W obronie zdań samozwrotnych
Artykułniniejszypoświęcony w całości zdaniom samozwrotnym zaczyna się od przykładu takiego zdania.A oto kilka innych, wróżny sposób odnoszących się do siebie samych.
Zabraniasięzabraniać.
To zdanie jestnapisane po polsku.
To zdanie jestnapisane po turecku.
„Smgłsk s nptrzbn, prznjmnj w tm przpdk”
„u óoi ąa o ieęe”
Paradoksy w logice pojawiają się w związku z używaniem zdań samozwrot
nych. Może więc, argumentująniektórzy1, sama ta samozwrotność jest niedopusz
czalna? Może zdaniasamozwrotneniemogąnic wyrażać,a nam się tylko wydaje, że takie zdania mają sens? Argument jest taki: skoro zdanie samozwrotne mówi o sobiesamym toto, o czym mówi, nie istnieje pozanim samym,a tym bardziej nie istnieje przed wypowiedzeniem tego zdania, więczdanie tonie mówi o niczym istniejącym, czylijest bez sensu.
1 Czynią tak nie tylko ludzie nie obeznani ze współczesnąlogiką, ale iniektórzyautorzy. WPolscena przykład Eugeniusz Grodziński, którywksiążeczce Paradoksy semantyczne (Wrocław 1983) traktuje jako oczywistośćto, że zdania samozwrotne są bezprzedmiotowe, a więc bezsensowne;tak więcignoruje onfakt, że konstrukcja Godła dostarcza matematycznej wersji takiego zdaniai że jego sensownośćnie odbiega od in
nych zdań sformalizowanej arytmetyki. Przytoczona poniżej konstrukcja Quine'a dajerównież ścisły sposób traktowaniasamozwrotności.Pisząc, iż zdanie nie możebyć tożsame zeswoim podmiotem, autor, mając na uwadze słynną pracę Tarskiegooniedeflniowalności prawdy dodaje nas.31:„Nie rozumiemy,jak tego ro
dzaju prosty błądlogiczny mógł wkraść się do rozumowania takwybitnego logika, i dlaczego liczni komenta
torzy pracyTarskiegonie zwrócili na ten błąduwagi".
128 StanisławKrajewski
Jednakte zastrzeżenia nie są przekonujące. Po pierwsze, wypowiadamywiele zdańsensownych, których podmiot, ściślebiorąc, nie istnieje np:. „Jutrzejsze wy bory będą wyjątkowo ciężkie”. I dlaczego niby zdanie nie ma tworzyć swego przedmiotu, być o sobie samym? Pierwsze zdanie niniejszego artykułujest (mię
dzy innymi) osobie. Podrugie, jak zobaczymy, dasię matematycznie skonstruo
wać odpowiedniki zdańsamozwrotnych w językachformalnych.Po trzecie, samo- zwrotność wcalenie zawsze jest groźna; zazwyczaj żadna sprzeczność z niej nie wynika. Po czwarte wreszcie - i najważniejsze -samozwrotnośćpojawia się wsy tuacjachpotocznych, i to, czy prowadzi do paradoksów, zależy od okoliczności empirycznych, które są całkowicie zewnętrzne wobec samozwrotnego zdania, a zależą od nieprzewidywalnej sytuacji w świecie zewnętrznym. Wszystkie te sprawy omówić należy dokładniej.
Niegroźnym zdaniemsamozwrotnymjest pierwsze zdanie artykułu. Jestono zresztą zupełnienormalne i przyprędkim,niedociekliwymczytaniuniewydajesię dziwne i nie budzi podejrzeń ani nawet zastanowienia. Dopiero następne zdanie przynosi zaskoczenie, bo - zapowiadającdalszeprzykłady -uświadamia, że jeden przykład już był. Pierwszezdanie mówi o sobie na dwasposoby. Jeden jestoczy wisty:gdy mowa jest w nim ozdaniu, od którego zaczyna się ten artykuł, mówi się o tym właśnie zdaniu. Drugie wystąpienie samozwrotności jest mniej wyraźne:
mówiąc oniniejszym artykule, zdanieto mówi i osobie, jako o jegoczęści. Zre
sztą, żeby to wzmocnić, sformułowałem je tak,iżby mowa w nim była ocałości ar
tykułu; w ten sposób unikowa interpretacja, że chodzi właściwie o dalszy ciąg ar
tykułu, przestaje być możliwa. Taka „słaba” samozwrotność występuje często:
w życiu („Czy pani słyszy, coja mówię?”), w sztuce (szczególnie w słynnych ry
sunkach M. C. Eschera, np. w tym,przedstawiającym wizerunek ręki rysującej in
ną rękę, którarysujetę pierwszą), w humorze (np. sławna proklamacjaGroucho Marxa, żenie wstąpi dożadnego klubu, którychciałbygo widzieć jako członka).
Humor może być złośliwy, ale chyba i przestępczy, jak w wypadku ogłoszenia, któregoautor zapowiada, żeda niezawodną receptę na zrobienie majątku, jaktylko otrzyma od zainteresowanegodwadzieścia tysięcy złotych. Recepta brzmi: „Zrób jak ja.”
Samozwrotność w luźnym sensieilustruje równieżkilkaprzykładówzamiesz
czonychna początku artykułu. Można je mnożyć. (Ostatniezpowyższych „zdań” powstajeprzez opuszczenie spółgłosek w zdaniu „Tu spółgłoski są za to niezbęd ne”).Dla wielu osób brzmią one jednak sztucznie, są pisanenasiłę.Według beha- viorystycznej krytyki samozwrotności,zdania tego typu nie pojawiają się w zwy
czajnym życiu, niesą częścią normalnego „zachowania werbalnego”. W rzeczywi
stości jednak jest inaczej. Należy tylko wziąć pod uwagę, że zdanie może nie być wprost samozwrotne, ajedynie pośrednio- w zestawiekilkuzdań.Przykłady zna ne sąconajmniej od średniowiecza.Wyobraźmy sobie, że na kartcenapisanejest:
„Zdaniepodrugiej stronie tej kartki jest prawdziwe.”Podrugiej stronie kartkina pisanejest natomiast: „Zdaniepo drugiej stronie tej kartki jest fałszywe.” Wtedy pojawia się pewna wersja antynomii kłamcy, bo wszelkiezałożenia co do prawdzi
wości lub fałszywości tychzdańprowadzą do sprzeczności.
Jest nieco bardziej nieoczekiwane, że podobnesytuacje można spotkać wnaj zwyczajniejszym życiu.Wyobraźmy sobie,że Platon i Sokratespokłócili się dziś rano. Stoją teraz o dwadzieścia metrów od siebie,każdyw otoczeniu kilkusłucha czy. My, Szanowny Czytelniku, mamy szczęście staćwpołowie drogi między ni
mi, tak że słyszymy obydwu równie dobrze. Sokrates, zagniewany na ucznia, stwierdza: „Wszystko, co mówi teraz Platon,jest fałszem.” W tym samymmo
menciePlaton stwierdza: „Żałuję, iż tak ostro pokłóciłemsię zmistrzem. Dzisiaj nic już więcej nie powiem. ” Sytuacja jest ciekawa, szczególnie dla amatorów hi storii filozofii, ale nie ma wniej nicparadoksalnego. Przypuśćmy jednak, że Pla
ton wypowiedział te oto słowa: „Żałuję, iż tak ostro pokłóciłem się z mistrzem.
Wiedzcie, że wszystko, co on teraz mówi, jest napewno prawdą. Dzisiaj nicjuż więcej nie powiem.” Lojalny uczeń uwikłał nas w antynomię, analogiczną do tej z kartką z napisem po obu stronach. Sami sławni filozofowie nie są paradoksu świadomi,bo nie słysząsięwzajemnie, a każdez ich stwierdzeń, wzięte zosobna, nie wydaje się ryzykowne. Cóż jednak mamypocząć my, którzy słyszeliśmy obie wypowiedzi? Niektórzy mogą szukać źródła problemu w użyciu słowa teraz.
Jednak nie jest ono istotne. W obu wypowiedziach można je zastąpić słowemdzi siaj i na przykład założyć, że kłótnia miała miejsce poprzedniego dnia, a tego dnia, gdy mieliśmy okazję posłuchać obu filozofów, żaden z nich nie wypowie
dział nicwięcej. Jeśli ktoś ma wciąż zastrzeżenia, żesłowo dzisiaj jestrównież zbyt mało „obiektywne”, to można je zastąpićopisemtego dnia,podając datęwe
długjakiegoś kalendarza.
Co by było,gdyby obaj filozofowieoprócz opinii na temat wzajemnej prawdo
mówności wypowiedzieli jeszczewiele innych zdań,jak to zwykle bywa? Czy po
jawiłbysięparadoks? Otóż zależy to od tego, co i ile by powiedzieli.Kwestiamo żebyćempiryczna,anieczystologiczna, jak zauważył stosunkowo niedawno Saul Kripke2. Przyokazji możemy w ogóle pozbyćsię określeń czasu.
2 W pracy Outline of a theory oftruth. „Journal ofPhilosophy" 1975,nr72,s.690-716. Jego przykład nawiązuje do ówczesnej polityki amerykańskiej.Jazamiast współczesnej polityki polskiej wybrałem nieco bardziej tradycyjnąscenerię.
Przypuśćmy, żeSokrates powiedział:
(S)„Większość wypowiedziPlatona odnoszącasię do szkolnictwawyż szegojestfałszywa”.
Platon natomiast rzeki:
(P) „Wszystkie wypowiedzi Sokratesa odnoszące się do szkolnictwa wyższego są prawdziwe”.
Załóżmy dodatkowo,że wszystkieinne wypowiedzi Sokratesa natemat szkol
nictwa wyższego są bezproblemowo prawdziwe. Możemy zresztą założyć, że - wprzeciwieństwiedo swego wielkiegoucznia- nie powiedział on już nic innego na tentemat. W każdym momencie zachodzi jedna z trzech możliwości co do licz
by wypowiedzi obu filozofów na temat szkolnictwawyższego. A oto tetrzymożli wości:
130 Stanisław Krajewski
(1) Wśródwypowiedzi Platona różnych od (P) liczba wypowiedzifałszywych jestco najmniej o dwa większa niż prawdziwych; wtedy zarówno (S) jaki (P) są prawdziwe.
(2) Wśród wypowiedzi Platona różnych od (P) więcej jest prawdziwych niż fałszywych; wtedy - jak łatwo spostrzec - zarówno(S) jak i (P) są fałszywe.
(3) Wśród wypowiedzi Platona różnychod(P) jestalbo(a) tyle samoprawdzi wych cofałszywych, albo też - i tojestostatnianieuwzględniona jeszcze możli wość - (b) fałszywychjest o jedną więcej niż prawdziwych. Wtedy zarówno (P) jaki (S) jest paradoksalne.
Aby uzasadnić tę paradoksalność, zauważmy, że w wypadku (a) -■(P) -(S),
bowtedy zdań fałszywych robisięwięcej, czyliSokrates marację;
(S) - (P),
bojeśli (S) jest prawdziwe, to - ponieważ założyliśmy, że inne wypowiedzi Sokratesa odnoszące się do szkolnictwa wyższego są prawdziwe -Filozof istotnie mówi tylko prawdę nainteresującynastemat, czyli jest tak jak stwierdza(P);
(P) - -,(S),
bo zdań prawdziwychrobisięwięcej,czyli Sokrates niemaracji;
(P) =•(S),
bojeśli (P)jestprawdziwe, to (S),jak ikażdainna wypowiedź Sokratesa, jest prawdą.
W wypadku(b) jesttaksamo,tylkouzasadnienie trzeciej implikacji jest nieco inne: zdań prawdziwych robisię tyle samo cofałszywych, znowu więc Sokrates niemaracji.
Takczy inaczej mamy antynomię: zdania(P) i (S) sązarazemprawdziwe i fał szywe, czy - ujmującrzecz inaczej - z każdego wynika sprzeczność. Oczywiście założyliśmy przytym, że termin „wypowiedzi odnoszące się doszkolnictwa wyż szego” oznacza, iżchodzi o wypowiedzi dotyczące szkolnictwa wyższegowprost lubpośrednio, tzn. mogą one traktować o innychwypowiedziach odnoszących się do tego tematu. (Uważny czytelnikdostrzeżew tym miejscu rekurencyjną defini cjęodnoszenia się do). Nie wydaje się to przeczyć potocznemu znaczeniu użytychterminów. Podobnie jak zaproponowane wypowiedzi obu filozofów rów nieżcały kontekst niewydajesię być nierealistyczny. Takwięc- jak stwierdza we wspomnianej pracy Kripke - nasze normalne wypowiedzi mogą, Jeśli fakty empi
ryczne są szczególnie niekorzystne, wykazywaćcechy paradoksalne”.
Zdania typu „To zdanie ma pięć słów” wydają się banalne, ale Douglas R.
Hofstadter3 wymyślił i zebrałod innych wiele ciekawych zdań samozwrotnych po
dobnego typu. Są wśródnichzdania,które się same dokumentują, pytania, któresą odpowiedzią na siebie, i zdania, które się samereprodukują. Ładny przykładzda
3D.R.Hofstadter: Godeł,Escher,Bach. Nowy Jork1979,rozdz. II.
nia, które samo na siebie odpowiada, dał Raymond Smullyan, którynapisałksiąż kę pod tytułem „Jaki jest tytułtejksiążki?” (oczywiście poangielsku). Kończy się ona, jak nietrudno zgadnąć, zdaniem: „Jaki jest tytuł tej książki?”.
Podam teraz przykładpolskiego zdania, które samo się reprodukuje. Aby móc touczynić,zakładamy,żesłowo zawierajako część składową znaki przestankowe, które występują bezpośrednio zanim (czynią takprogramy komputerowedo edy cjitekstów, więc nie jestto warunekwydumany).
Dopisz jako linię następną, po słownikowo słówtych uporządkowanych uprzednimwypisaniu, wyrazy:
pojako słów tych linięDopisz wyrazy:następną, uprzednim wypisaniu, słownikowo uporządkowanych
Zdanie to zawiera dwie części: pierwsza jest poleceniem, druga zestawem słów, uporządkowanych według długości (a w wypadkurównej długościalfabety
cznie). Zgodniez tympoleceniem należynajpierwwypisać słowaz tego właśnie zestawu w porządku słownikowym, czyli alfabetycznym (bo przeformułowując polecenie należy „uprzednio wypisać słowa te słownikowo uporządkowane”), a potem jako następnąlinię(czyli od nowegowiersza, przechodząc ewentualnie do następnego, jeśli się nie zmieściw jednym) wypisać znowutesame słowa. Uczy
niwszy to dostajemy zdanie:
Dopisz jako linię następną,po słownikowo słówtych uporządkowanych uprzednim wypisaniu, wyrazy:
po jako słów tych linię Dopiszwyrazy: następną, uprzednim wypisaniu, słownikowo uporządkowanych
Oczywiście można te słowa,traktowane jako materiał do utworzenia zdania, wymienić od razu w porządku alfabetycznym.Dostaniemy wtedy zdanie:
Dopisz jako linię następną, po słownikowo słówtych uporządkowanych uprzednim wypisaniu,wyrazy:
Dopisz jako linię następną, po słownikowo słówtych uporządkowanych uprzednim wypisaniu, wyrazy:
Jeżelikogoś razi brak kropki na końcu zdania(zresztą w drugiej wersji dwu kropek dość zgrabnie zamykazdanie),toproponujęnastępujący wariant:
Dopisz jako kolumnę osobną, po słownikowo słów tych uporządkowa
nych uprzednimwypisaniu, wyrazy:
po jako słów tych Dopisz osobną, wyrazy:
kolumnę
132 StanisławKrajewski
uprzednim 1 '
4 „LanguagesinWhichSelf-Reference isPossible".„Journal of SymbolicLogic” 1957,nr 21,s. 55-67.
wypisaniu, słownikowo uporządkowanych
Pozostaje wreszcie krótkie wyjaśnienie konstrukcji Godła. O ile bowiem wszystkie powyższe przykłady można ostatecznie traktować jako dziwolągi lub powątpiewać w sensownośćużywania zaimka„to”, o tyle matematyczna konstru kcja Godła, użyta też przezTarskiego, nie budziwątpliwości formalnych. Mówiąc najkrócej, Godełzamiast zaimków używa arytmetycznej nazwy zdania, czyli jego numeru. Okazuje się, że można tak sprytnie skonstruować zdanie, że występuje w nim odniesienie do liczby, któraokazuje siębyć numeremtego właśnie zdania.
Mówiąc nieco dokładniej, używając wszakże innych terminów, przyjmijmy, że rozpatrujemy na przykładjęzykarytmetyki i załóżmy, że ponumerowaliśmy wszy stkieformułytegojęzyka ojednej zmiennej wolnej. Oznaczmy n-tązkolei przez [n], Niech teraz A będzie dowolną własnościązdań tegojęzyka i niech K będzie zbioremtychliczbn,dlaktórych własność A przysługuje zdaniu
[«](«),
gdzie przez [n](ń) oznaczamy podstawienie w n-tej formule wyrażenia aryt metycznego oznaczającego liczbę n; dla ustalenia uwagiwyrażeniem tym może być 1 + 1+...+ 1 (n razy wzięte). OtóżGodeł pokazał, żejeśliA dasięwyrazić(zde finiować) warytmetyce, to również zbiór K da się wyrazić w arytmetyce. Istnieje więc liczba ktaka, że formuła [&] wyrażazbiór K. Rozważmyteraz zdanie [&](£).
Stwierdza ono zatem, że liczba k należy do K, czyli -na mocy definicji tegozbioru - że własnośćA przysługujezdaniu [&](£). Zdanie to „stwierdza”więc samo oso
bie, żema własność A. U Godła własnością tą byłaniedowodliwość, potem u Tar
skiego nieprawdziwość (a raczej hipotetyczna nieprawdziwość: założył on definio- walność prawdziwości i używając powyższej konstrukcji zdania samozwrotnego uzyskał sprzeczność),a potem - wiele innych bardziej złożonychwłasności.
Istnieje ciekawy sposób konstrukcji samozwrotności w języku naturalnym.
Idea pochodzi od Quine’a,a opisana poniżej jego postać jest wzorowana na pracy Raymonda Smullyana4. Zamiast numerów Godła użyjemy nazwcudzysłowowych, często stosowanych zarówno wżyciu codziennym, jak i w logice. Użyjemy nastę pującegotriku: normą dowolnego wyrażenia językapolskiego nazwiemy towy rażenie z dopisaną za nim jegonazwą cudzysłowową, a potem kropką (znakiem interpunkcyjnym kończącym zdanie). Tak więc normąwyrażenia
Warszawa jest jest wyrażenie
Warszawajest „Warszawa jest”.
Dla uproszczeniawypisując wyrażeniew osobnej linijce,nieużywaliśmy cu
dzysłów. Ściślejrzecz ujmując jesttopotrzebne,bopisząc o jakimkolwiekwyra żeniu należy używaćjego nazwy, anie po prostuje cytować, a więcna przykład ująć jew cudzysłów,by użyć właśnie nazwy cudzysłowowej. Powyższyprzykład zapisany dokładnie wygląda więc następująco:
Normą wyrażenia
„Warszawa jest” jestwyrażenie
„Warszawa jest „Warszawa jest”. ”. Poniżejużywamy jednaknotacji uproszczonej.
Teraz rozpatrzymyjakąś własność wyrażeń, na przykład własność elegancji, tzn. bycia eleganckim. Rozpatrzmy zdanie
Elegancja przysługujenormie wyrażenia „Elegancja przysługuje normie wyrażenia”.
Dla krótkości oznaczmy powyższe zdanie literą s. Stwierdza ono, że norma pewnego wyrażenia jest elegancka. Otóżnormątegowyrażeniajestsamo zdanie i!
Zdanie s stwierdza więc o samym sobie, że jest eleganckie.
Jest widoczne, że taka sama konstrukcja daje się wykonać dla dowolnej włas nościwyrażeń, wyrażalnej wjęzyku polskim.
