Szkic dowodu twierdzenia o prawie równoległoboku, AM II, 2016/17
Twierdzenie. Norma k · k na przestrzenii wektorowej V pochodzi od pewnego iloczynu skalarnego h·, ·i, t.j. kvk =phv, vi, wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość
2kxk2+ 2kyk2= kx + yk + kx − yk.
Dowód w jedną strone jest prosty i był omówiony na ćwiczeniach.
Szkic dowodu w drugą stronę. Załóżmy, że norma spełnia powyższą równość. Kładziemy hx, yi :=1
4(kx + yk − kx − yk).
Naszym celem jest pokazanie, że tak zdefiniowana funkcja jest rzeczywiście iloczynem skalarnym.
1. Zauważyć, że h·, ·i jest funkcją symetryczną oraz kxk =phx, xi.
2. Wykazać, że hx + y, zi = hx, zi + hy, zi. Wskazówka: rozpisać kx + y ± zk na dwa sposoby.
3. Wykazać, że hλx, yi = λhx, yi, kolejno dla λ = −1, λ ∈ N, λ ∈ Z, λ ∈ Q, λ ∈ R.
To zakończy dowód.
