DZIAŁ RECENZJI I OPINII
M A T E M A T Y K A S T O S O W A N A 1, 2000
D. Cioranescu, P. Donato, An Introduction to Homogenization, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, vol. 17,
Oxford University Press, 1999, 262 strony + IX stron, ISBN 0 19 856554 2.
Istotę homogenizacji można przedstawić następująco: niech będzie dany ośrodek idealnie sztywny lub odkształcalny scharakteryzowany przez mały parametr e > 0, e = l/L. Tutaj l oznacza charakterystyczny wymiar mi- krostruktury, natomiast L jest charakterystycznym wymiarem makrosko- powym. W homogenizacji interesuje nas zagadnienie przejścia z £ do zera.
Fizycznie przejście takie oznacza „rozmywanie” niejednorodności. Samo po- jęcie niejednorodności jest szerokie: mogą to być włókna wtopione w ma- trycę, sztywne inkluzje w ośrodku odkształcalnym, mikropustki, mikrosz- czeliny itp. Rozkład niejednorodności może być deterministyczny lub lo- sowy. W istniejącej literaturze z zakresu homogenizacji najwięcej uwagi po- święcono ośrodkom o mikrostrukturze periodycznej, co ma swoje głębokie uzasadnienie dzięki twierdzeniu Dal Maso-Kohna o gęstości kompozytów periodycznych (por. [4]).
Z matematycznego punktu widzenia homogenizacja jest różna od zwy- kłego uśredniania po komórce elementarnej (w przypadku periodycznym) lub, ogólnie, po elemencie reprezentatywnym. Oznacza ona przejście z £ do zera w sensie na ogół różnym od znanych pojęć zbieżności.
Dotychczas ukazało się już kilkanaście książek poświęconych różnora- kim zagadnieniom homogenizacji. Do pierwszych tego typu opracowań na- leżą pozycje [1, 2, 5], w których czytelnik znajdzie również wiele informacji o samych korzeniach i początkach homogenizacji. Ostatnio ukazały się dwie kolejne monografie [3, 4], w których cytowane są chyba wszystkie istotne większe opracowania.
Pomimo szybkiego rozwoju zagadnień związanych z homogenizacją, w istniejącej literaturze odczuwało się brak dobrego i przystępnego mate-
[130]
Recenzja 131
matycznego wprowadzenia do metod homogenizacji. Niedużych rozmiarów książka pań Cioranescu i Donato znakomicie wypełnia tę lukę, zwłaszcza w zakresie wprowadzenia do homogenizacji równań różniczkowych. Autorki nie przedstawiają tzw. R-zbieżności, która dotyczy specyficznej zbieżności ciągu funkcjonałów zależnych od e (por. [4]). Warto dodać, że dwuczęściowy podręcznik [6, 7] może stanowić dobre uzupełnienie recenzowanej książki w zakresie zagadnień związanych z metodą rozwinięć asymptotycznych i jej zastosowań w mechanice ciała stałego i mechanice płynów.
Książka Cioranescu i Donato składa się z 13 rozdziałów. W czterech pierwszych rozdziałach w sposób klarowny przedstawiono niezbędne narzę- dzia matematyczne, takie jak słaba i *-słaba zbieżność, słabe Lp (1 < p
< oo) granice ciągu szybko oscylujących funkcji okresowych, niektóre klasy przestrzeni Sobolewa, w tym przestrzenie funkcji wektorowych oraz waria- cyjna analiza liniowych zagadnień eliptycznych. Prezentacja tych niezbęd- nych narzędzi jest zwięzła, a równocześnie podano istotne dowody, jak np.
te, które dotyczą funkcji okresowych.
Rozdział 5 stanowi wprowadzenie do homogenizacji równań liniowych.
W rozdziale tym przedstawiono homogenizację równań liniowych drugiego rzędu w przypadku jednowymiarowym oraz homogenizację ośrodków war- stwowych.
W rozdziałach 6-9 starannie przedstawiono zagadnienia związane z ho- mogenizacją równań drugiego rzędu w przypadku n-wymiarowym. Omó- wiono trzy różne podejścia do zagadnienia homogenizacji: (i) metodę dwu- skalowych rozwinięć asymptotycznych, (ii) metodę dwuskalowej zbieżności, (iii) metodę Tartara oscylujących funkcji próbnych. Warto podkreślić, że me- toda pierwsza jest często stosowana w zagadnieniach mechaniki ośrodków mikroniejednorodnych do budowania modeli makroskopowych. Jednakże z matematycznego punktu widzenia jest to metoda formalna. Dwie pozostałe metody są matematycznie ścisłe i eleganckie. W literaturze metoda Tar- tara nosi często nazwę „metody energetycznej” , co niestety jest mylące.
Oprócz samych zagadnień zbieżności przedyskutowano rolę tzw. korekto- rów, które pozwalają lepiej szacować gradient rozwiązania makroskopowego.
W języku mechaniki ośrodków mikroniejednorodnych korektory wprowa- dzają tzw. efekt skali, określony przez parametr e.
Rozdział 10 stanowi wprowadzenie do homogenizacji równań liniowej teorii sprężystości w przypadku statycznym. Twierdzenie o homogenizacji udowodniono, stosując wspomnianą już metodę Tartara.
Kolejne dwa rozdziały dotyczą homogenizacji niestacjonarnego równania przewodnictwa ciepła i równania falowego.
Ostatni rozdział książki stanowi wprowadzenie do zagadnień homogeni-
zacji nieperiodycznej. Przypadek ten rozpatrzono na przykładzie liniowego
równania eliptycznego drugiego rzędu o współczynnikach zależnych od ma-
132 Recenzja
łego parametru e. Wprowadzono pojęcie G- i H- zbieżności macierzy; to pierwsze pojęcie odnosi się do macierzy symetrycznych, drugie zaś charak- teryzuje przypadek ogólny. W tym przypadku istotną rolę odgrywa, wpro- wadzona przez Murata i Tartara, skompensowana zwartość, pozwalająca przechodzić do granicy z iloczynem dwóch ciągów funkcji słabo zbieżnych.
Korektory można również wprowadzić w przypadku homogenizacji nieperio- dycznej. Należy zauważyć, że w przypadku ogólnym nie mamy zależności na wyznaczenie współczynników zhomogenizowanych (makroskopowych), lecz musimy się zadowolić ich oszacowaniami. Podano przykład takich oszacowań dla ośrodka makroskopowo anizotropowego, będącego mieszaniną dwóch ma- teriałów izotropowych.
Reasumując uważam, że książka stanowi świetne wprowadzenie do ma- tematycznych zagadnień homogenizacji. Również specjaliści znajdą w niej usystematyzowany materiał z zakresu podstaw homogenizacji.
Literatura
[1] N. S. B a k h v a lo v , G. P. P a n a se n k o , Homogenization of Processes in Perodic M e- dia,Kluwer, Dordrecht, 1989 (wersja oryginalna w jęz. ros., Nauka, Moskwa, 1984).
[2] A . B e n so u ssa n , J.-L. L io n s, G. P a p a n ic o la o u , Asymptotic Analysis of Periodic Structures,North-Holland, Amsterdam, 1978.
[3] D. C io r a n e sc u , J. S a in t J ea n P a u lin , Homogenization of Reticulated Structu- res, Springer, New York, 1999.
[4] T . L ew iń sk i, J. J. T e le g a , Plates, Laminates and Shells: Asymptotic Analysis and Homogenization, Ser. Adv. Math. Appl. Sci. 52, World Sci., Singapore, 2000.
[5] E. S a n c h e z -P a le n c ia , Non-Homogeneous Media and Vibration Theory, Springer, Berlin, 1980.
[6] J. S a n c h e z -H u b e r t, E. S a n c h e z -P a le n c ia , Introduction aux Methodes Asymp- totiques etd I’Homogeneisation,Masson, Paris, 1992.
[7] — , — , Exercices sur les Methodes Asymptotiques et I’Homogeneisation, Masson, Paris, 1993.
