7.Parametryczne programowanie liniowe.
7.1. Programowanie liniowe z wektorem funkcji celu zależnym od parametru.
Przykład 7.1.1.
Rozważmy problem:
Przy zmiennych podpierających i zmianie kierunku optymalizacji otrzymujemy funkcję celu (7.1.1), gdzie , . Dla t=0 mamy problem z przykładu 1.2.1. Rozwiązanie optymalne zostało znalezione w przykładzie 3.4.1.
-2 -3 0 0 0 BAZA cB h0 h1 h2 h3 h4 h5
x3 0 2 0 0 1 -1 -1/4 x2 -3 2 0 1 0 1/2 -1/8 x1 -2 4 1 0 0 0 1/4
0 0 0 3/2 1/8
Rozważamy teraz sparametryzowaną funkcję celu:
-2 -3 0 0 0 -1 1 0 0 0 BAZA B B h1 h2 h3 h4 h5
x3 0 0 2 0 0 1 -1 -1/4 x2 -3 1 2 0 1 0 1/2 -1/8 x1 -2 -1 4 1 0 0 0 1/4
0 0 0 3/2 1/8 0 0 0 -1/2 3/8
Dla bazy optymalnej wskaźniki optymalności wynoszą:
i .
Aby sprawdzid dla jakich wartości t baza ta jest optymalna rozwiązujemy układ nierówności:
i .
Otrzymujemy .
Będziemy poszukiwad teraz rozwiązania dla . Ponieważ , więc do bazy wchodzi . Zwykłe kryterium wyjścia usuwa z bazy . Przeliczamy tabelę:
-2 -3 0 0 0 -1 1 0 0 0 BAZA B B h1 h2 h3 h4 h5
x3 0 0 2 0 0 1 -1 -1/4 x2 -3 1 2 0 1 0 1/2 -1/8 x1 -2 -1 4 1 0 0 0 1/4
0 0 0 3/2 1/8 0 0 0 -1/2 3/8 x3 0 0 6 0 2 1 0 -1/2 x4 0 0 4 0 2 0 1 -1/4 x1 -2 -1 4 1 0 0 0 1/4
0 -3 0 0 1/2 0 1 0 0 1/4
Ponieważ wszystkie współczynniki kierunkowe są nieujemne, więc nie otrzymujemy ograniczenia górnego. Zatem baza jest optymalna dla .
Będziemy poszukiwad teraz rozwiązania dla . Zaczynamy znów od bazy Ponieważ , więc do bazy wchodzi . Zwykłe kryterium wyjścia usuwa z bazy . Przeliczamy tabelę:
-2 -3 0 0 0 -1 1 0 0 0 BAZA B B h1 h2 h3 h4 h5
x3 0 0 2 0 0 1 -1 -1/4 x2 -3 1 2 0 1 0 1/2 -1/8 x1 -2 -1 4 1 0 0 0 1/4
0 0 0 3/2 1/8 0 0 0 -1/2 3/8 x3 0 0 6 1 0 1 -1 0 x2 -3 1 4 1/2 1 0 1/2 0 x5 0 0 16 4 0 0 0 1 -1/2 0 0 3/2 0 -3/2 0 0 -1/2 0
Ponieważ wszystkie współczynniki kierunkowe są ujemne, więc nie otrzymujemy ograniczenia dolnego. Zatem baza jest optymalna dla .
Ostatecznie uzyskaliśmy rozwiązania optymalne bazowe:
(0,4,6,0,16) dla
(4,2,2,0,0) dla
(4,0,6,4,0) dla .
Dla t=-1/3 rozwiązania optymalne leżą na odcinku łączącym punkty (0,4) i (4,2).
Dla t=3 rozwiązania optymalne leżą na odcinku łączącym punkty (4,0) i (4,2).
