć sumę szeregu

∞

X

n=1

√n²− n + 1 2n − 1 −

√n²+ n + 1 2n + 1

!

. Rozwiązanie:

Niech

an=

√n²− n + 1 2n − 1 =

q(n − 1) · n + 1 2n − 1 .

Wówczas √

n²+ n + 1 2n + 1 =

q

n · (n + 1) + 1

2(n + 1) − 1 = an+1, a ponadto

a₁= 1 oraz lim

n→∞a_n=1 2.

Zatem sumy częściowe szeregu danego w treści zadania można zapisać następującym wzorem:

SN=

N

X

n=1

(an− an+1) =

= (a1− a₂) + (a2− a₃) + (a3− a₄) + ... + (aN −1− a_N) + (aN− a_{N +1}) = a1− a_{N +1}. Wobec tego

∞

X

n=1

(a_n− a_n+1) = lim

N →∞

N

X

n=1

(a_n− a_n+1) = lim

N →∞(a₁− a_{N +1}) = a₁− lim

N →∞a_{N +1}= 1 −1 2=1

2. Odpowiedź: Szereg dany w treści zadania ma sumę 1/2.

Kolokwium 8 - 1 - Odpowiedzi i rozwiązania

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Zadanie

14.

Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

√n · 64ⁿ· x³ⁿ 5n + 7 . Rozwiązanie:

Stosujemy kryterium d’Alemberta do danego szeregu potęgowego traktowanego jako sze- reg liczbowy z parametrem x 6= 0.

Otrzymujemy

q(n + 1) · 64ⁿ⁺¹· x³ⁿ⁺³

5n + 12 · 5n + 7

√n · 64ⁿ· x³ⁿ

=

sn + 1

n · 8 · |x|³· 5n + 7

5n + 12→ 8 · |x|³ przy n → ∞.

Tak więc zastosowanie kryterium d’Alemberta prowadzi do granicy ilorazów kolejnych wyrazów danego szeregu potęgowego równej 8 · |x|³.

Jeżeli 8 · |x|³< 1, czyli |x| < 1/2, to szereg jest zbieżny.

Jeżeli zaś 8 · |x|³> 1, czyli |x| > 1/2, to szereg jest rozbieżny.

Stąd wniosek, że promień zbieżności danego szeregu potęgowego jest równy 1/2.

Dla x = 1/2 otrzymujemy szereg, który na mocy kryterium porównawczego jest roz- bieżny:

∞

X

n=1

√n 5n + 7­

∞

X

n=1

√n

5n + 7n= 1 12·

∞

X

n=1

√1

n = +∞ . Dla x = −1/2 otrzymujemy szereg

∞

X

n=1

√n · (−1)ⁿ 5n + 7 ,

który jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza o szeregach naprzemiennych.

Aby to udowodnić, musimy zweryfikować prawdziwość trzech założeń tego kryterium.

1^◦ W szeregu na przemian występują wyrazy dodatnie i ujemne – oczywiste.

2^◦ Ciąg wartości bezwzględnych wyrazów jest zbieżny do zera.

Sprawdzamy to następująco:

n→∞lim

√n

5n + 7= lim

n→∞

√1 n

5 +_n⁷ = 0

5 + 0= 0 . 3^◦ Ciąg wartości bezwzględnych wyrazów jest nierosnący.

Ten warunek jest najmniej oczywisty. Aby go udowodnić, powinniśmy wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność

√n 5n + 7­

√n + 1 5n + 12 ,

Kolokwium 8 - 2 - Odpowiedzi i rozwiązania

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

co kolejno jest równoważne nierównościom

√n · (5n + 12) ­√

n + 1 · (5n + 7) , n · (5n + 12)²­ (n + 1) · (5n + 7)²,

n ·^25n²+ 120n + 144^­ (n + 1) ·^25n²+ 70n + 49^, 25n³+ 120n²+ 144n ­ 25n³+ 95n²+ 119n + 49 ,

25n²+ 25n ­ 49 ,

skąd wynika, że dowodzona nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.

W konsekwencji szereg dany w treści zadania jest zbieżny dla x = −1/2 na mocy kryterium Leibniza o szeregach naprzemiennych.

Odpowiedź: Dany w zadaniu szereg potęgowy ma przedział zbieżności [−1/2, 1/2).

Uwaga: Stosowanie kryterium d’Alemberta nie jest konieczne, ale jego unikanie nie wydaje się specjalnie praktyczne. Można bowiem wyobrazić sobie następujące rozwiąza- nie:

• Jakimś sposobem zgadujemy, że promień zbieżności jest równy 1/2.

• Dowodzimy jak w przedstawionym rozwiązaniu, że szereg jest rozbieżny dla x = 1/2 i zbieżny dla x = −1/2.

• Przedstawiamy rozumowanie, z którego wynika, że jeśli szereg potęgowy jest rozbieżny dla x = 1/2 i zbieżny dla x = −1/2, to jego promień zbieżności jest równy 1/2.

Kolokwium 8 - 3 - Odpowiedzi i rozwiązania