Wybrane zagadnienia algebry Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Maj 1995

(1)

Wybrane zagadnienia algebry

Andrzej Nowicki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń

(e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Maj 1995

Spis treści

1 Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne, ... 1

1.1 Algebra tensorowa . . . 1

1.2 Algebra zewnętrzna . . . 2

1.3 Algebra symetryczna . . . 4

1.4 Algebra Clifforda . . . 6

2 Algebra obejmująca 7 2.1 Definicja i istnienie . . . 7

2.2 Własności . . . 8

2.3 Twierdzenie Poincar´e-Birkhoffa-Witta . . . 9

Algebry Weyla . . . 10

2.4 Elementy prymitywne . . . 10

2.5 Wolne algebry Liego i ich algebry obejmujące . . . 11

3 Derywacje algebr łącznych 12 3.1 Pojęcia wstępne . . . 12

3.2 Algebra tensorowa . . . 12

3.3 Algebra zewnętrzna . . . 13

3.4 Algebra symetryczna . . . 14

3.5 Algebra obejmująca . . . 15

4 Algebry proste 17 4.1 Algebry centralne . . . 17

4.2 Iloczyn tensorowy algebr . . . 17

4.3 Algebry proste . . . 18

4.4 Moduły proste . . . 18

4.5 Minimalne ideały . . . 18

4.6 Twierdzenie Skolema - Noether . . . 19

4.7 Grupa Brauera . . . 19

5 Grupy skończone 21 5.1 Grupy rozwiązalne . . . 21

5.2 Grupa diedralna . . . 21

5.3 Twierdzenia Sylowa . . . 21

5.4 Grupy macierzowe nad ciałem skończonym . . . 22

Grupa specjalna . . . 22

5.5 Centrum grupy . . . 22

5.6 Automorfizmy . . . 23

i

(2)

Andrzej Nowicki, 1995 Wybrane zagadnienia algebry ii

Automorfizmy grupy symetrycznej . . . 23

Automorfizmy Zn . . . 23

6 Reprezentacje grup 24 6.1 Podprzestrzenie niezmiennicze endomorfizmu . . . 24

6.2 Podstawowe definicje i fakty . . . 24

6.3 Algebra grupowa . . . 25

6.4 Reprezentacje unitarne . . . 26

6.5 Charaktery reprezentacji . . . 26

6.6 Reprezentacja regularna . . . 27

6.7 Reprezentacje zespolone grup abelowych . . . 28

6.8 Reprezentacje grupy Sn . . . 29

7 Ogólna teoria Galois 30 7.1 Podstawowe pojęcia . . . 30

7.2 Teoria Galois przestrzeni wektorowych . . . 31

7.3 Przyporządkowanie Jacobson-Bourbaki . . . 31

7.4 Teoria Galois rozszerzeń czysto nierozdzielczych . . . 32

8 Działania grup skończonych na ciała 33 8.1 Twierdzenie Hilberta o nierozkładalności . . . 33

8.2 Problem odwrotny w teorii Galois . . . 33

8.3 Problem E. Noether . . . 33

Stare wyniki dotyczące problemu Noether . . . 34

Wyniki dla grup abelowych . . . 35

Wyniki dla ciała algebraicznie domkniętego . . . 35

9 Pierścienie nieprzemienne 36 9.1 Ułamki Ore’go . . . 36

9.2 Wymiar Gelfanda-Kirillova . . . 36

9.3 Centroid . . . 37

10 Zagadnienia różne 39 10.1 Charaktery . . . 39

Charakter grupy . . . 39

Charakter łącznej algebry nad ciałem . . . 39

Charakter grupy topologicznej . . . 39

Charaktery w teorii liczb . . . 39

Spis cytowanej literatury 40

Indeks 42

(3)

1. Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne, ... 1

1 Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne, ...

Niech R będzie pierścieniem przemiennym z 1. Rozważać będziemy łączne R-algebry z 1. Przez_RM i

RA oznaczamy odpowiednio kategorię R-modułów (lewych) i kategorię łącznych R-algebr z jedynką.

1.1 Algebra tensorowa

Definicja 1.1.1. Algebrą tensorową R-modułu M nazywamy parę (T, ρ), w której T jest R-algebrą, ρ : M −→ T jest homomorfizmem R-modułów, przy czym spełniona jest następująca własność uni- wersalności:

Dla każdej R-algebry A i dla każdego homomorfizmu R-modułów ψ : M −→ A istnieje dokładnie jeden R-algebrowy homomorfizm f : T −→ A taki, że f ρ = ψ.

Z tej definicji wynikają następujące trzy stwierdzenia.

Stwierdzenie 1.1.2. Jeśli (T, ρ) jest algebrą tensorową R-modułu M , to ρ : M −→ T jest homomor- fizmem różnowartościowym.

Stwierdzenie 1.1.3. Jeśli (T, ρ) jest algebrą tensorową R-modułu M , to obraz ρ(M ) generuje algebrę T nad R.

Stwierdzenie 1.1.4. Jeśli (T, ρ), (T⁰, ρ⁰) są algebrami tensorowymi R-modułu M , to R-algebry T i T⁰ są izomorficzne. Dokładniej, istnieją R-algebrowe homomorfizmy α : T −→ T⁰, β : T⁰−→ T takie, że αβ = id, βα = id, αρ = ρ⁰, βρ⁰ = ρ.

Dowody powyższych stwierdzeń (jak również dowody pewnych dalszych faktów) są w PN2138 - 149, ZadAlg332 - 37, SemSt2, [16] 451.

Twierdzenie 1.1.5. Dla każdego R-modułu M istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomor- fizmu) algebra tensorowa (T (M ), ρ).

Konstrukcja. Niech T⁰(M ) = R, T¹(M ) = M oraz Tⁿ(M ) = M^⊗n= M ⊗ · · · ⊗ M

| {z }

n

. Niech T (M ) =

∞

M

n=0

Tⁿ(M ) (suma prosta R-modułów).

Definiujemy mnożenie w T (M ) przez regułę:

(a₁⊗ · · · ⊗ a_n)(b₁⊗ · · · ⊗ b_m) = a₁⊗ · · · ⊗ a_n⊗ b₁⊗ . . . b_m.

Sprawdza się, że mnożenie jest poprawnie określone. Homomorfizm ρ : M −→ T (M ) jest włożeniem m 7→ m ∈ T¹(M ) = M .

Niech (T (M ), ρ), (T (M⁰), ρ⁰) będą algebrami tensorowymi odpowiednio R-modułów M i M⁰. Jeśli f : M −→ M⁰ jest homomorfizmem R-modułów, to z definicji algebry tensorowej wynika, że istnieje dokładnie jeden R-algebrowy homomorfizm f : T (M ) −→ T (M⁰) taki, że f ρ = ρ⁰f . Homomorfizm ten oznaczamy przez T (f ). Jeśli algebry T (M ), T (M⁰) są takie, jak w powyższej konstrukcji, to

T (f )(a1⊗ · · · ⊗ am) = f (a1) ⊗ · · · ⊗ f (am), dla wszystkich a1, . . . , am∈ M . Ponadto, T (f ) | M = f .

Wniosek 1.1.6. T jest funktorem kowariantnym z kategorii _RM do kategoriiRA.

Stwierdzenie 1.1.7. Funktor T :_R M −→R A jest lewym sprzężonym do funktora zapominania ξ :R

A −→R M, tzn. istnieje naturalna równoważność funktorówRA(T (∗), ) ≈ _RM( ∗ , ξ( )). (Dowód patrz PN2143 lub SemSt2)

(4)

Przykład 1.1.8.

(1) T (0) = R.

(2) T (R) = R[t], gdzie R[t] jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej.

(3) Jeśli M jest modułem wolnym o bazie {e_i; i ∈ I}, to T (M ) jest R-algebrą nieprzemiennych wielomianów nad R zniennych {x_i; i ∈ I}. (Dowody: PN2146 − 148)

Uwaga 1.1.9. Ponieważ funktor T :_RM −→R A jest lewym sprzężonym do funktora zapominania, więc funktor T zachowuje kogranice. Stąd w szczególności wynika, że R-algebra postaci T (M ⊕ N ) jest koproduktem w kategoriiRA. Zwróćmy uwagę, że w kategoriiRA iloczyn tensorowy A ⊗ B nie jest koproduktem (ma to miejsce w kategorii R-algebr przemiennych). Nie jest więc na ogół prawdą, że R- algebra T (M ⊕ N ) jest równa R-algebrze T (M ) ⊗ T (N ). Widać to już w przypadku, gdy M = N = R.

Algebra T (R)⊗T (R) jest R-algebrą przemiennych wielomianów dwóch zmiennych. Natomiast T (R⊕R) jest R-algebrą nieprzemienną (jest to R-algebra nieprzemiennych wielomianów dwóch zmiennych).

1.2 Algebra zewnętrzna

Literatura: SemSt2, AP173, PN2210, [16]455.

Definicja 1.2.1. Niech M będzie R-modułem, A R-algebrą oraz f : M −→ A homomorfizmem R-modułów. Mówimy, że homomorfizm f jest nil-homomorfizmem jeśli f (m)² = 0, dla wszystkich m ∈ M .

Definicja 1.2.2. Algebrą zewnętrzną R-modułu M nazywamy parę (V, ϕ), w której V jest R-algebrą, ϕ : M −→ V jest nil-homomorfizmem R-modułów, przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności:

Dla każdej R-algebry A i dla każdego nil-homomorfizmu ψ : M −→ A, istnieje dokładnie jeden R-algebrowy homomorfizm f :V −→ A taki, że f ϕ = ψ.

Z tej definicji wynikają następujące trzy stwierdzenia.

Stwierdzenie 1.2.3. Jeśli (V, ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M , to ϕ : M −→ S jest homo- morfizmem różnowartościowym.

Stwierdzenie 1.2.4. Jeśli (V, ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M , to obraz ϕ(M ) generuje al- gebręV nad R.

Stwierdzenie 1.2.5. Jeśli (V, ϕ), (V⁰, ϕ⁰) są algebrami zewnętrznymi R-modułu M , to R-algebry V i V0

są izomorficzne. Dokładniej, istnieją R-algebrowe homomorfizmy α :V −→ V⁰, β : V0

−→ V takie, że αβ = id, βα = id, αϕ = ϕ⁰, βϕ⁰ = ϕ.

Twierdzenie 1.2.6. Dla każdego R-modułu M istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomor- fizmu) algebra zewnętrzna (V M, ϕ).

Pierwsza konstrukcja. (SemSt₂). Niech (T (M ), ρ) będzie algebrą tensorową R-modułu M . Oznaczmy przez I dwustronny ideał w T (M ) generowany przez wszystkie elementy postaci ρ(m)², m ∈ M . NiechV M będzie R-algebrą ilorazową T (M )/I. Odwzorowanie ϕ : M −→ V M definiujemy jako złożenie M−→T (M )^ρ −→T (M )/I, gdzie η : T (M ) −→ T (M )/I jest homomorfizmem naturalnym.^η

Druga konstrukcja. Zdefiniujemy najpierw odwzorowania alternujące oraz p-tą potęgę zewnętrz- ną danego R-modułu.

Definicja 1.2.7. Niech M, N będą R-modułami i niech p > 0. Przez M^p oznaczamy produkt p egzemplarzy modułu M . Mówimy, że odwzorowanie p-liniowe f : M^p −→ N jest alternujące jeśli f (m1, . . . , mp) = 0, gdy mi= mj, dla pewnych i 6= j.

Niech M będzie R-modułem. Rozważmy R-moduł T^p(M ) = M^⊗p, p-tą potęgę tensorową modułu M . Niech Np będzie R-podmodułem w T^p(M ) generowanym przez wszystkie elementy postaci m1⊗

· · · ⊗ mp, gdzie mi= mj dla pewnych i 6= j. Można udowodnić następujące stwierdzenie (AP166).

(5)

Stwierdzenie 1.2.8. Jeśli σ jest permutacją zbioru {1, . . . , p}, to każdy element postaci m₁⊗ · · · ⊗ mp− (sgn σ)mσ(1)⊗ · · · ⊗ mσ(p)

należy do podmodułu N_p

Definicja 1.2.9. p-Tą potęgą zewnętrzną R-modułu M nazywamy R-moduł ilorazowyVp

M = T^p(M )/N_p. W szczególnościV1

M = M . Przyjmujemy ponadto,V0

M = R.

Z p-tą potęgą zewnętrzną R-modułu M stowarzyszone jest kanoniczne odwzorowanie alternujące ρp: M^p−→Vp

M , otrzymane ze złożenia M^p−→ T^p(M ) −→ T^p(M )/Np=Vp

M . Obraz elementu (m1, . . . , mp) ∈ M^p przy odwzorowaniu kanonicznym w Vp

M oznaczamy przez m1∧· · ·∧mp. Element ten jest także obrazem elementu m1⊗· · ·⊗mpprzy naturalnym homomorfizmie T^p(M ) −→ T^p(M )/Np=Vp

M . Można udowodnić, że para (Vp

M, ρp) ma następującą własność uniwersalności.

Stwierdzenie 1.2.10. Dla każego R-modułu E i dla każdego odwzorowania alternującego f : M^p−→ E istnieje dokładnie jeden homomorfizm R-modułów f :Vp

M −→ E taki, że f ρp= f . Jeśli f : M −→ M⁰jest homomorfizmem R-modułów, to mamy R-homomorfizm T^p(f ) : T⁽M ) −→

T^p(M⁰) taki, że

T^p(f )(m₁⊗ · · · ⊗ m_p) = f (m₁) ⊗ · · · ⊗ f (m_p).

Łatwo sprawdzić, że wtedy T^p(f )(N_p) ⊆ N_p⁰. Mamy więc indukowany homomorfizm R-modułów Vp

f :Vp

M −→Vp

M⁰. Spełniona jest wtedy własność (Vp

f )(m1∧ · · · ∧ mp) = f (m1) ∧ · · · ∧ f (mp).

Wniosek 1.2.11. Vp

: RM −→ RM jest funktorem kowariantnym. Oznaczmy teraz

V M = L^∞_p=0Vp

M (suma prosta R-modułów).

Definiujemy mnożenie wV M przez regułę:

(a1∧ · · · ∧ an)(b1∧ · · · ∧ bm) = a1∧ · · · ∧ an∧ b1∧ . . . bm.

Sprawdza się, że mnożenie jest poprawnie określone. Niech ϕ : M −→ V M będzie włożeniem m 7→

m ∈V1

M = M .

Stwierdzenie 1.2.12. Para (V M, ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M . W ten sposób zakończyliśmy drugą konstrukcję algebry zewnętrznej.

Z każdym homomorfizmem R-modułów f : M −→ M⁰ stowarzyszony jest (jedyny) homomorfi- zmem R-algebrV f : V M −→ V M⁰, który spełnia własność

(V f )(m1∧ · · · ∧ m_p) = f (m₁) ∧ · · · ∧ f (m_p), dla wszystkich p oraz m₁, . . . , m_p ∈ M .

Wniosek 1.2.13. V jest funktorem kowariantnym z kategorii RM do kategorii^RA. Mnożenie wV M oznacza się przez ∧. Można wykazać:

Stwierdzenie 1.2.14. Jeśli x ∈Vp

M , y ∈Vq

M , to x ∧ y = (1)^pqy ∧ x. Podamy jeszcze kilka faktów dotyczących p-tej potęgi zewnętrznej.

(6)

Twierdzenie 1.2.15 ([16] 456). Niech M będzie wolnym R-modułem rangi n.

(1) Jeśli p > n, to Vp

M = 0.

(2) Niech 16 p 6 n i niech {e¹, . . . , e_n} będzie bazą R-modułu M . Wtedy Vp

M jest R-modułem wolnym rangi ⁿ_p i elementy

e_i₁∧ · · · ∧ e_i_p, i₁< · · · < i_p, tworzą jego bazę.

Stwierdzenie 1.2.16 (AP₁71). Jeśli M , M⁰ są wolnymi R-modułami i f : M −→ M⁰ jest injekcją, toVp

f :Vp

M −→Vp

M⁰ również jest injekcją.

Stwierdzenie 1.2.17 (AP₁72). Niech M będzie R-modułem wolnym. Elementy m₁, . . . , m_p∈ M są liniowo niezależne nad R wtedy i tylko wtedy, gdy element m₁∧ · · · ∧ m_p∈Vp

M jest liniowo niezależny nad R.

Stwierdzenie 1.2.18 ([16] 461, PN₂213). Vn

(M ⊕ M⁰) ≈L

p+q=n(Vp

M ) ⊗ (Vq

M⁰).

1.3 Algebra symetryczna

Literatura: SemSt2, ZadAlg338 − 45, [16]458.

Definicja 1.3.1. Niech M będzie R-modułem, A R-algebrą oraz f : M −→ A homomorfizmem R-modułów. Mówimy, że homomorfizm f jest sym-homomorfizmem jeśli f (m)f (n) = f (n)f (m), dla wszystkich m, n ∈ M .

Definicja 1.3.2. Algebrą symetryczną R-modułu M nazywamy parę (S, ϕ), w której S jest R-algebrą, ϕ : M −→ S jest sym-homomorfizmem R-modułów, przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności:

Dla każdej R-algebry A i dla każdego sym-homomorfizmu ψ : M −→ A, istnieje dokładnie jeden R-algebrowy homomorfizm f : S −→ A taki, że f ϕ = ψ.

Z tej definicji wynikają następujące cztery stwierdzenia.

Stwierdzenie 1.3.3. Jeśli (S, ϕ) jest algebrą symetryczną R-modułu M , to ϕ : M −→ T jest homo- morfizmem różnowartościowym.

Stwierdzenie 1.3.4. Jeśli (S, ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M , to obraz ϕ(M ) generuje al- gebrę S nad R.

Stwierdzenie 1.3.5. Jeśli (S, ϕ) jest algebrą symetryczną R-modułu M , to R-algebra S jest prze- mienna.

Stwierdzenie 1.3.6. Jeśli (S, ϕ), (S⁰, ϕ⁰) są algebrami symetrycznymi R-modułu M , to R-algebry S i S⁰ są izomorficzne. Dokładniej, istnieją R-algebrowe homomorfizmy α : S −→ S⁰, β : S⁰ −→ S takie, że αβ = id, βα = id, αϕ = ϕ⁰, βϕ⁰ = ϕ.

Twierdzenie 1.3.7. Dla każdego R-modułu M istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomor- fizmu) algebra symetryczna (S, ϕ).

Konstrukcja. (SemSt2, ZadAlg342). Niech (T (M ), ρ) będzie algebrą tensorową R-modułu M . Oznaczmy przez I dwustronny ideał w T (M ) generowany przez wszystkie elementy postaci ρ(m)ρ(n)−

ρ(n)ρ(m), m, n ∈ M . Niech S będzie R-algebrą ilorazową T (M )/I. Odwzorowanie ϕ : M −→ S defi- niujemy jako złożenie M−→T (M )^ρ −→T (M )/I = S, gdzie η : T (M ) −→ T (M )/I jest homomorfizmem^η naturalnym.

Jedyną algebrę symetryczną R-modułu M oznaczamy przez S(M ). Moduł traktujemy jako R- podmoduł algebry S(M ). Przyjmujemy ponadto, że kanoniczny sym-homomorfizm M −→ S(M ) jest tożsamościowym włożeniem.

Algebrę symetryczną R-modułu M można skonstruować także w inny sposób, który teraz przed- stawimy.

(7)

Definicja 1.3.8. Niech M, N będą R-modułami i niech p > 0. Przez M^p oznaczamy produkt p egzemplarzy modułu M . Mówimy, że odwzorowanie p-liniowe f : M^p−→ N jest symetryczne jeśli

f (m1, . . . , mp) = f (m_σ(1), . . . , m_σ(p)),

dla wszystkich permutacji σ zbioru {1, . . . , p} i wszystkich elementów m1, . . . , mp∈ M .

Niech M będzie R-modułem. Rozważmy R-moduł T^p(M ) = M^⊗p, p-tą potęgę tensorową modułu M . Niech Np będzie R-podmodułem w T^p(M ) generowanym przez wszystkie elementy postaci

m1⊗ · · · ⊗ mp− m_σ(1)⊗ · · · ⊗ m_σ(p), gdzie m₁, . . . , m_p∈ M i σ jest permutacją zbioru {1, . . . , p}.

Definicja 1.3.9. p-Tą potęgą symetryczną R-modułu M nazywamy R-moduł ilorazowy S^p(M ) = T^p(M )/N_p. W szczególności S¹(M ) = M . Przyjmujemy ponadto, S⁰(M ) = R.

Z p-tą potęgą symetryczną R-modułu M stowarzyszone jest kanoniczne odwzorowanie symetryczne ρ_p: M^p−→ S^p(M ), otrzymane ze złożenia M^p−→ T^p(M ) −→ T^p(M )/Np= S^p(M ).

Obraz elementu (m1, . . . , m_p) ∈ M^p przy odwzorowaniu kanonicznym w S^p(M ) oznaczamy przez m₁· · · mp. Element ten jest także obrazem elementu m₁⊗ · · · ⊗ mp przy naturalnym homomorfizmie T^p(M ) −→ T^p(M )/N_p= S^p(M ).

Można udowodnić, że para (S^p(M ), ρ_p) ma następującą własność uniwersalności.

Stwierdzenie 1.3.10. Dla każego R-modułu E i dla każdego odwzorowania symetrycznego f : M^p−→

E istnieje dokładnie jeden homomorfizm R-modułów f : S^p(M ) −→ E taki, że f ρ_p= f .

Jeśli f : M −→ M⁰jest homomorfizmem R-modułów, to mamy R-homomorfizm T^p(f ) : T^p(M ) −→

T^p(M⁰) taki, że

T^p(f )(m1⊗ · · · ⊗ mp) = f (m1) ⊗ · · · ⊗ f (mp).

Łatwo sprawdzić, że wtedy T^p(f )(Np) ⊆ N_p⁰. Mamy więc indukowany homomorfizm R-modułów S^p(f ) : S^p(M ) −→ S^p(M⁰). Spełniona jest wtedy własność

S^p(f )(m1· · · mp) = f (m1) · · · f (mp).

Wniosek 1.3.11. S^p: RM −→ RM jest funktorem kowariantnym. Oznaczmy teraz

S(M ) =L∞

p=0S^p(M ) (suma prosta R-modułów).

Definiujemy mnożenie w S(M ) przez regułę:

(a1· · · an)(b1· · · bm) = a1· · · anb1· · · bm.

Sprawdza się, że mnożenie jest poprawnie określone. Niech ϕ : M −→ S(M ) będzie włożeniem m 7→

m ∈ S¹(M ) = M .

Stwierdzenie 1.3.12. Para (S(M ), ϕ) jest algebrą symetryczną R-modułu M .

Z każdym homomorfizmem R-modułów f : M −→ M⁰ stowarzyszony jest (jedyny) homomorfi- zmem R-algebr S(f ) : S(M ) −→ S(M⁰), który spełnia własność

S(f )(m1· · · mp) = f (m1) · · · f (mp), dla wszystkich p oraz m1, . . . , mp ∈ M .

Wniosek 1.3.13. S jest funktorem kowariantnym z kategorii RM do kategorii przemiennych R- algebr.

Twierdzenie 1.3.14 ([16] 458, ZadAlg344). Niech M będzie wolnym R-modułem rangi n i niech {e1, . . . , en} będzie jego bazą. Elementy tej bazy, traktowane jako elementy z S¹(M ) ⊂ S(M ) są alge- braicznie niezależne nad R. Algebra S(M ) jest izomorficzna z R-algebrą wielomianów (przemiennych) R[e1, . . . , en].

(8)

1.4 Algebra Clifforda

William Kingdon Clliford: matematyk angielski, 1845 - 1879.

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem k i niech G : V × V −→ k będzie formą symetryczną, tzn. k-dwuliniowym odwzorowaniem takim, że G(x, y) = G(y, x), dla wszystkich x, y ∈ V .

Definicja 1.4.1. G-odwzorowaniem nazywamy każde przekształcenie k-liniowe f : V −→ A, gdzie A jest k-algebrą z jedynką, spełniające warunek

f (x)f (x) = G(x, x) · 1, dla x ∈ V.

Definicja 1.4.2. Algebrą Clifforda formy G nazywamy parę (C, ρ), w której C jest k-algebrą, ρ : V −→ C jest G-odwzorowaniem, przy czym spełniona jest następująca własność:

Dla każdej k-algebry A i dla każdego G-odwzorowania f : V −→ A istnieje dokładnie jeden k- algebrowy homomorfizm F : C −→ A taki, że F ◦ ρ = f .

Z definicji wynika, że jeśli (C, ρ) jest algebrą Clifforda formy G, to obraz ρ(V ) generuje k-algebrę C.

Jeśli algebra Clifforda formy G istnieje, to dokładnie jedna, z dokładnością do izomorfizmu.

Twierdzenie 1.4.3 ([16] 396). Dla każdej formy symetrycznej G : V × V −→ k, istnieje do- kładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) algebra Clliforda (C(G), ρG). Odwzorowanie ρG jest injekcją, a algebra C(G) ma skończony wymiar nad ciałem k (jako przestrzeń liniowa) równy n², gdzie n = dimkV .

O własnościach i zastosowaniach algebr Clliforda znajdziemy w [12] 119 - 138.

(9)

2. Algebra obejmująca 7

2 Algebra obejmująca

Na podstawie [1], [8], [29], [17]V 498 i zeszytów AL, PH₂96.

Inna polska nazwa: algebra obwiednia.

Nazwa angielska: universal enveloping algebra.

2.1 Definicja i istnienie

Niech k będzie pierścieniem przemiennym z 1. Przez Algk i Lie^koznaczamy odpowiednio kategorię łącznych k-algebr z 1 i kategorię k-algebr Liego.

Jeśli A jest łączną k-algebrą, to przez A oznaczamy k-algebrę Liego A z nawiasem Liego [a, b] = ab − ba. Jeśli f : A −→ B jest homomorfizmem k-algebr, to dla dowolnych elementów x, y ∈ A, zachodzi równość:

f ([x, y]) = [f (x), f (y)],

z której wynika, że odwzorowanie f = f : A −→ B jest homomorfizmem k-algebr Liego. Mamy zatem funktor kowariantny

−: Algk −→ Liek.

Skonstruujemy funktor U : Lie^k −→ Algk, który będzie funktorem lewostronnie sprzężonym do po- wyższego funktora.

Definicja 2.1.1. Niech L będzie k-algebrą Liego i niech A będzie łączną k-algebrą. Niech ϕ : L −→ A będzie k-modułowym homomorfizmem. Mówimy, że homomorfizm ϕ jest γ-homomorfizmem jeśli

ϕ([a, b]) = ϕ(a)ϕ(b) − ϕ(b)ϕ(a), dla wszystkich a, b ∈ L.

Definicja 2.1.2. Algebrą obejmującą k-algebry Liego L nazywamy parę (U, σ), w której U jest łączną k-algebrą z jedynką, σ : L −→ U jest γ-homomorfizmem, przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności:

Dla każdej łącznej k-algebry A (z jedynką) i dla każdego γ-homomorfizmu ϕ : L −→ A, istnieje dokładnie jeden k-algebrowy homomorfizm f : U −→ A taki, że f σ = ϕ.

Z tej definicji wynikają następujące dwa stwierdzenia.

Stwierdzenie 2.1.3 (AL 73). Jeśli (U, σ) jest algebrą obejmującą k-algebry Liego L, to obraz σ(L) generuje algebrę U nad k.

Stwierdzenie 2.1.4 (AL 71). Jeśli (U, σ), (U⁰, σ⁰) są algebrami obejmującymi k-algebry Liego L, to k-algebry U i U⁰ są izomorficzne. Dokładniej, istnieją k-algebrowe homomorfizmy α : U −→ U⁰, β : U⁰−→ U takie, że αβ = id, βα = id, ασ = σ⁰, βσ⁰ = σ.

Twierdzenie 2.1.5 (AL 74). Dla każdego k-algebry Liego L istnieje dokładnie jedna (z dokładnoś- cią do izomorfizmu) algebra obejmująca (U (L), σ_L).

Konstrukcja. Niech (T (L), ρ) będzie algebrą tensorową k-modułu L. Oznaczmy przez I dwu- stronny ideał w T (L) generowany przez wszystkie elementy postaci

ρ(x)ρ(y) − ρ(y)ρ(x) − ρ([x, y]),

gdzie x, y ∈ L. Niech U (L) będzie k-algebrą ilorazową T (L)/I. Odwzorowanie σL: L −→ U (L) definiu- jemy jako złożenie L−→T (L)^ρ −→T (L)/I, gdzie η : T (L) −→ T (L)/I jest homomorfizmem naturalnym.^η

(10)

Uwaga 2.1.6. Konstrukcja algebry obejmującej jest podobna do konstrukcji algebry zewnętrznej i konstrukcji algebry symetrycznej danego k-modułu M . Widoczne jest podobieństwo w samych defini- cjach tych obiektów. Jest jednak pewna techniczna różnica. Wprost z definicji algebry symetrycznej (S(M ), ϕ) można było udowodnić, że odwzorowanie ϕ : M −→ S(M ) jest injekcją. Podobna sytuacja wystąpiła dla algebry zewnętrznej. Z definicji algebry obejmującej nie wynika natychmiast odpowiedź na pytanie, czy odwzorowanie σ : L −→ U (L) jest injekcją. Pytanie to można inaczej sformułować tak: Czy każda k-algebra Liego jest podalgebrą Liego k-algebry łącznej? Twierdząca odpowiedź na to pytanie (w przypadku, gdy k jest ciałem) wynika z twierdzenia Poincare-Birkhoffa-Witta, które przedstawimy później.

Z definicji algebry obejmującej wynika:

Stwierdzenie 2.1.7. Jeśli f : L −→ L⁰ jest homomorfizmem k-algebr Liego, to istnieje dokładnie jeden homomorfizm k-algebr U (f ) : U (L) −→ U (L⁰) taki, że diagram

L −→^σ^L U (L) f ↓ ↓ U (f )

L⁰ −→^σ^L0 U (L⁰) jest przemienny.

Łatwo sprawdzić, że U (1L) = 1U (L)oraz U (f ◦ g) = U (f ) ◦ U (g). Mamy zatem kowariantny funktor U : Liek −→ Algk zwany funktorem algebry obejmującej.

Twierdzenie 2.1.8 (AL 78). Funktor U : Liek −→ Algk jest lewostronnie sprzężony do funktora

− : Algk −→ Liek. Innymi słowy: jeśli L jest k-algebrą Liego i A jest łączną k-algebrą z jedynką, to istnieje naturalny izomorfizm

−→α

Liek(L, A) ≈ Algk(U (L), A) .

←−β

Dowód. Jeśli f : L −→ A jest homorfizmem k-algebr Liego, to f : L −→ A jest γ-homomorfizmem, a zatem istnieje (jedyny) k-algebrowy homomorfizm α(f ) : U (L) −→ A taki, że α(f )σ_L= f .

Jeśli g : U (L) −→ A jest homomrfizmem k-algebr, to przyjmujemy β(g) = gσ_L : L −→ A.

Zauważmy, że β(g) jest istotnie homomorfizmem k-algebr Liego. Jeśli bowiem x, y ∈ L, to β(g)([x, y]) = gσ([x, y])

= g(σ(x)σ(y) − σ(y)σ(x))

= g(σ(x))g(σ(y)) − g(σ(y))g(σ(x)))

= β(g)(x)β(g)(y) − β(g)(y)β(g)(x)

= [β(g)(x), β(g)(y)], gdzie σ = σL.

2.2 Własności

Stwierdzenie 2.2.1 ([1] 22, AL 83). Jeśli L1, L2 są k-algebrami Liego, to para (U (L1) ⊗kU (L2), σ), gdzie

σ : L1× L2−→ U (L1) ⊗kU (L2), (x, y) 7−→ σL₁(x) ⊗ 1 + 1 ⊗ σL₂(y), jest algebrą obejmującą k-algebry Liego L1× L2.

(11)

Stwierdzenie 2.2.2 ([1] 22, AL 88). Niech A będzie ideałem Liego w k-algebrze Liego L i niech η : L −→ L/A będzie homomorfizmem naturalnym. Wtedy k-algebrowy homomorfzim U (η) : U (L) −→

U (L/A) jest surjekcją i KerU (η) jest dwustronnym ideałem w U (L), generowanym przez zbiór σ_L(A).

Wniosek 2.2.3. Jeśli A jest ideałem Liego w k-algebrze Liego L, to algebra obejmująca U (L/A) jest izomorficzna z k-algebrą U (L)/B, gdzie B jest ideałem w U (L), generowanym przez obraz σ_L(A).

Niech L będzie k-algebrą Liego. Oznaczmy przez Lôk-algebrę Liego przeciwną do L, tzn. Lô= L, [x, y]ô= [y, x]. Jeśli A jest łączną k-algebrą, to oznaczmy przez Aôłączną k-algebrę przeciwną do A, tzn. Aô= A, aô+bô= (a+b)ô, aô·bô= (b·a)ô. Odwzorowanie σL: L −→ U (L) indukuje odwzorowanie σô: Lô−→ U (L)ô, określone wzorem σ_Lô(x) = σL(x). Wtedy σô_L jest γ-homomorfizmem i mamy:

Stwierdzenie 2.2.4 ([1] 24, AL 93). (U (Lô), σLô) = (U (L)ô, σô_L).

Algebry Liego z zerowym nawiasem Liego nazywamy przemiennymi. Każdy k-moduł L można utożsamiać z przemienną k-algebrą Liego (L, [ , ]), gdzie [ , ] = 0. Z konstrukcji algebry obejmującej i algebry symetrycznej wynika:

Stwierdzenie 2.2.5. Jeśli L jest przemienną k-algebrą Liego, to algebra obejmująca U (L) jest algebrą symetryczną S(L).

Stwierdzenie 2.2.6 ([1] 27). Jeśli pierścień k jest noetherowski i k-algebra Liego L jest skończenie generowana nad k (jako k-moduł), to k-algebra U (L) jest prawostronnie i lewostronnie noetherowska.

2.3 Twierdzenie Poincar´ e-Birkhoffa-Witta

Wiemy, że algebra obejmująca U (L) jest k-algebrą postaci T (L)/I, gdzie T (L) jest algebrą ten- sorową, a I jest ideałem (dwustronnym) w T (L) generowanym przez wszystkie elementy postaci x⊗y−y⊗x−[x, y], gdzie x, y ∈ L. Homomorfizm σ_L: L −→ U (L) jest określony wzorem σ_L(x) = x+I, dla x ∈ L.

Twierdzenie 2.3.1 (Poincar’e, Birkhoff, Witt). Niech L będzie k-algebrą Liego. Załóżmy, że L jest wolnym k-modułem i niech {eλ; λ ∈ Λ} będzie jego bazą, gdzie Λ jest zbiorem liniowo uporządko- wanym. Rozważmy podzbiór Ω ⊆ U (L) zdefiniowany jako

Ω = {σL(eλ₁⊗ · · · ⊗ eλ_s) ; λ16 λ²6 · · · 6 λ^s}.

Wtedy U (L) jest k-modułem wolnym i jego bazą nad k jest zbiór Ω.

Powyższe twierdzenie, zwane Twierdzeniem Poincar´e-Birkhoffa-Witta (w skrócie: PBW-twierdze- nie) ma kilka równoważnych sformułowań. Często pewne wnioski z tego twierdzenia nazywa się również PBW-twierdzeniami. Przedstawiona wersja pochodzi z książki [29] (strona 166).

Algebra obejmująca (U (L), σ = σ_L) posiada kanoniczną filtrację U₀(L) ⊆ U₁(L) ⊆ U₂(L) ⊆ . . . ,

gdzie U0(L) = k oraz Un(L), dla n > 0, jest k-podmodułem w U (L), generowanym przez wszystkie iloczyny postaci

σ(x1) · · · σ(xm), x1, . . . , xm∈ L, m 6 n .

Wtedy grU (L), algebra z gradacją stowarzyszona z powyższą filtracją, jest algebrą przemienną. Inne równoważne sformułowanie PBW-twierdzenia jest następujące.

Twierdzenie 2.3.2 ([17]V 498). Jeśli k-algebra Liego L jest k-modułem wolnym, to algebra z gra- dacją grU (L) jest izomorficzna z algebrą symetryczną S(L).

(12)

Oto wnioski wynikające z PBW-twierdzenia.

Wniosek 2.3.3 ([29] 166). Jeśli (U (L), σL)) jest algebrą obejmującą k-algebry Liego L, przy czym L jest k-modułem wolnym, to homomorfizm σL: L −→ U (L) jest injekcją.

Wniosek 2.3.4 ([1] 23). Załóżmy, że k jest ciałem. Niech L⁰ będzie podalgebrą Liego k-algebry Liego L. Niech i : L⁰ ,→ L będzie kanonicznym włożeniem. Wtedy k-algebrowy homomorfizm U (i) : U (L⁰) −→ U (L) jest injekcją.

Wniosek 2.3.5 ([1] 33). Załóżmy, że k jest pierścieniem bez dzielników zera i L jest k-algebrą Liego taką, że L jest wolnym k-modułem. Wtedy k-algebra U (L) nie ma dzielników zera.

Algebry Weyla.

Następny fakt jest również konsekwencją PBW-twierdzenia.

Wniosek 2.3.6 (PH₂97). Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad ciałem k. Wtedy k-algebra U (L) spełnia warunek Ore’go (posiada więc ciało ułamków).

Jeśli A jest pierścieniem spełniającym warunek Ore’go, to przez q(A) oznaczamy ciało ułamków (Ore’go) pierścienia A. Istnieje następująca hipoteza z 1966 roku, dotycząca problemu klasyfikacji algebr obejmujących skończenie wymiarowych algebr Liego.

Hipoteza 2.3.7 (Gelfand-Kirillov [4] ,[19]). Dla każdej skończenie wymiarowej algebry Liego L istnieje liczba naturalna n taka, że ciała ułamków q(U (L)) i q(An), są izomorficzne.

Algebra A_n, występująca w tej hipotezie, to tzw. algebra Weyla. Jest to k-algebra nieprzemiennych wielomianów nad k zmiennych x₁, . . . , x_n, y₁, . . . , y_n z następującymi prawami komutowania

[x_i, x_j] = 0, [y_i, y_j] = 0, [x_i, y_j] = δ_ij,

gdzie δ_ij jest deltą Kroneckera. Algebrę tę można równoważnie zdefiniować jako algebrę skośnych wielomianów typu derywacyjnego:

A_n= k[x₁, . . . , x_n][y₁, . . . , y_n,_∂x^∂

1, . . . ,_∂x^∂

1].

Z powyższą hipotezą związane jest następujące pytanie.

Pytanie 2.3.8. Czy jeśli q(A_n) ≈ q(A_m), to n = m?

Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Udowodnili to Gelfand i Kirillov w [4], wykorzystując pewien specjalny niezmiennik zwany dzisiaj wymiarem Gelfanda-Kirillova.

2.4 Elementy prymitywne

Niech (U (L), σL) będzie algebrą obejmującą k-algebry Liego L, gdzie k jest ciałem. Podamy charak- teryzację elementów z U (L) należących do obrazu σL(L).

Rozpatrzmy odwzorowanie przekątniowe ∆ : L −→ L × L, ∆(x) = (x, x). Dla wszystkich x, y ∈ L spełnione są równości

∆([x, y]) = ([x, y], [x, y]) = [(x, x), (y, y)] = [∆(x), ∆(y)],

z których wynika, że ∆ jest homomorfizmem k-algebr Liego. Homomorfizm ten indukuje więc k- algebrowy homomorfizm

U (∆) : U (L) −→ U (L × L) = U (L) ⊗kU (L) taki, że przemienny jest diagram

L −→^∆ L × L

σ_L↓ ↓ σL⊗ 1 + 1 ⊗ σL

U (L) −→^s U (L) ⊗_kU (L) .

(13)

Definicja 2.4.1. Mówimy, że element a ∈ U (L) jest prymitywny, jeśli U (∆)(a) = a ⊗ 1 + 1 ⊗ a.

Z powyższego diagramu wynika, że każdy element σ(x), gdzie σ = σ_L i x ∈ L, jest prymitywny.

Mamy bowiem:

U (∆)(σ(x)) = (σ ⊗ 1 + 1 ⊗ σ)∆(x) = σ(x) ⊗ 1 + 1 ⊗ σ(x).

Konsekwencją PBW-twierdzenia jest:

Twierdzenie 2.4.2 ([29] 169). Niech L będzie k-algebrą Liego, gdzie k jest ciałem. Niech a ∈ U (L).

Wtedy a ∈ Im σL ⇐⇒ a jest elementem prymitywnym.

2.5 Wolne algebry Liego i ich algebry obejmujące

Definicja 2.5.1. Niech X będzie zbiorem. Wolną k-algebrą Liego zbioru X nazywamy każdą parę (W, i), w której W jest k-algebrą Liego, i : X −→ W jest zwykłą funkcją różnowartościową, przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności:

Dla każdej k-algebry Liego M i dla każdej zwykłej funkcji f : X −→ M istnieje dokładnie jeden homomorfizm k-algebr Liego F : W −→ M taki, że F ◦ i = f .

W sposób analogiczny jak dla algebr tensorowych, symetrycznych, itd. dowodzi się, że istnieje co najwyżej jedna (z dokładnością do izomorfizmu) wolna k-algebra Liego zbioru X oraz, że jeśli para (W, i) jest wolną k-algebrą zbioru X, to zbiór i(X) generuje algebrę W .

Twierdzenie 2.5.2 ([29] 170). Dla każdego zbioru X istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) wolna k-algebra Liego.

Konstrukcja. Niech N będzie k-modułem wolnym, którego bazą jest zbiór X. Rozpatrzmy k- algebrę tensorową T (N ), ϕN. Jest to łączna k-algebra. Mamy więc nawias Liego w T (N ) określony wzorem [u, v] = uv − vu. Niech W będzie k-podalgebrą Liego w T (N ) generowaną (jako k-algebra Liego) przez podzbiór ϕ_N(N ). Odwzorowanie i : X −→ W definiujemy jako obcięcie ϕ | X. Wtedy para W, i jest wolną k-algebrą Liego zbioru X (szczegóły można odtworzyć np. na podstawie [29] 170).

Stwierdzenie 2.5.3 ([29] 170). Niech W będzie wolną k-algebrą Liego zbioru X. Wówczas algebra obejmująca U (W ) jest algebrą tensorową T (N ), gdzie N jest k-modułem wolnym, którego bazą jest zbiór X.

(14)

3. Derywacje algebr łącznych 12

3 Derywacje algebr łącznych

3.1 Pojęcia wstępne

Niech k będzie pierścieniem przemiennym z 1. Niech A będzie łączną k-algebrą z jedynką. Każde k-liniowe odwzorowanie D : A −→ A, spełniające warunek

D(ab) = D(a)b + aD(b), dla a, b ∈ A,

nazywamy k-derywacją k-algebry A. Jeśli D jest k-derywacją k-derywacją k-algebry A, to D(1) = 0.

Zanotujmy ponadto kilka własności.

Stwierdzenie 3.1.1. D(a₁· · · as) = D(a₁)a₂· · · as+ a₁D(a₂) · · · a_s+ · · · + a₁a₂· · · D(as). Stwierdzenie 3.1.2. Załóżmy, że k-algebra A jest generowana przez zbiór B. Niech D₁, D₂: A −→ A będą k-derywacjami. Jeśli D₁(b) = D₂(b), dla wszystkich b ∈ B, to D₁= D₂.

Stwierdzenie 3.1.3. Niech D będzie k-derywacją k-algebry A i niech I będzie dwustronnym ideałem w A generowanym przez zbiór X. Jeśli D(x) ∈ I, dla wszystkich x ∈ X, to D(I) ⊆ I.

Stwierdzenie 3.1.4. Niech D będzie k-derywacją k-algebry A i niech I będzie dwustronnym ideałem w A. Jeśli D(I) ⊆ I, to istnieje (dokładnie jedna) k-derywacja D : A/I −→ A/I taka, że D(a + I) = d(a) + I, dla wszystkich a ∈ A.

W następnym podrozdziale wykorzystamy następujący lemat.

Lemat 3.1.5. Niech A będzie łączną k-algebrą i niech D : A −→ A będzie przekształceniem k- liniowym. Niech a, b ∈ A. Załóżmy, że a = a1+ · · · + ap, b = b1+ · · · + bq, gdzie wszystkie ele- menty postaci a_i, b_j należą do A. Jeśli d(a_ib_j) = D(a_i)b_j+ a_iD(b_j), dla wszystkich i ∈ {1, . . . , p}, j ∈ {1, . . . , q}, to D(ab) = D(a)b + aD(b).

Dowód.

D(ab) = D((P

ia_i)(P

jb_j)) = D(P

i

P

ja_ib_j)

= P

i

P

jD(a_ib_j) =P

i

P

j(D(a_i)b_j+ a_iD(b_j))

= P

i

P

jD(a_i)b_j+P

i

P

ja_iD(b_j)

= P

iD(a_i)P

jb_j+P

ia_iP

jD(b_j)

= = D(P

ia_i)(P

jb_j) + (P

ia_i)D(P

jb_j)

= D(a)b + aD(b).

3.2 Algebra tensorowa

Twierdzenie 3.2.1 ([1] 33). Niech (T (M ), ρ) będzie algebrą tensorową k-modułu M . Niech f : M −→ M będzie przekształceniem k-liniowym. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D : T (M ) −→

T (M ) taka, że przemienny jest diagram

M −→^f M

ρ ↓ ↓ ρ

T (M ) −→^D T (M ).

Dowód. Przypomnijmy, że T (M ) = L∞

n=0Tⁿ(M ), gdzie T⁰(M ) = k, T¹(M ) = M , Tⁿ(M ) = M^⊗n oraz ρ(x) = x ∈ T¹(M ) ⊆ T (M ), dla wszystkich x ∈ M .

(15)

Dla każdego n = 0, 1, . . . definiujemy k-liniowe przekształcenia fn : Tⁿ(M ) −→ Tⁿ(M ) w na- stępujący sposób. Przyjmujemy: f0 = 0, f1 = f . Jeśli n > 1, to definiujemy najpierw n-liniowe odwzorowanie

F_n : M × · · · × M

| {z }

n

−→ M ⊗ · · · ⊗ M

| {z }

n

= Tⁿ(M ),

przyjmując (dla x1, . . . xn ∈ M ):

F_n(x₁, . . . , x_n) = f (x₁) ⊗ x₂⊗ · · · ⊗ x_n+ x₁⊗ f (x₂) ⊗ · · · ⊗ x_n + · · · + x1⊗ x2⊗ · · · ⊗ f (xn).

Stąd otrzymujemy k-liniowe przekształcenie fn: Tⁿ(M ) −→ Tⁿ(M ) takie, że fn(x1⊗ · · · ⊗ xn) = f (x1) ⊗ · · · ⊗ xn+ · · · + x1⊗ · · · ⊗ f (xn), dla wszystkich x1, . . . x_n∈ M .

Definiujemy teraz k-liniowe przekształcenie D : T (M ) −→ T (M ), przyjmując D =L∞

n=0f_n.

Jest oczywiste, że D ◦ ρ = ρ ◦ f . Pokażemy, że D jest k-derywacją k-algebry T (M ). W tym celu należy wykazać, że D(a ⊗ b) = D(a) ⊗ b + a ⊗ D(b), dla wszystkich a, b ∈ T (M ). Dzięki Lematowi 3.1.5 wystarczy to tylko sprawdzić w przypadku, gdy

a = x1⊗ · · · ⊗ xp, b = y1⊗ · · · ⊗ yq, gdzie x1, . . . , xp, y1, . . . , yq ∈ M . Sprawdzamy:

D(a ⊗ b) = D(x1⊗ · · · ⊗ xp⊗ y1⊗ · · · ⊗ yq)

= Pp

i=1(x1⊗ · · · ⊗ D(xi) ⊗ · · · ⊗ xn) ⊗ (y1⊗ · · · ⊗ yq) + Pp

i=1(x1⊗ · · · ⊗ xn) ⊗ (y1⊗ · · · ⊗ D(yj) ⊗ · · · ⊗ yq)

= D(x1⊗ · · · ⊗ xn) ⊗ (y1⊗ · · · ⊗ yq) + (x1⊗ · · · ⊗ xn) ⊗ D(y1⊗ · · · ⊗ yq)

= D(a) ⊗ b + a ⊗ D(b).

Zatem D jest istotnie k-derywacją k-algebry T (M ) i D ◦ ρ = ρ ◦ f . Jedyność wynika ze Stwierdze- nia 3.1.2, bowiem zbiór ρ(M ) generuje k-algebrę T (M ).

Z dowodu wynika:

Wniosek 3.2.2. Derywacja D : T (M ) −→ T (M ) (z powyższego stwierdzenia) spełnia warunek:

D(Tⁿ(M )) ⊆ Tⁿ(M ), dla wszystkich n = 0, 1, . . . .

3.3 Algebra zewnętrzna

Twierdzenie 3.3.1. Niech (V(M ), ϕ) będzie algebrą zewnętrzną k-modułu M . Niech f : M −→ M będzie przekształceniem k-liniowym. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D :V(M ) −→ V(M ) taka, że przemienny jest diagram

M −→^f M

ϕ ↓ ↓ ϕ

V(M ) −→^D V(M ).

(16)

Dowód. Jedyność wynika ze Stwierdzenia 3.1.2, gdyż zbiór ϕ(M ) generuje k-algebręV(M ).

Z konstrukcji algebry zewnętrznej wiemy, żeV(M ) = T (M )/I, gdzie T (M ) jest algebrą tensorową k-modułu M oraz I jest dwustronnym ideałem w T (M ), generowanym przez wszystkie elementy postaci x ⊗ x, gdzie x ∈ M . Odwzorowanie kanoniczne ϕ : M −→ V(M ) jest równe η ◦ ρ, gdzie ρ : M −→ T (M ) jest kanonicznym odwzorowaniem algebry tensorowej, a η : T (M ) −→ T (M )/I jest homomorfizmem naturalnym.

Istnieje (jedyna) k-derywacja δ : T (M ) −→ T (M ) taka, że ρ ◦ f = δ ◦ ρ (Twierdzenie 3.2.1).

Pokażemy, że δ(I) ⊆ I. W tym celu wystarczy pokazać, że δ(x ⊗ x) ∈ I, dla wszystkich x ∈ M (patrz Stwierdzenie 3.1.3). Wynika to z równości:

δ(x ⊗ x) = δ(x) ⊗ x + x ⊗ δ(x)

= y ⊗ y − δ(x) ⊗ δ(x) − x ⊗ x,

gdzie y = δ(x) + x. Teraz definiujemy k-derywację D :V(M ) −→ V(M ), przyjmując:

D(u + I) = δ(u) + I, dla wszystkich u ∈ T (M ).

Derywacje algebry zewnętrznejV(M ) kojarzą się z kanonicznymi rózniczkami algebry Ω(X) =

∞

M

n=0 n

^Γ(T X^∗),

form różniczkowych na rozmaitości gładkiej X. Patrz np. rozdziały 11 i 12 [18], gdzie mówi się o kompleksie de Rhama.

Tamte różniczki nie są jednak k-derywacjami. Spełniają one podobny warunek (ale jednak inny): d(ωp∧ ω_q) = d(ωp) ∧ ωq+ (−1)^pωp∧ d(ω_q).

3.4 Algebra symetryczna

Twierdzenie 3.4.1. Niech (S(M ), ϕ) będzie algebrą symetryczną k-modułu M . Niech f : M −→ M będzie przekształceniem k-liniowym. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D : S(M ) −→ S(M ) taka, że przemienny jest diagram

M −→^f M

ϕ ↓ ↓ ϕ

S(M ) −→^D S(M ).

Dowód. Jedyność wynika ze Stwierdzenia 3.1.2, gdyż zbiór ϕ(M ) generuje k-algebrę S(M ).

Z konstrukcji algebry symetrycznej wiemy, że S(M ) = T (M )/I, gdzie T (M ) jest algebrą tensorową k-modułu M oraz I jest dwustronnym ideałem w T (M ), generowanym przez wszystkie elementy postaci x ⊗ y − y ⊗ x, gdzie x, y ∈ M . Odwzorowanie kanoniczne ϕ : M −→ S(M ) jest równe η ◦ ρ, gdzie ρ : M −→ T (M ) jest kanonicznym odwzorowaniem algebry tensorowej, a η : T (M ) −→ T (M )/I jest homomorfizmem naturalnym.

Istnieje (jedyna) k-derywacja δ : T (M ) −→ T (M ) taka, że ρ ◦ f = δ ◦ ρ (Twierdzenie 3.2.1).

Pokażemy, że δ(I) ⊆ I. W tym celu wystarczy pokazać, że δ(x ⊗ y − y ⊗ x) ∈ I, dla wszystkich x, y ∈ M (patrz Stwierdzenie 3.1.3). Wynika to z równości:

δ(x ⊗ y − y ⊗ x) = δ(x) ⊗ y + x ⊗ δ(y) − δ(y) ⊗ x − y ⊗ δ(y)

= (x ⊗ δ(y) − δ(y) ⊗ x) + (y ⊗ δ(x) − δ(x) ⊗ y).

Teraz definiujemy k-derywację D : S(M ) −→ S(M ), przyjmując:

D(u + I) = δ(u) + I, dla wszystkich u ∈ T (M ).

(17)

3.5 Algebra obejmująca

Derywacją k-algebry Liego L nazywamy każde k-liniowe przekształcenie d : L −→ L spełniające warunek

d([a, b]) = [d(a), b] + [a, d(b)], dla a, b ∈ L.

Twierdzenie 3.5.1 ([1] 34). Niech (U (L), σ) będzie algebrą obejmującą k-algebry Liego L i niech d : L −→ L będzie derywacją. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D : U (M ) −→ U (M ) taka, że przemienny jest diagram

L −→^f L

σ ↓ ↓ σ

U (L) −→^D U (L).

Dowód. Jedyność wynika ze Stwierdzenia 3.1.2, gdyż zbiór σ(L) generuje k-algebrę U (L).

Z konstrukcji algebry obejmującej wiemy, że U (L) = T (L)/I, gdzie T (L) jest algebrą tensorową k-modułu L oraz I jest dwustronnym ideałem w T (L), generowanym przez wszystkie elementy postaci x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y], gdzie x, y ∈ L. Odwzorowanie kanoniczne σ : L −→ U (L) jest równe η ◦ ρ, gdzie ρ : L −→ T (L) jest kanonicznym odwzorowaniem algebry tensorowej, a η : T (L) −→ T (L)/I jest homomorfizmem naturalnym.

Istnieje (jedyna) k-derywacja δ : T (L) −→ T (L) taka, że ρ◦f = δ◦ρ (Twierdzenie 3.2.1). Pokażemy, że δ(I) ⊆ I. W tym celu wystarczy pokazać, że

δ(x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y]) ∈ I,

dla wszystkich x, y ∈ L (patrz Stwierdzenie 3.1.3). Wynika to z równości:

δ(x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y]) = δ(x) ⊗ y + x ⊗ δ(y) − δ(y) ⊗ x − y ⊗ δ(y) − d([x, y])

= d(x) ⊗ y + x ⊗ d(y) − d(y) ⊗ x − y ⊗ d(y) − [d(x), y] − [x, d(y)]

= (d(x) ⊗ y − y ⊗ d(x) − [d(x), y]) + (x ⊗ d(y) − d(y) ⊗ x − [x, d(y)]).

Teraz definiujemy k-derywację D : U (L) −→ U (L), przyjmując:

D(u + I) = δ(u) + I, dla wszystkich u ∈ T (L).

Stwierdzenie 3.5.2 ([1] 34). Niech L będzie k-algebrą Liego i niech (U (L), σ) będzie jej algebrą obejmującą. Jeśli d : L −→ L jest derywacją wewnętrzną, to k-derywacja D : U (L) −→ U (L), istniejąca na mocy poprzedniego twierdzenia, jest wewnętrzna.

Dowód. Zaóżmy, że d = ad_u, gdzie u ∈ L, tzn.

d(x) = [u, x], dla x ∈ L.

Rozpatrzmy wewnętrzną k-derywację ∆ : U (L) −→ U (L), wyznaczoną przez element σ(u) ∈ U (L), tzn.

∆(v) = σ(u)v − vσ(u), dla v ∈ U (L).

Wtedy przemienny jest diagram

L −→^f L

σ ↓ ↓ σ

U (L) −→^∆ U (L).

(18)

Istotnie, jeśli x ∈ L, to

∆σ(x) = = σ(u)σ(x) − σ(x)σ(u);

σd(x) = σ([u, x]) = σ(u)σ(x) − σ(x)σ(u).

Ponieważ derywacja D jest wyznaczona jednoznacznie, więc D = ∆, a zatem derywacja D jest we- wnętrzna.

(19)

4. Algebry proste 17

4 Algebry proste

Niech k będzie ciałem. Przez k-algebrę rozumiemy łączną k-algebrę z jedynką. Centrum k-algebry A oznaczamy przez Z(A). Przypomnijmy:

Z(A) = {x ∈ A; ∀y∈A xy = yx}.

Centrum Z(A) jest przemienną k-podalgebrą w A.

4.1 Algebry centralne

Definicja 4.1.1. Mówimy, że k-algebra A jest centralna, jeśli Z(A) = k.

Jeśli A jest k-algebrą, to przez M_n(A) oznaczamy k-algebrę (n × n)-macierzy o współczynnikach należących do A.

Stwierdzenie 4.1.2 (PN257). Niech A będzie dowolnym pierścieniem (nieprzemiennym) z jedynką.

Wtedy

Z(Mn(A)) =

















a 0 . . . 0 0 a . . . 0

...

0 0 . . . a







; a ∈ Z(A)











≈ Z(A).

Wniosek 4.1.3. Jeśli A jest centralną k-algebrą, to Mn(A) również jest centralną k-algebrą. W szczególności:

Wniosek 4.1.4. Mn(k) jest centralną k-algebrą.

Następnym przykładem centralnej k-algebry jest algebra kwaternionów, którą oznacza się przez H i definiuje w następujący sposób.

H jest przestrzenią liniową nad ciałem R, liczb rzeczywistych, wymiaru 4, o bazie {1, i, j, k}. Mno- żenie elementów bazowych zadane jest tabelką:

1 i j k

1 1 i j k

i i -1 k -j

j j -k -1 i

k k j -i -1

.

Algebra H jest centralna, tzn. Z(H) = R. Jest to nieprzemienne ciało (algebra z dzieleniem). Zauważmy, że w H zawarte jest ciało C, liczb zespolonych. Jednak H nie jest C-algebrą.

4.2 Iloczyn tensorowy algebr

Stwierdzenie 4.2.1. Jeśli A, B, C są k-algebrami, to istnieją następujące k-algebrowe izomorfizmy:

(1) k ⊗_kA ≈ A, (2) A ⊗_kB ≈ B ⊗_kA,

(3) (A ⊗_kB) ⊗_kC ≈ A ⊗_k(B ⊗_kC), (4) Mn(k) ⊗kA ≈ Mn(A),

(5) Mn(k) ⊗kMm(k) ≈ Mnm(k).

Stwierdzenie 4.2.2 (PN277). Jeśli A, B są k-algebrami, to Z(A ⊗kB) ≈ Z(A) ⊗kZ(B).

W szczególności:

Wniosek 4.2.3. Iloczyn tensorowy centralnych k-algebr jest centralną k-algebrą.