2. Empiryczne rozkłady prawdopodobieństwa

Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)

2. Empiryczne rozkłady prawdopodobieństwa

Ćw. 2.1 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu o dystrybuancie F . Wyznacz rozkład dystrybuanty empirycznej ˆF_n(x).

Ćw. 2.2 Wylosowano 10 liczb z rozkładu jednostajnego U (0, 1):

0, 88, 0, 39, 0, 76, 0, 13, 0, 29, 0, 14, 0, 45, 0, 63, 0, 84, 0, 38.

a) Na jednym rysunku wykonaj wykres dystrybuanty rozkładu U (0, 1) oraz dystrybuanty empirycznej.

b) Znając rozkład dystrybuanty empirycznej (ćw. 2.1), oblicz prawdopodobieństwo, że dystrybuanta empiryczna rozkładu U (0, 1) w punkcie x = ¹₂ będzie miała wartość 0,2.

Ćw. 2.3 Próba prosta X₁, X₂, . . . , X_n pochodzi z rozkładu o dystrybuancie F . Udowodnij, że dystrybuantą zmiennej losowej X_k:n jest

F (x) =˜

n

X

i=k

n i

!

Fⁱ(x)(1 − F (x))ⁿ⁻ⁱ.

Ćw. 2.4 Wyznacz statystyki pozycyjne dla danych z ćw.2.2.

Ćw. 2.5 Znając dystrybuantę k-tej statystyki pozycyjnej (ćw. 2.3.), oblicz prawdopodobieństwo, że w rozkładzie U (0, 1) ósma statystyka pozycyjna (z dziesięciu) przyjmie wartość większą niż ¹₂.

Ćw. 2.6 Niech X_k:n będzie k-tą statystyką pozycyjną z rozkładu standardowego jednostajnego U (0, 1).

a) Podaj wzór na gęstość X_k:n.

b) Wyznacz wartość oczekiwaną X_k:n.

Ćw. 2.7 Oblicz średnią, wariancję, medianę i kwartyle z próby z ćwiczenia 2.2 i porównaj je z odpowiednimi statystykami rozkładu U(0,1), wykonując wykres pudełkowy („skrzynka z wąsami”).

Ćw. 2.8 Mając dany następujący szereg rozdzielczy punktowy:

x_i 0 1 2 3 4 5 6

n_i 17 27 26 16 8 5 1

wyznacz dystrybuantę empiryczną, oblicz średnią, wariancję i medianę z próby. Porównaj rozkład empiryczny i obliczone statystyki z rozkładem (tabelka poniżej) oraz statystykami rozkładu Poissona z parametrem 2.

x_i 0 1 2 3 4 5 6

p_i 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120

Statystyka matematyczna (3 mef, 2014/2015)

2. Empiryczne rozkłady prawdopodobieństwa Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 2.1 Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję dystrybuanty empirycznej ˆF_n(x).

Zad. 2.2 Niech X₁, . . . , Xn będzie próbą losową prostą. Obliczyć wartość oczekiwaną wariancji z próby:

Eˆs² = E1 n

n

X

i=1

(X_i− ¯X)².

Zad. 2.3 Niech X₁, X₂, . . . , X_n będzie próbą z rozkładu absolutnie ciągłego o dystrybuancie F i gęstości f . Wykaż, że gęstość k-tej statystyki pozycyjnej Xk:n wyraża się wzorem

f_Xk:n(x) = n n − 1 k − 1

!

f (x)(F (x))^k−1(1 − F (x))^n−k.

Zad. 2.4 Wskaż numer statystyki pozycyjnej, która jest p-tym kwantylem próbkowym. Która statystyka pozycyjna jest najmniejszym, a która największym kwantylem w przypadku nie- jednoznacznosci?

Zad. 2.5 Z partii bawełny pobrano próbkę złożoną z 64 włókien, a następnie zmierzono długości tych włókien (w mm). Otrzymano następujące wyniki:

23 8 15 35 21 20 10 4 28 12 9 7 24 25 31 26

23 17 13 33 29 27 24 22 32 16 9 29 22 20 8 16 21 25 31 29 23 15 32 22 23 19 24 15 21 20 29 27 23 19 16 18 24 31 28 21 8 17 24 13 12 18 23 25

Zbuduj szereg rozdzielczy oraz narysuj histogram, dobierając skalę na osi pionowej tak, aby pole histogramu było równe 1.