Geometria z algebrą liniową I, 2019/2020 ćwiczenia 25. – rozwiązania
10 lub 14 stycznia 2020
1. (··) Obliczyć macierze odwrotne do macierzy:
−1 3 2 −5
,
3 1 6 7 1 1 2 4 2 0 5 3 1 0 2 1
.
−1 3 1 0
2 −5 0 1
w2+ 2w1
−−−−−−→
−1 3 1 0
0 1 2 1
w1· (−1)
−−−−−−→
1 −3 −1 0
0 1 2 1
w1+ 3w2
−−−−−−→
1 0 5 3 0 1 2 1
Czyli szukana macierz, to:
5 3 2 1
3 1 6 7 1 0 0 0 1 1 2 4 0 1 0 0 2 0 5 3 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1
w1↔ w2
−−−−−−→
1 1 2 4 0 1 0 0 3 1 6 7 1 0 0 0 2 0 5 3 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1
w2− 3w1, w3− 2w1, w4− w1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 1 2 4 0 1 0 0
0 −2 0 −5 1 −3 0 0
0 −2 1 −5 0 −2 1 0
0 −1 0 −3 0 −1 0 1
w2↔ w4
−−−−−−→
1 1 2 4 0 1 0 0
0 −1 0 −3 0 −1 0 1
0 −2 1 −5 0 −2 1 0
0 −2 0 −5 1 −3 0 0
w3− 2w2, w4− 2w2
−−−−−−−−−−−−−−→
1 1 2 4 0 1 0 0
0 −1 0 −3 0 −1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 −2
0 0 0 1 1 −1 0 −2
w2· (−1)
−−−−−−→
1 1 2 4 0 1 0 0
0 1 0 3 0 1 0 −1
0 0 1 1 0 0 1 −2
0 0 0 1 1 −1 0 −2
w1− 4w4, w2− 3w4, w3− w4
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 1 2 0 −4 5 0 8
0 1 0 0 −3 4 0 5
0 0 1 0 −1 1 1 0
0 0 0 1 1 −1 0 −2
w1− 2w3
−−−−−−→
1 1 0 0 −2 3 −2 8
0 1 0 0 −3 4 0 5
0 0 1 0 −1 1 1 0
0 0 0 1 1 −1 0 −2
w1− w2
−−−−−→
1 0 0 0 1 −1 −2 3
0 1 0 0 −3 4 0 5
0 0 1 0 −1 1 1 0
0 0 0 1 1 −1 0 −2
Czyli szukana macierz to:
1 −1 −2 3
−3 4 0 5
−1 1 1 0
1 −1 0 −2
.
1
2. (·) Niech A =
6 1 0 4 2 0 0 0 7 0 0 1 6 0 1 0
, B =
0 0 0 2 0 0 1 2 0 5 6 6 1 5 5 7
. Obliczyć det(A−3· B9).
det A = 2 · (−1)2+1
1 0 4 0 0 1 0 1 0
= (−2)(−1) = 2,
det B = 2 · (−1)1+4
0 0 1 0 5 6 1 5 5
= (−2)(−5) = 10.
Wobec tego: det(A−3· B9) = (det A)1 3 · (det B)8=1000000008 = 12500000.
3. Dla macierzy A z poprzedniego zadania, obliczyć wartość elementu w 2. wierszu, 3. kolumnie macierzy A−1.
A−1 = det AAD , czyli trzeba policzyć element w w 2. wierszu, 3. kolumnie macierzy AD. Pamiętamy o transponowaniu, więc liczymy (−1)3+2det A3,2 = (−1) ·
6 0 4 2 0 0 6 1 0
= (−1) · 8 = −8. Czyli szukany element to −82 = −4.
4. Dla jakich wartości s ∈ R, macierz
2 5 3 1 s 2 1 2 1
jest odwracalna? Dla każdego takiego s, znaleźć A−1.
det A = 3 − s, zatem macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy s 6= 3. Z twierdzenia z macierzą dołączoną, szybko możemy policzyć, że
A−1 =
−4+s 3−s
1 3−s
10−3s 1 3−s
3−s
−1 3−s
1 2−s 3−s
3−s 1 3−s
−5+2s 3−s
.
Zadanie można też zrobić drugą metodą
2 5 3 1 0 0 1 s 2 0 1 0 1 2 1 0 0 1
w1↔ w3
−−−−−−→
1 2 1 0 0 1 1 s 2 0 1 0 2 5 3 1 0 0
w2− w1, w3− 2w1
−−−−−−−−−−−−−→
1 2 1 0 0 1
0 s − 2 1 0 1 −1
0 1 1 1 0 −2
w2↔ w3
−−−−−−→
1 2 1 0 0 1
0 1 1 1 0 −2
0 s − 2 1 0 1 −1
w1− 2w2, w3− (s − 2)w2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 0 −1 −2 0 5
0 1 1 1 0 −2
0 0 3 − s 2 − s 1 −5 + 2s
Dla s 6= 3 badana macierz jest więc odwracalna. Kontynuujemy w tym przypadku:
1 0 −1 −2 0 5
0 1 1 1 0 −2
0 0 3 − s 2 − s 1 −5 + 2s
w3· 1 3 − s
−−−−−−→
1 0 −1 −2 0 5
0 1 1 1 0 −2
0 0 1 2−s3−s 3−s1 −5+2s3−s
w1+ w3, w2− w3
−−−−−−−−−−−−→
1 0 0 −4+s3−s 3−s1 10−3s3−s 0 1 0 3−s1 3−s−1 3−s1 0 0 1 2−s3−s 3−s1 −5+2s3−s
. Zatem
A−1 =
−4+s 3−s
1 3−s
10−3s 1 3−s
3−s
−1 3−s
1 2−s 3−s
3−s 1 3−s
−5+2s 3−s
.
2
5. Korzystając ze wzorów Cramera rozważyć, czy następujące układy równań są oznaczone, sprzeczne. Jeśli układ jest oznaczony, podać rozwiązanie.
2x + y + 3z = 9 x − 2y + z = −2 3x + 2y + 2z = 7
2x + 3y − z = 1 x − y + z = 2 3x + 2y = 5
W pierwszym przypadku: det A =
2 1 3
1 −2 1
3 2 2
= 13, czyli układ jest oznaczony.
det A1=
9 1 3
−2 −2 1
7 2 2
= −13
det A2=
2 9 3
1 −2 1
3 7 2
= 26
det A3=
2 1 9
1 −2 −2
3 2 7
= 39
Czyli x = −1313 = −1, y = 2613 = 2 oraz z = 3913 = 3.
W drugim układzie: det A =
2 3 −1
1 −1 1
3 2 0
= 0 oraz det A1 =
1 3 −1
2 −1 1
5 2 0
= 4 6= 0, więc układ jest sprzeczny.
6. Wykazać, że dla każdej macierzy trójkątnej A = [aij] ∈ Mn×n(R), macierz A−1= [bij] też jest trójkątna.
Ponadto wykaż, że dla każdego i = 1, . . . , n, bii= 1/aii.
Rzeczywiście korzystając z metody sprowadzania do postaci schodkowej zredukowanej macierzy [A|I]
aby uzyskać [I|A−1] mamy już postać schodkową od początku i pozostaje do wykonania jej redukcja.
Redukcja ta zaczyna się od podzielenia dla każdego i, i-tego wiersza przez aii w celu uzyskania jedynek na lewej przekątnej. Na prawej przekątnej pojawią się więc wyrazy 1/aii. Dalsze sprowadzanie do postaci zredukowanej wymaga odejmowania od wierszy odpowiednio przemnożonych wiersz o większym indeksie.
Operacje te nie zmieniają zer położonych pod przekątną po prawej stronie macierzy.
7. (?) Niech A będzie rzeczywistą odwracalną macierzą n × n o wyrazach dodatnich. Wykaż, że liczba zerowych wyrazów w macierzy A−1jest mniejsza lub równa n2− 2n. Ile zerowych elementów ma macierz
1 1 1 1 . . . 1 1 2 2 2 . . . 2 1 2 1 1 . . . 1 1 2 1 2 . . . 2
. . . . . .
1 2 1 2 . . . . . .
−1
?
Zadanie z IMC 1994. Oznaczmy A = [aij] oraz A−1 = [bij]. W takim razie dla k 6= l,
n
X
i=1
akibil= 0.
Skoro aki > 0 dla każdego i, wiemy, że istnieją i−, i+ takie, że bi−l < 0 oraz bi+l > 0, czyli mamy co najmniej dwa niezerowe wyrazy w każdym wierszu, co dowodzi pierwszej części zadania.
3
Drugi podpunkt to przykład macierzy, dla której mamy równość. Rzeczywiście, nietrudno zgadnąć, że
A−1 =
2 −1 0 0 . . . 0 0
−1 0 1 0 . . . 0 0
0 1 0 −1 . . . 0 0
0 0 −1 0 . . . 0 0
. . . . . .
0 0 0 0 . . . 0 (−1)n−1
0 0 0 0 . . . (−1)n−1 (−1)n
.
4
