Moduł różniczek Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Luty 1994

Andrzej Nowicki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń

(e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Luty 1994

Spis treści

1 Moduł Derk(A, M) 1

1.1 Derywacje A-modułu . . . 1

1.2 Derywacje modułu nad algebrą wielomianów . . . 1

1.3 Derywacje modułu nad ciałem funkcji wymiernych . . . 2

1.4 Derywacje modułu nad algebrą ilorazową . . . 2

1.5 Homomorfizm Der_k(f, M) . . . 3

1.6 Algebra A ⊕ M . . . . 4

2 Definicja i konstrukcje modułu różniczek 6 2.1 Co to jest moduł różniczek? . . . 6

2.2 Pierwsza konstrukcja modułu różniczek . . . 7

2.3 Druga konstrukcja modułu różniczek . . . 8

2.4 Reprezentowalność funktora Derk(A, ) . . . 9

2.5 Zerowy moduł różniczek . . . 10

3 Podstawowe własności modułu różniczek 12 3.1 Homomorfizmy . . . 12

3.2 Rozszerzanie pierścienia współczynników . . . 13

3.3 Iloczyn tensorowy algebr . . . 15

4 Przykłady 17 4.1 Moduł różniczek dla algebry wielomianów . . . 17

4.2 Moduł różniczek dla ciała funkcji wymiernych . . . 17

4.3 Uwaga o module różniczek dla pierścieni szeregów . . . 17

4.4 Moduł różniczek dla k[T₁,..., T_n]/I . . . 18

4.5 Pierścienie k[t]/(f) . . . 19

5 Dwie zmienne 21 5.1 Krzywe gładkie . . . 21

5.2 Konsekwencje gładkości . . . 23

5.3 Przykłady dla wielomianów niegładkich . . . 24

5.4 Lematy . . . 24

5.5 Wielomian postaci yⁿ - p(x) . . . 26

i

6 Formy różniczkowe 28

6.1 Przestrzeń styczna . . . 28

6.2 Różniczka funkcji regularnej . . . 28

6.3 Jednowymiarowe formy różniczkowe . . . 29

6.4 Formy różniczkowe na kⁿ . . . 30

6.5 Pewne własności form różniczkowych . . . 31

6.6 Przykłady dla zbiorów rzutowych . . . 32

6.7 Formy różniczkowe na rozmaitości afinicznej . . . 33

6.8 Formy różniczkowe wyższych stopni . . . 34

Spis cytowanej literatury 34

1 Moduł Der

(A, M)

k = pierścień przemienny z jedynką, A = k-algebra przemienna z jedynką, M = A-moduł.

1.1 Derywacje A-modułu

Definicja 1.1.1. k-Derywacją A-modułu M nazywamy każde k-liniowe odwzorowanie d : A −→ M takie, że d(ab) = ad(b) + bd(a) dla a, b ∈ A.

Niech d będzie k-derywacją A-modułu M . Wtedy d(1) = 0 oraz ad, gdzie a ∈ A, jest też k- derywacją A-modułu M . Ponadto suma dwóch k-derywacji A-modułu M jest też k-derywacją tego A-modułu. Zbiór Der_k(A, M ), wszystkich k-derywacji A-modułu M , jest więc A-modułem.

Przykład 1.1.2. Der_k(k, M ) = 0.

Dowód. d(k) = d(k · 1) = kd(1) = k · 0 = 0. 

Stwierdzenie 1.1.3. Jeżeli d ∈ Derk(A, M ), to Ker d = {a ∈ A; d(a) = 0} jest k-podalgebrą k- algebry A. Jeżeli A jest ciałem, to Ker d jest podciałem.

Dowód. To jest oczywiste. 

Wniosek 1.1.4. Załóżmy, że S jest zbiorem generatorów k-algebry A i niech d1, d2będą k-derywacja- mi A-modułu M . Jeżeli d1(s) = d2(s) dla wszystkich s ∈ S, to d1= d2.

Dowód. Wynika to ze Stwierdzenia 1.1.3 zastosowanego do derywacji d₁− d2.

1.2 Derywacje modułu nad algebrą wielomianów

Stwierdzenie 1.2.1. Niech k[T ] = k[T1, . . . , Tn] będzie k-algebrą wielomianów i niech M będzie k[T ]- modułem. Dla każdego ciągu (m1, . . . , mn) elementów z M istnieje dokładnie jedna k-derywacja d : k[T ] −→ M taka, że d(Ti) = mi dla i = 1, . . . , n. Derywacja ta jest określona wzorem:

d(f ) = ∂f

∂T1

m₁+ · · · + ∂f

∂Tn

m_n,

gdzie f ∈ k[T ].

Dowód. Proste zwykłe sprawdzenie. Jedyność jest konsekwencją Wniosku 1.1.4. 

Stwierdzenie 1.2.2. Niech k[T ] = k[T₁, . . . , T_n] będzie k-algebrą wielomianów i niech M będzie k[T ]- modułem. Wtedy k[T ]-moduły Der_k(k[T ], M ) i Qn

i=1M są izomorficzne.

Dowód. Izomorfizm zadaje przyporządkowanie d 7→ (d(T1), . . . , d(Tn)). Wynika to ze Stwierdzenia 1.2.1.

Stwierdzenie 1.2.3. Niech A będzie k-algebrą i niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu M . Niech a = (a1, . . . , an) ∈ Aⁿ i niech F będzie wielomianem należącym do k[T1, . . . , Tn]. Wtedy F (a) jest elementem należącym do A i zachodzi równość:

d(F (a)) = ∂F

∂T1

(a)d(a1) + · · · + ∂F

∂Tn

(a)d(an).

Dowód. Oznaczmy:

S_a= {F ∈ k[T1, . . . , T_n]; d(F (a)) = ∂F

∂T1

(a)d(a1) + · · · + ∂F

∂Tn

(a)d(an)}.

Wtedy k ⊂ Sa, Sa+ Sa ⊆ Sa oraz z łatwością sprawdzamy, że SaSa ⊆ Sa. Ponadto T1, . . . , Tn ∈ Sa. Zatem Sa jest k-podalgebrą w k[T1, . . . , Tn] zawierającą k i T1, . . . , Tn, czyli Sa = k[T1, . . . , Tn]. 

Jest oczywiste, że powyższe stwierdzenia są prawdziwe też dla k-algebr wielomianów dowolnej ilości zmiennych.

1.3 Derywacje modułu nad ciałem funkcji wymiernych

Następujące trzy stwierdzenia dowodzimy tak samo jak odpowiednie stwierdzenia dla algebr wie- lomianów z Rozdziału 1.2.

Stwierdzenie 1.3.1. Niech k(T ) = k(T1, . . . , Tn) będzie ciałem funkcji wymiernych nad ciałem k i niech M będzie k(T )-modułem. Dla każdego ciągu (m1, . . . , mn) elementów z M istnieje dokładnie jedna k-derywacja d : k(T ) −→ M taka, że d(Ti) = mi dla i = 1, . . . , n. Derywacja ta jest określona wzorem:

d(f ) = ∂f

∂T1

m1+ · · · + ∂f

∂Tn

mn, gdzie f ∈ k(T ).

Stwierdzenie 1.3.2. Niech k(T ) = k(T1, . . . , Tn) będzie ciałem funkcji wymiernych nad ciałem k i niech M będzie k(T )-modułem. Wtedy k(T )-moduły Derk(k(T ), M ) i Qn

i=1M są izomorficzne.  Stwierdzenie 1.3.3. Niech k ⊆ L będą ciałami i niech d : L −→ M będzie k-derywacją L-przestrzeni M . Niech a = (a₁, . . . , a_n) ∈ Lⁿ i niech F = f /g będzie funkcją wymierną należącą do k(T₁, . . . , T_n) taką, że g(a) 6= 0. Wtedy F (a) jest elementem należącym do L i zachodzi równość:

d(F (a)) = ∂F

∂T1

(a)d(a1) + · · · + ∂F

∂Tn

(a)d(an).

Jest oczywiste, że powyższe stwierdzenia są prawdziwe też dla ciał funkcji wymiernych dowolnej ilości zmiennych.

1.4 Derywacje modułu nad algebrą ilorazową

Niech I będzie ideałem w k-algebrze A i niech M będzie A-modułem. Mamy wtedy A-moduł IM = {i₁m₁+ · · · + i_sm_s; i₁, . . . , i_s∈ I, m1, . . . , m_s∈ M },

który jest A-podmodułem modułu M . Możemy zatem rozpatrzyć A-moduł M/IM . Ten A-moduł ma strukturę A/I-modułu z mnożeniem

(a + I)(m + IM ) = am + IM.

Zauważmy, że mnożenie to jest dobrze określone. Istotnie, jeżeli a+I = a1+I oraz m+IM = m1+IM wtedy a − a1∈ I, m − m1∈ IM , a zatem (a − a1)m, a1(m − m1) ∈ IM więc

am − a1m1= (a − a1)m + a1(m − m1) ∈ IM, czyli wtedy am + IM = a1m1+ IM .

Stwierdzenie 1.4.1. Niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu M i niech I ⊂ A będzie ideałem. Załóżmy, że d(I) ⊆ IM . Wtedy d : A/I −→ M/IM , (a + I) 7→ d(a) + IM jest dobrze określonym odwzorowaniem, będącym k-derywacją A/I-modułu M/IM .

Dowód. Sprawdzamy poprawność definicji. Jeżeli a + I = a1+ I, to a − a1∈ I, więc d(a) − d(a1) = d(a − a1) ∈ IM . To, że d jest k-derywacją wynika z następujących równości:

d((x + I)(y + I)) = d(xy + I) = d(xy) + IM = xd(y) + yd(x) + IM

= (x + I)(d(y) + IM ) + (y + I)(d(x) + IM )

= (x + I)d(y + I) + (y + I)d(x + I). 

Każda więc k-derywacja d : A −→ M taka, że d(I) ⊆ IM indukuje k-derywację d taką, że przemienny jest następujący diagram:

A ^d //

η

M

ρ

A/I ^d // M/IM,

gdzie η : A −→ A/I, ρ : M −→ M/IM są homomorfizmami naturalnymi. Czy każda k-derywacja δ : A/I −→ M/IM powstaje w powyższy sposób? Jeżeli A = k[T1, . . . , Tn] jest k-algebrą wielomianów to tak jest. Mówi o tym następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 1.4.2. Niech I będzie ideałem w k-algebrze wielomianów k[T ] = k[T1, . . . , Tn]. Niech M będzie k[T ]-modułem i rozpatrzmy k[T ]/I-moduł M/IM . Niech δ : k[T ]/I −→ M/IM będzie k-derywacją. Istnieje wtedy k-derywacja d : k[T ] −→ M taka, że d(I) ⊆ IM i przemienny jest następujący diagram:

k[T ]_ _ _ _^d_ _ _ //_

η



M

ρ



k[T ]/I ^δ // M/IM.

Dowód. Niech m1, . . . , mn będą elementami modułu M takimi, że δ(Ti + I) = mi + IM , dla i = 1, . . . , n. Istnieje wtedy k derywacja d : k[T ] −→ M spełniająca równości d(Ti) = mi, i = 1, . . . , n (Stwierdzenia 1.2.1). Pokażemy, że ta derywacja spełnia tezę naszego stwierdzenia. Najpierw zauważmy, że δη = ρd. Istotnie, jeżeli f ∈ k[T ], to

δη(f ) = δ(f + I) = δ(f (T₁+ I, . . . , T_n+ I)

1.2.3

= Pn

i=1

∂f

∂Ti(T₁+ I, . . . , T_n+ I)δ(T_i+ I)

= Pn

i=1(_∂T^∂f

i + I)(mi+ IM )

= Pn

i=1

∂f

∂Tim_i+ IM

= ρ(Pn i=1

∂f

∂T_imi)

= ρ(Pn i=1

∂f

∂Tid(T_i))

= ρd(f ).

Pokażmy jeszcze, że d(I) ⊆ IM . Niech h ∈ I. Wtedy 0 = δ(0) = δη(h) = ρd(h) = d(h) + IM , a więc d(h) ∈ IM . 

1.5 Homomorfizm Der

(f, M)

Niech f : A −→ B będzie homomorfizmem k-algebr i niech M będzie B-modułem. Wówczas M jest A-modułem z mnożeniem ∗ : A × M −→ M określonym wzorem:

a ∗ m = f (a)m.

Lemat 1.5.1. Jeżeli d ∈ Derk(B, M ), to df ∈ Derk(A, M ).

Dowód. Niech x, y ∈ A. Wtedy (df )(xy) = d(f (xy)) = d(f (x)f (y)) = f (x)d(f (y))+f (y)d(f (x)) = x ∗ (df )(y) + y ∗ (df )(x). 

Niech Derk(f, M ) będzie odwzorowaniem określonym następująco:

Derk(f, M ) : Derk(B, M ) −→ Derk(A, M ), d 7→ df.

Widzimy, na mocy powyższego lematu, że jest to dobrze określone odwzorowanie pomiędzy dwoma A-modułami. Derk(B, M ) jest A-modułem z mnożeniem a ∗ d = f (a)d.

Lemat 1.5.2. Der_k(f, M ) jest homomorfizmem A-modułów.

Dowód. Niech γ = Derk(f, M ) i niech d ∈ Derk(B, M ), a ∈ A. Mamy wtedy: γ(a∗d) = γ(f (a)d) = (f (a)d)f = f (a)(df ) = f (a)γ(d) = a ∗ γ(d).

Stwierdzenie 1.5.3. Jeżeli f : A −→ B jest homomorfizmem k-algebr, to dla każdego B-modułu M mamy dokładny ciąg A-modułów

0 // DerA(B, M ) ^β // Derk(B, M ) ^γ // Derk(A, M ), w którym γ = Derk(f, M ) oraz β(d) = d.

Dowód. Jest oczywiste, że β jest monomorfizmem. Niech d ∈ DerA(B, M ). Wtedy γβ(d) = γ(d) = df = 0, gdyż jeżeli a ∈ A, to f (a) ∈ B oraz (df )(a) = d(f (a) · 1) = f (a)d(1) = f (a) · 0 = 0. Zatem Im β ⊆ Ker γ.

Musimy wykazać jeszcze, że Ker γ ⊆ Im β. Niech d ∈ Ker γ. Wtedy d ∈ Derk(B, M ) oraz γ(d) = 0, czyli df = 0. Zauważmy, że wtedy d ∈ DerA(B, M ). Istotnie: d(a∗1) = d(f (a)·1) = d(f (a)) = (df )(a) = 0(a) = 0. Mamy więc d = β(d) ∈ Im β.

1.6 Algebra A ⊕ M

Niech A będzie przemienną k-algebrą i niech M będzie A-modułem. Niech A ⊕ M będzie sumą prostą k-modułów A i M . Definiujemy w A ⊕ M mnożenie:

(a1, m1)(a2, m2) = (a1a2, a1m2+ a2+ m1), gdzie a₁, a₂∈ A, m₁, m₂∈ M . Bez trudu sprawdzamy następujące

Stwierdzenie 1.6.1. A ⊕ M jest przemienną k-algebrą z jedynką równą (1, 0).  Wprowadzamy dwa odwzorowania:

π : A ⊕ M −→ A, (a, m) 7→ a,

∆ : A ⊕ M −→ M, (a, m) 7→ m.

Stwierdzenie 1.6.2.

(1) π jest homomorfizmem k-algebr.

(2) ∆ jest k-derywacją A ⊕ M -modułu M .

Dowód. (1). π((a1, m1)(a2, m2)) = π(a1a2, a1m2+ a2m1) = a1a2= π(a1, m1)π(a2, m2).

(2).

∆((a1, m1)(a2, m2)) = ∆(a1a2, a1m2+ a2m1)

= a₁m₂+ a₂m₁

= π(a1, m1)∆(a2, m2) + π(a2, m2)∆(a1, m1)

= (a1, m1)∆(a2, m2) + (a2, m2)∆(a1, m1).

Jeżeli f : A −→ A ⊕ M jest homomorfizmem k-algebr takim, że πf = id, to odwzorowanie

∆ ◦ f : A −→ M jest k-derywacją A-modułu M . Następne stwierdzenie mówi, że każda k-derywacja A-modułu M ma taką postać.

Stwierdzenie 1.6.3. Dla każdej k-derywacji d : A −→ M istnieje dokładnie jeden homomorfizm k-algebr f : A −→ A ⊕ M taki, że diagramy

A

d f //_

_

_ A ⊕ M

{{wwwwww∆www M

A

id f //_

_

_ A ⊕ M

{{wwwwwwπwww A

są przemienne.

Dowód. f (a) = (a, d(a)). 

Uwaga 1.6.4. W D2270 − 275 są informacje o funktorialnych własnościach k-algebry A ⊕ M i jej związku z modułem Der_k(A, M ). Jest tam też wzmianka o obiektach abelowych w kategorii k-algebr leżących nad A. 

2 Definicja i konstrukcje modułu różniczek

k = pierścień przemienny z jedynką, A = k-algebra przemienna z jedynką, M = A-moduł.

2.1 Co to jest moduł różniczek?

Definicja 2.1.1. Modułem różniczek k-algebry A nazywamy każdą parę (Ω, δ), w której Ω jest A- modułem, δ : A −→ Ω jest k-derywacją A-modułu Ω przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności:

Dla każdego A-modułu M i dla każdej k-derywacji d : A −→ M istnieje dokładnie jeden homo- morfizm A-modułów f : Ω −→ M taki, że diagram

A ^δ //

dAAAAA A AA Ω

f

M jest przemienny.

Z tej definicji wynika natychmiast

Stwierdzenie 2.1.2. Niech (Ω, δ) będzie modułem różniczek k-algebry A. Jeżeli M jest A-modułem, to przyporządkowanie f 7→ f ◦ δ jest izomorfizmem A-modułów HomA(Ω, M ) i Derk(A, M ).

Poniższe stwierdzenie mówi, że jeżeli moduł różniczek istnieje, to dokładnie jeden z dokład- nością do izomorfizmu.

Stwierdzenie 2.1.3. Jeżeli pary (Ω, δ), (Ω⁰, δ⁰) są modułami różniczek k-algebry A, to istnieją ho- momorfizmy A-modułów f : Ω −→ Ω⁰ i g : Ω⁰−→ Ω takie, że f g = 1Ω⁰, gf = 1Ω oraz przemienne są diagramy

A ^δ //

δ⁰@@@@ @

@@ Ω

f

Ω⁰ i

A ^δ //

δ@⁰@@@ @

@@ Ω

Ω⁰

g

OO

.

Dowód. Istnienie homomorfizmów f i g wynika z własności uniwersalności. Równość f g = 1Ω

wynika z własności uniwersalności oraz z diagramu

A ^δ //

δ⁰

@ @

@@

@@

@

δ

000 0000 0000

000 Ω

f

~~~~~~~~~

gf

 ^1Ω



Ω⁰

g



Ω

.

Podobnie wykazuje się, że f g = 1Ω⁰.

Stwierdzenie 2.1.4. Jeżeli (Ω, δ) jest modułem różniczek k-alegebry A i ϕ jest automorfizmem A- modułu Ω, to para (Ω, ϕ ◦ δ) też jest modułem różniczek k-algebry A.

Dowód. Ponieważ δ jest k-derywacją, więc ϕ◦δ : A −→ Ω też jest k-derywacją. Niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu M . Ponieważ (Ω, δ) jest modułem różniczek, więc istnieje (dokładnie jeden) A-homomorfizm f : Ω −→ M taki, że f δ = d. Wtedy f ϕ⁻¹: Ω −→ M jest A-homomorfizmem spełniającym równość (f ϕ⁻¹) ◦ (ϕδ) = d. Jest oczywiste, że taki homomorfizm istnieje dokładnie jeden.

Wniosek 2.1.5. Jeżeli (Ω, δ) jest modułem różniczek k-algebry A, i a ∈ A jest elementem odwracal- nym w A, to para (Ω, aδ) też jest modułem różniczek k-algebry A.

Dowód. Wynika to ze Stwierdzenia 2.1.4, gdyż odwzorowanie ϕ : Ω −→ Ω, x 7→ ax, jest A- automorfizmem.

Stwierdzenie 2.1.6. Jeżeli (Ω, δ) jest modułem różniczek k-algebry A, to moduł Ω jest gene- rowany (nad A) przez wszystkie elementy postaci δ(a), gdzie a ∈ A.

Dowód. Niech W będzie A-podmodułem w Ω generowanym przez zbiór {δ(a); a ∈ A} i niech η : Ω −→ Ω/W będzie homomorfizmem naturalnym. Oznaczmy d = ηδ. Wtedy d : A −→ Ω/W jest k-derywacją A-modułu Ω/W oraz ηδ = d i 0δ = d. Z własności uniwersalności wynika, że η = 0, czyli Ω = W .

W następnych rozdziałach wykażemy, że moduł różniczek zawsze istnieje.

Definicja 2.1.7. Jeżeli A jest k-algebrą to jej moduł różniczek oznaczamy przez (Ωk(A), δA).

2.2 Pierwsza konstrukcja modułu różniczek

Założyliśmy, że A jest k-algebrą. Mamy więc homomorfizm pierścieni ϕ : k −→ A, x 7→ x · 1.

Niech F będzie A-modułem wolnym, którego bazą jest zbiór {ua; a ∈ A}, równoliczny ze zbiorem A. Każdy element modułu F ma jednoznaczne przedstawienie w postaci a1ub₁ + · · · + asub_s, gdzie a1, . . . , as, b1, . . . , bs∈ A.

Oznaczmy przez W podmoduł modułu F generowany (nad A) przez wszystkie elementy postaci







ua+b− ua− ub , a, b ∈ A

u_ϕ(x) , x ∈ k

u_ab− au_b− bu_a , a, b ∈ A.

Niech Ω = F/W i niech δ : A −→ Ω będzie odwzorowaniem określonym wzorem δ(a) = ua= ua+ W.

Wtedy Ω jest A-modułem i jest oczywiste, że δ jest k-derywacją A-modułu Ω.

Twierdzenie 2.2.1. Powyższa para (Ω, δ) jest modułem różniczek k-algebry A.

Dowód. Musimy pokazać, że para (Ω, δ) spełnia własność uniwersalności.

Niech M będzie A-modułem i niech d : A −→ M będzie k-derywacją.

A ^δ //

dDDDDD!!D DD

D F/W

f

 F^ηoo }}zzzzzzgzzz M

Definiujemy najpierw A-homomorfizm g : F −→ M przyjmując (na bazie) g(ua) = d(a). Ponieważ d jest k- derywacją, więc homomorfizm g zeruje się na podmodule W (fakt ten wystarczy sprawdzić tylko dla generatorów podmodułu W ).

Mamy zatem homomorfizm A-modułów f : F/W −→ M , v + W 7→ g(v), który spełnia równość f δ = d. Istotnie, f δ(a) = f (ua+ W ) = g(ua) = d(a), a ∈ A.

Przypuśćmy, że f⁰ : F/W −→ M jest drugim A-homomorfizmem spełniającym równość f⁰δ = d.

Wtedy f⁰(ua+ W ) = f⁰δ(a) = d(a) = f δ(a) = f (a + W ), dla wszystkich a ∈ A, czyli f i f⁰ pokrywają się na zbiorze generatorów A-modułu F/W . Zatem f = f⁰.

2.3 Druga konstrukcja modułu różniczek

Rozważmy k-algebrowy homomorfizm µ : A ⊗_kA −→ A, a ⊗ b 7→ ab i niech I = Kerµ. Niech i, j : A −→ A ⊗kA będą homomorfizmami k-algebr zdefiniowanymi następująco:

i(a) = a ⊗ 1, j(a) = 1 ⊗ a, a ∈ A.

Homomorfizmy te zadają każdemu A ⊗kA-modułowi struktury A-modułu. W szczególności A ⊗kA- moduły I, I² oraz I/I²mają dwie struktury A-modułów. Niech

Ω = I/I².

Wykażemy, że powyższe dwie A-modułowe struktury na Ω są identyczne. Najpierw jednak wprowadź- my następujące oznaczenie. Jeżeli a ∈ A, to oznaczamy

ω(a) = i(a) − j(a) = a ⊗ 1 − 1 ⊗ a.

Zauważmy, że każdy element postaci ω(a) należy do I (gdyż µ(ω(a)) = a · 1 − 1 · a = 0).

Lemat 2.3.1. Ideał I, jako A⊗kA-moduł, jako A-moduł ze strukturą zadaną przez i oraz jako A-moduł ze strukturą zadaną przez j, jest generowany przez elementy postaci ω(a), a ∈ A.

Dowód. NiechP ap⊗ bp∈ I. WtedyP apbp= µ(P ap⊗ bp) = 0. Mamy zatem P ap⊗ b_p = P(ap⊗ 1)(1 ⊗ b_p− b_p⊗ 1) = −P i(ap)ω(b_p) P ap⊗ bp = P(1 ⊗ bp)(ap⊗ 1 − 1 ⊗ ap) = P i(bp)ω(ap) i z tych równości wynika nasz lemat.

Lemat 2.3.2. Struktury A-modułowe (poprzez i oraz j) na Ω = I/I² są identyczne.

Dowód. Dzięki Lematowi 2.3.1 wystarczy pokazać, że i(b)ω(a) = j(b)ω(a) dla wszystkich a, b ∈ A, gdzie ω(a) = ω(a) + I². Sprawdzamy: i(b)ω(a) − j(b)ω(a) = (i(b) − j(b))ω(a) = ω(b)ω(a) ∈ I².

Określamy teraz odwzorowanie δ : A −→ Ω przyjmując δ(a) = ω(a) + I², gdzie a ∈ A.

Lemat 2.3.3. Odwzorowanie δ jest k-derywacją A-modułu Ω.

Dowód. Niech a, b ∈ A. Wtedy mamy:

aδ(b) + bδ(a) = i(a)ω(b) + j(b)ω(a) + I²

= (a ⊗ 1)(b ⊗ 1 − 1 ⊗ b) + (1 ⊗ b)(a ⊗ 1 − 1 ⊗ a) + I²

= ab ⊗ 1 − a ⊗ b + a ⊗ b − 1 ⊗ ab + I²

= ab ⊗ 1 − 1 ⊗ ab + I²

= δ(ab). 

Mamy zatem parę (Ω, δ), w której Ω jest A-modułem i δ jest jego k-derywacją.

Twierdzenie 2.3.4. Para (Ω, δ) jest modułem różniczek k-algebry A.

Dowód. Niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu M .

A ^δ //

dCCCC!!C CC

C I/I₂

f

 I^ηoo

β

~~|||||||| // A ⊗kA vvmmmmmmmmmmmmα mmm M

Najpierw określamy k-liniowe odwzorowanie α : A ⊗k A −→ M takie, że α(a ⊗ b) = −ad(b). Od- wzorowanie to jest homomorfizmem A-modułów jeżeli struktura A-modułowa na A ⊗kA zadana jest przez homomorfizm i (struktura A-modułowa na A ⊗kA zadana przez j nie jest tutaj dobra). Mamy bowiem (dla a, x, y ∈ A):

α(a(x ⊗ y)) = α(i(a)(x ⊗ y)) = α(ax ⊗ y) = −axd(y) = a(−xd(y)) = aα(x ⊗ y).

Niech β = α|I. Wtedy β : I −→ M jest homomorfizmem A-modułów (przy czym struktura A-modułu na I zadana jest przez i).

Pokażemy teraz, że β(I²) = 0. Wystarczy to pokazać dla generatorów ideału I², czyli dla elementów postaci ω(a)ω(b), gdzie a, b ∈ A. Sprawdzamy:

β(ω(a)ω(b)) = β((a ⊗ 1 − 1 ⊗ a)(b ⊗ 1 − 1 ⊗ b))

= β(ab ⊗ 1 − a ⊗ b − b ⊗ a + 1 ⊗ ab)

= −abd(1) + ad(b) + bd(a) − d(ab)

= 0.

Mamy zatem homomorfizm A-modułów f : Ω −→ M określony wzorem f (v + I²) = g(v) dla v ∈ I.

Homomorfizm ten spełnia równość f δ = d. Istotnie:

f δ(a) = f (a ⊗ 1 − 1 ⊗ a + I²) = −ad(1) + 1d(a) = d(a).

Jedyność wynika z faktu, że elementy postaci ω(a) generują ideał I jako moduł nad A.

Uwaga 2.3.5. Różne informacje o przedstawionej tu konstrukcji modułu różniczek można znaleźć w następujących zeszytach: Homologie algebr przemiennych (wykład T. Józefiaka 1972/73), AlgHom₁14 − 31, D2243 − 275, AP6.

2.4 Reprezentowalność funktora Der

(A, )

Przypomnimy najpierw pojęcie przekształcenia i równoważności funktorów. Ograniczymy się tylko do funktorów kowariantnych w kategoriach modułów. Jeżeli R jest pierścieniem, to przez _RM ozna- czamy kategorię (lewych) R-modułów.

Jeśli S, T są funktorami kowariantnymi, S, T :_RM −→R1M, to przekształceniem Φ : S −→ T funk- tora S w funktor T nazywamy przyporządkowanie, które każdemu R-modułowi M przyporządkowuje R1-homomorfizm Φ(M ) : S(M ) −→ T (M ) taki, że dla dowolnego R-homomorfizmu f : M −→ N diagram

S(M ) ^{Φ(M )} //

S(f )



T (M )

T (f )



S(N ) ^{Φ(N )} // T(N) jest przemienny.

Przekształcenie funktorów Φ : S −→ T nazywamy równoważnością, jeżeli istnieje takie przekształ- cenie funktorów Ψ : T −→ S, że przekształcenia ΦΨ, ΨΦ są tożsamościami, tzn. dla dowolnego M ∈RM mamy

Ψ(M )Φ(M ) = 1S(M ), Φ(M )Ψ(M ) = 1T (M ).

Łatwo spostrzec, że przekształcenie funktorów Φ : S −→ T jest równoważnością wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie homomorfizmy Φ(M ), M ∈ _RM są izomorfizmami. Funktory S, T nazywamy równo- ważnymi, jeżeli istnieje równoważność Φ : S −→ T .

Niech A będzie k-algebrą i niech V będzie A-modułem. Mamy wtedy funktor kowariantny HomA(V, ) :

AM −→AM. Jeżeli f : M −→ N jest homomorfizmem A-modułów, to HomA(V, f ) : HomA(V, M ) −→ HomA(V, N )

jest homomorfizmem A-modułów określonym wzorem

HomA(V, f )(h) = f ◦ h, h ∈ HomA(V, M ).

W tej sytuacji mamy też drugi funktor kowariantny Derk(A, ) :AM −→AM. Jeżeli f : M −→ N jest homomorfizmem A-modułów, to

Derk(A, f ) : Derk(A, M ) −→ Derk(A, N ) jest homomorfizmem A-modułów określonym wzorem

Derk(A, f )(d) = f ◦ d, d ∈ Derk(A, M ).

Zwróćmy uwagę, że jeżeli d : A −→ M jest k-derywacją i f : M −→ N jest A-homomorfizmem, to odwzorowanie f ◦ d : A −→ N jest też k-derywacją. Istotnie:

(f ◦ d)(ab) = f (d(ab))

= f (ad(b) + bd(a))

= af (d(b)) + bf (d(a))

= a(f ◦ d)(b) + b(f ◦ d)(a), dla wszystkich a, b ∈ A.

Twierdzenie 2.4.1. Funktory Hom_A(Ω_k(A), ), Der_k(A, ) :_AM −→AM są równoważne.

Dowód. Jeśli M jest A-modułem, to określamy A-homomorfizm Φ(M ) : Hom_A(Ω_k(A), M ) −→ Der_k(A, M ) przyjmując

Φ(M )(h) = h ◦ δA,

dla wszystkich h ∈ HomA(Ωk(A), M ). Wiemy na mocy Stwierdzenia 2.1.2, że Φ(M ) jest izomorfizmem A-modułów. Wystarczy zatem sprawdzić, że jeżeli f : M −→ N jest A-homomorfizmem, to przemienny jest diagram:

HomA(Ωk(A), M ) ^{Φ(M )} //

Hom_A(Ω_k(A),f )



Derk(A, M )

Der_k(A,f )



HomA(Ωk(A), N ) ^{Φ(N )} // Derk(A, N ) Niech h ∈ HomA(Ωk(A), M ). Wtedy:

Der_k(A, f )Φ(M )(h) = Der_k(A, f )(hδ_A) = f hδ_A, Φ(N )Hom_k(Ω_k(A), f )(h) = Φ(N )(f h) = f hδ_A. Zatem powyższy diagram jest przemienny.

Wniosek 2.4.2. Funktor Derk(A, ) jest reprezentowalny i jego modułem reprezentującym jest Ωk(A).



2.5 Zerowy moduł różniczek

Stwierdzenie 2.5.1. Niech k będzie pierścieniem (przemiennym z 1) i niech A będzie przemienną k-algebrą. Następujące warunki są równoważne.

(1) Ωk(A) = 0.

(2) Derk(A, Ωk(A)) = 0.

(3) Niech M będzie dowolnym A-modułem. Jeżeli d : A −→ M jest k-derywacją, to d = 0.

Dowód.

(1) ⇒ (3). Derk(A.M ) = HomA(Ωk(A), M ) = HomA(0, M ) = 0.

(3) ⇒ (2). Oczywiste.

(2) ⇒ (1). 1_Ωk(A)∈ HomA(Ω_k(A), Ω_k(A)) = Der_k(A, Ω_k(A)) = 0.

Pytanie 2.5.2. Załóżmy, że Der_k(A, A) = 0. Czy wtedy Ω_k(A) = 0?

Stwierdzenie 2.5.3. Niech k ⊆ L będą ciałami charakterystyki zero. Następujące warunki są równo- ważne.

(1) Ωk(L) = 0.

(2) L jest algebraicznym rozszerzeniem ciała k.

Dowód. (2) ⇒ (1). Niech M będzie L-modułem (tzn. L-przestrzenią liniową) i niech d : L −→ M będzie k-derywacją. Pokażemy, że d = 0. Niech a ∈ L. Ponieważ a jest algebraicznym elementem nad k więc f (a) = 0, gdzie f ∈ k[t] jest minimalnym wielomianem dla a. Charakterystyka jest zerowa, więc f⁰(a) jest niezerowym elementem ciała L. Mamy wtedy 0 = d(f (a)) = f⁰(a)d(a) (Stwierdzenie 1.2.3), czyli d(a) = (f⁰(a)⁻¹0 = 0. Zatem d = 0 i stąd wynika (na mocy Stwierdzenia 2.5.1), że Ωk(L) = 0.

(1) ⇒ (2). Dobrze wiadomo, że jeżeli rozszerzenie k ⊆ L nie jest algebraiczne, to istnieje niezerowa k-derywacja d : L −→ L (najpierw rozpatrujemy k-derywację z rozszerzenia ściśle przestępnego do L, potem tę derywację przedłużamy do k-derywacji z L do L). Zatem (na mocy Stwierdzenia 2.5.1), jeżeli rozszerzenie k ⊆ L nie jest algebraiczne, to Ω_k(L) 6= 0.

3 Podstawowe własności modułu różniczek

3.1 Homomorfizmy

A

f



δA // Ωk(A)

Ω_k(f )

 B

δB



Ω_k(B)

Niech f : A −→ B będzie homomorfizmem k-algebr. Roz- ważmy moduły różniczek (Ωk(A), δA) i (Ωk(B), δB).

B-moduł Ωk(B) jest A-modułem z mnożeniem wyznaczo- nym przez f . Odwzorowanie δBf : A −→ Ωk(B) jest k- derywacją A-modułu Ωk(B) (patrz Lemat 1.5.1). Z własno- ści uniwersalności modułu różniczek wynika, że istnieje do- kładnie jeden A-homomorfizm Ω_k(f ) : Ω_k(A) −→ Ω_k(B) taki, że Ω_k(f )δ_A= δ_Bf .

Stwierdzenie 3.1.1. Jeżeli f : A −→ B, g : B −→ C są homomorfizmami k-algebr, to Ωk(gf ) = Ωk(g)Ωk(f ). Ponadto Ωk(1A) = 1_Ωk(A).

Dowód. Homomorfizm Ωk(gf ) : Ωk(A) −→ Ωk(C) jest jedynym A-homomorfizmem spełniają- cym równość Ωk(gf )δA = δCgf . Wystarczy zatem pokazać, że Ωk(g)Ωk(f )δA = δCgf . To wynika z równości Ωk(f )δA = δBf i Ωk(g)δB = δCg. Istotnie, Ωk(g)Ωk(f )δA = Ωk(g)δBf = δCgf . Pozostała część stwierdzenia jest oczywista.

Homomorfizm Ωk(f ) : Ωk(A) −→ Ωk(B) indukuje B-homomorfizm v_f : B ⊗AΩk(A) −→ Ωk(B), b ⊗ ω 7−→ bΩ_k(f )(ω),

gdzie B ⊗_AΩ_k(A) jest B-modułem z mnożeniem takim, że b⁰· (b ⊗ ω) = b⁰b ⊗ ω. W szczególności dla generatorów mamy:

b ⊗ δA(a)7−→ bδ^vf B(f (a)).

Rozważmy następny homomorfizm. Jeżeli f : A −→ B jest homomorfizmem k-algebr, to k-algebra B jest też A-algebrą (z mnożeniem wyznaczonym przez f ). Mamy zatem moduły różniczek (Ωk(B), δB) oraz (ΩA(B), δB/A).

B

δ_A/B



δB // Ωk(B)

uf

zzu uu uu Ω_A(B)

A-derywacja δ_B/A jest oczywiście k-derywacją. Istnieje za- tem dokładnie jeden B-homomorfizm

u_f : Ω_k(B) −→ Ω_A(B) taki, że ufδB = δ_B/A.

Twierdzenie 3.1.2. Jeżeli f : A −→ B jest homomorfizmem k-algebr, to

B ⊗AΩk(A) ^vf // Ωk(B) ^uf // ΩA(B) // 0 jest dokładnym ciągiem B-modułów.

Dowód. Jest oczywiste, że uf jest surjekcją. Ponadto, łatwo sprawdzić, że Imvf ⊆ Keruf. Mamy bowiem (dla generatorów)

u_fv_f(b ⊗ δA(a)) = uf(bδB(f (a))) = bufδ_B(f (a)) = bδB/A(f (a)) = bδB/A(a · 1) = b · 0 = 0.

Musimy zatem wykazać jeszcze, że Keru_f ⊆ Imv_f. W tym celu rozpatrzmy następujący diagram, w którym η : Ω_k(B) −→ Ω_k(B)/Imv_f jest B-homomorfizmem naturalnym.

B

δB



δ_B/A

// ΩA(B)

ϕ

 Ωk(B)

η



Ω_k(B)/Imv_f

Zauważmy, że k-derywacja ηδB : B −→ Ωk(B)/Imvf jest A-derywacją. Istotnie:

ηδB(a · 1) = ηδB(f (a)) = η(vf(1 ⊗ δA(a))) = 0.

Istnieje zatem B-homomorfizm

ϕ : Ω_A(B) −→ Ωk(B)/Imvf

taki, że ϕδ_B/A= ηδ_B.

Niech teraz w = b1δB(x1) + · · · + bsδB(xs) (gdzie b1, . . . bs, x1, . . . , xs ∈ B) będzie elementem należącym do Keruf. Wtedy uf(w) = 0, więc

0 = uf(w) = b1δ_B/A(x1) + · · · + bsδ_B/A(xs) a zatem,

η(w) = η(b1δB(x1) + · · · + bsδB(xs))

= b₁ηδ_B(x₁) + · · · + b_sηδ_B(x_s)

= b1ϕδB/A(x1) + · · · + bsϕδB/A(xs)

= ϕ(b1δ_B/A(x1) + · · · + bsδ_B/A(xs))

= ϕ(0) = 0.

Zatem w ∈ Imvf i to kończy dowód twierdzenia.

Powyższe twierdzenie w książkach Matsumury [1] i [2] nazywa się first fundamental exact sequence.

Dowody tego twierdzenia znajdziemy też w [4], D²267 oraz AP⁶129. Można to również prosto wykazać przy pomocy Stwierdzenia 1.5.3.

3.2 Rozszerzanie pierścienia współczynników

Załóżmy, że ϕ : k −→ k⁰ jest homomorfizmem pierścieni. Wtedy pierścień k⁰ jest k-modułem (z mnożeniem wyznaczonym przez ϕ). Przypominjmy podstawowe struktury.

k’-Moduł k’ ⊗k M. Niech M będzie k-modułem. Mamy wtedy k-moduł M⁰ = k⁰⊗kM , który ma strukturę k⁰-modułu z mnożeniem takim, że x⁰(y⁰⊗ m) = (x⁰y⁰) ⊗ m, dla wszystkich x⁰, y⁰ ∈ k⁰ i m ∈ M .

Homomorfizm modułowy 1 ⊗k f. Jeżeli f : M −→ N jest homomorfizmem k-modułów, to mamy homomorfizm k⁰-modułów f⁰ = 1 ⊗ f : k⁰⊗kM −→ k⁰⊗kN taki, że f⁰(x⁰⊗ m) = x⁰⊗ f (m), dla wszystkich x⁰∈ k⁰ i m ∈ M .

k’-Algebra k’ ⊗k A. Niech teraz A będzie k-algebrą. Wtedy oczywiście A jest k-modułem.

Mamy więc k⁰-moduł A⁰ = k⁰⊗kA. Moduł ten ma strukturę k⁰-algebry, w której mnożenie A⁰× A⁰−→

A⁰ jest takie, że

(x⁰⊗ a)(y⁰⊗ b) = (x⁰y⁰) ⊗ (ab), dla wszystkich x⁰, y⁰∈ k⁰ i a, b ∈ A.

Homomorfizm algebrowy 1 ⊗_k f. Niech A i B będą k-algebrami i niech f : A −→ B będzie homomorfizmem k-algebr. Już wiemy, że mamy wtedy homomorfizm k⁰-modułów 1 ⊗_k f : k⁰⊗_kA −→ k⁰⊗_kB i wiemy, że k⁰⊗_kA oraz k⁰⊗_kB są k⁰-algebrami. Łatwo sprawdza się, że 1 ⊗_kf jest homomorfizmem k⁰-algebr. Sprawdźmy to dla generatorów. Niech x⁰₁, x⁰₂ ∈ k⁰ i niech a1, a2 ∈ A.

Mamy wtedy:

(1 ⊗kf )((x⁰₁⊗ a1)(x⁰₂⊗ a2)) = (1 ⊗kf )(x⁰₁x2⊗ a1a2)

= x⁰₁x₂⊗ f (a1a₂))

= x⁰₁x2⊗ f (a1)f (a2)

= (x⁰₁⊗ f (a₁))(x₂⊗ f (a₂))

= (1 ⊗kf )(x⁰₁⊗ a1) · (1 ⊗kf )(x⁰₂⊗ a2).

A’-Moduł k’ ⊗k M. Niech A będzie k-algebrą i niech M będzie A-modułem. Wtedy oczywiście M jest k-modułem, więc mamy k⁰-moduł k⁰⊗kM . Moduł ten ma strukturę A⁰-modułu, gdzie A⁰ = k⁰⊗kA. Mnożenie A⁰× (k⁰⊗kM ) −→ k⁰⊗kM jest takie, że

(x⁰⊗ a)(y⁰⊗ m) = (x⁰y⁰) ⊗ (am), dla wszystkich x⁰, y⁰∈ k⁰, a ∈ A i m ∈ M .

Homomorfizm A’-modułowy 1 ⊗k f. Niech A będzie k-algebrą i niech f : M −→ N będzie homomorfizmem A-modułów. Już wiemy, że wtedy k⁰⊗kM i k⁰⊗k N są A⁰-modułami (gdzie A⁰ = k⁰⊗kA) i mamy k⁰-homomorfizm 1 ⊗kf : k⁰⊗kM −→ k⁰⊗kN . Łatwo sprawdza się, że 1 ⊗kf jest homomorfizmem A⁰-modułów. Sprawdźmy to dla generatorów. Niech x⁰, y⁰ ∈ k⁰, a ∈ A i m ∈ M . Mamy wtedy:

(1 ⊗kf )((x⁰⊗ a)(y⁰⊗ m)) = (1 ⊗kf )(x⁰y⁰⊗ am)

= x⁰y⁰⊗ f (am)

= x⁰y⁰⊗ af (m)

= (x⁰⊗ a)(y⁰⊗ f (m))

= (x⁰⊗ a)(1 ⊗_kf )(y⁰⊗ m).

Derywacja 1 ⊗k d. Niech A-beędzie k-algebrą i niech d : A −→ M będzie k-derywacją A-modułu M . Wtedy odwzorowanie 1 ⊗kd : k⁰⊗kA −→ k⁰⊗kM jest homomorfizmem k⁰-modułów. Ponadto A⁰ = k⁰⊗kA jest k⁰-algebrą i k⁰⊗kM jest A⁰-modułem. Pokażemy, że 1 ⊗k d jest k⁰-derywacją A⁰- modułu k⁰⊗k M . W tym celu musimy sprawdzić, że dla dowolnych elementów a⁰, b⁰ ∈ A⁰ zachodzi równość

(1 ⊗kd)(a⁰b⁰) = a⁰(1 ⊗kd)(b⁰) + b⁰(1 ⊗kd)(a⁰).

Sprawdzamy to najpierw dla generatorów. Niech x⁰, y⁰∈ k⁰, a, b ∈ A. Mamy wtedy:

(1 ⊗kd)((x⁰⊗ a)(y⁰⊗ b)) = (1 ⊗kd)(x⁰y⁰⊗ ab)

= x⁰y⁰⊗ d(ab)

= x⁰y⁰⊗ (ad(b) + bd(a))

= (x⁰⊗ a)(y⁰⊗ d(b)) + (y⁰⊗ b)(x⁰⊗ d(a))

= (x⁰⊗ a)(1 ⊗kd)(y⁰⊗ b) + (y⁰⊗ b)(1 ⊗kd)(x⁰⊗ a).

Niech teraz a⁰=P

i(x⁰_i⊗ ai), b⁰=P

j(y⁰_j⊗ bj), gdzie x⁰_i, y⁰_j∈ k⁰ oraz ai, bj ∈ A. Wtedy:

(1 ⊗kd)(a⁰b⁰) = (1 ⊗kd)(P

i(x⁰_i⊗ ai) ·P

j(y_j⁰ ⊗ bj))

= (1 ⊗kd)(P

i

P

j(x⁰_iy⁰_j⊗ aibj))

= P

i

P

j(1 ⊗kd)(x⁰_iy_j⁰ ⊗ aibj)

= P

i

P

j(1 ⊗_kd)((x⁰_i⊗ a_i)(y⁰_j⊗ b_j))

= P

i

P

j(x⁰_i⊗ a_i)(1 ⊗_kd)((y⁰_j⊗ b_j)) +P

i

P

j(y_j⁰ ⊗ b_j)(1 ⊗_kd)((x⁰_i⊗ a_i))

= P

i(x⁰_i⊗ a_i)(1 ⊗_kd)(P

j(y_j⁰ ⊗ b_j)) +P

j(y⁰_j⊗ b_j)(1 ⊗_kd)(P

i(x⁰_i⊗ a_i))

= a⁰(1 ⊗_kd)(b⁰) + b⁰(1 ⊗_kd)(a⁰).

Wykazaliśmy zatem, że 1 ⊗kd : k⁰⊗kA −→ k⁰⊗kM jest k⁰-derywacją (k⁰⊗kA)-modułu k⁰⊗kM . Zastosujmy teraz powyższe fakty do modułu różniczek. Niech A będzie k-algebrą i niech para (Ω_k(A), δ_A) będzie jej modułem różniczek. Mamy wtedy A⁰-moduł k⁰⊗kΩ_k(A) i mamy k⁰-derywację 1 ⊗_kδ_A: A⁰−→ k⁰⊗kΩ_k(A), gdzie A⁰ = k⁰⊗kA.

Twierdzenie 3.2.1. Jeżeli A jest k-algebrą oraz ϕ : k −→ k⁰ jest homomorfizmem pierścieni, to para (k⁰⊗kΩk(A), 1 ⊗kδA) jest modułem różniczek k⁰-algebry k⁰⊗kA.