• Funkcja h ma postać h = f + g, f(z) = z +

• Funkcja h ma postać

h = f + g, f (z) = z +

∞

X

n=2

a_nzⁿ, g(z) =

∞

X

n=1

b_nzⁿ, z ∈ ∆.

• Załóżmy, że ciąg {ϕ_n}_n=2,3,... liczb rzeczywistych spełnia warunek

|b₁| +

∞

X

n=2

ϕ_n(|a_n| + |b_n|) ¬ 1.

• Niech {ϕn}n=2,3,... będzie ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych. Jeśli h ∈ H({ϕ_n}), to funkcja h₀ postaci

h₀(z) = h(z) − b₁h(z)

1 − |b1|² , z ∈ ∆ (|b₁| < 1), należy do klasy H⁰({ϕ_n}).

• Niech

d(ρ) = 2ρ²+ ϕ²₂ 3ϕ₂ρ = 2

3ϕ₂ρ +ϕ₂

3ρ, ρ ∈ (0, 1).

Zauważmy, że d(ρ) > 0 dla ρ ∈ (0, 1) oraz lim

ρ→0⁺d(ρ) = +∞ , lim

ρ→1⁻d(ρ) = 2 + ϕ²₂ 3ϕ2

> 0.

Ponadto mamy

d⁰(ρ) = 2 3ϕ2

− ϕ₂

3ρ² = 2ρ²− ϕ²₂

3ϕ2ρ² , ρ ∈ (0, 1).

• Wiadomo, że √⁴

2⁹⁻⁷ = 2²⁴ = 2¹² =√ 2.

• Obliczyć następujące całki oznaczone

1)

1

Z

0

(1 −√

x)²dx,

2)

Z 3 1

dx

(x²+ x)(x + 2), 3)

Z e 1

ln x x³ dx, 4)

Z ²

5

−²₅

dx 4 + 25x², 5)

Z ^π

2

0

sin³x cos³x dx.