Topologia i geometria różniczkowa
Andrzej Nowicki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń
(e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Marzec 1995
Spis treści
1 Wstępne informacje topologiczne 1
1.1 Topologia ilorazowa . . . 1
1.2 Przestrzenie lokalnie zwarte . . . 1
1.3 Przestrzenie parazwarte . . . 1
1.4 Rozkład jedności . . . 1
1.5 Rozmaitości topologiczne . . . 2
1.6 Rzeczywista przestrzeń rzutowa . . . 2
1.7 Wstęga M¨obiusa . . . 3
1.8 Powierzchnie . . . 4
1.9 Nakrycia . . . 5
1.10 Uwagi . . . 6
2 Grupa podstawowa 9 2.1 Drogi . . . 9
2.2 Drogi homotopijnie równoważne . . . 9
2.3 Definicja grupy podstawowej . . . 11
2.4 Homotopia odwzorowań . . . 12
2.5 Przykłady . . . 13
2.6 Wyższe grupy homotopii . . . 13
2.7 Hipoteza Poincar´e . . . 14
3 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 15 3.1 Działanie grupy na zbiór . . . 15
3.2 Przestrzeń orbit . . . 15
3.3 Produkty . . . 16
3.4 Zwartość . . . 17
3.5 Działania wspólnie rozłączne . . . 17
3.6 Działania wolne . . . 17
3.7 Grupa podstawowa przestrzeni orbit . . . 18
3.8 Uwagi . . . 19
4 Snopy i algebry funkcji ciągłych 20 4.1 Presnopy . . . 20
4.2 Snopy . . . 20
4.3 Algebra funkcji ciągłych . . . 21
Ideały maksymalne . . . 22
Derywacje . . . 23
4.4 Lokalny pierścień ciągłych kiełków . . . 24
i
5 Wiązki wektorowe nad przestrzenią topologiczną 26
5.1 Topologia rzeczywistej przestrzeni wektorowej . . . 26
5.2 Rodziny wektorowe . . . 27
5.3 Przekroje rodziny wektorowej . . . 28
5.4 Wiązki wektorowe . . . 29
5.5 Funkcje przejścia . . . 29
5.6 Uwagi . . . 30
6 Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej 31 6.1 Różniczka funkcji rzeczywistej . . . 31
6.2 Rozmaitości różniczkowe . . . 33
6.3 Odwzorowania rozmaitości . . . 34
6.4 Algebra funkcji gładkich . . . 34
6.5 Lokalny pierścień gładkich kiełków . . . 37
6.6 Uwagi . . . 39
7 Derywacje lokalne 40 7.1 Izomorfizm przestrzeni derywacji lokalnych . . . 40
7.2 Przestrzenie liniowe postaci M/M2 . . . 41
7.3 Bazy przestrzeni derywacji lokalnych . . . 43
7.4 Krzywe i przestrzeń styczna . . . 44
7.5 Przestrzeń styczna i derywacje lokalne . . . 47
7.6 Morfizmy . . . 49
8 Wiązka styczna 51 8.1 Wiązka styczna i funkcje przejścia . . . 51
8.2 Wiązka styczna i krzywe . . . 51
8.3 Wiązka styczna i derywacje lokalne . . . 53
9 Pola wektorowe i derywacje 55 9.1 Gładkie wiązki wektorowe . . . 55
9.2 Przekroje gładkich wiązek wektorowych . . . 55
9.3 Pola wektorowe . . . 56
9.4 Derywacje pieścienia funkcji gładkich . . . 56
9.5 Pierwszy dowód twierdzenia o izomorfizmie . . . 57
9.6 Drugi dowód twierdzenia o izomorfizmie . . . 59
9.7 Nawias Liego pól wektorowych . . . 59
9.8 Uwagi . . . 60
10 Działanie*funktora na wiązkę 61 10.1 Definicja przy pomocy funkcji przejścia . . . 61
10.2 Definicja poglądowa . . . 61
10.3 Wiązka kostyczna . . . 62
10.4 Potęga zewnętrzna . . . 62
11 Formy różniczkowe 63 11.1 Moduł form różniczkowych . . . 63
11.2 Forma df . . . 63
11.3 Kompleks de Rhama . . . 64
12 Rozmaitość Rn 65 12.1 Krzywe i przestrzeń styczna . . . 65
12.2 Derywacje lokalne . . . 66
12.3 Derywacje . . . 66
12.4 Wiązka styczna . . . 67
Andrzej Nowicki - Marzec 1995. Topologia i geometria różniczkowa iii
12.5 Pola wektorowe . . . 67
12.6 Nawias Liego pól wektorowych . . . 68
12.7 Forma df . . . 68
12.8 Formy różniczkowe 1-go rzędu . . . 69
12.9 Formy wyższych rzędów . . . 70
12.10Kompleks de Rhama . . . 71
13 Całkowanie pól wektorowych 73 13.1 Krzywa całkowa pola wektorowego . . . 73
13.2 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R1. . . 73
13.3 Krzywa całkowa dla pola wektorowego w Rn . . . 74
13.4 Twierdzenia o istnieniu krzywych całkowych . . . 74
13.5 Formalne systemy równań różniczkowych . . . 75
13.6 Jednoparametrowe grupy dyfeomorfizmów . . . 76
13.7 Informacja o twierdzeniu Frobeniusa . . . 77
14 Grupy Liego i ich algebry Liego 78 14.1 Grupy Liego . . . 78
14.2 Niezmiennicze pola wektorowe . . . 79
14.3 Moduł pól wektorowych grupy Liego . . . 81
14.4 Algebra Liego grupy Liego . . . 81
14.5 Algebra Liego addytywnej grupy przestrzeni Rn . . . 82
14.6 Algebra Liego grupy GLn(R) . . . 83
14.7 Algebry Liego pewnych podgrup grupy GLn . . . 85
Grupa specjalna SLn . . . 85
Grupa ortogonalna On . . . 86
Specjalna grupa ortogonalna SOn . . . 86
Grupa unitarna Un . . . 86
Specjalna grupa unitarna SUn . . . 86
Grupy symplektyczne Spn . . . 87
Grupy zwarte . . . 87
Wymiary . . . 87
14.8 Informacje o lokalnych grupach Liego . . . 87
14.9 Jednoparametrowe podgrupy i odwzorowanie wykładnicze . . . 88
14.10Związek między grupami Liego i algebrami Liego . . . 90
Twierdzenia Liego . . . 91
14.11Grupy formalne . . . 91
14.12Uwagi . . . 92
15 Algebry Liego 93 15.1 Podstawowe definicje . . . 93
15.2 Przykłady . . . 94
15.3 Małe wymiary . . . 95
15.4 Derywacje . . . 96
15.5 Reprezentacje . . . 96
15.6 Rozwiązalne i nilpotentne algebry Liego . . . 98
16 Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina 100 16.1 Systemy pierwiastków . . . 100
16.2 Grupa Weyla . . . 101
16.3 Pierwiastki proste . . . 102
16.4 Macierz Cartana i V-graf . . . 102
16.5 Diagramy Dynkina . . . 104
17 Półproste algebry Liego 105
17.1 Proste i półproste algebry Liego . . . 105
17.2 Specjalna algebra Liego sl2(k) . . . 106
17.3 Rozkład Cartana-Levi-Malceva . . . 108
17.4 Podalgebry Cartana i torusy . . . 108
17.5 Podprzestrzenie stowarzyszone z podalgebrą Cartana . . . 109
17.6 Zredukowany system pierwiastków półprostej algebry Liego . . . 109
17.7 Klasyfikacja prostych i półprostych algebr Liego . . . 111
Spis cytowanej literatury 113
Indeks 114
1. Wstępne informacje topologiczne 1
1 Wstępne informacje topologiczne
1.1 Topologia ilorazowa
Niech X będzie przestrzenią topologiczną, Y zbiorem i f : X −→ Y funkcją. Wprowadzamy na zbiorze Y topologię przy pomocy rodziny
Uf = {U ⊆ Y ; f−1(U ) otwarte w X}.
Rodzina Uf spełnia wszystkie aksjomaty rodziny zbiorów otwartych. Jest to tzw. topologia ilorazowa na Y (zadana przy pomocy odwzorowania f ). Wtedy f jest odwzorowaniem ciągłym.
1.2 Przestrzenie lokalnie zwarte
Definicja 1.2.1. Toplogiczną przestrzeń X nazywamy lokalnie zwartą jeśli, dla każdego punktu x ∈ X, istnieje zbiór otwarty U 3 x taki, że zbiór U jest zwarty.
Każda przestrzeń lokalnie zwarta jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet przestrzenią T31
2 (Tichonowa).
Podzbiory otwarte lub domknięte przestrzeni lokalnie zwartej są przestrzeniami lokalnie zwartymi.
1.3 Przestrzenie parazwarte
Niech X będzie przestrzenią topologiczną.
Definicja 1.3.1. Rodzinę {As}s∈S podzbiorów przestrzeni X nazywamy lokalnie skończoną jeśli każdy punkt x ∈ X ma otoczenie (otwarte) U , które przecina się tylko ze skończoną liczbą elementów tej rodziny, tzn., gdy zbiór {s ∈ S; As∩ U 6= ∅} jest skończony.
Jeżeli {As}s∈S jest rodziną lokalnie skończoną, toS
s∈SAs=S
s∈SAs.
Definicja 1.3.2. Niech A = {As}s∈S, B = {Bt}t∈T będą pokryciami przestrzeni X. Mówimy, że pokrycie A jest wpisane w pokrycie B jeśli istnieje funkcja λ : S −→ T taka, że As ⊆ Bλ(s) dla wszystkich s ∈ S.
Definicja 1.3.3. Mówimy, że X jest przestrzenią parazwartą jeśli jest przestrzenią Hausdorffa oraz w każde otwarte pokrycie tej przestrzeni można wpisać otwarte pokrycie lokalnie skończone.
Dowody poniższych faktów można znaleźć np. w [7].
Stwierdzenie 1.3.4.
(1) Przestrzeń zwarta jest parazwarta.
(2) Przestrzeń metryczna jest parazwarta.
(3) Przestrzeń lokalnie zwarta i ośrodkowa jest parazwarta.
(4) Przestrzeń parazwarta jest normalna (tzn. T4).
(5) Jeśli X jest przestrzenią parazwartą, a Y zwartą, to X × Y jest parazwarte.
1.4 Rozkład jedności
Niech X będzie przestrzenią topologiczną i f : X −→ R funkcją ciągłą.
Definicja 1.4.1. Nośnikiem funkcji f nazywamy zbiór Supp(f ) =f−1(R r 0).
Załóżmy, że U = {Ui}i∈I jest otwartym pokryciem przestrzeni X.
Definicja 1.4.2. Rozkładem jedności względem pokrycia U nazywamy rodzinę {es}s∈S, funkcji cią- głych z X do R takich, że:
(1) ∀s∈S∀x∈X es(x)> 0, (2) ∀s∈S∃i∈I Supp(es) ⊆ Ui,
(3) rodzina {Supp(es)}s∈S jest lokalnie skończona, (4) ∀x∈X P
s∈Ses(x) = 1.
Zauważmy, że (4) ma sens dzięki (3). Zauważmy również, że rodzina {Supp(es)}s∈S jest pokryciem (domkniętym) przestrzeni X. Istotnie, niech x ∈ X. Wtedy, z (4), istnieje s ∈ S takie, że es(x) 6= 0, a zatem x ∈ Supp(es).
Twierdzenie 1.4.3. Niech X będzie przestrzenią parazwartą i U jej otwartym pokryciem. Istnieje wtedy rozkład jedności względem U.
Dowód znajdziemy w [7]. Prosty dowód (dla X ⊆ Rn) jest w [25].
1.5 Rozmaitości topologiczne
Niech M będzie przestrzenią topologiczną.
Definicja 1.5.1. Mapą n-wymiarową punktu p ∈ M nazywamy każdą parę (U, ϕ), w której U jest zbiorem otwartym w M zawierającym p, a ϕ : U −→ Rn jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór w Rn.
Definicja 1.5.2. Każdy zbiór n-wymiarowych map {(Uα, ϕα)} takich, że S
αUα = M nazywamy n-wymiarowym atlasem przestrzeni M .
Definicja 1.5.3. Każdą przestrzeń topologiczną M posiadającą n-wymiarowy atlas nazywamy n- wymiarową rozmaitością topologiczną.
1.6 Rzeczywista przestrzeń rzutowa
Przez Sn oznaczamy sferę n-wymiarową, tzn.
Sn= {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1; x21+ · · · + x2n+1= 1}.
W szczególności: S0= {−1, 1}, S1= {(x, y) ∈ R2; x2+ y2 = 1}. Topologia na Sn jest indukowana z Rn+1.
Niech Pn(R) będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci {x, −x}, gdzie x ∈ Sn i niech p : Sn−→ Pn(R) będzie funkcją określoną wzorem
p(x) = {x, −x}, dla x ∈ Sn. Funkcja p jest surjekcją.
Definicja 1.6.1. Zbiór Pn(R) z topologią ilorazową wyznaczoną przez p nazywamy n-wymiarową przestrzenią rzutową rzeczywistą.
Istnieją różne (równoważne) sposoby definiowania n-wymiarowej przestrzeni rzutowej rzeczywistej.
Można na przykład tę przestrzeń wprowadzić w następujący sposób.
Niech ∼ będzie relacją w Sn zdefiniowaną wzorem:
x ∼ y ⇐⇒ x = ±y.
Jest to relacja typu równoważności. Klasa abstrakcji elementu x ∈ Sn jest dwuelementowym zbiorem {x, −x}. Zatem Pn(R) = Sn/∼, gdzie topologia na Sn/∼ jest ilorazowa (wyznaczona przez kanoniczną surjekcję).
To samo można wypowiedzieć w języku działań grup na przestrzeń topologiczną. Dokładniej zaj- miemy się tym w Rozdziale 3. Niech Z2= {−1, 1}. Sfera Sn jest Z2-przestrzenią z działaniem
Z2× Sn, (a, x) 7→ ax.
Przestrzeń rzutowa Pn(R), to nic innego, jak przestrzeń orbit Sn/Z2. Dzięki temu otrzymujemy (patrz odpowiednie fakty w Rozdziale 3):
1. Wstępne informacje topologiczne 3
Stwierdzenie 1.6.2.
(1) Odwzorowanie p : Sn−→ Pn(R), x 7→ {x, −x}, jest otwarte i domknięte.
(2) Przestrzeń Pn(R) jest zwarta.
(3) Przestrzeń Pn(R) jest n-wymiarową rozmaitością topologiczną. Inne uzasadnienie własności (3) znajdziemy w PH23.
Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc:
Stwierdzenie 1.6.3. Przestrzeń Pn(R) jest spójna.
Nieco inaczej wprowadza się przestrzeń rzutową w geometrii algebraicznej (patrz np. [20] Rozdział 5). W zbiorze Rn+1r {0} wprowadzamy relację (typu równoważnoći) ∼ następująco:
(x1, . . . , xn+1) ∼ (y1, . . . , yn+1) ⇐⇒ ∃06=a∈R∀i∈{1,...,n+1}yi = axi.
Klasę abstrakcji każdego elementu (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1r{0} (względem tej relacji) oznaczamy przez (x1: · · · : xn+1). Rzeczywista przestrzeń rzutowa (n-wymiarowa), to zbiór wszystkich takich klas abs- trakcji. Oznaczmy (chwilowo) tak zdefiniowaną przestrzeń rzutową przez P i rozważmy odwzorowanie ϕ : P −→ Pn(R) określone jako
(x1: · · · : xn+1) 7−→ {||x||x , −||x||x }, gdzie x = (x1, . . . , xn+1), ||x|| =q
x21+ · · · + x2n+1. Z łatwością stwierdzamy, że ϕ jest dobrze określo- ną bijekcją. Topologię na zbiorze P określamy przy pomocy funkcji ϕ. Podzbiór U ⊆ P jest otwarty w P dokładnie wtedy, gdy zbiór ϕ(U ) jest otwarty w Pn(R). Odwzorowanie ϕ ma wiele interesują- cych własności. Polecamy Rozdział 3 w [2], gdzie znajdziemy dokładniejsze wyjaśnienie omawianego zagadnienia.
Uwaga 1.6.4 ([16] 44). Przestrzeń P2(R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową D2/∼, gdzie D2 jest dyskiem {(x, y) ∈ R2; x2+ y26 1} z topologią indukowaną z R2 oraz
x ∼ y ⇐⇒ (x = y) ∨ (x, y ∈ S1⊂ D2∧ x = −y).
Uwaga 1.6.5 ([16]). Przestrzeń P2(R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową K2/ ∼, gdzie K2 jest kwadratem {(x, y) ∈ R2; 06 x 6 1, 0 6 y 6 1} z topologią indukowaną z R2 oraz
(x, y) ∼ (x0, y0) ⇐⇒ (x, y) = (x0, y0)
∨ {x, x0} = {1, 0} ∧ y = 1 − y0
∨ {y, y0} = {1, 0} ∧ x = 1 − x0.
Uwaga 1.6.6 ([16]). Odwzorowanie F : P2(R) −→ R4, {x, −x} −→ (x21− x22, x1x2, x1x3, x2x3), jest ciągłe i różnowartościowe.
Uwaga 1.6.7 ([16] 45). Jeśli wytniemy z P2(R) mały dysk, to otrzymamy wstęgę M¨obiusa. Zatem P2(R) można interpretować jako wstęgę M¨obiusa z doklejonym dyskiem.
Uwaga 1.6.8 ([16] 95). Jedyną (z dokładnością do homeomorfizmu) rozmaitością zwartą i spójną wymia- ru 1 jest sfera S1. Ponieważ P1(R) jest właśnie taką rozmaitością, więc stąd wynika, że przestrzenie S1i P1(R) są homeomorficzne.
1.7 Wstęga M¨ obiusa
Rozpatrzmy cylinder
C = {(x, y, z) ∈ R3; x2+ y2= 1, −16 z 6 1}
z topologią indukowaną z R3. Niech M będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci {x, −x}, gdzie x ∈ C. Niech p : C −→ M będzie surjekcją x 7→ {x, −x}.
Definicja 1.7.1. Zbiór M, z topologią ilorazową, wyznaczoną przez p, nazywamy wstęgą M¨obiusa.
Definicję tę można trochę inaczej sformułować w następujący sposób. W zbiorze C wprowadzamy relację równoważności:
a ∼ b ⇐⇒ a = −b.
Wtedy zbór C/∼, wszystkich klas abstrakcji z topologią ilorazową, jest właśnie wstęgą M¨obiusa.
Sam cylinder C jest również pewną przestrzenią ilorazową. Mianowicie, C = K2/∼, gdzie K2jest kwadratem {(x, y) ∈ R2; 06 x 6 1, 0 6 y 6 1}, a ∼ jest relacją równoważności w K2 zdefiniowaną jako:
(x, y) ∼ (x0, y0) ⇐⇒ (x, y) = (x0, y0) ∨ {x, x0} = {0, 1}, y = y0.
Wstęgę M¨obiusa można zdefiniować inaczej; jako przestrzeń ilorazową kwadratu K2 względem relacji równoważności ∼ określonej jako:
(x, y) ∼ (x0, y0) ⇐⇒ (x, y) = (x0, y0) ∨ {x, x0} = {0, 1}, y = 1 − y0.
Oto jeszcze inne spojrzenie na wstęgę M¨obiusa. Można ją zdefiniować przy pomocy działania grupy Z, liczb całkowitych. Dokładniej zajmiemy się tym w Rozdziale 3. Niech X będzie nieskończonym paskiem
X = {(x, y) ∈ R2; −12 6 y 6 12} z topologią indukowaną z R2. Rozpatrzmy działanie
Z × X −→ X, m(x, y) = (m + x, (−1)my).
Przestrzeń orbit X/Z jest homeomorficzna ze wstęgą M¨obiusa M.
Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc:
Stwierdzenie 1.7.2. Wstęga M¨obiusa M jest przestrzenią spójną.
Wstęgę M¨obiusa można zanurzyć w R3. Odwzorowanie f : M −→ R3, określone wzorem {a, −a} 7−→ ((x2− y2)(2 + xz), 2xy(2 + xz), yz),
gdzie a = (x, y, z), jest ciągłym odwzorowaniem różnowartościowym.
W dalszych częściach tego opracowania będziemy mówić o przestrzeniach topologicznych homo- topijnie równoważnych. Zanotujmy teraz, że wstęga M¨obiusa M i cylinder C, to dwie przestrzenie homotopijnie równoważne ([16] 138).
1.8 Powierzchnie
Powierzchnią nazywamy każdą 2-wymiarową rozmaitość zwartą i spójną.
Niech X1, X2będą dwiemia rozłącznymi powierzchniami. Sumą spójną tych powierzchni nazywamy powierzchnię, oznaczaną przez X1#X2, która powstaje przez wycięcie z każdej z tych powierzchni małego dysku i sklejenie brzegów. Pokazuje się, że definicja zbioru X1#X2 nie zależy od wyboru dysków oraz, że X1#X2 jest istotnie powierzchnią.
Twierdzenie 1.8.1 ([16] 99). Każda powierzchnia X jest homeomorficzna z dokładnie jedną z na- stępujących powierzchni:
(a) S2# T # . . . #T
| {z }
m
, gdzie m> 0 i T = S1× S1 (torus), (b) S2# P2(R)# . . . #P2(R)
| {z }
m
, gdzie m> 1.
Uwaga 1.8.2 ([16]).
(a) Suma spójna dwóch płaszczyzn rzutowych, to butelka Kleina.
(b) T #P2(R) ≈ P2(R)#P2(R)#P2(R).
1. Wstępne informacje topologiczne 5
1.9 Nakrycia
Niech p : E −→ X będzie ciągłym odwzorowaniem przestrzeni topologicznych.
Definicja 1.9.1. Mówimy, że odwzorowanie p : E −→ X jest nakryciem, jeśli dla każdego punktu x ∈ X istnieje otoczenie otwarte U 3 x takie, że
p−1(U ) =S
j∈JVj, gdzie zbiory postaci Vj są:
(a) otwarte,
(b) parami rozłączne oraz takie, że
(c) odwzorowania p|Vj: Vj −→ U są homeomorfizmami.
Jeśli p : E −→ X jest nakryciem, to E nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeń X.
Z tej definicji wynika:
Stwierdzenie 1.9.2 ([12] 26). Jeśli p : E −→ X jest nakryciem, to:
(1) przestrzenie postaci p−1(x), x ∈ X, są dyskretne;
(2) odwzorowanie p jest lokalnym homeomorfizmem, tzn. dla każdego e ∈ E istnieje zbiór otwarty V 3 e taki, że p(V ) jest zbiorem otwartym w X oraz odwzorowanie p|V : V −→ p(V ) jest homeomor- fizmem;
(3) odwzorowanie p jest surjekcją;
(4) odwzorowanie p jest otwarte;
(5) X jest przestrzenią ilorazową przestrzeni E.
Dowód. (1). Niech x ∈ X. Niech U 3 x będzie zbiorem otwartym w X takim, jak w definicji nakrycia. Wtedy
p−1(x) =S
j∈J(Vj∩ p−1(x)).
Zbiory postaci Vj∩p−1(x) są oczywiście otwarte w p−1(x). Są to zbiory jednoelementowe. Istotnie, jeśli a, b ∈ Vj∩ p−1(x), to a, b ∈ Vjoraz p(a) = p(b) = x. Ale p|Vjjest odwzorowaniem różnowartościowym, zatem a = b.
Niech a ∈ p−1(x). Istnieje wtedy j ∈ J takie, że a ∈ Vj ∩ p−1(x). Wtedy Vj ∩ p−1(x) = {a}.
To implikuje, że {a} jest zbiorem otwartym. Każdy więc jednoelementowy podzbiór w p−1(x) jest zbiorem otwartym.
(2). Niech e ∈ E. Wtedy x = p(e) ∈ X. Istnieje więc zbiór otwarty V 3 x taki, jak w definicji nakrycia. Wtedy e ∈ p−1(U ), więc e ∈ Vj, dla pewnego j ∈ J . Zbiór p(Vj) = U jest otwarty w X oraz p|Vj : Vj−→ p(Vj) = U jest homeomorfizmem.
(3). Niech x ∈ X i niech U 3 x będzie zbiorem otwartym takim, jak w definicji nakrycia. Ponieważ p|Vj : Vj−→ U jest surjekcją oraz x ∈ U , więc istnieje e ∈ Vj takie, że p(e) = x.
(4). Wynika to z (2), gdyż jest oczywiste, że każdy lokalny homeomorfizm jest odwzorowaniem otwartym.
(5). Jest to konsekwencja (3) i (4). Zanotujmy kilka przykładów nakryć.
Przykład 1.9.3.
(0) Odwzorowanie tożsamościowe X −→ X jest nakryciem.
(1) Odwzorowanie p : R1−→ S1, p(t) = e2πit, jest nakryciem. Jeśli x ∈ S1, to zbiór otwarty U 3 x (występujący w definicji nakrycia) jest przedziałem otwartym okręgu S1, zawierającym x.
(2) p : S1−→ S1, p(z) = zn.
(3) Niech p : Sn −→ Pn(R) (gdzie Pn(R) jest rzeczywistą przestrzenią rzutową) będzie odwzoro- waniem sklejającym punkty antypodyczne. Odwzorowanie to jest nakryciem.
(4) Niech G będzie grupą topologiczną i H jest jej dyskretną podgrupą. Wtedy rzutowanie G −→
G/H (gdzie G/H jest zbiorem warstw z topologią ilorazową) jest nakryciem.
(5) C r {0} −→ C r {0}, z 7→ zn. (6) C −→ C r {0}, z 7→ ez=P∞ n=0
zn n!.
Stwierdzenie 1.9.4. Jeśli p1: E1−→ X1, p2: E2−→ X2 są nakryciami, to odwzorowanie p : E1× E2−→ X1× X2, (e1, e2) 7→ (p1(e1), p2(e2)),
jest nakryciem.
1.10 Uwagi
1.1 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech d0: X × X −→ R będzie funkcją określoną wzorem d0(x, y) = 1+d(x,y)d(x,y) .
Stwierdzenie 1.10.1. Funkcja d0 jest metryką w X.
Dowód. Trudność może sprawić jedynie nierówność trójkąta. Niech x, y, z ∈ X. Oznaczmy: a = d(x, y), b = d(y, z), c = d(x, z). Wtedy a, b, c > 0 oraz a + b > c. Należy pokazać, że
a
1+a+1+bb −1+cc =a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c)−c(1+a)(1+b) (1+a)(1+b)(1+c) > 0.
Sprawdzamy:
a(1 + b)(1 + c) + b(1 + a)(1 + c) − c(1 + a)(1 + b)
= a + ab + ac + abc + b + ab + bc + abc − c − ac − bc − abc
= (a + b − c) + 2ab + abc> 0.
Stwierdzenie 1.10.2. Metryki d i d0 są równoważne, tzn. przestrzenie metryczne (X, d) i (X, d0) są home- omorficzne.
1.2 Jeśli X, Y są przestrzeniami topologicznymi i h : X −→ Y jest homeomorfizmem, to (dla każdego x ∈ X) przestrzenie X r {x} i Y r {h(x)} są homeomorficzne ([16] 34).
Przykład 1.10.3. Przestrzenie [0, 1] i (0, 1), z topologiami indukowanymi z R, nie są homeomorficzne.
Dowód. Przypuśćmy, że są homeomorficzne. Wtedy są homeomorficzne, po wyrzuceniu punktu. Wyrzuć- my z [0, 1] punkt 0. Wtedy (0, 1] = [0, 1] r {0} jest spójne, a (0, 1) r {h(0)} nie jest spójne.
Stwierdzenie 1.10.4 ([16] 146). Niech f : (0, 1) −→ (0, 1) będzie homeomorfizmem. Istnieje wtedy dokład- nie jeden homeomorfizm h : [0, 1] −→ [0, 1] taki, że H | (0, 1) = f .
1.3 Przestrzenie Sn−1× R i Rnr {0} są homeomorficzne ([16] 55). Homeomorfizmem jest np. przypo- rządkowanie (x, t) 7→ 2tx. W szczególności S × R ≈ R2r {0} ≈ C r {0}.
1.4 Wiemy, że jeśli f : [0, 1] −→ R jest funkcją ciągłą i f (0)f (1) 6 0, to istnieje t ∈ [0, 1] takie, że f (t) = 0.
Stosując ten fakt łatwo dowodzi się, że każda funkcja ciągła f : I −→ I ma punkt stały. Oto inna konsekwencja tego faktu.
Stwierdzenie 1.10.5 ([16] 80). Każda funkcja ciągła f : S1 −→ R przeprowadza pewną parę punktów antypodycznych w ten sam punkt, tzn. istnieje t ∈ S1 takie, że f (t) = f (−t).
Dowód. Niech f : S1 −→ R będzie daną funkcją ciągłą. Rozpatrzmy dwie funkcje ciągłe h : S −→ R, e : I −→ S1 określone wzorami:
h(t) = f (t) − f (−t), e(x) = cos(πx) + i sin(πx).
Wtedy funkcja he : I −→ R przyjmuje na końcach przedziału I = [0, 1] przeciwne wartości:
he(0) = h(1) = f (1) − f (−1), he(1) = h(−1) = f (−1) − f (1).
Istnieje zatem a ∈ I takie, że he(a) = 0. Niech t = e(a). Wtedy 0 = h(t) = f (t) = f (−1). Z tego stwierdzenia wynika:
1. Wstępne informacje topologiczne 7
Wniosek 1.10.6. W danym momencie czasu istnieją na Równiku (kuli ziemskiej) dwa antypodyczne punkty o tej samej temperaturze.
Można udowodnić:
Twierdzenie 1.10.7 ([16] 80). Niech A, B będą ograniczonymi zbiorami na płaszczyźnie, posiadającymi pole. Istnieje wtedy prosta (leżąca na tej płaszczyźnie), która dzieli każdy ze zbiorów A i B na dwie części o równych polach.
W sformułowaniu poglądowym twierdzenie to można wysłowić następująco. Na talerzu leżą dwa naleśniki.
Jednym cięciem noża można podzielić każdy z tych naleśników na dwie równe części. (Naleśniki nie muszą być rozłączne; jeden może nakładać się na drugi. Nie muszą też być spójne, tzn. nie muszą składać się z jednego kawałka).
Twierdzenie 1.10.8 ([16] 82). Niech A będzie ograniczonym zbiorem na płaszczyźnie, posiadającym pole.
Istnieje wtedy dwie przecinające się proste (leżące na tej płaszczyźnie), które dzielą zbiór A na cztery części o równych polach.
1.5 Niech I = [0, 1] i niech X będzie przestrzenią topologiczną. Każdą funkcję ciągłą σ : I −→ X nazywamy drogą w X. Istnieją drogi σ : I −→ I2będące surjekcjami, tzn. drogi zapełniające cały kwadrat I2. Takie drogi skonstruował Peano (ok. 1890 roku).
1.6 Każdą funkcję ciągłą τ : S1−→ R2 nazywa się krzywą Jordana.
Twierdzenie 1.10.9 (Jordana, [16] 120). Niech τ : S1−→ R2 będzie krzywą Jordana. Wtedy zbiór R2r τ (S1) nie jest spójny i zawiera dokładnie dwie składowe spójności. Wspólnym brzegiem tych składowych jest zbiór τ (S1). Dokładnie jedna z tych składowych jest ograniczona.
Twierdzenie to pochodzi z 1890 roku. W tym czasie Jordan zwrócił uwagę, że coś takiego (wydawałoby się oczywistego) wymaga dowodu. Dowód podano na początku dwudziestego wieku.
Zastąpmy okrąg S1odcinkiem I = [0, 1]. Mamy wtedy:
Stwierdzenie 1.10.10 ([16] 131). Niech σ : I −→ R2 będzie funkcją ciągłą. Wtedy zbiór R2r σ(I) jest spójny.
1.7 Zanotujmy kilka uwag o twierdzeniu Borsuka i Ulama z 1930 roku.
Twierdzenie 1.10.11 (Borsuka - Ulama). Nie istnieje funkcja ciągła f : Sn−→ Sn−1taka, że f (−x) = −f (x),
dla wszystkich x ∈ Sn.
Dla n = 1 twierdzenie to jest oczywiste. Dla n = 2 dowód znajdziemy w [16]. Jeśli n > 2, to podobno dowód jest trudny.
Wniosek 1.10.12 ([16] 183). Jeśli f : S2 −→ R2 jest funkcją ciągłą spełniającą związek f (−x) = −f (x), dla x ∈ S2, to istnieje x0∈ S2 takie, że f (x0) = 0.
Dowód. Przypuśćmy, że f (x) 6= 0, dla wszystkich x ∈ S2. Definiujemy funkcję ciągłą g : S2 −→ S1, przyjmując g(x) = ||f (x)||−1f (x). Wtedy g(−x) = −g(x) i mamy sprzeczność z twierdzeniem powyższym. Wniosek 1.10.13 ([16] 183). Jeśli f : S2 −→ R2 będzie funkcją ciągłą. Istnieje wtedy x ∈ S2 takie, że f (x) = f (−x).
Dowód. Przypuśćmy, że f (x) 6= f (−x), dla wszystkich x ∈ S2. Definiujemy funkcję ciągłą g : S2−→ R2, przyjmując g(x) = f (x) − f (−x). Wtedy g(−x) = −g(x) (dla wszystkich x), a zatem - na mocy powyższego wniosku - g(x0) = 0, dla pewnego x0∈ S2. Stąd f (x0) = f (−x0) wbrew naszemu przypuszczeniu.
Z tego wniosku wynika, że w dowolnym momencie czasu istnieją na kuli ziemskiej dwa antypodyczne punkty, w których jednocześnie zgadza się temperatura i ciśnienie.
Powyższe dwa wnioski (z tymi samymi dowodami) są prawdziwe dla dowolnego n. Z ostatniego wniosku (sformułowanego dla n) wynika, że nie istnieje ciągłe różnowartościowe odwzorowanie z Sndo Rn. Stąd daje się udowodnić:
Wniosek 1.10.14 ([16] 183). Żaden podzbiór w Rnnie jest homeomorficzny z Sn.
Wniosek 1.10.15 ([16] 185, PH121). Nie istnieje odwzorowanie ciągłe f : Sn−→ S1 (n > 1), spełniające związek f (−x) = −f (x), dla wszystkich x ∈ Sn.
Twierdzenie 1.10.16 (o kanapce, [16]). Niech A, B, C będą ograniczonymi podzbiorami w R3, posiadają- cymi objętość. Istnieje wtedy płaszczyzna dzieląca każdy z tych zbiorów na dwie części równej objętości.
2. Grupa podstawowa 9
2 Grupa podstawowa
Pojęcie grupy podstawowej przestrzeni topologicznej zdefiniował H. Poincare w 1904 roku, kiedy prze- konał sią, że odkryte przez niego wcześniej funktory homologii, które dały klasyfikację powierzchni, nie wystarczają już do scharakteryzowania 3-wymiarowej sfery S3. Pytanie, czy funktory homologii wespół z grupą podstawową wystarczają, jest do dziś otwartym zagadnieniem Poincar´ego ([6]8).
Wprowadzenie do teorii homotopii i grupy podstawowej znajdziemy w [6]8, [9]49, [12]14, [16]175.
W tym rozdziale zakładamy, że X jest przestrzenią topologiczną. Przez I oznaczamy domknięty odcinek [0, 1] ⊂ R.
2.1 Drogi
Każde przekształcenie ciągłe σ : I −→ X nazywamy drogą w X. Punkt σ(0) nazywamy początkiem drogi σ, a punkt σ(1) jej końcem. Mówimy, że droga σ : I −→ X jest zamknięta jeśli początek pokrywa się z końcem, tzn. jeśli σ(0) = σ(1). W tym przypadku mówi się również, że droga σ jest pętlą w punkcie σ(0) = σ(1). Mówimy, że droga jest stała, jeśli jej obraz jest zbiorem jednopunktowym.
Niech p, q ∈ X. Przez D(p, q) oznaczać będziemy (chwilowo) zbiór wszystkich dróg w X o początku w punkcie p i końcu w punkcie q.
Drogi, z których jedna kończy się w początku drugiej, można składać. Załóżmy, że σ, τ : I −→ X są drogami w X takimi, że σ ∈ D(p, q), τ ∈ D(q, r), gdzie p, q, r ∈ X. Definiujemy wtedy drogę στ ∈ D(p, r), przyjmując:
στ (t) =
( σ(2t), gdy 06 t 6 12, τ (2t − 1), gdy 12 6 t 6 1.
Z każdą drogą σ ∈ D(p, q) stowarzyszona jest droga odwrotna σ0 ∈ D(q, p), którą określa się wzorem
σ0(t) = σ(1 − t).
2.2 Drogi homotopijnie równoważne
Niech p, q ∈ X będą ustalonymi punktami w X. Załóżmy, że σ, τ ∈ D(p, q). Mówimy, że drogi σ i τ są homotopijnie równoważne, co zapisujemy jako σ ∼ τ , jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe F : I × I −→ X takie, że:
F (s, 0) = σ(s) dla s ∈ I, F (s, 1) = τ (s) dla s ∈ I, F (0, t) = p dla t ∈ I, F (1, t) = q dla t ∈ I.
Powyższe odwzorowanie F : I × I −→ X nazywa się homotopią od σ do τ .
Jeśli F : I × I −→ X jest homotopią, od σ do τ , to (dla każdego t ∈ I) przez Ft : I −→ X oznaczamy odwzorowanie określone wzorem
Ft(s) = F (s, t), dla s ∈ I.
Każde odwzorowanie postaci Ft jest drogą należącą do D(p, q). W szczególności F0= σ, F1= τ . Stwierdzenie 2.2.1. Homotopijność ∼ jest relacją typu równoważności w zbiorze D(p, q).
Dowód. Niech σ, τ, µ ∈ D(p, q).
Zwrotność. Odwzorowanie F : I × I −→ X, (s, t) 7→ σ(s), jest homotopią od σ do σ.
Symetryczność. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do τ . Definiujemy odwzorowanie G : I × I −→ X, przyjmując:
G(s, t) = F (s, 1 − t), dla s, t ∈ I.
Wtedy G jest homotopią od τ do σ.
Przechodniość. Niech F, G : I × I −→ X będą homotopiami odpowiednio od σ do τ i od τ do µ.
Definiujemy odwzorowanie H : I × I −→ X następująco:
H(s, t) =
( F (s, 2t), dla s ∈ I, 06 t 612, G(s, 2t − 1), dla s ∈ I, 12 6 t 6 1.
Odwzorowanie H jest homotopią od σ do µ.
Wykażemy teraz, że relacja homotopijności zachowuje działania określone na zbiorach dróg.
Stwierdzenie 2.2.2. Niech σ, σ0 ∈ D(p, q), τ, τ0∈ D(q, r). Jeśli σ ∼ σ0 i τ ∼ τ0, to στ ∼ σ0τ0. Dowód. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do σ0 i niech G : I × I −→ X będzie homotopią od τ do τ0. Wówczas, dla każdego t ∈ I mamy drogi Ft∈ D(p, q) i Gt∈ D(q, r). Drogi te możemy składać. Definiujemy więc odwzorowanie H : I × H −→ X przyjmując H(s, t) = FtGt(s), dla s, t ∈ I, tzn.
H(s, t) =
( F (s, t), dla 06 s 6 12, G(2s − 1, t), dla 126 s 6 1.
Łatwo sprawdzić, że H jest homotopią od στ do σ0τ0.
Stwierdzenie 2.2.3. Załóżmy, że σ ∈ D(p, q), τ ∈ D(q, r), µ ∈ D(r, s), gdzie p, q, r, s ∈ X. Wtedy (στ )µ ∼ σ(τ µ).
Dowód.
(στ )µ(t) =
σ(4t), gdy 06 t 6 14, τ (4t − 1), gdy 14 6 t 6 12, µ(2t − 1), gdy 12 6 t 6 1.
σ(τ µ)(t) =
σ(2t), gdy 06 t 6 12, τ (4t − 2), gdy 12 6 t 6 34, µ(4t − 3), gdy 34 6 t 6 1.
Homotopię od (στ )µ do σ(τ µ) zadaje odwzorowanie
F (s, t) =
σ(t+14s ), gdy 06 s 6t+14 , τ (4s − t − 1), gdy t+14 6 s 6t+24 , µ(4s−t−22−t ), gdy t+24 6 s 6 1.
Stwierdzenie 2.2.4. Niech σ, τ ∈ D(p, q) i niech σ0, τ0∈ D(q, p) będą drogami odwrotnymi odpowied- nio do σ i τ . Jeśli σ ∼ τ , to σ0∼ τ0.
Dowód. Niech F : I × I −→ X będzie homotopią od σ do σ0. Wtedy G : I × I −→ X, G(s, t) = F (1 − s, t), jest homotopią od σ0 do τ0.
Stwierdzenie 2.2.5. Niech σ ∈ D(p, q) i niech σ0 ∈ D(q, p) będzie drogą odwrotną do σ. Wtedy σσ0 ∼ ep, σ0σ ∼ eq, gdzie ep∈ D(p, p), eq∈ D(q, q) są drogami stałymi przyjmującymi stałe wartości odpowiednio p i q.
Dowód. Homotopię od σσ0 do ep zadaje odwzorowanie
F (s, t) =
σ(2s), gdy 06 s 6 1−t2 , σ(2 − 2t − 2s), gdy 1−t2 6 s 6 1 − t,
p, gdy 1 − t6 s 6 1.
Podobnie określa się homotopię od σ0σ do eq.
2. Grupa podstawowa 11
2.3 Definicja grupy podstawowej
Jeśli σ ∈ D(p, q), to przez [σ] oznaczamy klasę abstrakcji pętli σ względem relacji ∼.
Niech p ∈ X będzie ustalonym punktem. Nazwijmy go punktem bazowym. Rozpatrzmy zbiór D(p, p), wszystkich dróg o początku i końcu w punkcie p, tzn. zbiór wszystkich pętli w punkcie p.
Definicja 2.3.1. Zbiór wszystkich klas abstrakcji postaci [σ], gdzie σ ∈ D(p, p), oznaczamy przez π1(X, p) i nazywamy grupą podstawową (lub grupą homotopii) przestrzeni X w punkcie p.
Mnożenie w π1(X, p) jest określone wzorem
[σ][τ ] = [στ ], dla σ, τ ∈ D(p, p).
Z faktów podanych w poprzednim podrozdziale wynika, że mnożenie to jest dobrze określone oraz, że zbiór π1(X, p) wraz z tym mnożeniem jest grupą. Elementem neutralnym jest klasa abstrakcji pętli stałej. Elementem odwrotnym do [σ] jest [σ0], gdzie σ0 jest pętlą w punkcie p, odwrotną do pętli σ, tzn. [σ]−1= [σ0].
Łatwo udowodnić:
Stwierdzenie 2.3.2. Niech p, q ∈ X i niech τ ∈ D(p, q). Odwzorowanie π1(X, q) −→ π1(X, p), [σ] 7−→ [τ ][σ][τ ]−1, jest izomorfizmem grup.
Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna, jeśli dla dowolnych punktów p, q ∈ X istnieje droga τ należąca do D(p, q). Z powyższego stwierdzenia wynika:
Wniosek 2.3.3. Jeśli przestrzeń X jest łukowo spójna i p ∈ X, to grupa podstawowa π1(X, p) nie zależy od wyboru punktu p, tzn. dla dowolnych punktów p, q ∈ X, grupy π1(X, p) i π1(X, q) są izomor- ficzne.
Jeśli X jest przestrzenią łukowo spójną, to jej grupę podstawową π1(X, p) (gdzie p ∈ X) oznacza się krótko przez π1(X).
Zanotujmy kilka własności przestrzeni łukowo spójnych.
Stwierdzenie 2.3.4.
(1) Obraz ciągły przestrzeni łukowo spójnej jest przestrzenią łukowo spójną.
(2) Przestrzeń łukowo spójna jest spójna (stwierdzenie odwrotne na ogół nie zachodzi).
(3) Każdy niepusty spójny zbiór otwarty w Rn jest łukowo spójny.
Grupa podstawowa ma charakter funktorialny. Przez kategorię przestrzeni topologicznych z wy- różnionym punktem rozumiemy kategorię, której obiektami są pary (X, p) (gdzie X jest przestrzenią topologiczną i p ∈ X), a morfizmami z (X, p) do (Y, q) są odwzorowania ciągłe f : X −→ Y takie, że f (p) = q. Jeśli f : X −→ Y jest odwzorowaniem ciągłym, to definiujemy homomorfizm indukowany:
f∗: π1(X, p) −→ π1(Y, f (p)), [σ] 7−→ [f ◦ σ].
Łatwo sprawdza się, że f∗ jest homomorfizmem grup. Ponadto, (f ◦ g)∗= f∗◦ g∗, (1X)∗= id. Mamy zatem:
Wniosek 2.3.5. π1 jest funktorem kowariantnym z kategorii przestrzeni topologicznych z wyróżnio- nym punktem do kategorii grup.
2.4 Homotopia odwzorowań
Wiemy już co to znaczy, że dwie drogi σ, τ : I −→ X (należące do D(p, q)) są homotopijnie równo- ważne. W podobny sposób można zdefiniować równoważność homotopijną, gdy odcinek I zastąpimy dowolną przestrzenią topologiczną Y . W przypadku odcinka istotną rolę odgrywał dwuelementowy podzbiór A = {0, 1} ⊂ I. Rozpatrywaliśmy tylko drogi σ, τ : I −→ X takie, że σ|A = τ |A.
Niech teraz Y będzie dowolną przestrzenią topologiczną i niech A ⊂ Y będzie ustalonym podzbio- rem.
Definicja 2.4.1. Niech f, g : Y −→ X będą odwzorowaniami ciągłymi takimi, że f |A = g|A.
Mówimy, że odwzorowania f i g są homotopijnie równoważne względem A, co zapisujemy jako f ∼Ag, jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe F : Y × I −→ X takie, że:
F (y, 0) = f (y), dla y ∈ Y, F (y, 1) = g(y), dla y ∈ Y, F (y, t) = f (y) = g(y), dla y ∈ A, t ∈ I.
Odwzorowanie F nazywamy homotopią względem A od f do g.
Powyższa homotopijność względem A jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich funkcji ciągłych z X do Y identycznych na zbiorze A.
Definicja 2.4.2. W przypadku, gdy A = ∅, piszemy f ∼ g (zamiast f ∼Ag) i mówimy, że funkcje f i g są homotopijne.
Zatem funkcje f, g : Y −→ X są homotopijne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe F : Y × I −→ X takie, że:
( F (y, 0) = f (y), dla y ∈ Y, F (y, 1) = g(y), dla y ∈ Y,
Przykład 2.4.3. Niech X = Y = Rn. Niech f, g : Rn −→ Rn będą funkcjami takimi, że f jest identycznością, a g jest odwzorowaniem stałym przyjmującym stałą wartość 0. Wtedy odwzorowanie
F : Rn× I −→ Rn, (x, t) 7−→ tx, jest homotopią od f do g.
Definicja 2.4.4. Jeśli X jest taką przestrzenią topologiczną, że odwzorowanie identycznościowe jest homotopijne z odwzorowaniem stałym, to mówimy, że przestrzeń X jest ściągalna.
Definicja 2.4.5. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest jednospójna, gdy jest łukowo spójna i ma trywialną grupę podstawową.
Twierdzenie 2.4.6 ([12]19).
(1) Przestrzeń X jest ściągalna ⇐⇒ dla dowolnej przestrzeni topologicznej Y każde dwie funkcje ciągłe z Y do X są homotopijne.
(2) Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna.
(3) Każdy wypukły podzbiór w Rn jest ściągalny.
(4) Przestrzeń ściągalna jest jednospójna.
Definicja 2.4.7. Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie ciągłe ϕ : X −→
Y nazywa się homotopijną równoważnością, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe ψY −→ X takie, że ϕψ ∼ 1X i ψϕ ∼ 1Y. Jeśli takie odwzorowanie ϕ istnieje, to mówimy, że przestrzenie X i Y mają ten sam typ homotopii.
2. Grupa podstawowa 13
W szczególnści, przestrzeń X jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ten sam typ homotopii, co przestrzeń jednopunktowa.
Wiemy, że π1 jest funktorem. Jeśli więc f : X −→ Y jest homeomorfizmem, to grupy π1(X, p), π1(Y, f (p)) są izomorficzne. Założenie ”f jest homeomorfizmem” można osłabić:
Stwierdzenie 2.4.8. Jeśli ϕ : X −→ Y jest homotopijną równoważnością, to grupy π1(X, p), π1(Y, ϕ(p)) są izomorficzne.
Grupa podstawowa przestrzeni łukowo spójnych jest więc niezmiennikiem typu homotopii (i tym bardziej niezmiennikiem topologicznym).
Niech X będzie przestrzenią spójną. Jeśli Y jest przestrzenią homotopijnie równoważną z X, to Y również jest przestrzenią spójną ([16] 138).
2.5 Przykłady
Stwierdzenie 2.5.1 ([12]24, [6]22). π1(X × Y, (p, q)) ≈ π1(X, p) × π1(Y, q). Stwierdzenie 2.5.2 ([12]23, [6]31).
π1(Sn) =
( Z, gdy n = 1, 0, gdy n > 1.
Grupa Z, liczb całkowitych, jest więc grupą podstawową każdej przestrzeni topologicznej mającej typ homotopii okręgu, w szczególności pierścienia kołowego, pełnego torusa i ogólniej, produktu S1× In dla każdego n = 1, 2, . . . , a także na przykład dla wstęgi M¨obiusa. Grupa podstawowa torusa S1× · · · × S1(n razy) jest natomiast suą prostą n grup cyklicznych:
π1(S1× · · · × S1
| {z }
n
) = Z × · · · × Z
| {z }
n
.
Znając powyższe fakty można łatwo udowodnić, że okrąg S1 nie jest retraktem koła domkniętego.
Stąd natomiast otrzymuje się łatwo szczególny przypadek twierdzenia Brouwera o punkcie stałym:
każde ciągłe odwzorowanie koła domkniętego w siebie ma punkt stały (patrz [12]25).
Przestrzeń rzutową Pn= Pn(R) można zdefiniować jako przestrzeń ilorazową sfery Sn, otrzymaną przez utożsamienie punktów antypodycznych.
Stwierdzenie 2.5.3 ([12] 31).
π1(Pn) =
( Z, gdy n = 1, Z2, gdy n > 1.
Stwierdzenie 2.5.4 ([12] 23). Jeśli G jest jednospójną grupą topologiczną, a H jest jej dyskretnym dzielnikiem normalnym, to π1(G/H, 1) ≈ H.
Stwierdzenie 2.5.5 ([16] 155). Jeśli G jest grupą topologiczną i e jest jej elementem neutralnym, to grupa π1(G, e) jest abelowa.
2.6 Wyższe grupy homotopii
Na podstawie [16] 155.
Grupę π1(X, p) nazywa sią często pierwszą grupą homotopii przestrzeni X w punkcie p. Indeks
”1” przypomina o tym, że grupa ta jest zbiorem klas abstrakcji dróg, czyli ciągłych odwzorowań z I1 do X. W ogólnym przypadku można określić πn(X, p), n-tą grupę homotopii, zastępując drogi przez odwzorowania ciągłe σ : In−→ X. Przedstawiamy szkic konstrukcji.
Niech p ∈ X będzie wyróżnionym punktem.
Definicja 2.6.1. Brzegiem kostki In nazywamy zbiór
∂In = {(a1, . . . , an) ∈ In; ai= 0 lub ai= 1, dla pewnego i}.
Definicja 2.6.2. Przez Pn(X, p) oznaczamy zbiór wszystkich ciągłych odwzorowań σ : In −→ X takich, że σ(∂In) = {p}.
Definicja 2.6.3. Mówimy, że odwzorowania σ, τ : In −→ X, należące do Pn(X, p) są homotopij- nie równoważne jeśli są homotopijne względem brzegu ∂In, tzn., jeśli istnieje ciągłe odwzorowanie F : In× I −→ X takie, że
F (y, 0) = σ(y), dla y ∈ In, F (y, 1) = τ (y), dla y ∈ In,
F (y, t) = p, dla y ∈ ∂In, t ∈ I.
Powyższa relacja homotopijności jest relacją typu równoważności w zbiorze Pn(X, p). Klasy abstrakcji oznaczamy przez [σ]. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez πn(X, p). Mnożenie w πn(X, p) definiuje się jako
[σ][τ ] = [σ ∗ τ ], gdzie
σ ∗ τ (t1, . . . , tn) =
( σ(2t1, t2, . . . , tn), gdy 06 t16 12, τ (2t1− 1, t2, . . . , tn), gdy 12 6 t16 1.
Mnożenie to jest poprawnie zdefiniowane. Zbiór πn(X, p), z takim mnożeniem jest grupą.
Stwierdzenie 2.6.4 ([16] 156).
(1) Jeśli istnieje droga σ ∈ D(p, q), to grupy πn(X, p) i πn(X, q) są izomorficzne.
(2) Jeśli przestrzenie X i Y mają ten sam typ homotopii, to ich n-te grupy homotopii są izomor- ficzne.
(3) Jeśli n> 2, to grupa πn(X, p) jest abelowa.
(4) Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : X −→ Y będzie funkcją ciągłą. Okre- śla się wtedy, w sposób funktorialny, homomorfizm grup f∗: πn(X, p) −→ πn(Y, f (p)). Jeśli wszystkie homomorfizmy f∗ (dla każdego n> 1) są izomorfizmami, to f jest homotopijną równoważnością.
2.7 Hipoteza Poincar´ e
Hipoteza 2.7.1 (Poincar’e, 1895). Jeżeli X jest zwartą, spójną i jednospójną rozmaitością (topologiczną) wymiaru 3, to X jest homeomorficzne z trójwymiarową sferą S3.
Hipoteza ma naturalne uogólnienie na wszystkie wymiary n> 2. Dla n = 2 problem rozstrzygnął pozytywnie sam Poincar´e. W 1961 roku S. Smale podał dowód dla n> 5, a w 1981 roku M. Friedman dla n = 4 (patrz [5]). Pozostała do rozstrzygnięcia tylko klasyczna wersja tej hipotezy.
3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 15
3 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną
3.1 Działanie grupy na zbiór
Niech X będzie zbiorem, a G grupą.
Definicja 3.1.1. Mówimy, że G działa na X lub, że X jest G-zbiorem, jeśli zadane jest odwzorowanie (zwane działaniem grupy G na X)
· : G × X −→ X, (g, x) 7−→ gx, spełniające warunki:
(1) ex = x, gdzie e jest elementem neutralnym grupy G, (2) g(hx) = (gh)x, dla g, h ∈ G, x ∈ X.
Działanie grupy G na X, to nic innego, jak homomorfizm grup G −→ S(X), gdzie S(X) jest grupą wszystkich permutacji zbioru X.
Przykład 3.1.2.
(1) Niech G będzie grupą Top(X), wszystkich homeomorfizmów przestrzeni topologicznej X. Dzia- łanie G × X −→ X określamy jako (g, x) 7→ g(x), tzn. gx = g(x).
(2) G = Z2= {−1, 1}, X = Sn. Z2× Sn −→ Sn, (a, x) 7→ ax, tzn. (±)x = ±x.
(3) G = Z, X = R, ax = x + a.
(4) G = Z × Z, X = R2, (a, b)(x, y) = (x + a, y + a).
(5) G = Z, X = {(x, y) ∈ R2; −12 6 y 6 12}, Działanie Z × X −→ X określamy wzorem (a, (x, y)) 7→ (x + a, (−1)ay).
(6) Niech H będzie podgrupą grupy G. Rozpatrzmy działanie H × G −→ G, (h, g) 7→ hg. Grupa G jest więc H-zbiorem.
(7) Niech G będzie grupą i X = 2G rodziną wszystkich podzbiorów zbioru G. Definiujemy G × 2G −→ 2G, przyjmując
(g, U ) 7−→ gU = {gu; u ∈ U }.
Zbiór 2G jest więc G-zbiorem.
Z definicji G-zbioru wynika, że każde odwzorowanie X −→ X postaci x 7→ gx, jest bijekcją.
3.2 Przestrzeń orbit
Załóżmy, że X jest G-zbiorem. Określamy relację ∼ w X, przyjmując:
x ∼ y ⇐⇒ ∃g∈Gy = gx.
Jest to oczywiście relacja typu równoważności. Klasy abstrakcji nazywamy orbitami. Jeśli x ∈ X, to orbitą elementu x, czyli klasą abstrakcji wyznaczoną przez x, jest zbiór
Gx = {gx; g ∈ G}.
Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez X/G. Zatem X/G jest zbiorem wszystkich orbit G-zbioru X.
Załóżmy teraz, że X jest przestrzenią topologiczną, będącą G-zbiorem.
Definicja 3.2.1. Zbiór X/G z topologią ilorazową nazywamy przestrzenią orbit działania G na X.
Przykład 3.2.2.
(1) G = Z2 = {−1, 1}, X = Sn, Z2× Sn −→ Sn, (a, x) 7→ ax. Wtedy Sn/Z2 = Pn(R) jest przestrzenią rzutową rzeczywistą.
(2) G = Z, X = R, Z × R −→ R, ax = x + a. Wtedy R/Z = S1.
(3) G = Z, X = {(x, y) ∈ R2; −12 6 y 6 12}, Z × X −→ X, (a, (x, y)) 7→ (x + a, (−1)ay). Wtedy X/Z jest wstęgą M¨obiusa.
Załóżmy, że grupa G działa na przestrzeń topologiczną X. Jeśli x ∈ X, to oznaczamy:
Gx= {g ∈ G; gx = x}.
Zbiór Gxjest podgrupą grupy G, zwaną stabilizatorem w punkcie x. Można zatem rozważać zbiory orbit postaci G/Gx. Zbiór G/Gxpokrywa się oczywiście ze zbiorem warstw grupy G, względem podgrupy Gx.
Jeśli wszystkie odwzorowania postaci x 7→ gx są ciągłe, to mówimy, że działanie G × X −→ X jest ciągłe oraz, że X jest G-przestrzenią. Ciągłe działanie G × X −→ X, to nic innego, jak homomorfizm grup G −→Top(X), gdzie Top(X) jest grupą wszystkich homeomorfizmów z X do X.
Stwierdzenie 3.2.3. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzorowanie naturalne η : X −→ X/G, x 7→
Gx, jest ciągłym odwzorowaniem otwartym.
Dowód. Odwzorowanie η : X −→ X/G jest oczywiście ciągłe (gdyż X/G ma topologię ilorazową).
Niech U ⊆ X będzie zbiorem otwartym w X. Należy pokazać, że η(U ) jest zbiorem otwartym w X/G, tzn., że zbiór η−1η(U ) jest otwarty w X. Wynika to z równości:
η−1η(U ) =S
g∈GgU.
Zbiory postaci gU są otwarte w X, gdyż x 7→ gx jest homeomorfizmem.
Stwierdzenie 3.2.4. Załóżmy, że grupa G jest skończona. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzoro- wanie naturalne η : X −→ X/G, x 7→ Gx, jest domknięte.
Dowód. Niech F ⊆ X będzie zbiorem domkniętym w X. Należy pokazać, że η(F ) jest zbiorem domkniętym w X/G, tzn., że zbiór η−1η(F ) jest domknięty w X. Wynika to z równości:
η−1η(F ) =S
g∈GgF.
Zbiory postaci gF są domknięte w X, gdyż x 7→ gx jest homeomorfizmem. Zbiór η−1η(F ) jest więc skończoną sumą zbiorów domkniętych, a zatem jest zbiorem domkniętym.
3.3 Produkty
Niech G1, G2będą grupami. Załóżmy, że X1jest G1-przestrzenią, a X2jest G2-przestrzenią. Mamy wówczas ciągłe działanie
(G1× G2) × (X1× X2) −→ X1× X2, (a, b)(x1, x2) = (ax1, bx2).
Przestrzeń X1× X2 jest więc G1× G2-przestrzenią. Mamy zatem przestrzeń orbit X1× X2/G1× G2. Stwierdzenie 3.3.1 (PH15). Przestrzenie topologiczne X1× X2/G1× G2 i (X1/G1) × (X2/G2) są homeomorficzne. Homeomorfizmem jest odwzorowanie [a, b] 7→ ([a], [b]).
Przykład 3.3.2.
(1) Niech Z × Z działa na R2 jako: (a, b)(x, y) = (a + x, b + y). Wtedy R2/(Z × Z) ≈ (R/Z) × (R/Z) ≈ S1× S1 (torus).
(2) Niech G = Z, X = C r {0}. Rozpatrzmy działanie Z × X −→ X, ax = 2ax.
Zbiór C r {0} jest więc Z-przestrzenią. Można pokazać, że przestrzeń orbit (C r {0})/Z jest home- omorficzna z torusem S1× S1.
(3) ([16] 55). Niech T : Rn r {0} −→ Rn r {0} będzie homeomorfizmem określonym wzorem T (x) = 2x. Rozpatrzmy grupę G = {Ti; i ∈ Z}. Grupa ta działa na Rnr {0} (Tix = Ti(x)). Można pokazać, że (Rnr {0})/G ≈ Sn−1× S1.
