Zadanie 1.
a) stałą C obliczamy z warunku:
( ) = 1
∫
+∞
∞
−
dx x f
obliczamy jako sumę całek w poszczególnych przedziałach:
( ) [ ]
8 1 1 0 8
0 3
0
1
0 0 8
1 3 1
1
0 7 0
1 2 1
x C C dx x
C x dx x dx
x
f = +
+ +
+ = +
+
=
−∞ +
−
−
∞
−
∞ +
∞
−
∫ ∫
∫
∫
∫
A zatem powinien być spełniony warunek:
8 1 1 + C =
0
= C dystrybuante ze wzoru: ( ) ∫ ( )
∞
−
=
x
dt t f x F
dla x < − 1 mamy: ( ) = ∫ ( ) = ∫ 0 = 0
∞
−
∞
−
dt dt
t f x F
x x
dla − 1 < x ≤ 0 mamy: ( ) ( ) 0 3 0 [ ]1 3 ( 1 )
3 3 1
3
1 2 1
+
=
−
−
= +
= +
=
=
−−
−
∞
−
∞
−
∫
∫
∫ f t dt t dt t x x
x
F
xx x
dla x ≥ 0 mamy: ( ) ( ) 0 3 0 0 1 0 1
0 0
1 2 1
= + +
= + +
=
= ∫ ∫ ∫ ∫
−
−
∞
−
∞
−
x x
dt t dt
t f x F
b) ( )
4 3 3 4
3 0 3
0
0
1 0 4
1 3 0
0
1 2 1
−
=
=
= + ⋅
⋅ +
⋅
=
⋅
=
− − +∞
−
−
∞
− +∞
∞
−
∫
∫
∫
∫
∫ x f x dx x x x dx x x dx x
EX
( ) 5
3 3 5
3 0 3
0
0
1 0 5
1 4 0
2 0
1
2 2 1
2 2
2
=
=
= + ⋅
⋅ +
⋅
=
⋅
=
− − +∞
−
−
∞
− +∞
∞
−
∫
∫
∫
∫
∫ x f x dx x x x dx x x dx x
EX
2 2
(EX ) EX
VarX = −
Zadanie 2.
1 75
. 12 0
) 4
(
2⇒ =
=
= − a a
VarX
5 . 2 2
4 1 + =
= EX
4 1 3 2
2 1 3 2 )
3 (
) 5 . 2 ( ) 3 ( )
3 (
) 3 5
. 2 ) ( 3
|
( =
−
− =
< =
<
= <
<
> F
F F X
P X X P
EX X P
Zadanie 3.
Korzystamy z twierdzenia: jeśli X ~ N ( µ , σ ), Y = aX + b ,to Y ~ N ( a µ + b , a
2σ
2)
) 4 , 22 (
~ 16
,
22 VarX
2X N
EX = µ = = σ = ⇒
144 16
2
2
