Zestaw zadań 10: baza i stopień rozszerzenia, elementy algebraiczne i przestępne, rozszerzenia algebraiczne i skończone.
(1) Wykazać, że jeśli ciało L jest rozszerzeniem ciała K oraz [K : L] jest liczbą pierwszą, to dla każdego α ∈ L \ K jest L = K(α).
(2) Podać bazę i określić stopień nad Q każdego z następujących ciał:
(a) Q(√ 5), (b) Q(2 +√
3), (c) Q(i,√
2), (d) Q(i +√
3), (e) Q(1 +√
5 +√ 3), (f) Q(√3
7), (g) Q(√3
2 +√3 4), (h) Q(
√ 2
√3
2), (i) Q(√
3,√3 5), (j) Q(
q
3−√ 3 2 ).
(3) Wykazać, że jeśli α, β są elementami algebraicznymi nad ciałem K stopni odpowiednio n, m, przy czym N W D(m, n) = 1, to [K(α, β) : K] = nm.
(4) Wykazać, że jeśli a1, . . . , an są elementami algebraicznymi nad ciałem K, to [K(a1, . . . , an) : K] ≤ sta1. . . stan.
(5) Dowieść, że liczba zespolona z jest liczbą algebraiczną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba sprzężona z jest liczbą algebraiczną.
(6) Niech a, b będą liczbami rzeczywistymi. Udowodnić, że liczba zespolona a + bi jest liczbą alge- braiczną wtedy i tylko wtedy, gdy a i b są liczbami algebraicznymi.
(7) Dowieść, że jeśli K < L, element a ∈ L jest algebraiczny nad ciałem K oraz b ∈ L jest elementem przestępnym nad K, to elementy a + b, ab są przestępne nad K.
(8) Które z następujących liczb są algebraiczne? W przypadku liczb algebraicznych określić ich sto- pień (tzn. stopień nad ciałem liczb wymiernych):
(a) 1 +√ 2 +√
3, (b) √
π + 1, (c) √4
5 +√ 5, (d) e − 1.
(9) Uwolnić od niewymierności w mianowniku następujące ułamki:
(a) 1 1 +√3
5,
(b) 1
2 +√ 5 +p
−1 −√ 5
,
(c) 10
√3
4 + 3 +√3 2. (10) Każdy z elementów
(a)
√4
8 1 +√4
2, (b) 1 +√4
2 3 −√4
8,
1
2
(c) 1
1 +√4 2 −√4
8 ciała Q(√4
2) przedstawić w postaci kombinacji liniowej elementów bazy potęgowej rozszerzenia Q(4
√2)/Q.
(11) Niech α będzie pierwiastkiem wielomianu X3+ 3X2− 9X + 6 ∈ Q[X]. Każdy z elementów (a) α5,
(b) α4+ α, (c) 1
α,
(d) α4+ 3α + 1 α2+ 2α − 11
ciała Q(α) przestawić w postaci kombinacji liniowej bazy potęgowej rozszerzenia Q(α)/Q.
(12) Niech β będzie pierwiastkiem wielomianu X3− 3X + 1 ∈ Q[X]. Każdy z elementów (a) 1
β2− 1, (b) β4
1 + β
ciała Q(β) przestawić w postaci kombinacji liniowej bazy potęgowej rozszerzenia Q(β)/Q.
(13) Znaleźć rozszerzenie ciała Q będące ciałem rozkładu wielomianu (a) X2− 2,
(b) X4+ X2+ 1, (c) X3− 2, (d) X4+ 2.
(14) Określić stopień nad Q i znaleźć ciało rozkładu wielomianu (a) (X2− 2)(X2− 5),
(b) X4− X2+ 1, (c) X4− 7, (d) X3− 2, (e) Xp− 1,
gdzie p jest liczbą pierwszą.
(15) Niech α ∈ Z3będzie pierwiastkiem wielomianu f (X) = X3+ X2+ 2. Wypisać wszystkie elementy ciała Z3(α) oraz obliczyć sumy i iloczyny wybranych elementów tego ciała.
(16) Zbudować ciało 4-elementowe oraz ciało 9-elementowe jako rozszerzenia odpowiednich ciał pro- stych. Wypisać wszystkie elementy tych ciał, zbudować tabelki działań w tych ciałach.