Krzysztof Golec–Biernat
IFJ PAN i Uniwersytet Rzeszowski
(27 maja 2017)
Wersja robocza nie do dystrybucji
Kraków/Rzeszów
2015
1 Szczególna teoria wzgle¸dności 4
1.1 Metoda radarowa . . . 4
1.2 Transformacja Lorentza . . . 6
1.3 Czterowektory . . . 9
1.4 Podział zdarzeń . . . 10
1.5 Wzgl¸edność równoczesności . . . 11
1.6 Dylatacja czasu . . . 13
1.7 Relatywistyczny efekt Dopplera . . . 14
1.8 Skrócenie długości . . . 15
1.9 Transformacja pr¸edkości . . . 15
1.10 Rapidity . . . 17
1.11 Zapis wektorowy transformacji prędkości . . . 18
1.12 Czterowektor pr¸edkości . . . 19
1.13 Energia i p¸ed . . . 20
1.14 Zasada zachowania energii-pędu . . . 22
1.15 Ruch ze stałym przyśpieszeniem . . . 23
1.16 Współrzędne Rindlera . . . 24
1.17 Zadania . . . 26
3
Szczególna teoria wzgle ¸dności
Szczególna teoria wzgle
‘dności jest teoria
‘relacji mie
‘dzy czasem i przestrzenia
‘, które w sposób naturalny wynikaja
‘z dwóch fundamentalych założen:
• Zasada wzgle
‘dności Galileusza jest słuszna także w odniesieniu do zja- wisk elektromagnetycznych. Innymi słowy przy pomocy zjawisk elek- tromagnetycznych nie można wie
‘c wyróżnić żadnego inercjalnego ukła- du odniesienia.
• Pre
‘dkość światła jest taka sama dla wszystkich obserwatorów inercjal- nych.
Opierając się na tych postulatach można wyprowadzić nowe w stosunku do transformacji Galileusza relacje pomiędzy pomiarami czasu i przestrzeni.
1.1 Metoda radarowa
Zbadajmy jakie sa
‘konsekwencje takich założeń. Dla uproszczenia przyjmij- my, że rozważane ruch sa
‘ jednowymiarowe, wzdłuż osi x.
Niech obserwator inercjalny S wysyła sygnał świetlny w chwili t1 w kie- runku dodatnim osi x. Sygnał ten ulega odbiciu, powracaja
‘c do obserwatora S w chwili t2 - patrz rysunek 1.1 (po lewej). Obserwator S stwierdzi, iż od- bicie sygnału nasta
‘piło w chwili t takiej, że czas tam i czas z powrotem sa
‘
sobie równe
t − t1= t2− t . (1.1)
4
t1
t
t
x
2
t t
1 2
t t’
Rys. 1.1: Metoda radarowa rekonstrukcji współrz¸ednych zdarzenia.
Innymi słowy uzna, że odbicie jest równoczesne z chwila
‘
t = t1+ t2
2 , (1.2)
wskazywana
‘ przez jego zegar własny. Uzna on też, że odległość x w jakiej nasta
‘piło odbicie jest równe połowie czasu tam i z powrotem pomnożonego przez pre
‘dkość światła c,
x = ct2− t1
2 . (1.3)
Wyliczaja
‘c t1 oraz t2 jako funkcje
‘ zmiennych (t, x) otrzymujemy t1= t −x
c, t2= t +x
c. (1.4)
Rozważmy drugiego obserwatora inercjalnego S0, oddalaja
‘cego sie
‘ od S
ze stała
‘pre
‘dkościa
‘wzdłuż osi x - patrz rysunek 1.1 (po prawej). Zakładamy, że obserwatorzy dysponuja
‘ identycznymi zegarami zsynchronizowanymi w taki sposób, że w chwili ich spotkania
t = t0= 0 . (1.5)
Wprowadziliśmy w ten sposób nowe oznaczenie czasu t0 dla obserwatora S0, dopuszczaja
‘c możliwość przypisania temu samemu zdarzeniu różnych war- tości czasu przez obu obserwatorów. Jeżeli obserwator S wie, że sygnał odbił sie‘ od poruszaja
‘cego sie
‘ wzgle
‘dem niego obserwatora S0 to przypisze temu obserwatorowi pre
‘dkość
V = x
t. (1.6)
Wtedy równania (1.4) przyjmą postać
t1= t(1 − β) , t2= t(1 + β) . (1.7) gdzie
β = V
c . (1.8)
Jaka‘ chwile
‘ t0 zarejestruje S0 w momencie odbicia sygnału świetlnego?
Posłużymy sie
‘ naste
‘puja
‘cym rozumowaniem. Odste
‘p czasu w układzie S0 pomie
‘dzy minie
‘ciem sie
‘ obserwatorów a odbiciem sygnału, t0, jest proporcjo- nalny do odste
‘pu czasu w układzie S pomie
‘dzy minie
‘ciem sie
‘ obserwatorów, a chwila
‘wysłania sygnału t1,
t0= α(~V ) t1, (1.9)
gdzie współczynnik proporcjonalności α zależy od pre
‘dkości ~V . Podobnie, z perspektywy obserwatora S czas odebrania powracaja
‘cego sygnału t2 jest proporcjonalny do czasu jego wysłania t0 przez obserwatora S0,
t2 = α(−~V ) t0. (1.10)
Odbicie sygnału przez obserwatora S0jest bowiem tożsame z jego wysłaniem w kierunku obserwatora S. Zasada wzgle
‘dności prowadzi do wniosku, że współczynnik proporcjonalności α jest w obu relacjach taki sam i zależy tylko od modułu wzgle
‘dnej pre
‘dkości obserwatorów,
α = α(|~V |) . (1.11)
W przeciwnym przypadku, któryś z obserwatorów inercjalnych byłby wy- różniony. Eliminuja
‘c z obu relacji t0, otrzymujemy
t2 = α2t1. (1.12)
Podstawienie relacji (1.7), pozwala wyliczyć α =
s1 + β
1 − β. (1.13)
1.2 Transformacja Lorentza
Rozważmy raz jeszcze odbicie sygnału świetlnego, tym razem w dowol- nym miejscu, z punktu widzenia dwóch obserwatorów inercjalnych S i S0 oddalaja
‘cych sie od siebie z pre
‘dkościa
‘ V .
t
t1
2
2
1
t’
t’
t
t’
Rys. 1.2: Ilustracja transformacji Lorentza.
Obserwator S wysyła promień świetlny w chwili t1= t − x/c, a naste
‘pnie
odbiera go w chwili t2= t + x/c po odbiciu, przypisuja
‘c zdarzeniu odbicia współrze
‘dne (t, x) - patrz rysunek 1.2.
Analogicznie, obserwator S0 przypisze temu samemu zdarzeniu swoje współrze
‘dne (t0, x0), rejestruja
‘c chwile
‘ t01= t0− x0/c minie‘cia go przez przez promień świetlny wysłany przez S jako swoja
‘chwile
‘ pocza
‘tkowa
‘oraz chwile
‘
t02= t0+ x0/c powrotu sygnału.
Naszym celem jest znalezienie zwia
‘zku pomie
‘dzy przypisanymi zdarzeniu współrze
‘dnymi. Zauważmy, że z relacji (1.9) i (1.10) wynika
t01= α t1, t2= α t02 (1.14) czyli
t0−x0
c = αt −x c
, t +x
c = αt0+x0 c
. (1.15)
W ten sposób otrzymujemy układ równań t0− x0/c = α (t − x/c) t0+ x0/c = 1
α(t + x/c) . (1.16)
Mnoża
‘c stronami równania (1.16) znajdujemy niezmienniczy interwał c2t02− x02 = c2t2− x2. (1.17)
Jest to niedodatnio określona odległość w czasoprzestrzeni pomie
‘dzy dwo- ma zdarzeniami, w tym przypadku minie
‘ciem sie
‘ obserwatorów i odbiciem sygnału. W uje
‘ciu geometrycznym transformacje
‘ Lorentza definiuje sie
‘ jako
transformację, która zachowuje postulowany interwał (1.17).
Dodaja
‘c i odejmuja
‘c stronami równania (1.16), otrzymujemy t0 = 1
2
α +1
α
t −1
2
α −1
α
x c x0
c = 1 2
α +1
α
x c − 1
2
α −1
α
t . (1.18)
Podstawiaja
‘c relacje
‘ (1.13), znajdujemy 1
2
α +1
α
= 1
p1 − β2 1
2
α −1
α
= β
p1 − β2, (1.19)
co prowadzi to naste
‘puja
‘cych wzorów na transformacje‘ Lorentza, t0 = t − V x/c2
p1 − β2 (1.20)
x0 = x − V t
p1 − β2. (1.21)
Zauważmy, że transformacje
‘ odwrotna
‘ otrzymujemy zamieniaja
‘c V → −V , t = t0+ V x0/c2
p1 − β2 (1.22)
x = x0+ V t0
p1 − β2. (1.23)
Transformacje
‘ Lorentza należy uzpełnić o prawo transformacyjne dla współrze
‘dnych przestrzennych w kierunkach prostpadłych do kierunku ru- chu. W omawianej konfiguracji, gdy pre
‘dkość układu S0 jest skierowana wzdłuż osi x układu S i osie obu układów sa
‘do siebie równoległe, mamy y0 = y
z0 = z (1.24)
1.3 Czterowektory
Transformację Lorentza dla ruchu wzdłuż osi x można zapisać w formie macierzowej
ct0
x0 y0 z0
=
γ −βγ 0 0
−βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ct x y z
(1.25)
gdzie β = V /c, natomiast
γ = 1
p1 − β2 (1.26)
to czynnik Lorentza. Transformacja odwrotna to
ct
x y z
=
γ βγ 0 0
βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ct0
x0 y0 z0
(1.27)
Każdy układ czterech wielkości transformuja
‘cych sie
‘ tak jak powyżej nazywamy czterowektorem. W szczególności czterowektor położenia to
xµ≡ (x0, x1, x2, x3) = (ct, x, y, z) . (1.28) Zapis transformacji Lorentza (1.27) w notacji tensorowej dla składowych czterowektora położenia to
x0µ= Λµνxν, µ, ν = 0, 1, 2, 3 , (1.29) gdzie sumujemy po górnym i dolnym wskaźniku po prawej stronie. Wpro- wadzając macierz tensora metrycznego
ηµν=
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
(1.30)
warunek (1.17), który spełnia transformacja Lorentza można zapisać w po- staci tensorowej
ηµνx0µx0ν= ηαβxαxβ. (1.31) Podstawiając transformację (1.29) otrzymujemy warunek jaki musi spełniać każda transformacja Lorentza,
ηµνΛµαΛνβ= ηαβ. (1.32)
Jak łatwo sprawdzić, transformacja Lorentza dla dowolnie skierowanej pręd- kości v = (v1, v2, v3),
Λ00= γ , Λ0i= Λi0= γvi
c , Λij= δij+vivj
v2 (γ − 1) , (1.33) gdzie γ = (1 − v2/c2)−1/2, spełnia powyższy warunek.
1.4 Podział zdarzeń
Przy zmianie układu inercjalnego S, współrze
‘dne (ct, x, y, z) czterowekto- ra położenia zdarzenia P w układzie S podlegaja
‘ transformacji Lorentza.
Wielkością, która nie zmienia się przy transformacji Lorentza, czyli jest jej niezmiennikiem, to interwał
s2 = c2t2− x2− y2− z2. (1.34) Wielkość ta jest kwadratem odległości pomie
‘dzy zdarzeniem 0 = (0, 0, 0, 0) i P = (ct, x, y, z) w przestrzeni Minkowskiego.
W zwia
‘zku z tym, że interwał (1.34) nie jest dodatnio określony, zdarze- nia O i P sa
‘ powia
‘zane jedna
‘ z trzech relacji - patrz rysunek 1.3:
• zdarzenia leża
‘ na stożku światła, gdy s2= 0,
• zdarzenia sa
‘rozdzielone czasowo, gdy s2> 0,
• zdarzenia sa
‘rozdzielone przestrzennie, gdy s2< 0 . Zdarzenia leża
‘ce na stożku światła można poła
‘czyć sygnałem świetlnym.
Podstawiaja
‘c do równania (1.34) równanie sygnału świetlnego,
x2+ y2+ z2= c2t2, (1.35) otrzymujemy znikający interwał, s2= c2t2− c2t2= 0. Zdarzenia rozdzielone czasowo można poła
‘czyć sygnałem o pre
‘dkości v < c, gdyż wtedy
x2+ y2+ z2= v2t2 (1.36) i s2= c2t2− v2t2> 0. Zdarzenia rozdzielone przestrzennie, dla których zacho- dzi s2 < 0, nie moga
‘ być powia
‘zane przyczynowo, gdyż musiałby je ła
‘czyć
sygnal o pre
‘dkości v > c, co jest sprzeczne zzałożeniem, że c jest maksymalna
‘
pre‘dkościa
‘ przesyłania sygnału. Przedstawione podział jest absolutny, tzn.
nie zależy od wyboru inercjalnego układu odniesienia.
x ct
s
s s2
2
2
s2 s
2
= 0 s2= 0
> 0
> 0
< 0
< 0
Rys. 1.3: Stożek światła punktu O będącego początkiem układu współrzęd- nych i podział zdarzeń względem tego punktu.
Ogólnie, interwałem lub pseudo-odległością pomiędzy dowolnymi zda- rzeniami P1 i P2 jest wyrażenie
s212 = c2(t2− t1)2− (x2− x1)2− (y2− y1)2− (z2− z1)2, (1.37) gdzie (cti, xi, yi, zi) to współrzędne tych zdarzeń w danym inercjalnym ukła- dzie współrzędnych S. Jest ono niezmiennikiem transformacji Lorentza.
1.5 Wzgle ¸dność równoczesności
Rozważmy dwa zdarzenia A i B, które w układzie S zachodza
‘w tym samym czasie t, ale w różnych położeniach przestrzennych x1 6= x2. Sa
‘ wie
‘c one równoczesne w tym układzie, a ich współrze
‘dne czasoprzestrzenne to A = (t, x1) , B = (t, x2) . (1.38) Zgodnie ze wzorem (1.20), w układzie S0 zdarzenia zachodza
‘ w różnych chwilach czasu
A = (t01, x01) , B = (t02, x02) . (1.39)
00 11
00 11
t t’
x x’
A B
Rys. 1.4: Płaszczyzny równoczesności zdarzenia A (linie przerywane) w ukła- dzie S oraz S0.
Odste
‘p czasu miedzy nimi to
∆t0= t01− t02=−V (x1− x2)/c2
p1 − β2 6= 0 . (1.40) Dwa zdarzenia rozdzielone przestrzennie, które były równoczesne w układzie S przestaja‘być równoczesne w układzie S0, patrz rysunek 1.4. Stąd wniosek
Równoczesność zdarzeń jest poje‘ciem wzgle‘dnym, gdyż zależy od iner- cjalnego układu odniesienia.
Analogicznie jak w układzie S, powierzchnie zdarzeń równoczesnych w układzie S0 sa
‘ zdefiniowane przez warunek t0 = const. W szczególności, kłada
‘c t0 = 0 w równaniu (1.20) znajdujemy równanie osi x0 na wykresie Minkowskiego,
ct = V
c x . (1.41)
Jest ona nachylona pod kątem φ do osi x na wykresie Minkowskiego, gdzie tg φ =V
c . (1.42)
Podobnie znajdujemy równanie osi t0, kłada
‘c x0= 0 w równaniu (1.21), x =V
c ct . (1.43)
Tym razem oś jest nachylona pod tym samym kątem φ do osi t, patrz rysunek 1.4. Zauważmy, że dla V → c obie osie da
‘ża
‘ do stożka światła x = ct.
1.6 Dylatacja czasu
Rozważmy dwa zdarzenia zachodzące w układzie S0 w tym samym punkcie x0, ale w różnych chwilach czasu t01and t02. Odstęp czasu między nimi wynosi wynosi
∆τ = t02− t01 (1.44)
i nazywany jest czasem własnym. Zwróćmy uwagę, że czas własny jest nie- zmiennikiem transformacji Lorentza, gdyż niezmienniczy kwadrat pseudo- odległości pomiędzy dwoma zdarzeniami wynosi w układzie S0
s212= c2(∆τ )2 (1.45)
Obserwator inercjalnych S, względem którego S0 porusza się się z pręd- kością v w dodatnim kierunku osi x stwierdzi, że zdarzenia te zachodzą w różnych punktach, x1 i x2, i w różnych chwilach czasu, t1i t2. Odstęp czasu między tymi zdarzeniami mierzony w układzie S wynosi
∆t = t2− t1=(t02+ βx0/c) − (t01+ βx0/))
p1 − β2 = t02− t01
p1 − β2. (1.46) Stąd relacja między odstępami czasu między zdarzeniami z punktu widzenia obu obserwatorów
∆t = ∆τ
p1 − β2. (1.47)
Obserwator S zmierzy dłuższy odstęp czasu pomiędzy dwoma zdarzenia- mi zachodzącymi w tym samym punkcie w układzie poruszającym się S0 o czynnik Lorentza γ = 1/p1 − β2 > 1. Stąd
Odstępy czasu pomiędzy zdarzeniami zachodzącymi w tym samym punk- cie w układzie poruszającym ulegają wydłużeniu z punktu widzenia ob- serwatora spoczynkowego.
T 2T T
2T 3T
0 0
3T
0
Rys. 1.5: Ilustracja relatywistycznego efektu Dopplera.
1.7 Relatywistyczny efekt Dopplera
Rozważmy w ukladzie S0 zjawisko okresowe polegaja
‘ce na emisji promieni świetlnych z okresem T0, przykładowo w chwilach - patrz rysunek 1.5,
t0 = T0, 2 T0, 3 T0, . . . (1.48) Obserwator S odbiera je w naste
‘puja
‘cych chwilach mierzonych przez jego zegar
t = T, 2 T, 3 T, . . . . (1.49) Zgodnie ze wzorem (1.10), zwia
‘zek mie
‘dzy okresami tego zjawiska jest dany relacja
‘
T = α T0 =
s1 + β
1 − β T0. (1.50)
Stąd, ze wzoru na długość fali, λ = cT , otrzymujemy wzór na przesunie
‘cie Dopplera
λ =
s1 + β
1 − β λ0. (1.51)
Długość fali elektromagnetycznej emitowanej przez źródło oddalaja
‘ce sie
‘ od
obserwatora S ulega zwiększeniu (”przesunie
‘ciu ku czerwieni"), gdyż λ > λ0. Rozważaja
‘c zbliżaja
‘ce sie
‘ źródło należy zamienić β → −β we wzorze (1.51). Otrzymujemy wtedy zmniejszenie długości fali mierzonej przez ob- serwatora S ("przesunie
‘cie do nadfioletu"), gdyż λ < λ0.
1.8 Skrócenie długości
Rozważmy pre
‘t o długości L0 spoczywaja
‘cy w układzie S0. Ponieważ pre
‘t spoczywa, jego długość możemy określić podaja
‘c współrze
‘dne początku i końca w dowolnych chwilach w układzie S0
L0 = x02− x01. (1.52) Przy określeniu długości w układzie S, w którym pre
‘t sie
‘ porusza, ważne jest by podać współrze
‘dne pocza
‘tku i końca pre
‘ta, x1 oraz x2, w tej samej chwili czasu t. W przeciwnym przypadku długość pre
‘ta nie ma sensu, gdyż uwzgle
‘dnia jego ruch. Wykorzystuja
‘c zatem wzór (1.21), otrzymujemy L0 = x02− x01 = (x2− V t) − (x1− V t)
p1 − β2 = x2− x1
p1 − β2. (1.53) Wprowadzając długość pręta w układzie S, L = x2− x1, znajdujemy
L = L0 q
1 − β2. (1.54)
i stąd
Długość przedmiotu mierzona wzdłuż kierunku jego ruchu przez obserwa- tora spoczynkowego ulega skróceniu w stosunku do długości przedmiotu mierzonego w spoczynku
1.9 Transformacja pre ¸dkości
Rozważmy ruch ciała w układzie S0 z chwilową pre
‘dkościa
‘
v0x= dx0
dt0 (1.55)
wzdłuż osi x0. Korzystaja
‘c z praw transformacji Lorentza (1.22)-(1.23) dla różniczek współrzędnych,
dt = dt0+ V dx0/c2
p1 − β2 (1.56)
dx = dx0+ V dt0
p1 − β2 , (1.57)
otrzymujemy wartość pre
‘dkości ciała wzdłuż osi x w układzie S, vx = dx
dt = dx0+ V dt0
dt0+ V dx0/c2. (1.58) Dzieląc licznik i mianownik przez dt0 znajdujemy nowe prawo składania pre‘dkości podłużnych,
vx = vx0 + V
1 + vx0 V /c2. (1.59) Zauważmy, że podstawiaja
‘c vx0 = c otrzymujemy vx = c. Graniczna war- tość pre
‘dkości c jest wie
‘c wbudowana w relatywistyczne prawo składania pre‘dkości. W granicy gdy obie pre
‘dkości sa
‘ małe, v0x, V c, wzór (1.58) przechodzi w prawo dodawania prędkości wynikaja
‘ce z transformacji Gali- leusza,
vx= vx0 + V . (1.60)
Niech cza
‘stka porusza sie
‘ tak, że zmienia sie
‘ również jej współrze
‘dna
poprzeczna y0 w układzie S0. Wtedy prędkość cząstki w tym kierunku to vy0 = dy0
dt0 . (1.61)
Wymiary poprzeczne do kierunku względnego ruchu układów inercjalnych nie ulegają zmianie, dy = dy0. Stąd otrzymujemy
vy = dy
dt = dy0 dt0+ dx0V /c2
q
1 − V2/c2. (1.62) Dzieląc licznik i mianownik przez dt0otrzymujemy prawo transfomacji pręd- kości poprzecznych przy zmianie inercjalnego układu odniesienia
vy = vy0 1 + v0xV /c2
q
1 − V2/c2. (1.63) Podobnie, dla składowej pre
‘dkości wzdłuż osi z0, vz = vz0
1 + v0xV /c2 q
1 − V2/c2. (1.64)
Jako przykład rozważmy ruch promienia świetlnego w układzie S0wzdłuż osi y0. Jego wektor prędkości w układzie S0 to
v0= (0, c, 0) , (1.65)
natomiast prawa transformacyjne (1.59) i (1.63)-(1.64) prowadzą do nastę- pującego wektora prędkości w układzie S,
v = (V, c q
1 − V2/c2, 0) . (1.66) Łatwo sprawdzić, że |v|=c, tzn. prędkość światła nie ulega zmianie. Zmienia się natomiast kąt wektora prędkości liczony względem kierunku ruchu ukła- du S0. Jeżeli w ukłdzie S0 kąt α0= π/2 to kąt α w układzie S jest zadany przez warunek
sin α = vy
c = 1
γ, (1.67)
gdzie γ jest czynnikiem Lorenzta. W ogólności ze wzoru (1.63) otrzymujemy sin α = sin α0
γ(1 + β cos α0), (1.68)
gdzie sin α0 = vy0/c oraz cos α0 = vx0/c. Zauważmy, że dla V → c, czynnik 1/γ → 0 i kąt α → 0 w układzie S.
1.10 Rapidity
Prawo (1.59) szczególnie prosta
‘ postać dla wielkości (kłada
‘c c = 1) α(vx) =
s1 + vx
1 − vx. (1.69)
Podstawiaja
‘c bowiem do powyższego relacje
‘ (1.58), znajdujemy α(vx) =
s(1 + vx0)(1 + V )
(1 − vx0)(1 − V ) = α(v0x) α(V ) . (1.70) Prawo składania pre
‘dkości (1.59) jest addytywne dla rapidity Y (vx) ≡ ln α(vx) = 1
2ln1 + vx
1 − vx, (1.71)
gdyż z równania (1.70) otrzymujemy
Y (vx) = Y (v0x) + Y (V ) . (1.72)
Parametry (1.19) transformacji Lorentza można wyrazić przy pomocy rapidity korzystajac z odwróconej relacji (1.71): α(V ) = eY (V ). Otrzymujemy
cosh Y = 1
2(eY + e−Y) = 1
√ 1 − V2 sinh Y = 1
2(eY − e−Y) = V
√
1 − V2, (1.73)
a wzór (1.25) dla transformacji Lorentza przyjmuja
‘ postać
ct0
x0 y0 z0
=
cosh Y − sinh Y 0 0
− sinh Y cosh Y 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ct
x y z
(1.74)
Zauważmy, że
tgh Y = sinh Y
cosh Y = V = tg φ , (1.75) gdzie φ jest ka
‘tem odchylenia osi x0 i t0od osi x i t na wykresie Minkowskiego - patrz rozdział 1.5.
Łatwo sprawdzić, mnoża
‘c dwie macierze transformacji Lorentza wzdłuż osi x z rapidity Y1= Y (V1) oraz Y2= Y (V2), że w wyniku otrzymamy macierz transformacji Lorentza z rapidity
Y = Y1+ Y2. (1.76)
Sta‘d wynika, że zbiór transformacji Lorentza wzdłuż tej samej osi tworzy grupe
‘ z elementem jednostkowym odpowiadaja
‘cym rapidity Y = 0 oraz ele- mentem odwrotnym −Y dla transformacji z rapidity Y .
1.11 Zapis wektorowy transformacji prędkości
Wzory transformacyjne dla składowych prędkości można zapisać w zwarty sposób wprowadzaja
‘c w każdym z układów składowe pre
‘dkości podłużne i poprzeczne do kierunku prędkości względnej układów, V, na przykład
v = vk+ v⊥ v⊥· V = 0 . (1.77) Prawa transformacji składowej poprzecznej, (1.63) i (1.64), przyjmują wtedy postać
v⊥= v0⊥ 1 + v0· V/c2
q
1 − V2/c2, (1.78)
natomiast wzór (1.59) dla prędkości podłużnej to vk=
v0k+ V
1 + v0· V/c2. (1.79)
Zauważmy, że jeśli w układzie S0 pre
‘dkość v0 jest prostopadła do V to mamy
v0k= 0 i v0· V = 0 . (1.80) W układzie S pojawia sie
‘ składowa równoległa pre
‘dkości zwia
‘zana z “uno- szeniem” cza
‘stki przez układ S0 w kierunku pre
‘dkości V,
vk= V , (1.81)
natomiast prędkość poprzeczna to
v⊥= v0⊥q1 − V2/c2. (1.82) Czynnik Lorentza w tym wzorze to efekt dylatacji czasu w układzie S przy niezmieniaja
‘cej sie odległości poprzecznej.
1.12 Czterowektor pre ¸dkości
W krótkiej chwili czasu dt w układzie S prędkość chwilowa v poruszającej się cząstki jest stała. Można wtedy wprowadzić układ inercjalny S0, w któ- rym cząstka chwilowo spoczywa. Odstęp czasu własnego dτ , powiązany z odstępem czasu dt wzorem (1.47),
dτ = dt q
1 − v2/c2, (1.83)
jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Możemy więc zdefiniować czte- rowektor prędkości chwilowej cząstki
vµ=dxµ
dτ , (1.84)
gdzie dxµ= (cdt, dx, dy, dz) to czterowektor różniczek współrzędnych cząstki w układzie S. Tak więc, składowe czteroprędkości to
vµ=dxµ dt
dt
dτ = c
p1 − v2/c2, v p1 − v2/c2
!
. (1.85)
Kwadrat wektora czteroprędkości, liczony w metryce Minkowskiego wynosi v2≡ (v0)2− (v1)2− (v2)2− (v3)2= c2. (1.86) Jest to więc czterowektor czasopodobny.
Udowodnimy, że składowe vµ czteroprędkości transformują się tak jak współrzędne czterowektora położenia - tworzą więc czterowektor.
Jeżeli współrzędne cząstki w układzie S transformują się zgodnie z trans- formacją Lorenza (1.29) przy zmianie inercjalnego układu odniesienia,
(xµ)0= Λµνxν, (1.87) to takie samo prawo jest słuszne dla różniczek współrzędnych
(dxµ)0= Λµνdxν. (1.88) Dzieląc obie strony powyższej równości przez niezmiennik dτ , otrzymujemy prawo transformacyjne składowych czteroprędkości
(vµ)0= Λµνvν. (1.89) Czteroprędkość (1.84) jest więc czterowektorem w przestrzeni Minkowskiego.
1.13 Energia i pe ¸d
Energia i pe
‘d cząstki masowej w szczególnej teorii wzgle
‘dności tworzą czte- rowektor o składowych
pµ=
E c , p
, (1.90)
proporcjonalnych do składowych czterowektora prędkości
pµ= m0vµ, (1.91)
gdzie m0 jest masą spoczynkową cząstki.
Korzystając ze wzoru (1.85) dla składowych czteroprędkości, znajdujemy wzory na energię i pęd cząstki w szczególnej teorii względności
E = m0c2
p1 − v2/c2 (1.92)
p = m0v
p1 − v2/c2. (1.93)
Kwadrat długości czterowektora energii-pędu to p2 ≡ E2
c2 − p2 = m20c2. (1.94) Masa spoczynkowa cząstki jest więc niezmiennikiem transformacji Lorentza.
Wzór (1.94) można też zapisać w często używanej formie
E2= c2p2+ m20c4. (1.95) Wyciągając pierwiastek, otrzymujemy
E = ± q
c2p2+ m20c4. (1.96) Całkowita energia może więc być dodatnia i ujemna. W teorii klasycznej (niekwantowej) odrzucamy możliwość występowania ujemnej energii. Nie można tego zrobić w relatywistycznej teorii kwantowej, co prowadzi do ko- nieczności wprowadzenia antycząstki dla każdej cząstki.
Natychmiastowym wnioskiem z definicji energii i pędu jest zwia
‘zek
p = E
c2v . (1.97)
Tak wie
‘c, relatywistyczna energia odgrywa role
‘ rosna
‘cej z pre
‘dkościa
‘ masy
bezwładnej. Inaczej mówia
‘c, z każda
‘ forma
‘ energia
‘ zwia
‘zana jest bezwład- ność określona przez mase
‘
m = E
c2. (1.98)
Wzór (1.97) wykorzystuje sie
‘ jako relacje
‘ podstawowowa
‘dla cza
‘stek bez- masowych (m0= 0), takich jak foton, poruszaja
‘cych sie
‘ z pre
‘dościa
‘światla.
Kłada
‘c |v| = c, otrzymujemy relację między energią i pędem dla cząstki bezmasowej
E = c |p| . (1.99)
Interesuja
‘ca jest również granica małych pre
‘dkości dla relatywistycznej energii i pe
‘du. Zachowuja
‘c co najwyżej człony kwadratowe w (v/c) we wzo- rach (1.92) i (1.93), znajdujemy
E ' m0c2+ 12m0v2 (1.100)
p ' m0v . (1.101)
Nowym elementem w stosunku do teorii nierelatywistycznej jest energia spo- czynkowa, m0c2, zwia
‘zana z masa
‘spoczynowa
‘ciała. Tak więc, energia ciała w spoczynku to nieusuwalna energia spoczynkowa
E0= m0c2. (1.102)
1.14 Zasada zachowania energii-pędu
Relatywistyczne definicje energii pe
‘du sa
‘ tak wybrane by E i p tworzyły czterowektor przy założeniu, że masa spoczynkowa m0 jest niezmiennikiem transformacji Lorentza (przyjęliśmy układ jednostek, w którym c = 1). Jest to niezbe
‘dne by spełniona była zasada wzgle
‘dności w odniesieniu do zacho- wania energii i pe
‘du.
Równość składowych dwóch czterowektorów energii-pędu w inercjalnym układzie odniesienia S,
(Ein, pin) = (Eout, pout) , (1.103) wyrażaja
‘ca zasade
‘ zachowania energii i pe
‘du w tym układzie, jest bowiem niezmiennicza wzgle
‘dem transformacja
‘ Lorentza tych współrze
‘dnych. Tym samym w układzie inercjalnym S0, poruszającym się względem S, zasada zachowania energii-pędu też jest spełniona
(Ein0 , p0in) = (Eout0 , p0out) , (1.104) W zderzeniach cząstek, energia Ein jest sumą energii cząstek wchodzą- cych do reakcji, a pin jest wektorową sumą ich pędów. Podobnie dla cząstek będących produktem reakcji. Wzór (1.103) wyraża zatem zachowanie całko- witej energii oraz całkowitego pędu cząstek w rozważanej reakcji
Nk
X
k=1
Ein(k) =
Nl
X
l=1
E(l)out (1.105)
Nk
X
k=1
p(k)in =
Nl
X
m=1
p(l)out, (1.106)
gdzie wskaźniki k, l identyfikują cząstki. Zauważmy, że kwadrat całkowitej masy układu cząstek, M2, jest niezmiennikiem reakcji,
M2=
Nk
X
k=1
Ein(k)
2
−
Nk
X
k=1
p(k)in
2
=
Nl
X
l=1
Eout(l)
2
−
Nl
X
l=1
p(l)out
2
, (1.107)
i dlatego M2 nazywamy masą niezmienniczą układu zderzających się czą- stek.
1.15 Ruch ze stałym przyśpieszeniem
Rozważmy trajektorię
t = a−1sinh σ , x = a−1cosh σ , (1.108) gdzie σ ∈ (−∞, ∞) oraz położyliśmy c = 1. Policzmy
ds2≡ dτ2= dt2− dx2= a−1dσ2, (1.109) i stąd czas własny cząstki, τ = a−1σ + τ0. Przyjmując τ0= 0 dostajemy tra- jektorię
t = a−1sinh(aτ ) , x = a−1cosh(aτ ) , (1.110) dla której w chwili τ = t = 0 położenie x = a−1. Na wykresie Minkowskiego trajektoria ta jest prawą gałęzią hiperboli
x2− t2= a−2. (1.111)
Policzmy jeszcze czteroprędkość uµ= dxµ/dτ u0= dt
dτ = cosh(aτ ) , u1=dx
dτ = sinh(aτ ) (1.112) oraz czteroprzyśpieszenie aµ= duµ/dτ ,
a0= a sinh(aτ ) , a1= a cosh(aτ ) . (1.113) Transformacja Lorentza prowadząca do chwilowego układu inercjalnego, w którym cząstka spoczywa, uµ= (1, 0), to
Λµν = cosh(aτ ) − sinh(aτ )
− sinh(aτ ) cos(aτ )
!
(1.114) gdyż
cosh(aτ ) − sinh(aτ )
− sinh(aτ ) cos(aτ )
! cosh(aτ ) sinh(aτ )
!
= 1
0
!
(1.115) Dla czteroprzyśpieszenia w tym układzie znajdujemy
cosh(aτ ) − sinh(aτ )
− sinh(aτ ) cos(aτ )
! a sinh(aτ ) a cosh(aτ )
!
= 0
a
!
(1.116)
Zatem w chwilowym układzie, w którym cząstka spoczywa przyśpieszenie jest stałe, aµ= (0, a).
Policzmy zależność prędkości i przyśpieszenia od czasu t w inercjalnym układzie odniesienia S. Dla prędkości znajdujemy
v = dx
dt = sinh(aτ )
cosh(aτ )= at
√
1 + a2t2 (1.117) gdzie wykorzystaliśmy zależność (1.110) oraz relację cosh2ψ − sinh2ψ = 1.
Widzimy, że dla t → ±∞ prędkość v → ±c. Stożek świetlny x = ±t jest horyzontem zdarzeń dla takich ruchów, gdyż każda trajektoria (1.110) dąży do niego asymptotycznie.
Dla przyśpieszenia w układzie inercjalnym S otrzymamy po zróżniczko- waniu (1.117) po czasie t,
a =dv
dt = a
[1 + a2t2]3/2 (1.118) Zgodnie z oczekiwanie przyśpieszenie w układzie S maleje do zera, a → 0, gdy t → ±∞.
1.16 Współrzędne Rindlera
Trajektorię ruchów ze stałym przyśpieszeniem mogą posłużyć do sparame- tryzowania przestrzennopodobnego obszaru na zewnątrz stożka świetlnego x = ±t. Wprowadźmy bowiem współrzędne Rindlera (η, ξ) dla prawego klina, t = ξ sinh η , x = ξ cosh η , (1.119) gdzie η ∈ (−∞, ∞) oraz ξ ∈ (0, ∞). Linie stałego ξ to hiperbole
x2− t2= ξ (1.120)
będące trajektoriami ruchów jednostajnie przyśpieszonych z przyśpieszeniem 1/ξ, natomiast linie stałego η to półproste
t = tgh η · x , (1.121)
nachylone do osi x pod kątem φ ∈ (−π/4, π/4).
Metryka w nowych zmiennych przyjmuje postać ds2= dt2− dx2= ξ2 dη2−dξ2 ξ2
!
. (1.122)
Jest ona osobliwy dla ξ = 0 (tzn. dla x = y = 0), dla którego to punktu transformacja Rindlera jest osobliwa. Wprowadzając nową współrzędną
ρ = ln ξ , (1.123)
gdzie ρ ∈ (−∞, ∞), otrzymujemy metrykę w postaci
ds2= e2ρdη2− dρ2, (1.124) która jest równoważna konforemnie metryce Minkowskiego. Definiując na- stępnie nowe zmienne,
u = η + ρ , v = η − ρ , (1.125)
gdzie u, v ∈ (−∞, ∞), dostajemy
ds2= eu−vdu dv . (1.126)
Stąd linie u = const i v = const są liniami świata promieni świetlnych, dla których ds2= 0
1.17 Zadania
1. W reakcjach ja
‘drowych promieni kosmicznych z atomami atmosfery na wysokości 10 km wytwarzane sa
‘miuony o pre
‘dkości bliskiej pre
‘dkości światła. Można je też wytworzyć w akceleratorach i zmierzć średni czas życia τ = 2.2 × 10−6 s (mierzony w układzie spoczynkowym cza
‘stki).
Zakładaja
‘c, że pre
‘dkość mionu v = 0.999 c obliczyć:
- jaki czas z punktu widzenia obserwatora na Ziemi potrzebuje miu- on na dotarcie do jej powierzchni (3.34 × 10−5 s),
- ile wynosi ten czas z punktu widzenia miuonu (1.46 × 10−6 s), - jaka
‘droge
‘ może przebyć miuon w średnim czasie życia gdyby nie istniał efekt dylatacji czasu (659 m),
- jaka
‘ odległosć od Ziemi widzi szybki miuon na wysokości 10 km (436 m).
2. Ile wynosi energia spoczynkowa ciała o masie 1 g ? (9 × 1013J ). Na jaką wysokość można by podnieść całą ludzkość (7 mld) przy użyciu takiej energii.
3. Ile musi wynieść energia kinetyczna dwóch zderzaja
‘cych sie
‘ protonów by móc wyprodukować 3 protony i jeden antyproton. Rozważyć ten proces w układzie, w którym jeden z protonów spoczywa oraz w ukła- dzie środka masy zderzaja
‘cych sie
‘ protonów.
[1] A. Trautman, W. Kopczyński, Czasoprzestrzeń i grawitacja, PWN, Warszawa, 1981.
[2] Lew D. Landau, Jewgienij M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa, 2009.
27
