ś YNIERSKICH MATEMATYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW BADA Ń GEOLOGICZNO-IN

MATEMATYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH

Wyniki badań i pomiarów w geologii inŜynierskiej charakteryzują się rozrzutem wartości:

Zmienność badanego ośrodka Dokładność metod badawczych

- Sedymentologia - Sposób opróbowania

- Tektonika - Sposób transportu i

przechowywania próbek

- Zjawiska geodynamiczne - Przygotowanie próbek do badań - Niedokładność metod

badawczych

- Błędy i zaokrąglenia wyników Celem matematycznego opracowania wyników badań geologiczno- inŜynierskich jest określenie bezpiecznych wartości ocenianych parametrów oraz określenie ich przedziałów zmienności.

Prowadzona jest ocena parametrów (właściwości gruntów – np.: c, φ, ID) w populacji (ośrodku gruntowym) na podstawie próby statystycznej (wyników badań na pobranych próbkach gruntów).

Próba statystyczna – wyniki oznaczeń danej cechy gruntu określone na wszystkich próbkach z danej warstwy geotechnicznej.

Liczebność próby statystycznej:

n <30 – próba mała n =>30 – próba duŜa

CHARAKTERYSTYKA PRÓBY JEDNEJ ZMIENNEJ

W kaŜdym z 10 otworów badawczych odwierconych na obszarze badań pobrano z tej samej warstwy geotechnicznej po 3 próbki gruntów do oceny wilgotności naturalnej Wn%. Uzyskano 30 róŜnych wartości Wn% - jaka wartość Wn%

najlepiej charakteryzuje stan faktyczny? Jaka wartość będzie bezpieczną z punktu widzenia przyszłego obiektu inŜynierskiego?

WARTOŚĆ ŚREDNIA wartość mianowana

∑

=

⋅

=

i

x

X n

1

1

HISTOGRAM I KRZYWA ROZKŁADU

1. Określenie minimalnej i maksymalnej wartości wyników oznaczeń, podział tego zakresu na równe klasy

2. Zliczenie ilości obserwacji mieszczących się w poszczególnych klasach n_i – liczebność obserwacji w klasach

ki – częstość obserwacji w klasach

%

⋅100

= ⁱ

i

k n

Wartość cechy

3. Wykonanie rysunku – histogram i krzywa rozkładu

4. Wstępna ocena rodzaju rozkładu w próbie statystycznej

symetryczny modalny

asymetryczny amodalny

wielomodalny

KRZYWA KUMULACYJNA Σni - liczebność skumulowana Σki - częstość skumulowana

Σni

Σki

klasy ni

k_i

MEDIANA Me wartość mianowana

Jeśli wyniki oznaczeń zostaną uporządkowane rosnąco lub malejąco, to wartość centralna tak uporządkowanego ciągu jest medianą

MODA M wartość mianowana

Wartość badanej cechy, która pojawia się najczęściej lub klasa histogramu, w której występuje najwięcej obserwacji jest wartością modalną

WARIANCJA S² wartość mianowana, dodatnia

Średnie kwadratowe odchylenie badanej cechy od wartości średniej

( )

∑

= ⁿ_i xi x

s n

1

2 1 2

próba duŜa

( )

∑

= − _iⁿ xi x s n

1 2 2

1 ) 1

próba mała – wariancja skorygowana

ODCHYLENIE STANDARDOWE S wartość mianowana, dodatnia Średnie odchylenie wartości badanej cechy od wartości średniej

s

s ) = )

s

s =

Wartość cechy

WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI υυυυ wyraŜony w %

Miara względnego rozproszenia badanej cechy w próbie statystycznej

%

⋅ 100

′ = x

ν s)

%

⋅ 100

= x

ν s

Wyniki oznaczeń Wn%

średnia wariancja Odchylenie standardowe

Współczynnik zmienności

Próba 1 1%; 2%; 3%; .... 2% 1,96 1,4 70%

Próba 2 16%; 18%; 19%;.. 17% 1,96 1,4 8%

BŁĄD STANDARDOWY

σ

σx pozwala na ocenę błędu jaki moŜe być popełniony gdy chcemy oszacować średnią wartość badanej cechy w ośrodku gruntowym za pomocą średniej z pobranych próbek.

σx jest odchyleniem standardowym wartości średnich z szeregu prób statystycznych pobranych z populacji.

x n

σ

σ

σ - odchylenie standardowe (średnie) w całej populacji

Gdy

σ

n s

x ≅

σ

σ

Błąd standardowy pozwala oszacować przedział w jakim zawarta będzie wartość badanej cechy w populacji

σ σ

x − ≤ ≤ + m – wartość średnia w populacji

USTALANIE WARTOŚCI OBLICZENIOWYCH PARAMETRÓW GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH

Wartość obliczeniowa parametru (cechy) geologiczno-inŜynierskiego jest to taka wartość, która uwzględnia moŜliwe odchylenia od wartości średniej parametru w populacji

- Jako wartość obliczeniową parametru geologiczno-inŜynierskiego przyjmuje się najbardziej niekorzystną jego wartość, obliczoną jedną z metod pozwalających określić przedział zmienności parametru

- Jako najbardziej niekorzystną wartość naleŜy przyjmować tę granicę przedziału zmienności parametru, która z punktu widzenia celu badań daje gorszą wartość parametru.

- Jako przedział zmienności parametru naleŜy rozumieć przedział, w którym rzeczywista wartość parametru powinna znaleźć się przy załoŜonym poziomie ufności

SPRAWOZDANIE

OPRACOWANIE WYNIKÓW BADAŃ GEOLOGICZNO-INśYNIERSKICH

Wykonano 3 otwory badawcze, w których pobrano próbki gruntów. Po zinterpretowaniu profilu warstw wydzielone zostały warstwy geotechniczne.

NaleŜy przeprowadzić statystyczną analizę wyników oznaczeń wykonanych na próbkach z jednej warstwy geotechnicznej.

Opracowanie wyników :

1. Na podstawie wartości oznaczeń zestawić tabelę danych (1).

Lp Wartość parametru (x_i) x_i − x ⁽x_i − x⁾²

1 2 3 4

1.

...

20.

2. Dla wyników oznaczeń przeprowadzić:

- podział na klasy (optymalnie 6 lub 7 klas), określić liczbę obserwacji w klasach, częstość obserwacji w klasach oraz częstość skumulowaną - wyniki zestawić w tabeli (2),

- wykreślić histogram, krzywą rozkładu i skumulowaną krzywą rozkładu, - obliczyć i zestawić wartości: średniej, mody, mediany, odchylenia standardowego, wariancji, współczynnika zmienności, błędu standardowego.

- określić granice przedziału zmienności.

- określić wartość obliczeniową parametru.

Średnia

n x₌

∑

Moda

Najczęściej spotykana wartość cechy Mediana

Wartość cechy dla centralnego punktu uporządkowanego ciągu obserwacji Wariancja

( )

∑

= − _iⁿ x_i x s n

1 2 2

1 ) 1

Odchylenie standardowe s2

s)= )

Współczynnik zmienności

%

∗100

′= x ν s)

Błąd standardowy

n s

x

≅ ) δ

Granice przedziału zmienności

x

x m x

x−δ ≤ ≤ +δ Nr klasy Granice klas

od do

Liczba obserwacji

Częstość obserwacji

[%]

Częstość skumulowana

[%]

1 -

2 -

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -