0S. Materiaª teoretyczny: Warstwy lewostronne i warstwy prawostronne podgrupy H grupy G . Wªasno±ci warstw. Indeks podgrupy H w grupie G. Twierdzenie Lagrange'a oraz wnioski z niego. Maªe twierdzenie Fermata. Twierdzenie Wilsona.

(1)

ALGEBRA 1, Lista 4 Konwersatorium 23.10.2019 i wiczenia 29.10.2019.

Niech G b¦dzie grup¡, g ∈ G, k ∈ N

>0

oraz n ∈ N

>1

.

0S. Materiaª teoretyczny: Warstwy lewostronne i warstwy prawostronne podgrupy H grupy G . Wªasno±ci warstw. Indeks podgrupy H w grupie G. Twierdzenie Lagrange'a oraz wnioski z niego. Maªe twierdzenie Fermata. Twierdzenie Wilsona.

1S. Wyznaczy¢ wszystkie mo»liwe:

(a) rz¦dy elementów g ∈ Z

40

; (b) rz¦dy elementów g ∈ S

7

; (c) rz¦dy elementów g ∈ D

24

.

2S. Zaªó»my, »e ord(g) = 10. Wyznaczy¢ ord(g

²

), ord(g

⁵

), ord(g

³

) .

3S. Opisa¢ zbiór warstw lewostronnych i prawostronnych (przez wypisanie wszystkich jego elementów) G/H i H\G, dla:

(a) G = Z

12

, H = {0, 6} ;

(b) G = S

3

, H = {id, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} ; (c) G = Z, H = 5Z.

4K. Zaªó»my, »e ord(g) = n i niech r = r

n

(k) . (a) Udowodni¢, »e g

^k

= g

^r

.

(b) Udowodni¢, »e ord(g

^k

) = l , gdzie l jest najmniejsz¡ liczb¡ > 1 tak¡, »e n|kl.

(c) Udowodni¢, »e ord(g

^k

) = n wtedy i tylko wtedy, gdy k i n s¡ wzgl¦dnie pierwsze.

5K. Wyznaczy¢ wszystkie mo»liwe rz¦dy elementów g ∈ D

n

. 6. Niech

Z

^∗n

:= {k ∈ Z

n

| NWD(k, n) = 1}.

Udowodni¢, »e:

(a) mno»enie modulo n (oznaczane ·

n

) jest dziaªaniem na Z

^∗n

; (b) (Z

^∗n

, ·

_n

) jest grup¡ (ª¡czno±¢ ·

n

byªa omówiona na wykªadzie).

7. Opisa¢ zbiór warstw lewostronnych i prawostronnych (przez wypisanie wszystkich jego elementów) G/H i H\G, dla:

(a) G = D

4

, H = {id, O

_π/2

, O

_π

, O

_3π/2

} ;

(b) G = D

4

, H = {id, S} , gdzie S jest dowoln¡ symetri¡ osiow¡;

(c) G = S

n

, H = A

_n

, gdzie A

n

to zbiór permutacji parzystych w S

n

(udowodni¢, »e A

_n

jest podgrup¡ S

n

!).

8. Zaªó»my, »e G jest generowana przez zbiór {g, h} ⊆ G taki, »e ord(g) = 5, ord(h) = 4 oraz gh = hg

²

.

(a) Niech K = hgi oraz H = hhi. Udowodni¢, »e K ∩ H = {e}.

(b) Udowodni¢, »e ka»dy element grupy G jest postaci g

ⁱ

h

^j

dla pewnych 0 6 i < 5 oraz 0 6 j < 4 oraz udowodni¢, »e to przedstawienie jest jednoznaczne. Ile elementów ma grupa G?

(c) Napisa¢ wzór na iloczyn elementów grupy G zapisanych w postaci g

ⁱ

h

^j

jak w pod- punkcie (b) powy»ej.

9. Obliczy¢ nast¦puj¡ce reszty z dzielenia:

r

₁₃

125

³⁴²

, r

₂₉

321

⁴⁸⁵

, r

₃₁

321

⁴⁸⁵

.

0S. Materiaª teoretyczny: Warstwy lewostronne i warstwy prawostronne podgrupy H grupy G . Wªasno±ci warstw. Indeks podgrupy H w grupie G. Twierdzenie Lagrange'a oraz wnioski z niego. Maªe twierdzenie Fermata. Twierdzenie Wilsona.

ALGEBRA 1, Lista 4 Konwersatorium 23.10.2019 i wiczenia 29.10.2019.

Niech G b¦dzie grup¡, g ∈ G, k ∈ N

oraz n ∈ N

.