Algebra I Referat

Rafał Cylwa 332078 Tomasz Olma 33400

Algebra I

Referat – Seria I, zadanie 1.6

Definicja: Podgrupę właściwą H grupy G nazywamy maksymalną, jeżeli nie istnieje właściwa podgrupa K≤G, K≠H taka, że H≤K≤G.

Pokazać, że jeżeli grupa skończona G ma dokładnie jedną podgrupę maksymalną, to G jest grupą cykliczną i |G|=p^m, gdzie p jest liczbą pierwszą i m>0.

Rozwiązanie zadania:

Lemat:

Jeśli grupa skończona G ma dokładnie jedną podgrupę maksymalną (M), to M zawiera wszystkie podgrupy właściwe grupy G.

Dowód Lematu:

Wybierzmy dowolną właściwą podgrupę H grupy G. Mamy 2 przypadki:

1⁰ H nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej grupy G różnej od H, wtedy H jest (z Definicji) podgrupą maksymalną.

2⁰ H zawiera się w jakiejś podgrupie właściwej grupy G różnej od H (nie jest maksymalna).

Wtedy możemy wziąć H1 taką, że: H<H1<G.

Powtarzając to rozumowanie otrzymujemy ciąg (Hi) taki, że:

H<H1< H2<…<G

Jednak przypadek 2⁰ nie może zachodzić w nieskończoność, gdyż dla każdych i<j zachodzi

|Hi|<|Hj|, a G jest grupą skończoną. Zatem w którymś powtórzeniu procedury musi zajść przypadek 1⁰ i otrzymujemy Hi=M. Z przechodniości relacji inkluzji dostajemy H<M. Co przy dowolności wyboru podgrupy H kończy dowód lematu. □

Część 1: G jest grupą cykliczną.

Niech M będzie podgrupą maksymalną G. Skoro M<G to możemy wybrać element . Rozpatrzmy podgrupę generowaną przez ten element: 〈 〉 { }. Mamy 2 przypadki:

1⁰ 〈 〉 , wtedy faktycznie G jest grupą cykliczną.

2⁰ 〈 〉 , ale wtedy, na mocy lematu, 〈 〉 musi być zawarte w M, co jest sprzeczne z założeniem, że .

Zatem zachodzi przypadek 1⁰, czyli G jest grupą cykliczną. □ Część 2: |G|=p^m, gdzie p jest liczbą pierwszą i m>0.

Przedstawmy liczbę |G| jako iloczyn jej czynników pierwszych:

| | , gdzie mi , mi>0, i { 2 n}

Chcemy pokazać, że jeśli M jest jedyną podgrupą maksymalną, to n=1 czyli: |G|=p^m1.

Załóżmy przeciwnie: n>1. Ponieważ grupa G jest cykliczna, to (na mocy twierdzenia 2.3 ze skryptu) dla każdej liczby pimiistnieje Hi podgrupa właściwa grupy G taka, że |Hi|= pimi.

Dzięki lematowi wiemy, że Hi są podgrupami grupy maksymalnej M. Skoro dla każdego i liczba |Hi| dzieli liczbę |M| (rząd podgrupy dzieli rząd grupy) to iloczyn |H1||H2|…|Hn|=|G| również dzieli |M| (bo liczby |Hi| są względnie pierwsze). Zatem |G| dzieli |M|, ale |M|<|G|, bo jest pod rupą właściwą rupy . Sprzeczność. Zatem n=1 i |G|=p^m. □