Statystyka matematyczna (2 mie, 2011/2012)
1. Empiryczne rozkªady prawdopodobie«stwa
w. 1.1 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu o dystrybuancie F . Wyznacz rozkªad dystrybuanty empirycznej ˆFn(x).
w. 1.2 Wylosowano 10 liczb z rozkªadu jednostajnego U(0, 1):
0, 88, 0, 39, 0, 76, 0, 13, 0, 29, 0, 14, 0, 45, 0, 63, 0, 84, 0, 38.
a) Na jednym rysunku wykonaj wykres dystrybuanty rozkªadu U(0, 1) oraz dys- trybuanty empirycznej.
b) Znaj¡c rozkªad dystrybuanty empirycznej (¢w. 1.1.), oblicz prawdopodobie«stwo,
»e dystrybuanta empiryczna rozkªadu U(0, 1) w punkcie x = 12 b¦dzie miaªa warto±¢ 0,2.
w. 1.3 Próba prosta X1, X2, . . . , Xn pochodzi z rozkªadu o dystrybuancie F . Udowod- nij, »e dystrybuant¡ zmiennej losowej Xk:n jest
F (x) =˜
n
X
i=k
n i
Fi(x)(1 − F (x))n−i.
w. 1.4 Wyznacz statystyki pozycyjne dla danych z ¢w.1.2.
w. 1.5 Znaj¡c dystrybuant¦ k-tej statystyki pozycyjnej (¢w. 1.3.), oblicz prawdopodo- bie«stwo, »e w rozkªadzie U(0, 1) ósma statystyka pozycyjna (z dziesi¦ciu) przyjmie warto±¢ wi¦ksz¡ ni» 12.
w. 1.6 Niech Xk:n b¦dzie k-t¡ statystyk¡ pozycyjn¡ z rozkªadu standardowego jedno- stajnego U(0, 1).
a) Podaj wzór na g¦sto±¢ Xk:n.
b) Wyznacz warto±¢ oczekiwan¡ Xk:n.
w. 1.7 Oblicz ±redni¡, wariancj¦, median¦ i kwartyle z próby z ¢wiczenia 1.2 i porów- naj je z odpowiednimi statystykami rozkªadu U(0,1), wykonuj¡c wykres pudeªkowy (skrzynka z w¡sami).
w. 1.8 Maj¡c dany nast¦puj¡cy szereg rozdzielczy punktowy:
xi 0 1 2 3 4 5 6
ni 17 27 26 16 8 5 1
wyznacz dystrybuant¦ empiryczn¡, oblicz ±redni¡, wariancj¦ i median¦ z próby.
Porównaj rozkªad empiryczny i obliczone statystyki z rozkªadem (tabelka poni»ej) oraz statystykami rozkªadu Poissona z parametrem 2.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120
Statystyka matematyczna (2 mie, 2011/2012)
1'. Empiryczne rozkªady prawdopodobie«stwa Zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zad. 1'.1 Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ dystrybuanty empirycznej ˆFn(x). Zad. 1'.2 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡. Obliczy¢ warto±¢ oczekiwan¡
wariancji z próby:
Eˆs2 = E1 n
n
X
i=1
(Xi− ¯X)2.
Zad. 1'.3 Niech X1, X2, . . . , Xn b¦dzie prób¡ z rozkªadu absolutnie ci¡gªego o dystry- buancie F i g¦sto±ci f. Wyka», »e g¦sto±¢ k-tej statystyki pozycyjnej Xk:n wyra»a si¦ wzorem
fXk:n(x) = nn − 1 k − 1
f (x)(F (x))k−1(1 − F (x))n−k.
Zad. 1'.4 Wska» numer statystyki pozycyjnej, która jest p-tym kwantylem próbkowym.
Która statystyka pozycyjna jest najmniejszym, a która najwi¦kszym kwantylem w przypadku niejednoznacznosci?
Zad. 1'.5 Z partii baweªny pobrano próbk¦ zªo»on¡ z 64 wªókien, a nast¦pnie zmierzono dªugo±ci tych wªókien (w mm). Otrzymano nast¦puj¡ce wyniki:
23 8 15 35 21 20 10 4 28 12 9 7 24 25 31 26 23 17 13 33 29 27 24 22 32 16 9 29 22 20 8 16 21 25 31 29 23 15 32 22 23 19 24 15 21 20 29 27 23 19 16 18 24 31 28 21 8 17 24 13 12 18 23 25 Zbuduj szereg rozdzielczy oraz narysuj histogram, dobieraj¡c skal¦ na osi pionowej tak, aby pole histogramu byªo równe 1.
