Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki

(1)

Toru ń, 2003

Zbigniew S. Szewczak

Uniwersytet Miko łaja Kopernika Wydzia ł Matematyki i Informatyki

“Graniczne w łasności łańcuchów

Markowa”

(2)

Co to jest łańcuch Markowa?

☛ Każdy skończony, jednorodny łańcuch Markowa

jest równoważny modelowi urnowemu

(3)

Model urnowy

☛ Urna czarna, czerwona, niebieska

1 2

0

(4)

Model urnowy - zasada 1

☛ Kolor urny, z której losujemy, jest taki sam jak ostatnio wylosowana kula

1 2

0

(5)

Model urnowy - zasada 2

☛ Zawsze zwracamy wylosowaną kulę do urny i mieszamy kule

1 2

0

(6)

Model urnowy - losowanie 0

☛ Najpierw losujemy jedną kulę z urny czarnej

1 2

0

(7)

Model urnowy - losowanie 0

☛ Chowamy urnę czarną do szafy

1 2

0

(8)

Model urnowy - losowanie 0

☛ Ponieważ wylosowaliśmy kulę niebieską to pierwsze losowanie będzie z urny niebieskiej

1 2

(9)

Model urnowy - losowanie 1

☛ W pierwszym losowaniu uzyskujemy kulę czerwoną

1 2

0

(10)

Model urnowy - losowanie 1

☛ Ponieważ wylosowaliśmy kulę czerwoną to następne losowanie będzie z urny czerwonej

1 2

(11)

Model urnowy - losowanie 2

☛ Zwracamy kulę czerwoną do urny niebieskiej

☛ Losujemy z urny czerwonej kulę czerwoną

1 2

(12)

Model urnowy - losowanie 3

☛ Zwracamy kulę czerwoną do urny czerwonej

☛ Losujemy z urny czerwonej kulę niebieską

1 2

(13)

Model urnowy - losowanie 4

☛ Zwracamy kulę niebieską do urny czerwonej

☛ Losujemy z urny niebieskiej kulę niebieską

1 2

(14)

Model urnowy - losowanie 5

☛ Zwracamy kulę niebieską do urny niebieskiej

☛ Losujemy z urny niebieskiej kulę czerwoną

☛ itd...

1 2

(15)

Model ze zwracaniem i wymian ą

☛ Jeśli wylosowana kula jest tego samego koloru co poprzednio wylosowana kula to: losujemy dalej

☛ Jeśli nie to: ujmujemy cztery kule wylosowanego koloru i dodajemy cztery koloru przeciwnego

1 2

(16)

Drzewo losowa ń

c

n

c n c n

c n c n c n c n

O 1 2 3

n 4

(17)

Model urnowy - kolor (1)

☛ Pierwszy przypadek nieciekawy

1 2

0

(18)

Model urnowy - kolor (2)

☛ Drugi przypadek nieciekawy

1 2

0

(19)

Model urnowy - niezale żny (1)

☛ Składy urn są jednakowe = schemat Bernoulliego

1 2

0

(20)

Model urnowy - niezale żny (2)

☛ Równie dobrze moglibyśmy losować jedynie z urny czerwonej

1 2

0

(21)

Jaka jest cz ęstość względna?

☛ Częstość względna występowania kul niebieskich

=(liczba wylosowanych kul niebieskich)/(liczba losowań)

☛ Jak zmienia się częstość względna

występowania kul niebieskich w przypadku, gdy

składy urn są jednakowe a liczba losowań się

zwiększa?

(22)

Schemat Bernoulliego

☛ Jakub Bernoulli I

☛ ur. 27.12.1654, Bazylea

☛ zm. 16.8.1705, Bazylea

☛ Prawo wielkich liczb

☛ dla schematu Bernoulliego

Szansa na to, że częstość wzgl ędna pojawienia się kul

niebieskich odchyli si ę od o dowolnie ma łą liczbę dodatnią zmierza do zera wraz ze

wzrostem liczby losowa ń.

(1713) 5

12

(23)

Model urnowy

☛ Składy urn są różne

1 2

0

(24)

Jaka jest cz ęstość względna?

☛ Jaka jest częstość względna pojawienia się kuli niebieskiej w przypadku, gdy składy urn nie są jednakowe?

☛ Na to pytanie prawo wielkich liczb Bernoulliego nie daje odpowiedzi bowiem jest to binarny

łańcuch Markowa

(25)

Łańcuch Markowa

☛ Andriej A. Markow I

☛ ur. 14.6.1856, Riazań

☛ zm. 20.7.1922, Petersburg

☛ Prawo wielkich liczb

☛ dla łańcuchów Markowa

(1906)

Szansa na to, że częstość wzgl ędna pojawienia się kul

niebieskich odchyli si ę od o dowolnie ma łą liczbę dodatnią zmierza do zera wraz ze

wzrostem liczby losowa ń.

4

11

(26)

Model urnowy

☛ Cztery urny : ciekawe czy nieciekawe czy ciekawe?

1 2

3 0

4

(27)

Model urnowy

☛ Pięć urn: ciekawe czy nieciekawe czy ciekawe?

1

2 3 0

4

5 16?

(28)

Twierdzenie Wielandta

☛ Jeśli losowując kulę dowolnego koloru z dowolnej z N urn po N - 2 N + 2 krokach

możemy wylosować kulę dowolnego koloru to taki łańcuch Markowa jest „ciekawy”.

☛ „Ciekawy” bowiem zachodzi dla niego wiele praw rachunku prawdopodobie ństwa

2 .

(29)

Model urnowy

☛ Trzy urny dlatego, że trzy jest drugą liczbą pierwszą

1 2

3

0

(30)

Model urnowy (c.d.)

☛ Z urny niebieskiej nie ma bezpośredniego przejścia do urny zielonej

1 2

3

(31)

Tablica

☛ 3x3

4 5 4

4 7 6

4

0

2 u k

(32)

Macierz

☛ u->i

☛ k->j

4 5 4

4 7 6

4 0 2 2

1 3

1

2

3 i j

(33)

Macierz stochastyczna

☛ suma liczb w każdym wierszu wynosi 1

4 12

2 1 3

1 2 3

4 12

5 12

7 12

0 12

4 12

6 12

2 12

i j

(34)

Graf stochastyczny

☛ suma „strzałek” wychodzących wynosi 1

4 12

5 12

4 12 4

12 6 12

4 12

0 12

2 7 12

12

(35)

Macierz przej ścia

☛ liczby nieujemne

☛ suma liczb w każdym wierszu wynosi 1 p

2 1 3

1 2 3

11 p p

p

p p

p

p p

12 13

21

31 22 23

32 33

i j

(36)

Nieciekawy 1

☛ macierz jednostkowa 1

2 1

1 2 ⁰

0

1 i j

(37)

Nieciekawy 2

☛ transponowana macierz jednostkowa 0

2 1

1 2 ¹

1

0 i j

(38)

Schemat Bernoulliego

☛ niezależny: takie same wiersze

2 1

1

2 7 12

5 12

7 12

5 12

i j

(39)

Macierz przej ścia - zadanie

☛ urna czerwona: 4 x i 8 x

☛ urna niebieska: 5 x i 7 x

2 1

1

2 ?

? ?

?

i j

(40)

Co dalej?

☛ Skąd te w prawie wielkich liczb Markowa?

☛ Jak szybko szansa na to, że częstość względna występowania kul niebieskich odchyli się od o więcej niż 0.001 zmierza do zera?

☛ Czy jest na to jakie ś oszacowanie?

4 11 4

11

(41)

Rozk ład stacjonarny

☛ Skład urn : 4 kule niebieskie, 7 kul czerwonych

1 2

0

(42)

W łasności graniczne

☛ Twierdzenia graniczne dla łańcuchów Markowa

☛ twierdzenie spektralne dla macierzy przej ścia

☛ twierdzenie ergodyczne dla macierzy przej ścia

☛ prawo wielkich liczb

☛ teoria wielkich odchyleń

☛ Twierdzenia graniczne można symulować komputerowo

☛ symulacja prawa wielkich liczb Markowa - Maple

(43)

Macierz stochastyczna

Definicja.

Tablic¸e liczb

^✁ ^✂ ^✄ ^☎ ^✄ ^✆ ^✝

✞ ✟ ✄ ✠ ✡

postaci

☛ ☛ ☛ ☞

☞ ☛ ☞ ☞

tak¸a, ˙ze

^☛ ^☛ ^✌ ^☛ ^☞ ^✍ ^☞ ^☛ ^✌ ^☞ ^☞ ^✍ ^✟

oraz

^✎ ^✏ ^☛ ^☛ ^✄ ^☞ ^☛ ^✏ ^✟

nazywamy macierz¸a stochastyczn¸a

^✠ ^✑ ^✠

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 2/2

(44)

Macierz stochastyczna

Definicja.

Tablic¸e liczb

^✁ ^✂ ^✄ ^☎ ^✄ ^✆ ^✝

✞ ✟ ✄ ✠ ✡

postaci

☛ ☛ ☛ ☞

☞ ☛ ☞ ☞

tak¸a, ˙ze

^☛ ^☛ ^✌ ^☛ ^☞ ^✍ ^☞ ^☛ ^✌ ^☞ ^☞ ^✍ ^✟

oraz

^✎ ^✏ ^☛ ^☛ ^✄ ^☞ ^☛ ^✏ ^✟

nazywamy macierz¸a stochastyczn¸a

^✠ ^✑ ^✠

Przykład.

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞ ✄

gdzie

^☛ ^☛ ^✍

✓

☛ ☞ ✄ ☛ ☞ ✍ ✔

☛ ☞ ✄ ☞ ☛ ✍ ✕

☛ ☞ ✄ ☞ ☞ ✍ ✖

☛ ☞ ✗

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 2/2

(45)

Prawdopodobie ´nstwa przej´scia

Definicja. Liczby

^✁ ^✂ ^✄ ^☎ ^✄ ^✆ ^✝

✞ ✟ ✄ ✠ ✡

nazywamy

prawdopodobie´nstwami przej´scia za jeden krok i oznaczamy

✘ ☛ ✙

✁ ✂

.

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 3/2

(46)

Prawdopodobie ´nstwa przej´scia

Definicja. Liczby

^✁ ^✂ ^✄ ^☎ ^✄ ^✆ ^✝

✞ ✟ ✄ ✠ ✡

nazywamy

prawdopodobie´nstwami przej´scia za jeden krok i oznaczamy

✘ ☛ ✙

✁ ✂

.

Definicja. Je´sli

^✚ ^✛ ^✠

to liczby

✘ ✜ ✙

✁ ✂ ✄ ☎ ✄ ✆ ✝ ✞ ✟ ✄ ✠ ✡

✘ ✜ ✙

☛ ☛ ✍ ✘ ✜ ✢ ☛ ✙

☛ ☛ ☛ ☛ ✌ ✘ ✜ ✢ ☛ ✙

☛ ☞ ☞ ☛

✘ ✜ ✙

☛ ☞ ✍ ✘ ✜ ✢ ☛ ✙

☛ ☛ ☛ ☞ ✌ ✘ ✜ ✢ ☛ ✙

☛ ☞ ☞ ☞

✘ ✜ ✙

☞ ☛ ✍ ✘ ✜ ✢ ☛ ✙

☞ ☛ ☛ ☛ ✌ ✘ ✜ ✢ ☛ ✙

☞ ☞ ☞ ☛

✘ ✜ ✙

☞ ☞ ✍ ✘ ✜ ✢ ☛ ✙

☞ ☛ ☛ ☞ ✌ ✘ ✜ ✢ ☛ ✙

☞ ☞ ☞ ☞

nazywamy prawdopodobie´nstwami przej´scia za

^✚

kroków

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 3/2

(47)

Przykład dla

^✣

☛ ☛ ☛ ☞

☞ ☛ ☞ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 4/2

(48)

Przykład dla

^✣

☛ ☛ ☛ ☞

☞ ☛ ☞ ☞

Prawdopodobie´nstwa przej´scia za 2 kroki

✘ ☞ ✙

☛ ☛ ✍ ☛ ☛ ☛ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛

✘ ☞ ✙

☛ ☞ ✍ ☛ ☛ ☛ ☞ ✌ ☛ ☞ ☞ ☞

✘ ☞ ✙

☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ☛ ☛ ✌ ☞ ☞ ☞ ☛

✘ ☞ ✙

☞ ☞ ✍ ☞ ☛ ☛ ☞ ✌ ☞ ☞ ☞ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 4/2

(49)

Przykład dla

^✣

i

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 5/2

(50)

Przykład dla

^✣

i

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

✘ ☞ ✙

☛ ☛ ✍ ✤

✟ ✠ ✗ ✤

✟ ✠ ✌ ✥

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✠

✘ ☞ ✙

☛ ☞ ✍ ✤

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✠ ✌ ✥

✟ ✠ ✗ ✧

✟ ✠

✘ ☞ ✙

☞ ☛ ✍ ✦

✟ ✠ ✗ ✤

✟ ✠ ✌ ✧

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✠

✘ ☞ ✙

☞ ☞ ✍ ✦

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✠ ✌ ✧

✟ ✠ ✗ ✧

✟ ✠

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 5/2

(51)

Przykład dla

^✣

☛ ☛ ☛ ☞

☞ ☛ ☞ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 6/2

(52)

Przykład dla

^✣

☛ ☛ ☛ ☞

☞ ☛ ☞ ☞

Prawdopodobie´nstwa przej´scia za 3 kroki

✘ ★ ✙

☛ ☛ ✍ ✩ ☛ ☛ ☛ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✪ ✗ ☛ ☛ ✌ ✩ ☛ ☞ ☞ ☞ ✌ ☛ ☛ ☛ ☞ ✪ ✗ ☞ ☛

✘ ★ ✙

☛ ☞ ✍ ✩ ☛ ☛ ☛ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✪ ✗ ☛ ☞ ✌ ✩ ☛ ☞ ☞ ☞ ✌ ☛ ☛ ☛ ☞ ✪ ✗ ☞ ☞

✘ ★ ✙

☞ ☛ ✍ ✩ ☞ ☛ ☛ ☛ ✌ ☞ ☞ ☞ ☛ ✪ ✗ ☛ ☛ ✌ ✩ ☞ ☞ ☞ ☞ ✌ ☞ ☛ ☛ ☞ ✪ ✗ ☞ ☛

✘ ★ ✙

☞ ☞ ✍ ✩ ☞ ☛ ☛ ☛ ✌ ☞ ☞ ☞ ☛ ✪ ✗ ☛ ☞ ✌ ✩ ☞ ☞ ☞ ☞ ✌ ☞ ☛ ☛ ☞ ✪ ✗ ☞ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 6/2

(53)

Przykład dla

^✣

i

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 7/2

(54)

Przykład dla

^✣

i

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

✘ ★ ✙

☛ ☛ ✍ ✤

✟ ✠ ✗ ✤

✟ ✠ ✌ ✥

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✠ ✗ ✤

✟ ✠ ✌ ✤

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✠ ✌ ✥

✟ ✠ ✗ ✧

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✠

✘ ★ ✙

☛ ☞ ✍ ✤

✟ ✠ ✗ ✤

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✠ ✌ ✥

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✠ ✌ ✤

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✠ ✗ ✧

✟ ✠ ✌ ✥

✟ ✠ ✗ ✧

✟ ✠

✘ ★ ✙

☞ ☛ ✍ ✦

✟ ✠ ✗ ✤

✟ ✠ ✌ ✧

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✠ ✗ ✤

✟ ✠ ✌ ✦

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✠ ✌ ✧

✟ ✠ ✗ ✧

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✠

✘ ★ ✙

☞ ☞ ✍ ✦

✟ ✠ ✗ ✤

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✠ ✌ ✧

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✠ ✌ ✦

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✠ ✗ ✧

✟ ✠ ✌ ✧

✟ ✠ ✗ ✧

✟ ✠

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 7/2

(55)

Zadanie

Załó˙zmy, ˙ze

^☛ ^☞ ^✌ ^☞ ^☛ ^✫ ^✎^✬

Oznaczmy

✭ ✍ ✟ ✮ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛

✯ ☛ ✍ ☞ ☛

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✰ ✯ ☞ ✍ ☛ ☞

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✗

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 8/2

(56)

Zadanie

Załó˙zmy, ˙ze

^☛ ^☞ ^✌ ^☞ ^☛ ^✫ ^✎^✬

Oznaczmy

✭ ✍ ✟ ✮ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛

✯ ☛ ✍ ☞ ☛

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✰ ✯ ☞ ✍ ☛ ☞

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✗

Wykaza´c, ˙ze

☛ ☛ ✍ ✯ ☛ ✌ ✭ ✯ ☞

☛ ☞ ✍ ✯ ☞ ✮ ✭ ✯ ☞

☞ ☛ ✍ ✯ ☛ ✮ ✭ ✯ ☛

☞ ☞ ✍ ✯ ☞ ✌ ✭ ✯ ☛✬

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 8/2

(57)

Wskazówka

Mamy

✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 9/2

(58)

Wskazówka

Mamy

✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞

Poniewa˙z

^☛ ^☛ ^✌ ^☛ ^☞ ^✍ ^✟

to

✮ ☞

☛ ☞ ✌ ✩ ☛ ☛ ✌ ☛ ☞ ✪ ✗ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 9/2

(59)

Wskazówka

Mamy

✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞

Poniewa˙z

^☛ ^☛ ^✌ ^☛ ^☞ ^✍ ^✟

to

✮ ☞

☛ ☞ ✌ ✩ ☛ ☛ ✌ ☛ ☞ ✪ ✗ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞

Dodajemy

^☛ ^☞

do obu stron

✮ ☞

☛ ☞ ✌ ✩ ☛ ☛ ✌ ☛ ☞ ✪ ✗ ☞ ☛ ✌ ☛ ☞ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 9/2

(60)

Wskazówka

Mamy

✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞

Poniewa˙z

^☛ ^☛ ^✌ ^☛ ^☞ ^✍ ^✟

to

✮ ☞

☛ ☞ ✌ ✩ ☛ ☛ ✌ ☛ ☞ ✪ ✗ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞

Dodajemy

^☛ ^☞

do obu stron

✮ ☞

☛ ☞ ✌ ✩ ☛ ☛ ✌ ☛ ☞ ✪ ✗ ☞ ☛ ✌ ☛ ☞ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞

Mno˙zymy wyra˙zenie w nawiasie

✮ ☞☛ ☞ ✌ ☛ ☛ ☞ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✌ ☛ ☞ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞☛ ☞ ✌ ☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 9/2

(61)

Wskazówka (c.d.)

Wynosimy

^☛ ^☞

poza nawias

✩ ✟ ✮ ☛ ☞ ✪ ✗ ☛ ☞ ✌ ☛ ☛ ☞ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 10/2

(62)

Wskazówka (c.d.)

Wynosimy

^☛ ^☞

poza nawias

✩ ✟ ✮ ☛ ☞ ✪ ✗ ☛ ☞ ✌ ☛ ☛ ☞ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞

Poniewa˙z

^✟ ^✮ ^☛ ^☞ ^✍ ^☛ ^☛

to

☛ ☛ ☛ ☞ ✌ ☛ ☛ ☞ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 10/2

(63)

Wskazówka (c.d.)

Wynosimy

^☛ ^☞

poza nawias

✩ ✟ ✮ ☛ ☞ ✪ ✗ ☛ ☞ ✌ ☛ ☛ ☞ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞

Poniewa˙z

^✟ ^✮ ^☛ ^☞ ^✍ ^☛ ^☛

to

☛ ☛ ☛ ☞ ✌ ☛ ☛ ☞ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞

Przenosimy

^☛ ^☞ ^☞ ^☛

na praw¸a stron¸e

☛ ☛ ☛ ☞ ✌ ☛ ☛ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞ ✮ ☛ ☞ ☞ ☛

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 10/2

(64)

Wskazówka (c.d.)

Wynosimy

^☛ ^☞

poza nawias

✩ ✟ ✮ ☛ ☞ ✪ ✗ ☛ ☞ ✌ ☛ ☛ ☞ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞

Poniewa˙z

^✟ ^✮ ^☛ ^☞ ^✍ ^☛ ^☛

to

☛ ☛ ☛ ☞ ✌ ☛ ☛ ☞ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞

Przenosimy

^☛ ^☞ ^☞ ^☛

na praw¸a stron¸e

☛ ☛ ☛ ☞ ✌ ☛ ☛ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞ ✮ ☛ ☞ ☞ ☛

Zamieniamy

^☛ ^☞ ^☞ ^☛

na

^☞ ^☛ ^☛ ^☞

☛ ☛ ☛ ☞ ✌ ☛ ☛ ☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 10/2

(65)

Wskazówka (c.d.)

Wynosimy

^☛ ^☛

poza nawias

☛ ☛ ✗ ✩ ☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✪ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 11/2

(66)

Wskazówka (c.d.)

Wynosimy

^☛ ^☛

poza nawias

☛ ☛ ✗ ✩ ☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✪ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ☛ ☞

Wynosimy

^☛ ^☞

poza nawias

☛ ☛ ✗ ✩ ☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✪ ✍ ☞ ☛ ✌ ✩ ✟ ✮ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ✪ ✗ ☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 11/2

(67)

Wskazówka (c.d.)

Wynosimy

^☛ ^☛

poza nawias

☛ ☛ ✗ ✩ ☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✪ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ☛ ☞

Wynosimy

^☛ ^☞

poza nawias

☛ ☛ ✗ ✩ ☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✪ ✍ ☞ ☛ ✌ ✩ ✟ ✮ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ✪ ✗ ☛ ☞

Poniewa˙z

^☛ ^☞ ^✌ ^☞ ^☛ ^✫ ^✎

dzielimy obie strony przez

^☛ ^☞ ^✌ ^☞ ^☛

☛ ☛ ✍ ☞ ☛

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✌ ✩ ✟ ✮ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ✪ ✗ ☛ ☞

☛ ☞ ✌ ☞ ☛

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 11/2

(68)

Wskazówka (c.d.)

Wynosimy

^☛ ^☛

poza nawias

☛ ☛ ✗ ✩ ☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✪ ✍ ☞ ☛ ✮ ☞

☛ ☞ ✌ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ☛ ☞

Wynosimy

^☛ ^☞

poza nawias

☛ ☛ ✗ ✩ ☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✪ ✍ ☞ ☛ ✌ ✩ ✟ ✮ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ✪ ✗ ☛ ☞

Poniewa˙z

^☛ ^☞ ^✌ ^☞ ^☛ ^✫ ^✎

dzielimy obie strony przez

^☛ ^☞ ^✌ ^☞ ^☛

☛ ☛ ✍ ☞ ☛

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✌ ✩ ✟ ✮ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ✪ ✗ ☛ ☞

☛ ☞ ✌ ☞ ☛

Podstawiamy

✱ ✲ ✳

✱ ✳ ✲ ✴ ✱ ✲ ✳ ✍ ✯ ☛ ✄ ✟ ✮ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ✍ ✭ ✄ ✱ ✳ ✲

✱ ✳ ✲ ✴ ✱ ✲ ✳ ✍ ✯ ☞

☛ ☛ ✍ ✯ ☛ ✌ ✭ ✯ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 11/2

(69)

Przykład dla

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 12/2

(70)

Przykład dla

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

✭ ✍ ✟ ✮ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ✍ ✟ ✮ ✥

✟ ✠ ✮ ✦

✟ ✠ ✍ ✟

✟ ✠

✯ ☛ ✍ ☞ ☛

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✍ ✕

☛ ☞

✔

☛ ☞ ✌ ✕

☛ ☞ ✍ ✦

✟ ✟ ✄

✯ ☞ ✍ ☛ ☞

☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✍ ✟ ✮ ✯ ☛ ✍ ✥

✟ ✟

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 12/2

(71)

Przykład dla (c.d.)

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 13/2

(72)

Przykład dla (c.d.)

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

Mamy

✭ ✍ ☛

☛ ☞ ✄ ✯ ☛ ✍ ✕

☛ ☛ ✄ ✯ ☞ ✍ ✔

☛ ☛

wi¸ec

☛ ☛ ✍ ✯ ☛ ✌ ✭ ✯ ☞ ✍ ✦

✟ ✟ ✌ ✟

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✟ ✍ ✤

✟ ✠

☛ ☞ ✍ ✯ ☞ ✮ ✭ ✯ ☞ ✍ ✥

✟ ✟ ✮ ✟

✟ ✠ ✗ ✥

✟ ✟ ✍ ✥

✟ ✠

☞ ☛ ✍ ✯ ☛ ✮ ✭ ✯ ☛ ✍ ✦

✟ ✟ ✮ ✟

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✟ ✍ ✦

✟ ✠

☞ ☞ ✍ ✯ ☞ ✌ ✭ ✯ ☛ ✍ ✥

✟ ✟ ✌ ✟

✟ ✠ ✗ ✦

✟ ✟ ✍ ✧

✟ ✠✬

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 13/2

(73)

Przykład dla (c.d.)

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 14/2

(74)

Przykład dla (c.d.)

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

Rozkład stacjonarny

✯ ☛ ✗ ☛ ☛ ✌ ✯ ☞ ✗ ☞ ☛ ✍ ✦

✟ ✟ ✗ ✤

✟ ✠ ✌ ✥

✟ ✟ ✗ ✦

✟ ✠ ✍ ✦

✟ ✟ ✍ ✯ ☛

✯ ☛ ✗ ☛ ☞ ✌ ✯ ☞ ✗ ☞ ☞ ✍ ✦

✟ ✟ ✗ ✥

✟ ✠ ✌ ✥

✟ ✟ ✗ ✧

✟ ✠ ✍ ✥

✟ ✟ ✍ ✯ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 14/2

(75)

Przykład dla (c.d.)

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

Rozkład stacjonarny

✯ ☛ ✗ ☛ ☛ ✌ ✯ ☞ ✗ ☞ ☛ ✍ ✦

✟ ✟ ✗ ✤

✟ ✠ ✌ ✥

✟ ✟ ✗ ✦

✟ ✠ ✍ ✦

✟ ✟ ✍ ✯ ☛

✯ ☛ ✗ ☛ ☞ ✌ ✯ ☞ ✗ ☞ ☞ ✍ ✦

✟ ✟ ✗ ✥

✟ ✠ ✌ ✥

✟ ✟ ✗ ✧

✟ ✠ ✍ ✥

✟ ✟ ✍ ✯ ☞

Zadanie

✯ ☛ ✗ ✘ ✜ ✙

☛ ☛ ✌ ✯ ☞ ✗ ✘ ✜ ✙

☞ ☛ ✍ ✯ ☛ ✄ ✯ ☛ ✗ ✘ ✜ ✙

☛ ☞ ✌ ✯ ☞ ✗ ✘ ✜ ✙

☞ ☞ ✍ ✯ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 14/2

(76)

Prawdopodobie ´nstwa za 2 kroki

✘ ☞ ✙

☛ ☛ ✍ ☛ ☛ ☛ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✄ ✘ ☞ ✙

☛ ☞ ✍ ☛ ☛ ☛ ☞ ✌ ☛ ☞ ☞ ☞

✘ ☞ ✙

☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ☛ ☛ ✌ ☞ ☞ ☞ ☛ ✄ ✘ ☞ ✙

☞ ☞ ✍ ☞ ☛ ☛ ☞ ✌ ☞ ☞ ☞ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 15/2

(77)

Prawdopodobie ´nstwa za 2 kroki

✘ ☞ ✙

☛ ☛ ✍ ☛ ☛ ☛ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛ ✄ ✘ ☞ ✙

☛ ☞ ✍ ☛ ☛ ☛ ☞ ✌ ☛ ☞ ☞ ☞

✘ ☞ ✙

☞ ☛ ✍ ☞ ☛ ☛ ☛ ✌ ☞ ☞ ☞ ☛ ✄ ✘ ☞ ✙

☞ ☞ ✍ ☞ ☛ ☛ ☞ ✌ ☞ ☞ ☞ ☞

Jaki wzór?

✘ ☞ ✙

☛ ☛ ✍ ☛ ☛ ☛ ☛ ✌ ☛ ☞ ☞ ☛

✍ ✩ ✯ ☛ ✌ ✭ ✯ ☞ ✪ ✗ ✩ ✯ ☛ ✌ ✭ ✯ ☞ ✪ ✌ ✩ ✯ ☞ ✮ ✭ ✯ ☞ ✪ ✗ ✩ ✯ ☛ ✮ ✭ ✯ ☛ ✪

✍ ✯ ☛ ✯ ☛ ✌ ✭ ✯ ☛ ✯ ☞ ✌ ✭ ✯ ☛ ✯ ☞ ✌ ✭ ☞ ✯ ☞ ✯ ☞

✌ ✯ ☞ ✯ ☛ ✮ ✭ ✯ ☛ ✯ ☞ ✮ ✭ ✯ ☛ ✯ ☞ ✌ ✭ ☞ ✯ ☛ ✯ ☞

✍ ✯ ☛ ✯ ☛ ✌ ✯ ☞ ✯ ☛ ✌ ✭ ☞ ✯ ☛ ✯ ☞ ✌ ✭ ☞ ✯ ☞ ✯ ☞

✍ ✩ ✯ ☛ ✌ ✯ ☞ ✪ ✗ ✯ ☛ ✌ ✩ ✭ ☞ ✯ ☛ ✌ ✭ ☞ ✯ ☞ ✪ ✗ ✯ ☞

✍ ✯ ☛ ✌ ✩ ✭ ☞ ✩ ✯ ☛ ✌ ✯ ☞ ✪ ✪ ✗ ✯ ☞ ✍ ✯ ☛ ✌ ✭ ☞ ✯ ☞✬

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 15/2

(78)

Zadanie (c.d.)

Dla

^✵ ^✶ ^✷

Je´sli

^☛ ^☞ ^✌ ^☞ ^☛ ^✫ ^✎

to

✘ ☞ ✙

☛ ☛ ✍ ✯ ☛ ✌ ✭ ☞ ✯ ☞ ✰ ✘ ☞ ✙

☛ ☞ ✍ ✯ ☞ ✮ ✭ ☞ ✯ ☞

✘ ☞ ✙

☞ ☛ ✍ ✯ ☛ ✮ ✭ ☞ ✯ ☛ ✰ ✘ ☞ ✙

☞ ☞ ✍ ✯ ☞ ✌ ✭ ☞ ✯ ☛✬

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 16/2

(79)

Zadanie (c.d.)

Dla

^✵ ^✶ ^✷

Je´sli

^☛ ^☞ ^✌ ^☞ ^☛ ^✫ ^✎

to

✘ ☞ ✙

☛ ☛ ✍ ✯ ☛ ✌ ✭ ☞ ✯ ☞ ✰ ✘ ☞ ✙

☛ ☞ ✍ ✯ ☞ ✮ ✭ ☞ ✯ ☞

✘ ☞ ✙

☞ ☛ ✍ ✯ ☛ ✮ ✭ ☞ ✯ ☛ ✰ ✘ ☞ ✙

☞ ☞ ✍ ✯ ☞ ✌ ✭ ☞ ✯ ☛✬

Dla

^✵ ^✶ ^✸

Je´sli

^☛ ^☞ ^✌ ^☞ ^☛ ^✫ ^✎

to

✘ ★ ✙

☛ ☛ ✍ ✯ ☛ ✌ ✭ ★ ✯ ☞ ✰ ✘ ★ ✙

☛ ☞ ✍ ✯ ☞ ✮ ✭ ★ ✯ ☞

✘ ★ ✙

☞ ☛ ✍ ✯ ☛ ✮ ✭ ★ ✯ ☛ ✰ ✘ ★ ✙

☞ ☞ ✍ ✯ ☞ ✌ ✭ ★ ✯ ☛✬

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 16/2

(80)

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie

Je´sli

^☛ ^☞ ^✌ ^☞ ^☛ ^✫ ^✎

to

✘ ✜ ✙

☛ ☛ ✍ ✯ ☛ ✌ ✭ ✜ ✯ ☞ ✰ ✘ ✜ ✙

☛ ☞ ✍ ✯ ☞ ✮ ✭ ✜ ✯ ☞

✘ ✜ ✙

☞ ☛ ✍ ✯ ☛ ✮ ✭ ✜ ✯ ☛ ✰ ✘ ✜ ✙

☞ ☞ ✍ ✯ ☞ ✌ ✭ ✜ ✯ ☛✬

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 17/2

(81)

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie

Je´sli

^☛ ^☞ ^✌ ^☞ ^☛ ^✫ ^✎

to

✘ ✜ ✙

☛ ☛ ✍ ✯ ☛ ✌ ✭ ✜ ✯ ☞ ✰ ✘ ✜ ✙

☛ ☞ ✍ ✯ ☞ ✮ ✭ ✜ ✯ ☞

✘ ✜ ✙

☞ ☛ ✍ ✯ ☛ ✮ ✭ ✜ ✯ ☛ ✰ ✘ ✜ ✙

☞ ☞ ✍ ✯ ☞ ✌ ✭ ✜ ✯ ☛✬

Zadanie. Udowodni´c twierdzenie spektralne.

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 17/2

(82)

Przykład dla

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 18/2

(83)

Przykład dla

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

✘ ✜ ✙

☛ ☛ ✍ ✯ ☛ ✌ ✭ ✜ ✯ ☞ ✍ ✦

✟ ✟ ✌ ✟

✟ ✠ ✜ ✗ ✥

✟ ✟

✘ ✜ ✙

☛ ☞ ✍ ✯ ☞ ✮ ✭ ✜ ✯ ☞ ✍ ✥

✟ ✟ ✮ ✟

✟ ✠ ✜ ✗ ✥

✟ ✟

✘ ✜ ✙

☞ ☛ ✍ ✯ ☛ ✮ ✭ ✜ ✯ ☛ ✍ ✦

✟ ✟ ✮ ✟

✟ ✠ ✜ ✗ ✦

✟ ✟

✘ ✜ ✙

☞ ☞ ✍ ✯ ☞ ✌ ✭ ✜ ✯ ☛ ✍ ✥

✟ ✟ ✌ ✟

✟ ✠ ✜ ✗ ✦

✟ ✟

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 18/2

(84)

Twierdzenie ergodyczne

Twierdzenie

Je´sli

✩ ☛ ☛ ✌ ☞ ☞ ✪ ✩ ☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✪ ✫ ✎

to

✹ ✭ ✹ ✍ ✹ ✟ ✮ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ✹ ✺ ✟

i

✘ ✜ ✙

☛ ☛ ✮ ✻ ✜ ✯ ☛ ✰ ✘ ✜ ✙

☛ ☞ ✮ ✻ ✜ ✯ ☞

✘ ✜ ✙

☞ ☛ ✮ ✻ ✜ ✯ ☛ ✰ ✘ ✜ ✙

☞ ☞ ✮ ✻ ✜ ✯ ☞✬

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 19/2

(85)

Twierdzenie ergodyczne

Twierdzenie

Je´sli

✩ ☛ ☛ ✌ ☞ ☞ ✪ ✩ ☛ ☞ ✌ ☞ ☛ ✪ ✫ ✎

to

✹ ✭ ✹ ✍ ✹ ✟ ✮ ☛ ☞ ✮ ☞ ☛ ✹ ✺ ✟

i

✘ ✜ ✙

☛ ☛ ✮ ✻ ✜ ✯ ☛ ✰ ✘ ✜ ✙

☛ ☞ ✮ ✻ ✜ ✯ ☞

✘ ✜ ✙

☞ ☛ ✮ ✻ ✜ ✯ ☛ ✰ ✘ ✜ ✙

☞ ☞ ✮ ✻ ✜ ✯ ☞✬

Zadanie. Udowodni´c twierdzenie ergodyczne

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 19/2

(86)

Przykład dla

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 20/2

(87)

Przykład dla

✒ ✍ ✓

☛ ☞ ✔

☛ ☞

✕

☛ ☞ ✖

☛ ☞

✘ ✜ ✙

☛ ☛ ✍ ✯ ☛ ✌ ✭ ✜ ✯ ☞ ✍ ✦

✟ ✟ ✌ ✟

✟ ✠ ✜ ✗ ✥

✟ ✟ ✻ ✦

✟ ✟

✘ ✜ ✙

☛ ☞ ✍ ✯ ☞ ✮ ✭ ✜ ✯ ☞ ✍ ✥

✟ ✟ ✮ ✟

✟ ✠ ✜ ✗ ✥

✟ ✟ ✻ ✥

✟ ✟

✘ ✜ ✙

☞ ☛ ✍ ✯ ☛ ✮ ✭ ✜ ✯ ☛ ✍ ✦

✟ ✟ ✮ ✟

✟ ✠ ✜ ✗ ✦

✟ ✟ ✻ ✦

✟ ✟

✘ ✜ ✙

☞ ☞ ✍ ✯ ☞ ✌ ✭ ✜ ✯ ☛ ✍ ✥

✟ ✟ ✌ ✟

✟ ✠ ✜ ✗ ✦

✟ ✟ ✻ ✥

✟ ✟

Graniczne własno´sci binarnych ła´ncuch´ow Markowa – p. 20/2

(88)

Kto po Markowie?

☛ S. N. Bernstein

☛ G. D. Birkhoff

☛ A. J. Chinczyn

☛ J. Hadamard

☛ A. N. Kołmogorow

☛ W. I. Romanowski

☛ B. W. Gniedenko

☛ W. Doeblin

☛ W. Feller

☛ S. V. Nagaev

(89)

Gdzie mo żna o tym poczytać?

wst ęp do

rachunku prawdopo- dobie ń-

stwa

William Feller

tom pierwszy

(90)

Gdzie mo żna o tym poczytać?

Biblioteka

Matematyczna TOM 18

Państwowe Wydawnictwo Naukowe

Warszawa 1969 Marek Fisz

RACHUNEK

PRAWDOPODO- BIE ŃSTWA

I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

WYDANIE CZWARTE

(91)

A gdzie jest o tym wi ęcej?

wst ęp do

rachunku prawdopo- dobie ń-

stwa

William Feller

tom drugi

(92)