• Nie Znaleziono Wyników

(1) Wykazać, że jeśli ciało L jest rozszerzeniem ciała K oraz [K : L] jest liczbą pierwszą, to dla każdego α ∈ L \ K jest L = K(α)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(1) Wykazać, że jeśli ciało L jest rozszerzeniem ciała K oraz [K : L] jest liczbą pierwszą, to dla każdego α ∈ L \ K jest L = K(α)"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Zestaw zadań 10: baza i stopień rozszerzenia, elementy algebraiczne i przestępne, rozszerzenia algebraiczne i skończone.

(1) Wykazać, że jeśli ciało L jest rozszerzeniem ciała K oraz [K : L] jest liczbą pierwszą, to dla każdego α ∈ L \ K jest L = K(α).

(2) Podać bazę i określić stopień nad Q każdego z następujących ciał:

(a) Q(√ 5), (b) Q(2 +√

3), (c) Q(i,√

2), (d) Q(i +√

3), (e) Q(1 +√

5 +√ 3), (f) Q(√3

7), (g) Q(√3

2 +√3 4), (h) Q(

2

3

2), (i) Q(√

3,√3 5), (j) Q(

q

3− 3 2 ).

(3) Wykazać, że jeśli α, β są elementami algebraicznymi nad ciałem K stopni odpowiednio n, m, przy czym N W D(m, n) = 1, to [K(α, β) : K] = nm.

(4) Wykazać, że jeśli a1, . . . , an są elementami algebraicznymi nad ciałem K, to [K(a1, . . . , an) : K] ≤ sta1. . . stan.

(5) Dowieść, że liczba zespolona z jest liczbą algebraiczną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba sprzężona z jest liczbą algebraiczną.

(6) Niech a, b będą liczbami rzeczywistymi. Udowodnić, że liczba zespolona a + bi jest liczbą alge- braiczną wtedy i tylko wtedy, gdy a i b są liczbami algebraicznymi.

(7) Dowieść, że jeśli K < L, element a ∈ L jest algebraiczny nad ciałem K oraz b ∈ L jest elementem przestępnym nad K, to elementy a + b, ab są przestępne nad K.

(8) Które z następujących liczb są algebraiczne? W przypadku liczb algebraicznych określić ich sto- pień (tzn. stopień nad ciałem liczb wymiernych):

(a) 1 +√ 2 +√

3, (b) √

π + 1, (c) √4

5 +√ 5, (d) e − 1.

(9) Uwolnić od niewymierności w mianowniku następujące ułamki:

(a) 1 1 +√3

5,

(b) 1

2 +√ 5 +p

−1 −√ 5

,

(c) 10

3

4 + 3 +√3 2. (10) Każdy z elementów

(a)

4

8 1 +√4

2, (b) 1 +√4

2 3 −√4

8,

1

(2)

2

(c) 1

1 +√4 2 −√4

8 ciała Q(√4

2) przedstawić w postaci kombinacji liniowej elementów bazy potęgowej rozszerzenia Q(4

√2)/Q.

(11) Niech α będzie pierwiastkiem wielomianu X3+ 3X2− 9X + 6 ∈ Q[X]. Każdy z elementów (a) α5,

(b) α4+ α, (c) 1

α,

(d) α4+ 3α + 1 α2+ 2α − 11

ciała Q(α) przestawić w postaci kombinacji liniowej bazy potęgowej rozszerzenia Q(α)/Q.

(12) Niech β będzie pierwiastkiem wielomianu X3− 3X + 1 ∈ Q[X]. Każdy z elementów (a) 1

β2− 1, (b) β4

1 + β

ciała Q(β) przestawić w postaci kombinacji liniowej bazy potęgowej rozszerzenia Q(β)/Q.

(13) Znaleźć rozszerzenie ciała Q będące ciałem rozkładu wielomianu (a) X2− 2,

(b) X4+ X2+ 1, (c) X3− 2, (d) X4+ 2.

(14) Określić stopień nad Q i znaleźć ciało rozkładu wielomianu (a) (X2− 2)(X2− 5),

(b) X4− X2+ 1, (c) X4− 7, (d) X3− 2, (e) Xp− 1,

gdzie p jest liczbą pierwszą.

(15) Niech α ∈ Z3będzie pierwiastkiem wielomianu f (X) = X3+ X2+ 2. Wypisać wszystkie elementy ciała Z3(α) oraz obliczyć sumy i iloczyny wybranych elementów tego ciała.

(16) Zbudować ciało 4-elementowe oraz ciało 9-elementowe jako rozszerzenia odpowiednich ciał pro- stych. Wypisać wszystkie elementy tych ciał, zbudować tabelki działań w tych ciałach.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Do narządu, dopisz w kolumnie drugiej, jego najbardziej typową reakcję na zwiększenie poziomu adrenaliny we krwi w sytuacji stresowej. Narząd Reakcja na zwiększenie

Udowodni¢, »e z dokªadno±ci¡ do izomorzmu istnieje przeliczalnie.. wiele przeliczalnych ciaª

nie ma elementów nilpotentnych) wtedy i tylko wtedy, gdy ideaª I

Niech v b¦dzie waluacj¡

[r]

[r]

This section includes necessary and sufficient conditions for special classes of digraphs considered above to be (k, l)-kernel perfect digraphs... From the definition of the D-join

Rozszerzenie to nazywamy rozsze- rzeniem algebraicznym, gdy każdy element ciała L jest algebraiczny nad F.. Każde rozszerzenie skończone