Statystyka matematyczna 1. Rozkłady empiryczne
Ćw. 1.1 Wyznacz rozkład dystrybuanty empirycznej ˆF (x).
Ćw. 1.2 Wylosowano 10 liczb z rozkładu jednostajnego U (0, 1):
0, 88, 0, 39, 0, 76, 0, 13, 0, 29, 0, 14, 0, 45, 0, 63, 0, 84, 0, 38.
1. Na jednym rysunku wykonaj wykres dystrybuanty rozkładu U (0, 1) oraz dys- trybuanty empirycznej.
2. Znając rozkład dystrybuanty empirycznej (ćw. 1.1.), oblicz prawdopodobień- stwo, że dystrybuanta empiryczna rozkładu U (0, 1) w punkcie x = 12 będzie miała wartość 0,2.
Ćw. 1.3 Próba X1, X2, . . . , Xn pochodzi z rozkładu o dystrybuancie F . Udowodnij, że dystrybuantą zmiennej losowej Xk:n jest
F (x) =˜
n
X
i=k
n k
!
(F (x))i(1 − F (x))n−i.
Wykaż, że w przypadku rozkładu absolutnie ciągłego o gęstości f gęstością tej sta- tystyki jest
fXk:n(x) = n n − 1 k − 1
!
f (x)(F (x))k−1(1 − F (x))n−k.
Ćw. 1.4 1. Wyznacz statystyki pozycyjne dla danych z ćw.1.2.
2. Znając dystrybuantę k-tej statystyki pozycyjnej (ćw. 1.3.), oblicz prawdopo- dobieństwo, że w rozkładzie U (0, 1) ósma statystyka pozycyjna (z dziesięciu) przyjmie wartość większą niż 12.
3. Podaj wzór gęstości k-tej statystyki pozycyjnej z rozkładu U (0, 1).
4. Wyznacz wartość oczekiwaną k-tej statystyki pozycyjnej z rozkładu jednostaj- nego U (0, 1).
Ćw. 1.5 Oblicz średnią, wariancję, medianę i kwartyle z próby z ćwiczenia 1.2 i porów- naj je z odpowiednimi statystykami rozkładu U(0,1), wykonując wykres pudełkowy („skrzynka z wąsami”).
Ćw. 1.6 Mając dany następujący szereg rozdzielczy punktowy:
xi 0 1 2 3 4 5 6
ni 17 27 26 16 8 5 1
wyznacz dystrybuantę empiryczną, oblicz średnią, wariancję i medianę z próby. Po- równaj rozkład empiryczny i obliczone statystyki z rozkładem (tabelka poniżej) oraz statystykami rozkładu Poissona z parametrem 2.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120
Ćw. 1.7 Wskaż numer statystyki pozycyjnej, która jest p-tym kwantylem próbkowym.
Która statystyka pozycyjna jest najmniejszym, a która największym kwantylem w przy- padku niejednoznacznosci?
Ćw. 1.8 Z partii bawełny pobrano próbkę złożoną z 64 włókien, a następnie zmierzono długości tych włókien (w mm). Otrzymano następujące wyniki:
23 8 15 35 21 20 10 4 28 12 9 7 24 25 31 26
23 17 13 33 29 27 24 22 32 16 9 29 22 20 8 16 21 25 31 29 23 15 32 22 23 19 24 15 21 20 29 27 23 19 16 18 24 31 28 21 8 17 24 13 12 18 23 25 Zbuduj szereg rozdzielczy oraz narysuj histogram, dobierając skalę na osi pionowej tak, aby pole histogramu było równe 1.
