O istotnie rzeczywistych funkcjach meromorficznych

(1)

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961)

J . Z

amorski

(Wroclaw)

O istotnie rzeczywistych funkcjach meromorficznych

Będziemy nazywali istotnie rzeczywistą funkcją meromorficzną każdą funkcję określoną dla 0 < \z\ < 1 o rozwinięciu

( 1 ) F(z) = — +& 0 +&J 3 + . . . z

przyjmującą na osi rzeczywistej wartości rzeczywiste oraz nie przyjmu

jącą wartości rzeczywistych w żadnym z pozostałych punktów pierścienia 0 < \z\ < 1 . Klasę tych funkcji oznaczymy przez J. Analogiczną klasę funkcji regularnych rozpatrywał W. Kogosiński [3]. Dowiódł on, że istotnie rzeczywista funkcja regularna musi być kształtu

(

2

)

/(> я-\-а*

⁹

я* P(z),

gdzie p(z) = 1 + axz -\-... jest funkcją o części rzeczywistej dodatniej i o rzeczywistych współczynnikach. Łatwo zauważyć, że między funkcjami klasy ( 1 ) i ( 2 ) zachodzą związki

F(z) = ¹

Ш ' ^{m =}

i

przy ewentualnej zmianie w drugiej równości wartości b

⁰

tak, by F(z) Ф 0 . Zmiana taka jest oczywiście zawsze możliwa. Stąd każda funkcja klasy J może być przedstawiona, po ewentualnym dodaniu stałej rzeczywistej, w formie

(3) F(z) = — — (),

z

gdzie p(z) = 1 + ахг + ... należy do klasy P R funkcji o części rzeczywistej dodatniej i współczynnikach rzeczywistych. Z równości (3) otrzymujemy,

że

^0 == alf Ь-у = Я 2 1 ,

bfc — G fc+ i *“ а л _ 1 , к — 2 , 3 , . . . ,

(4)

(2)

oraz że

(5)

< h k — 1 + &1 + • • • + & 2 f c - l У к — 1 » 2 , . . . , a 2* + l = &0 + ^ 2 + • • • H~ &2fc> & — 1 j • • •

Oznaczmy przez Ул /г-ty obszar zmienności współczynników funkcji klasy J , a przez JE гг-ty obszar zmienności współczynników funkcji* klasy P R . Eówności (4) i (5) wykazują, że między punktami K

^{n + 1}

a punk

tam i Vn zachodzi odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna i ciągła. Wynika stąd odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między punktami brzegów Vn i K n+l. (Łatwo zauważyć, że K

^{n + 1}

i Vn są domkniętymi obszarami ograniczonymi zawartymi w (гг+ 1)-wymiarowych przestrzeniach Eukli

desa.) Wiadomo, [1], [3], że każdemu punktowi brzegu K n+l odpowiada tylko jedna funkcja klasy P R oraz że taka funkcja ma postać

p(z) = i

(⁶)

= i \

oo »г

+1

2 * %

*:=i w + l 2

1 — 1

Pi

fyeosJc&.j =

?•=1

1

- z 2

1 + 22 — 2 zcos?^- > & > 0 ,

№ + l

V _pk

Odwrotnie, każdej funkcji postaci ( 6 ) odpowiada punkt brzegu K n+l. Na mocy wzorów (3), ( 6 ) oraz odpowiedniości między obszarami Vn i К плл wnosimy, że każdemu punktowi brzegu Vn odpowiada tylko jedna funkcja postaci

(7) F(z) ¹

z

?i> -f- 1

Pi ( l - * 2 ) 2

1 -f 02 — 2;ZCOS'i9y

Odwrotnie, każdej funkcji kształtu (7) odpowiada jakiś punkt brze

gu Vn.

Wprowadzimy teraz funkcjonały określone na funkcjach klasy J.

Mech E (& !,..., bn) będzie rzeczywistą funkcją zmiennych rzeczywis

tych, klasy Cly określoną w dowolnym obszarze zawierającym Vn i taką, że

(S)

n / d E \2 i i w ^{> 0}

dla wszystkich punktów należących do V„,. Pisząc równość E ( F ) = E ( b l f . . . , b n)

określimy funkcjonał dla funkcji F. Wypowiemy następujące

(3)

Funkcje meromorficzne

43

T

wierdzenie

1. Funkcja klasy J, dla której funkcjonał E(F) osiąga wartość ekstremalną jest kształtu

n + l

F{z) = A . 1 y i — zz)z z 2 1 - f z 2 — 2 z c o s d k

’

k = l K

gdzie parametry tik i fjk spełniają związki П dE

y i dE

—J db}

;=i

¹

2 ¹ ^OF — sin?#* +A = O,

^j ^.

?=i

¹

{(j + 1 ) sin- (j + 1 ) ^ — ( j — 1 ) sin (j — 1 ) dk} = O, n+l

& > « • fe =1

D ow ód. Część pierwsza tego twierdzenia wynika bezpośrednio z określenia funkcjonału E{F). Ponieważ zachodzi ( 8 ), więc funkcjonał E(F) musi przyjmować ekstremum dla funkcji F odpowiadającej punk

towi brzegowemu

^{V n .}

Część drugą udowodnimy jak następuje: ponieważ funkcjonał przyj

muje wartość ekstremalną dla pewnej funkcji kształtu (7), więc wsta

wiając współczynniki funkcji (7) do funkcjonału, przekształcamy zagad

nienie poszukiwania ekstremum funkcjonału na zagadnienie poszukiwa

nia ekstremum funkcji

²

n

^{- \ - 2}

zmiennych dk i fik, związanych z sobą

n + l

warunkiem jjk= 2. Z kształtu funkcji (7) widać, że bez ograniczenia fc=i

ogólności możemy założyć fik > 0 . Zależność od jest okresowa. Stąd wynika, że funkcja E{ftг, ..., dn+1; ($l t ...., j ⁸ n+1) osiąga ekstremum w punk cie, w którym

dE dE

= 0 . (9)

Ponieważ

---(_Я = 0 ,

d h d$k

dE dpk

dE dbj

~

² j

dbj dpk ’ dE

~db~~

• n dE

= Ж '

1

=i

¹

dbj d&k oraz, z (4) i ( 6 ),

dbj . . . n

=' - 2 s m ^ fcsm dfc, dfa

db * d&k

więc z (9) dostajemy tezę twierdzenia. ,

(4)

Zajmiemy się teraz specjalną postacią funkcjonału E, a mianowicie funkcjonałem bn . Udowodnimy przede wszystkim

T

w ierdzenie

2. Współczynniki funkcji klasy J spełniają nierówność

| 6 „ | < 2 / l - 6 , .

Dowód oprzemy na metodzie szacowania współczynników, podanej przez J. Cluniego w pracy [2]. Zauważmy, że funkcja

(

10

)

<o{z) — ... , . * ( * ) - ! - - = > cokz V *

!>()+1 jfc=i spełnia nierówność \(o{z)\ < 1. Z (3) i (10) mamy*

1 — z

²

l-j-co(z) a stąd

czyli

F(z) = ---— , z

1

—

oj

{

z

) zF{z)—l + z 2 = a){z)[l-z + zF{z)],*

ó0z-{-(b1- \- l) z 2Jr ^ b/cZk^ 1

— ^oj

{

z

)

J2 4-

bQz-\- (bt

—l ) # 2-j-

^ bkZk+1

1.

к

^{= 2}

k

^{= 2}

r

Jeśli w nawiasie po prawej stronie uwzględnimy sumę tylko do n —1, to otrzymamy, że

76—1

( 11 ) <

u

( 2)[2 + 60 * + ( 6 , - 1 )

S

’ + 2 '

M

*’+i| =

lc—2

П 00

= b0z-{-(b1-}-l)zll- h £ b fczk+1+ JT °kZk+l, fe =2

fc=7l + l

gdzie są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Stosując do obu stron (11) twierdzenie o wartości średniej kw adratu modułu na kole \z\ = r < 1 i uwzględniając, że |o>(z)| < 1 dostajemy

OO

**( 6 , + l ) V + 6 |r,"+2 + £ <£/‘(*+1) < 4 + ( 6 , - l ) V ,**

CO

a stąd opuszczając c\r2(k+l) oraz przechodząc z r do jedności otrzy- mujemy

i ostatecznie

( 6 j + l )2 + 6 £ ^ 4 + (&i—l )2

|6„| < 2 / l - 6 , .

(5)

Funkcje meromorficzne

⁴⁵

Nierówność ta nie zawsze jest ostra. W pewnych jednak przypadkach daje lepsze oszacowanie współczynnika funkcji klasy J o znanym współ

czynniku bx niż ostre oszacowania podane niżej.

T

w ierdzenie

3. Współczynniki funkcji klasy J spełniają nierówności

- 3 A n ^ b n ^ B n,

ffdzie A 4k+l — — 4, B 4tk_l = 4, a dla n innej postaci A n = 4min( — sin^sinw^) > —4,

V

Bn = 4 m ax (—-sin^sinw^) < 4.

v>

yj przebiega wszystkie rozwiązania równania ntgy)-\-tgnip = 0 zawarte w przedziale 0 < у <

tz

.

Dowód tego twierdzenia jest bezpośrednim wnioskiem z twierdze

nia 1 zastosowanego do funkcjonału

n + 1

(12) E = bn = ^ pk [co&{n+l)ftk — cos (w—l) # fc].

fc=i

Aby rozwiązać odpowiednie równania wystarczy zauważyć, że jeśli znajdziemy wartość &k, dla której cos(w-f-l)#fc — cos(%— 1 )#* osiąga wartość najmniejszą, to podstawiając #x = ... = #n+x = у dostaniemy najmniejszą możliwą wartość na

'•4

(13) bn = 2 [cos(w+ 1 ) ^ —cos (w —1)у>] = — 4sinysinwy.

Podobnie będzie z wartością największą. Wynika to bezpośrednio z ( 12 ).

Wystarczy się więc ograniczyć do badania ekstremum (13), a to z łatwoś

cią daje twierdzenie. W szczególności mamy

16 r 16 /- 9

- — V 3 < b 2 < — V3, - - < 4 .

9 9 4

Ja k łatwo zauważyć, żadna z funkcji realizujących którąkolwiek z równości

(14) bk — A ki bk — B k

nie jest funkcją jednokrotną. Każda bowiem funkcja

(15) ( 1 - s 2)2

1 + s 2 — 2 zcos#

⁹

cos# ф ± 1

(6)

— a tylko takie realizują równości (14) — ma pochodną równą zeru w pierścieniu 0 < \ź\-< 1. Istotnie, mamy bowiem

Г(г) “ - V ( l + l i l S o o

Widzimy stąd, że jeśli zx jest zerem pochodnej, to i z

²

= l j z

¹

jest jej zerem. Z dwóch liczb zx i z% jedna musi leżeć wewnątrz koła \z\ < 1, o ile moduły ich nie są równe jedności. A więc pochodna równa się zeru wew

nątrz koła jednostkowego, chyba że wszystkie pierwiastki równania (16) z4— 4;s 3 cos#-f 6 s 2 — 4scos$ + l = 0

miałyby moduły równe jedności. Jest to jednak niemożliwe. Z równania (16) mamy

— = 2 exp {±40}, 0

a stąd, przy założeniu \z\ = 1 ,

| 22 - f l| = 2 .

Ale ta ostatnia równość daje z — ±1» a więc, z (16), l i cos# = 0 wbrew założeniu. Stąd wynika prawdziwość naszej uwagi.

W przypadku funkcji istotnie rzeczywistych regularnych rzecz ta wygląda inaczej. Zauważmy bowiem, że ze związku między funkcjami klas ( 1 ) i ( 2 ) wynika, iż funkcja dająca ekstremum dowolnego funkcjo

nału H określonego na funkcjach klasy ( 2 ) analogicznie do określenia funkcjonału E na funkcjach klasy ( 1 ) jest postaci

/(„) = , V i

2 __ th_

1 + 2 2 — 2 2 C O S

Pk —

k = l

fik> 0 .

Dalej zauważymy, analogicznie jak w twierdzeniu (2), że parametry określające funkcję, dla której funkcjonał H osiąga wartość ekstremalną, spełniają układ równań

n

dH да^ у dH

ⁿ

daj

= 0 , 2 7 = 2 дщ

•

¹

- + X — 0 ,

dpk ' daj д&к

к до,

²

к+\

dfr

к

Ćdzk • 2

p

=*

i

COS(2p—1)#,-, ■ - ^ cos 2 p Ą ,

p

=

i

*

■A S

P “ 1

( 2 p - -l)sin ( ² p — 1 )#^, да

²

к+\

дЩ = -/5

к

ь А 2**1

(7)

Funkcje meromorficzne

⁴⁷

Stosując te równania do funkcjonału H = an i korzystając z ich liniowości względem widzimy, że

^ Q>n ^ i>n)

fc к

C2k = m in 2 V c o s( 2 p — 1)9?, D 2fc = m ax 2 V co s( 2 p — -1)9?,

P = 1

P = 1

(7 2fc+1 = min (1 + 2 ^ cos 2 ^ 9 ;), D2fc+i = max (1 + 2 J T cos

²

py>),

p=i p

*=

i

gdzie liczby

99

i tp są wszystkimi, zawartymi w przedziale [ 0 , тс], rozwią

zaniami równań

к к

У' ( 2 p —l)s in ( 2 p — 1 ) 9 ? == 0 , ^ p s i i i

²

pip .== 0 ,

23 = 1 p = l

Oczywiście, jak to udowodnił W. Eogosiński [3],

■/>* = , Ci k = -*

²

k.

Łatwo również sprawdzić, że <7 3 = — 1, 0 5 = — — • Ponadto widzimy, że każda z funkcji realizujących równość Cn = an lub l)n — an , a wszy

stkie są postaci

z

1 H- г 2 — 2 zcos# ’ jest funkcją jednokrotną.

Prace cytowane

[1] C. C a r a th e o d o r y , U ber den Variabilitatsbereich der Fourier schen Kon- stanten von positiven harmonischen Functionen, Rend. Circ. Mat. Palermo 32 (1911), str. 193-217.

[2] J. C ln n ie, On meromorphic schlieht functions, Journ. London Math. Soć.

34 (1959), str. 115-116.

[3] W. E o g o s iń s k i, i)ber positive harmonische Entwicklungen und typisch- -reelle Potenzreihen, Math. Zeitschr. 35 (1932), str. 93-121.

INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AK ADEM II NAUK

(8)

Я. З

аморски

(Вроцлав)

О МЕРОМОРФНЫХ Ф УНКЦИЯХ СУЩЕСТВЕННО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ

Р Fi 3 Ю М Е

В этой заметке исследую класс J мероморфных функций существенно дей

ствительных. Даю вид функции экстремальной относительно произвольного функционала. Даю уравнения, которым должны удовлетворять параметры экстре

мальной функции и точные оценки коэффициентов.

J. Z

amokski

O istotnie rzeczywistych funkcjach meromorficznych

J . Z

(Wroclaw)

O istotnie rzeczywistych funkcjach meromorficznych

Będziemy nazywali istotnie rzeczywistą funkcją meromorficzną każdą funkcję określoną dla 0 < \z\ < 1 o rozwinięciu

( 1 ) F(z) = — +& 0 +&J 3 + . . . z

przyjmującą na osi rzeczywistej wartości rzeczywiste oraz nie przyjmu­

jącą wartości rzeczywistych w żadnym z pozostałych punktów pierścienia 0 < \z\ < 1 . Klasę tych funkcji oznaczymy przez J. Analogiczną klasę funkcji regularnych rozpatrywał W. Kogosiński [3]. Dowiódł on, że istotnie rzeczywista funkcja regularna musi być kształtu

2

/(*> я-\-а

я* P(z),

gdzie p(z) = 1 + axz -\-... jest funkcją o części rzeczywistej dodatniej i o rzeczywistych współczynnikach. Łatwo zauważyć, że między funkcjami klasy ( 1 ) i ( 2 ) zachodzą związki

F(z) = 1

Ш ' m =

i

przy ewentualnej zmianie w drugiej równości wartości b

tak, by F(z) Ф 0 . Zmiana taka jest oczywiście zawsze możliwa. Stąd każda funkcja klasy J może być przedstawiona, po ewentualnym dodaniu stałej rzeczywistej, w formie

(3) F(z) = — — *(*),

z

gdzie p(z) = 1 + ахг + ... należy do klasy P R funkcji o części rzeczywistej dodatniej i współczynnikach rzeczywistych. Z równości (3) otrzymujemy,

że

^0 == alf Ь-у = Я 2 1 ,

(4)

oraz że

(5)

Oznaczmy przez Ул /г-ty obszar zmienności współczynników funkcji klasy J , a przez JE* гг-ty obszar zmienności współczynników funkcji klasy P R . Eówności (4) i (5) wykazują, że między punktami K

a punk­

tam i Vn zachodzi odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna i ciągła. Wynika stąd odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między punktami brzegów Vn i K n+l. (Łatwo zauważyć, że K

i Vn są domkniętymi obszarami ograniczonymi zawartymi w (гг+ 1)-wymiarowych przestrzeniach Eukli­

desa.) Wiadomo, [1], [3], że każdemu punktowi brzegu K n+l odpowiada tylko jedna funkcja klasy P R oraz że taka funkcja ma postać

p(z) = i

= i \

+1

2 * %

*:=i w + l 2

fyeosJc&.j =

?•=1

- z 2

1 + 22 — 2 zcos?^- > & > 0 ,

V pk

Odwrotnie, każdej funkcji postaci ( 6 ) odpowiada punkt brzegu K n+l. Na mocy wzorów (3), ( 6 ) oraz odpowiedniości między obszarami Vn i К плл wnosimy, że każdemu punktowi brzegu Vn odpowiada tylko jedna funkcja postaci

(7) F(z) 1

z

?i> -f- 1

1 -f 02 — 2;ZCOS'i9y

Odwrotnie, każdej funkcji kształtu (7) odpowiada jakiś punkt brze­

gu Vn.

Wprowadzimy teraz funkcjonały określone na funkcjach klasy J.

Mech E (& !,..., bn) będzie rzeczywistą funkcją zmiennych rzeczywis­

tych, klasy Cly określoną w dowolnym obszarze zawierającym Vn i taką, że

(S)

n / d E \2 i i w > 0

dla wszystkich punktów należących do V„,. Pisząc równość E ( F ) = E ( b l f . . . , b n)

określimy funkcjonał dla funkcji F. Wypowiemy następujące

Funkcje meromorficzne

T

1. Funkcja klasy J, dla której funkcjonał E(F) osiąga wartość ekstremalną jest kształtu

F{z) = A . 1 y i — zz)z z 2 1 - f z 2 — 2 z c o s d k

gdzie parametry tik i fjk spełniają związki П dE

y i dE

—J db}

;=i

2 1 OF — sin?#* +A = O,

?=i

{(j + 1 ) sin- (j + 1 ) ^ — ( j — 1 ) sin (j — 1 ) dk} = O, n+l

& > « • fe =1

D ow ód. Część pierwsza tego twierdzenia wynika bezpośrednio z określenia funkcjonału E{F). Ponieważ zachodzi ( 8 ), więc funkcjonał E(F) musi przyjmować ekstremum dla funkcji F odpowiadającej punk­

towi brzegowemu

Część drugą udowodnimy jak następuje: ponieważ funkcjonał przyj­

muje wartość ekstremalną dla pewnej funkcji kształtu (7), więc wsta­

wiając współczynniki funkcji (7) do funkcjonału, przekształcamy zagad­

nienie poszukiwania ekstremum funkcjonału na zagadnienie poszukiwa­

nia ekstremum funkcji

n

zmiennych dk i fik, związanych z sobą

warunkiem jjk= 2. Z kształtu funkcji (7) widać, że bez ograniczenia fc=i

ogólności możemy założyć fik > 0 . Zależność od jest okresowa. Stąd wynika, że funkcja E{ftг, ..., dn+1; ($l t ...., j 8 n+1) osiąga ekstremum w punk cie, w którym

dE dE

= 0 . (9)

Ponieważ

przyjmującą na osi rzeczywistej wartości rzeczywiste oraz nie przyjmu

/(> я-\-а*

F(z) = ¹

Ш ' ^{m =}

(3) F(z) = — — (),

Oznaczmy przez Ул /г-ty obszar zmienności współczynników funkcji klasy J , a przez JE гг-ty obszar zmienności współczynników funkcji* klasy P R . Eówności (4) i (5) wykazują, że między punktami K

a punk

i Vn są domkniętymi obszarami ograniczonymi zawartymi w (гг+ 1)-wymiarowych przestrzeniach Eukli

V _pk

(7) F(z) ¹

Odwrotnie, każdej funkcji kształtu (7) odpowiada jakiś punkt brze

Mech E (& !,..., bn) będzie rzeczywistą funkcją zmiennych rzeczywis

n / d E \2 i i w ^{> 0}

2 ¹ ^OF — sin?#* +A = O,

D ow ód. Część pierwsza tego twierdzenia wynika bezpośrednio z określenia funkcjonału E{F). Ponieważ zachodzi ( 8 ), więc funkcjonał E(F) musi przyjmować ekstremum dla funkcji F odpowiadającej punk

Część drugą udowodnimy jak następuje: ponieważ funkcjonał przyj

muje wartość ekstremalną dla pewnej funkcji kształtu (7), więc wsta

wiając współczynniki funkcji (7) do funkcjonału, przekształcamy zagad

nienie poszukiwania ekstremum funkcjonału na zagadnienie poszukiwa

ogólności możemy założyć fik > 0 . Zależność od jest okresowa. Stąd wynika, że funkcja E{ftг, ..., dn+1; ($l t ...., j ⁸ n+1) osiąga ekstremum w punk cie, w którym

!>()+1 jfc=i spełnia nierówność \(o{z)\ < 1. Z (3) i (10) mamy*

) zF{z)—l + z 2 = a){z)[l-z + zF{z)],*

**( 6 , + l ) V + 6 |r,"+2 + £ <£/‘(*+1) < 4 + ( 6 , - l ) V ,**

Nierówność ta nie zawsze jest ostra. W pewnych jednak przypadkach daje lepsze oszacowanie współczynnika funkcji klasy J o znanym współ

Dowód tego twierdzenia jest bezpośrednim wnioskiem z twierdze

Wystarczy się więc ograniczyć do badania ekstremum (13), a to z łatwoś