O przekształceniu najprawdopodobniejszem ciała materyalnego

& m 3 7 ^-

W ł . G o s ie w s k i

0 P R Z E K S Z T A Ł C E N I U

NAJPRAWDOPODOBNIEJSZEJ!

CI AŁ A M A T E R Y A L N E G O .

W KRAKOW IE.

NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.

SKŁAD GŁÓW NY W K S IĘ G A R N I SPÓ Ł K I W Y D A W N ICZ EJ P O L S K IE J.

1894.

Osobne odbicie z Tom u X X V II. Rozpraw W ydziału m atem aty czn o -p rzy ro d n iczeg o A kadem ii U m iejętności w K rakowie.

1 >ł 53569

W K ra k o w ie , 18 9 4. — D r u k a rn ia U n iw e rsyte tu J a g ie llo ń s k ie g o , pod za rządem A . M . K o s te rk ie w ic z k

O przekształceniu najprawdopodobniejszem ciała materyalnego.

Przez

Wł. Gosiewskiego.

Rzecz przedstawiona n a posiedzeniu Wydz. mat.-przyr. z d. 6. listopada 1893 r.

--- o-< 5£j>-o---

§• I-

Między stosunkam i, określającymi jakiekolw iek zjaw isko, są do zauważenia wogóle stosunki stałe i zmienne z czasem. Jeśliby te sto­

sunki były zupełnie stałym i, wtedy zjawisko nazwalibyśmy tylko „cia- łem “, o ile są zmienne, powiemy, że jest „ciałem przekształcającem się“.

Zadanie nasze polegać będzie na ustanowieniu praw, według któ­

rych ciało się przekształca, w powyższem tego słowa znaczeniu.

Możliwość takiego badania zależy oczywiście od możliwości ozna­

czenia ilościowo stanu ciała, przy czem, w oznaczeniu tem , występują przedewszystkiem stosunki istotnie zmienne. Nazywać je będziemy

„param etram i14 i oznaczać przez x I} xt} . . . , Xm, ogólnie x t.

Stan ciała je st zrozumiałym o ty le , o ile jego stosunki wewnętrzne i zewnętrzne (ze stanami innych ciał) są „jakościam i", nadającem i się do oznaczenia „ ilościowego “ ; w razie przeciwnym stan ciała będzie nie­

zrozumiałym.

Ale między zrozumiałością i niezrozumiałością możemy wyobrazić sobie pewien szereg możliwości pośrednich; można więc uważać prawdo-

1*

podobieństwo, aby oznaczenie ilościowe uważanego stanu ciała odtwa­

rzało ten stan istotnie. To właśnie prawdopodobieństwo, które nazywać będziemy „prawdopodobieństwem stanu ciała14 i oznaczać przez <p, słu­

żyć nam będzie za pu n k t wyjścia w naszych poszukiwaniach.

Przypus'ćmy, źe ciało przekształca się nieskończenie mało, t. j. że przechodzi od stanu x t do stanu x i-\-dxi.

W ówczas lg ęp nabyw a przyrostu d (p/ < p, równego wogóle pewnej funkcyi param etrów i ich odpowiednich przyrostów, k tó ra , z powodu nieskończonej małości przyrostów, redukuje się do w yrażenia różniczko­

wego 1 wt dxt — d s , gdzie ds oznacza różniczkę zupełną pewnej funkcyi s, zależnej od stanu c ia ła , a spółczynniki iui są funkcyam i jednowarto- ściowemi tego stanu.

Mamy tedy drf j <p=E( w dx, — ds, skąd przez całkowanie wynika b

^ jj 2, W; dxi — (s„—s a)

9» = 9 « e >

gdzie a i b oznaczają symbolicznie dwa stany ciała, nie bezpośrednio po sobie następujące, a <pa i pb oraz sn i sb są odpowiednio wartościami prawdopodobieństwa <p i funkcyi s, tym stanom odpowiadającemi.

W założeniu, że stan a je s t pew nym , stosunek <p 6/ <p„ wyraża prawdopodobieństwo stanu bieżącego b • a że to prawdopodobieństwo nie powinno przewyższać jed n o ści, otrzym ujem y nierówność następującą:

^ W Ł. GOSIEWSKI. [ i 19]

(

2

b

^ 2, w, dxt - (sb — sa) < 0 .

J a k z form uły (1) widoczna, prawdopodobieństwo stanu b zależy:

1) od stanu a za pośrednictwem i 2) od stanu b, za pośrednic­

twem sb; oraz 3) od przekształcenia ciała po pewnym obwodzie od a do b , za pośrednictwem całki ^ wt dxt . Ta przeto całka wyobraża wartość pomienionego przekształcenia, a wyrażenie różniczkowe S, w{ dx{ — wyobraża wartość przekształcenia nieskończenie małego.

Przekształcenie S, wt d x t uważać wogóle będziemy jak o złożone z przekształceń cząstkow ych: 2; w/0 d x ly ( s = i , 2, . . . «), w ten mia­

nowicie sposób

(3) S, wt dx, = £ 2, ui''t)dxi = 2 , dxt £ m;(sj,

£ E

rozumiejąc przez w,(£J spółczynnik przekształcenia cząstkowego

.

[120] O

3 Odpowiednio do tego założenia, formuły (1) i (2) przyjm ą postaci ogólniejsze, n astępujące:

S c*r,£ u ^ - { s b- s a)

„ t s

<p6 = <pae W

\ £ d x , 2 «,“ > - { s b- s a) < 0 . (5)

i 1 f

§. 2 .

Spółcześnie z doznawanemi przekształceniam i cząstkowemi s, ciało w ytw arza nieskończenie małą ilość energii d Q , która wogóle zależy od stanu ciała i od wartości pomienionycli przekształceń. Ponieważ te w ar­

tości są nieskończenie m ałe, a dQ znika wraz z niemi, je st oczywiście

dQ = £ T S m /‘ ) d x {, (6)

e *

rozumiejąc przez T ('i) funkcye jednowartościowe stanu ciała.

U la ustalenia znaku energii d Q , przyjm ujem y spółczyniki T (£) ja k o zawsze dodatne. W ychodzi to na to samo, j a k gdybyśm y, zało­

żywszy

d Q ^ = Z™ Z «,<«■><&„ (7)

i

0 = 1, 2, n) oraz

dQ = X d Q ^ , (8)

£ przyjęli znak spólny dla d $ rE) i £, M,(eJ

W prow adzając oznaczenia (7) do nierówności (5), będzie

< O W

co łącznie z równaniam i (7), przypomina postać praw zasadniczych ter- mostatyki. Q oznacza wtedy ciepło, T — tem peraturę, a s — en­

tropią.

§. 3.

Zanim pójdziemy dalej, zmienimy powyższe oznaczenia, przez

wprowadzenie czasu. Z akładając w szczególności, że stan a odpowiada

oliwili początkowej a stan b — chwili bieżącej t , oznaczmy przez

<p„ i <p wartości prawdopodobieństwa <p, odpowiadające chwilom ł„ i £, a przez .9 wartość różnicy sb — sa w chwili t. W tedy równania (6) i (4), oraz nierówność (5) wyrażają się odpowiednio t a k :

( 10) dQ = d t J ^ J T ^ u^

i dt g

t0 *

O 1 ) T = t Po e

(12) ^ d t Y d^ y M,ce) — « <

dt g

4

121 ]

Z równania (10) m am y:

(13) Q - Q o = \ d t Y p

‘o ‘ £

gdzie <2 jest funkcyą stanu ciała i czasu, a Q„ — stałą.

Różniczkując równanie (13) względem czasu, otrzym am y równanie (14)

stanowiące jeden dopiero związek między param etram i a czasem. Inne związki konieczne ustanowimy ja k o najprawdopodobniejsze, co stanowi cel główny naszych poszukiwań.

U ważmy; że cała rozciągłość cz asu , od t = t0 do t = t , > t 0, w y­

pełniona jest odpowiednimi stanami ciała, których ogół stanowi to, co nazywać będziemy „bytem “. Każdemu z tych stanów odpowiada praw ­ dopodobieństwo <p; zatem prawdopodobieństwo by tu (oznaczmy je przez P ) będzie iloczynem wszystkich prawdopodobieństw <p, w porządku ja k odpowiadające im stany w bycie następują. Mamy zatem na zasadzie formuły ( 11):

l dt j ( dt y J y „«>- * I

(15) dt dt x I ) to L d t L ' \

Owóż byt najprawdopodobniejszy odpowiada warunkowi: f ‘= m a -

x im u m , za którem widocznie idzie warunek następujący:

G = [ ' d t \ ( dt y p - J m,cs)- - s | = maximum.

Zasadę, na mocy której otrzymaliśmy w arunek (16), nazyw am y:

„zasadą najprawdopodobniejszego b y tu “ ; umożliwia ona rozwiązanie wielu podobnych zadań.

§. 5.

C ałka G nadaje się do bardzo łatwego przekształcenia.

Załóżmy

[1221

. 5

h i e

W tedy całkując przez części, znajdziem y najprzód

k

i następnie

Przez to widoczna, źe w arunek (16) można w yrazić w sposób na­

stępujący:

ćr = [ dt | (t1 — t) V ^{Y u ^ — s} = maximum , (17)

't 0 4* dt T '

który je st łatwiejszy od postaci (16).

§.

6

W eźm y przemienność całki G , ( L 7), względem param etrów x ,f ; znajdziemy najprzód

Jt0 ' i £ i s

Z drugiej strony, całkując przez części, m am y :

*l fSJ C *1 d ( ^ —t) u il-e) ^

( 18 )

Ponieważ stan początkowy ciała je st dany, przemieńności Sen,- zni­

k ają w cłiwili t =£0; zatem

r łi . „ j f *1 d(t, — t)u-'-t}

\ (« .-* ) M< ~dT V dt ' ’ ’

^0 *0

skąd w yn ik a, że przemiennośó 8$ , (18), może wyrazić się tak :

(19) SC? = ( dt 1 (£,— t) V —- y Sw/e; — J<0 l , dt Y

_ y y d (t, - t ) u ^ ^ ^

Z. Z-

gdzie m am y:

V- $11

8“ i8> - l i r * * . ,

j 3

d ( t <Kf£) _ (£) , /, _ . y 3u<(z) dx, dt " ~ ■ ' + ( 1 1 V dx dt ’

6

[ 123 ]

& 'O 4- o>a?t

( j = 2, 2, . . . , m) (i — 1, 2, . . . , m).

Uwzględniając to wszystko i biorąc na uwagę tożsamość

y y 3W-* dx. L _ y y .

4- f dx, dt j ~ 4 - i - 9*, dt '>

przemiennośó (1 9 ), wyrazi się w sposób następujący:

(20, M _ f * X { h - 0 l ^ j ( ^ - ^ L ) +

+ - 4 ;} **■ •

Ponieważ całka G, (17), jest m axim um względnem do w arunku (14 ), przeto w arunek ten należy wziąć pod uwagę.

§• 7.

Niech będzie ^ funkcyą c z a su , jeszcze nieoznaczoną. Pomnóżmy równanie (14) przez <{i d t , i weźmy całkę w granicach t = t9 i t = t l\

będziemy m ie li:

Postępując wreszcie według wskazówek §. 6, znajdziemy bez tru ­ dności:

gdzie wyraz ostatni odnosi się do chwili t = ti .

Na mocy równania (21), przemienność jest zerem , niezależnie od natury funkcyi i . Zamiast więc przemienności Sćr, (20), wolno uwa­

żać przemienność S ć r - f - i wtedy, w równaniu 0 ,

przemienności Sas, będą dowolnem i, kosztem nieoznaczoności funkcyi <{/.

W ten sposób otrzym ujem y równania następujące.

X- dx,\~ (. / d T ^ 9 T <-i '>urs\ / 9 u j s>

I dfl\K~sif— s r - ) ^ - ' ^ - ^ ) ) w

+ y f ( y p . > . « > _ « « ') - g — o,

Z_ d t \ l _ 3 x J 9x,

£ e *' *

(* = 1, 2 , . . m) oraz

ł . = 0. (24)

Równania (23), łącznie z warunkiem (14), są w liczbie dostate­

cznej do wyznaczenia wszystkich parametrów X, i niewiadomej 'b, w fun­

kcyi t\ aby zaś wyznaczyć stałe całkow ania, których jest m {-1, mamy n a to wartości początkowe parametrów i w arunek (24).

§. 8 ^.

Podstawmy, w równaniach (23), ; wtedy, m ając wzgląd na w arunek (24), znajdziem y:

( i = l , 2 , . m)

/ ■ y '

/

[1241

. 7

8 W Ł. GOSIEWSKI.

[ 125 ] gdzie T cie)y ćftj/j / dt,, wf£), 9Qt / 9x„ i 3s, / 9xi} są wartościami odpo- wiedniemi fu n k c y j: 2,(S1, dty / d t , w(UJ, 9Q / 9xt i 9 s / 9 x , , w chwili

Ale zakładając w równaniach (23), d x l / d t = 0, (t — 1, 2, . . . , m), otrzym ujem y także równania tej samej postaci co (25). Stąd wnosimy, źe w chwili t=-tl nastaje rów now aga, t. j. że w tej chwili przekształ­

cenie ciała się kończy.

Trw anie zatem całego przekształcenia ciała wynosi tt — t0, a ze sposobu, w któ ry stała tx wchodzi do równań (23), je st widoczna, źe trwanie to nie może być wogóle nieskończenie wielkiem.

a w chwili t = tl je st oczywiście dQx — 0 i d r n — 0 , ( i = l , 2, . . . , ni), przeto powinno być także 9Q1/9tl — 0. Jest to w arunek, służący do wy­

znaczenia wartości stałej tl .

jak również na związek (14). równanie poprzedzające przyjm uje postać t = t,.

Ponieważ

. Mając wzgląd na tożsamość oczywistą

( 2 6 )

Całkując względem <, od t — t0 do i = i , wynika

| 126 ]

9

u(’E) —s —r, (27)

gdzie

— r ~ (28)

ja k to widoczna z nierówności (12).

Nie należy zapom inać, co zresztą w ynika z n atu ry rzeczy, źe wszystkie elementy całki — r, (28), są ujem ne; ta przeto całk a z upły­

wem czasu m aleje, a w chwili t — tt osiąga minimum.

Skonstatujem y nakoniec zasadniczą ró żn icę, która istnieje między s i — r , a która polega na tem , że s jest funkcyą stanu ciała , pod­

czas gdy — r nią nie jest. T a różnica i jeszcze inne, które poznamy niżej , zdecydowały nas do nazwania s — „entropią“, — r — „anen- tropią11.

N adajm y teraz równaniu (26) postać

Na mocy formuły (29), przekształcenie Z d x { Swf85 rozkłada się

t e

na przekształcenia cząstkow e: ds i — dr, a na mocy formuły (31), ener­

gia mu właściwa dQ rozkłada się odpowiednio. Zatem

(29)

s

gdzie

(30)

i wyraźm y energię dQ przez

(31)

powinny być dodatn em i, i mamy

10

[ 127 ]

Spółczynnikom przeto T i 1 j ^ , jak o dodatnym i mającym prócz ct t

tego w ym iary spółczynników !T(6), można przypisać znaczenie analo­

giczne znaczeniu spółczynników T U), i nazw ać: T — „tem peraturą en- tropową“ , 1 j ^ — „tem peraturą anentropową“.

Przejdźm y teraz do przypadków szczególnych:

§• io.

Uwaźmy najprzód ciało zwane „odosobnionem44, w którem d Q = 0 , a tem samem (13):

(33) Q = Q 0

W tym p rzy p ad k u , zamiast tożsamości mamy

5 \ $ Q . d t = 0 ,

o

gdzie X jest nową niewiadom ą, a

Stąd wynika

™ ( ^ - ^ J) + - ' - £’)}

(i = l, 2, . . . , m )

oraz

(35) <K = 0.

Ponieważ Q0 je st stałą dow olną, możemy ją w ybrać w ten spo­

sób, aby było \ — d \ 1j d t 1 w chwili t — tv W tedy równania równowagi przyjm ą postać następującą:

(i=l, 2, . . . , m)

W ychodząc z równań (34) i postępując według wskazań §. 9,

łatwo jest zn aleźć, zważywszy przy tem n a warunek dQ = 0, że

[128] O i^RZEKSŻTAŁctoritf. i l

dQ — T d s — dr | ---- ^ ~ ^= 0,

r > 0 ’ gdzie

albowiem 1 1 — 1 J jest w tym przypadku tem peraturą anentro- pową.

Stąd w yn ik a, źe entropia rośnie. R osnąc, osiąga ona w chwili (t = tx m aximum , a z uwagi na równania (36), jest wtedy jedno­

cześnie

_ i - = 0, (i = l,2,...,m), 2 ? > = i - A , (e = l,2, 3?)

Streszczając zatem wyniki w ten sposób otrzym ane, widzimy, że przekształcenie ciała odosobnionego podlega prawom następującym :

1) entropia rośnie, anentropia m aleje, lecz obie dążą do wartości skończonych;

2) tem peratura anentropowa rośnie do nieskończoności; i

3) tem peratury dążą do wyrównania się i kończą osiągnię­

ciem wartości spólnej, która jest jednocześnie wartością tem peratury entropowej.

§• 11 .

Uważm y, pow tóre, p rzyp adek, w którym

§-°, ^{( 88 )}

co, zważywszy, że x, zależą od t. nie oznacza wcale, ab y zmienna t do funkcyi Q nie wchodziła wyraźnie.

W tedy, na mocy równań (30) i (32), mamy

d Q = T d s , (39)

a tem samem równania (14) i (29) przywodzą się do następujących:

* ■ £ - £ ! ) - » <«>

= ( i = l , 2 , . . . , m ) (41)

W skutek tych związków, równania (23) przekształcają się w ten

sposób:

1 2 W Ś. GOSIEWSKI.

[ 129 ]

W * Z w( ^{, 9 T 2s 3 T 9s}

\

di]f .

' T Ss

\ d x t 9x 3xj 9 x J d t \

9x, 9x, ) = 0 ^,

przyczem iest także

(43) ^ = 0

Równania (42), pomnożone przez d x t i dodane, dają toźsamościo- wo: 0 = 0 . Dla oznaczenia zatem m + 1 niewiadomych xt i <J/ posia­

damy tyleż rów nań: (38), (40) i (42).

Ponieważ równania (42) od stałej tx nie zależą, a równanie 3 ^ / dtL-=0, z przyczyny w arunku (38), utrzym uje się przy każdej w ar­

tości lu ta wartość łx je st przeto nieoznaczoną, i moglibyśmy nawet za­

łożyć £ ( = 00.

Zatem widoczna, że w przypadku uw ażanym , ciało przekształca się do nieskończoności, podczas gdy w przypadku ogólnym — ono prze­

kształca się tylko czasowo.

Należy je d n a k zwrócić tu uwagę na inną ważną różnicę między przypadkiem obecnym i przypadkiem ogólnym , tę mianowicie, że ró­

wnania (42) są odwracalne (można zastąpić dt przez — d l , nie zmieniając równań), a równania (23) nie są. Stąd w ynika pojęcie „odwracalności“

przekształcenia i pojęcie „nieodwracalności4* jego. Zatem przekształcenie ciała w przypadku obecnym jest odw racalne, a w przypadku ogólnym jest nieodwracalne.

Ażeby wyobrazić sobie przypadek najwięcej złożony przekształce­

nia się c ia ła , zauważmy, że ciągłość funkcyj £ względem para-

£

metrów x , , nie wym aga w cale, aby funkcye ii (3wj6) j 9x; — 9u\l) / 9x})

E

były także ciągłemi. Można więc przypuścić, że w przypadku ogólnym, równowaga nie ustanaw ia się w chwili <=>%, ale że tylko funkcye

£ (Pwp5 / 9xt — / 3Xj) znikają nagle w tej chwili. W tedy równania c

(23) zamieniają się na równania (42), i przekształcenie ciała przedłuża się od t = t lt stając się przekształceniem odwracalnem.

Zachodzi więc ta różnica w przekształcaniu się ciała przed chwilą ty i później, że od t — t0 do t = tx przekształcenie jest nieodwracalnem, a od chwili t = t x je st już odwracalnem.

Tym sposobem chwila t = tx jest chwilą skończenia się przekształ­

cenia nieodwracalnego, i widoczna, źe przekształcenie nieodwracalne dąży do stania s ię , i staje się w terminie skończonym przekształceniem odwracalnem.

§• 1 2 .

Pozostaje jeszcze do wyjaśnienia rola prawdopodobieństwa <p w na-

szem zadaniu.

[130]

13 W tym celu wykonajm y przedstawienie (27) w formule (11);

otrzy m am y :

? = ?o

(44)

J a k to wiadomo, <p je st w grancie rzeczy prawdopodobieństwem zrozumiałości stanu ciała, podczas gdy się to ciało przekształca. To prawdopodobieństwo maleje z upływem cz asu , lecz osiąga minimum (pl = <p 0 e~r> ściśle w chwili t = t , , w której przekształcenie nieodwracalne zamienia się na odwracalne. Od tej zaś chwili — p zachowuje swą wartość stałą <p, aż do nieskończoności.

Owóż, jeśliby <p malało bezustannie, wtedy nadeszłaby chwila, w której stan ciała stałby się już niezrozumiałym. Lecz to je st niemoż­

liwe, albowiem prawdopodobieństwo <p osiąga swoje minimum ol) które od chwili tj sprzyja stale zrozumiałości stanu ciała.

T ak więc każde zjawisko nieodwracalne kończy s ię , lub kończy

przemianą w zjawisko odw racalne, i to w chwili oznaczonej, pod ry ­

gorem stania się zjawiskiem niezrozumiałem.

N O W S Z E W Y D A W N I C T W A

A K A D E M I I U M I E J Ę T N O Ś C I

WYDZIAŁU MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZEGO.

R o z p r a w y A k a d e m i i U m i e j ę t n o ś c i . W y d z i a i m a t e m a t y c z o - p r z y r o d n i - c z y. Serya II. tom III, ogólnego zbioru tom XXIII, 1891, w 8° dużej, str. 407 z tablicam i i 7 rycinam i w tekście. Cena 5 złr.

— Serya II, tom IV. Ogólnego zbioru tom XXIV lex. 8° str. 395 z 7 tablicam i i 10 rycinam i w tekście. Cena 3 złr. 50 ct.

— Serya II, tom V. ogólnego zbioru tom XXV. lex. 8° str. 377 z 6 tablicam i i 12 rycinam i w tekście. Cena 6 złr.

— Serya II, tom VI. ogólnego zbioru tom XXVI. lex. 8° str. 436. z 9 tablicam i i 19 rycinam i w tekście. Cena 6 złr.

E. B a n d r o w s k i : O parazofenylenach, chinonim idach i pochodnych. lex. 8° str. 7, Cena 15 ct.

L. B i r k e n m a j e r : M arcin Bylica z O lkusza oraz narzędzia astronom iczne, które zapisał U niw ersytetow i Jagiellońskiem u w roku 1493, z 12 rycinam i w tekście lex. 8° str. 163. Cena 1 fl. 50 ct.

C y b u l s k i i Z a n i e t o w s k i : Dalsze dośw iadczenia z kondensatoram i: Zależność pobudzenia nerw ów od energii rozbrojenia. lex. 8° str. 5. C ena 10 ct.

S. D i c k s t e i n : O rozw iązaniu kongruencyi z" — ayn = O (mod M) lex. 8° str. 5.

Cena 10 ct.

B. E i c h l e r i M. R a c i b o r s k i : Nowe gatunki zielenic. 8° str. 11 z tablicą.

Cena 20 ct.

J. T a l k o - H r y n c e w i c z : Zarysy lecznictw a ludowego na R usi południowej, lex.

8° str. 461. Cena 3 złr.

S. J e n t y s : O przeszkodach u trudniających w ykrycie diastazy w liściach i łody­

gach, lex. 8° str. 47. Cena 60 ct.

H. K a d y i : Przyczynki do anatom ii porów naw czej zw ierząt dom ow ych (z tablicą je d n a i 2 rycinam i) lex. 8° str. 22. Cena 50 ct.

S. K ę p i ń s " k i : Z teoryi nieciągłych grup podstaw ień liniow ych posiadających spół- czynniki rzeczywiste. Z tablicą, lex. 8° str. 30. C ena 50 ct.

— O całkach rozw iązań rów nań różniczkowych zw yczajnych liniow ych jed n o ­ rodnych rzędu 2-go, lex. 8° str. 65. Cena 80 ct.

K. K i e c k i : Zachow anie się siły elektrobodźczej i pobudliw ości przeciętego nerw u żaby, lex. 8° str 28. Cena 40 ct.

W. K r e t k o w s k i : O funkcyach rów nych co do wielkości i różnych co do n atu ry , lex. 8° str. 3. Cena 10 ct.

— O pewnej tożsamości, lex. 8° str. 4. Cena 10 ct.

F. K r e u t z : O przyczynie błękitnego zabarw ienia soli kuchennej, lex. 8° str. 13.

Cena 25 ct.

A. M a r s : O złośliwym gruczolaku m acicy (Adenoma destruens uteri) (z jed n ą tablicą) lex. 8° str. 15. Cena 50 ct.

W. N a t a n s o n : S tudya n ad teoryą roztw orów , lex. 8° str. 38. Cena 50 ct.

S. N i e m e n t o w s k i : Przyczynek do charakterystyki zw iązków diazoam idow ych lex. 8° str. 21. Cena 30 ct.

J. N u s b a u m : M ateryały do embryogenii i histogenii równonogów (Isopoda) (z 6 tablicam i) lex. 8° str. 99. Cena 1 złr. 50 ct.

K. O l e a r s k i : Uwagi n ad ciepłem w łaściw em przy stałej objętości m ięszaniny cie­

czy i pary, lex. 8° str. 4. Cena 10 ct.

— Nowy sposób całkow ania pew nych rów nań różniczkow ych pierwszego rzędu o dw u zmiennych. lex 8° str. 11. Cena 20 ct.

K. O l s z e w s k i i A. W i t k o w s k i : O w łasnościach optycznych ciekłego tlenu.

Z 2 rycinam i. lex 8° str. 4. Cena 10 ct.

(C iąg dalszy n a odw rotnej stronie.)

B. P a w l e w s k i : O chlorow ęglanie etylowym lex. 8° sir. 7. Cena 20 ct.

— Z teoryi roztw orów (z dw iem a figuram i w tekście), lex. 8° str. 20. Cena 80 ct.

G. P i o t r o w s k i : B adania nad pobudliw ością i przew odnictw em nerw ów , lex. 8°

str. 14. Cena 20 ct.

— O w ahaniu w stecznem przy pobudzaniu różnych m iejsc tego sam ego nerw u, lex. 8° str. 31. Cena 25 ct.

3. P u z y n a : O w artościach funkcyi analitycznej n a okręgach spółśrodkow ych z kołem zbieżności jej elem entu, lex. 8° str. 51. Cena 65 ct.

M. R a c i b o r s k i : Przyczynek do flory retyckiej Polski (z tablicą), lex. 8° str. 16.

Cena 50 ct.

— P erm okarbońska flora karniow ickiego w apienia (z trzem a tablicam i), lex. 8°

s t r . '42. Cena 30 ct.

— F lora rety ck a w T atrach (z je d n ą tablicą) lex. 8° str. 18. Cena 50 ct.

— D esmidya zebrane przez Dr. E. Ciastonia w podróży n a około ziemi (z 2 ta ­ blicami), lex. 8° str. 32. Cena 70 ct.

— Pythium Dictyosporum, nieznany pasorzyt skrętnicy (Spirogyra) z tablicą, lex. 8° str. 9. Cena 30 ct.

— F lora retycka północnego stoku gór św iętokrzyskich (z pięciom a tablicam i) lex. 8° str. 35. Cena 1 fl.

— Chrom atofilia ją d e r w orka zalążkowego, lex. 8° str. 20. C ena 30 ct.

— Przyczynek do morfologii ją d ra komórkowego nasion kiełkujących (z jed n ą tablicą), lex. 8° str. 11. Cena 20 ct.

— Cycadeoidea Niedzwiedzkii. Nov. Sp. (z dw iem a tablicam i), lex. 8° str. 10.

Cena 25 ct.

J. S c h r a m m : O działaniu chlorku glinowego n a chlorki i brom ki rodników aro­

m atycznych. lex. 8° str. 14. Cena 25 ct.

— O połączeniach styrolu z kw asem solnym i brom ow odorow ym , lex. 8° str. 6.

Cena 10 ct.

J. A. S t o d ó ł k i e w i c z : O całkow aniu pod postacią skończoną rów nań różniczko­

wych liniow ych rzędu «e°, lex. 8° str. 5. Cena 10 ct.

— O kilku klasach rów nań różniczkow ych liniow ych rzędu ngo, lex. 8° str- 6.

Cena 10 ct.

— Sposób d’ A lem berta w zastosow aniu do rów nań różniczkowych liniowych rzędu n«° ze spółczynnikam i starymi, lex. 8° str. 7. Cena 10 ct.

L. T e i c li m a n n : N aczynia lim fatyczne w słoniow acinie (Elephantiasis A rabum) 5 tablic in 40 w teczce, oraz tekst imp. 8° str. 51. Cena 3 złr.

D. W i e r z b i c k i : Spostrzeżenia m agnetyczne w ykonane w zachodniej części W. X.

K rakowskiego w roku 1891, lex. 8° str. 20. Cena 30 ct.

A. W i e r z e j s k i : Skorupiaki i w rotki (rotatoria) słodkow odne zebrane w Argentynie z trzem a tablicam i, lex. 8° str. 18. Cena 50 ct.

— R otatoria (W rotki) Galicyi. Z 3 tablicam i i 3 rycinam i w tekście. lex. 8° str. 106.

Cena 1 złr. 25 ct.

1. Z a k r z e w s k i : O gęstości i cieple topliw ości lo d u , z jed n ą ryciną w tekście, lex. 8° str. 6. Oena 20 ct.

— O zależności ciepła właściwego ciał stałych od tem peratury, lex. 8° str. 16.

, Cena 30 ct.

IC. Ż o r a w s k i : Przyczynek do teoryi zam iany zm iennych w rów naniach różnicz­

kowych zw yczajnych rzędu pierwszego, lex. 8° str. 33. Cena 50 ct.

— Drobne przyczynki do teoryi przekształceń i jej zastosow ań, lex. 8° str. 12.

Cena 20 ct.

— O zbieżności iteracyi (z dw iem a figuram i) lex 8° str. 18 Cena 30 ct.

— O pochodnych nieskończenie wielkiego rzędu, lex. 8° str. 15. Cena 25 ct.

S p r a w o z d a n i a K o t n i s y i f i z y o g r a f i c z n e j obejm ujące pogląd n a czynności do­

konane w ciągu roku 1891 oraz m ateryały do fizyografii krajow ej. Tom XXVII, 8° str. 246 i 229 z czterem a tablicam i. Cena 3 złr.

— Tom XXVIII, 8° str. 249 i 266 z 2 tablicam i. Cena 3 złr.

Skład główny wydawnictw Akademii znajduje się w Księgarni

Spółki wydawniczej Polskiej w Krakowie.