O geometrii zer wielomianówGeometrią, zer wielomianów, lub krótko: geometrią wielomianów (x),

O geometrii zer wielomianów

Geometrią, zer wielomianów, lub krótko: geometrią wielomianów (x), nazywamy dział teorii funkcji zajmujący się (z punktu widzenia niealge- braicznego) badaniem rozmieszczenia zer wielomianów na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. W badaniu tym geometria zer wielomianów po­

sługuje się w zasadzie metodami elementarnymi, stosując geometryczne własności liczb zespolonych i elementarne własności funkcji analitycznych.

W artykule tym podaję przegląd kilkunastu klasycznych twierdzeń geometrii zer wielomianów; brak miejsca nie pozwala na obszerniejsze jej potraktowanie i podanie najnowszych wyników. Czytelnika intere­

sującego się tym przedmiotem odsyłam do opracowań monograficznych [5] i [7] (podstawowe dzieło, podające 417 pozycji bibliograficznych i za­

wierające 210 zadań)(2).

W paragrafach 1-8 przedstawiam wyniki dotyczące wzajemnego rozmieszczenia zer wielomianu i jego pochodnej (lub pewnych innych wielomianów), w paragrafach 9-11 wyniki odnoszące się do położenia zer wielomianu w zależności od jego współczynników.

1. Twierdzenie Gaussa. №ech f ( z ) będzie wielomianem zmiennej zespolonej z, stopnia n, którego zera z x, z 2, . . . , zp mają odpowiednio wielokrotności mly m 2, . . . , mp,

Ponieważ f'(z) = f(z)-f'(z)/f(z), zera pochodnej f'(z) są dwojakiego ro­

dzaju: 1° zera wielokrotne wielomianu, o łącznej wielokrotności (m1- l ) - | - + (w

—1 ) + • • • + (mp—1) = n ~ V\ 2° zera pochodnej logarytmicznej wielomianu, w liczbie ( n—1) — { n—p) = p — 1, tj. zera funkcji

p p

(

1

p (

2

P) Nazwę tę wprowadził francuski matematyk F. Lucas (1879).

(2) Informacje o nowszych wynikach podaje M. Biernacki [3].

Jeżeli £ oznacza dowolną, liczbę zespoloną, nie będącą zerem wielo-

V __ _ V _

mianu f{z), to F{£) = £ mk/ ( C - z k), F{£) = £ mk/ ( £ - z k). Przyjmując

* = 1

*=i

C—zk = ok el(fk mamy więc

p

F (l) = У mhaiek)ei n - fc=

Każdy z wyrazów tej sumy można interpretować jako wektor skiero­

wany od zk do £, którego długość jest mk razy większa od odwrotności gk = \zk — £|. Jeżeli umieścimy w punkcie zk masę mk, która odpycha jednostkę masy umieszczoną w punkcie £ z siłą odwrotnie proporcjonalną do Qk, to тк(1/дк)ег<рк przedstawia właśnie wielkość tej siły; F(Ę) przed­

stawia więc wypadkowy sił, z jakimi działają w punkcie £ masy mx, m2, . . . , mp , umieszczone w punktach z1, z 2, . . . , zp .

Jeżeli ,F(£) = 0, to i F(C) = 0, tzn. wypadkowa sit, działających w punkcie £, jest równa zeru; otrzymujemy w ten sposób twierdzenie podane przez Gaussa bez dowodu, w formie krótkiej notatki na margi­

nesie jednej z jego rozpraw astronomicznych:

p

Zera funkcji F(z) = £ mkl(z—zk) są położeniami równowagi w polu

Z c = l

sił, w którym masy mk, umieszczone w punktach zk, działają na masę jedno­

stkową, umieszczoną w punkcie z, z siłą odwrotnie proporcjonalną do odle­

głości. 2

2. Twierdzenie Lucasa. №ech W będzie najmniejszym wielokątem wypukłym, zawierającym wszystkie zera wielomianu f(z). Jeżeli £ jest zerem pochodnej f'(z), to jak widzieliśmy, jest zerem wielokrotnym f(z) albo zerem jego pochodnej logarytmicznej F(z). W pierwszym przy­

padku £ leży oczywiście wewnątrz lub na brzegu W. W drugim przy­

padku £ jest położeniem równowagi pola sił, opisanego w yżej; gdyby punkt £ leżał poza wielokątem W, wypadkowa sił działających w tym punkcie nie byłaby równa zeru, wbrew twierdzeniu Gaussa. Otrzyma­

liśmy w ten sposób twierdzenie Lucasa (1874):

Wszystkie zera pochodnej wielomianu f (z) leżą wewnątrz lub na brzegu naj­

mniejszego wielokąta wypukłego, zawierającego wszy stkie zera wielomianu f(z).

Niektórzy autorzy podają to twierdzenie jako twierdzenie Gaussa- Lucasa.

Można je udowodnić także bez pomocy interpretacji mechanicznej.

Zauważmy w tym celu, że jeżeli liczby zespolone ak Ф

(k =

,

, . p)

spełniają warunek a < argafc < a Ą-л, gdzie a jest stałą, to jak łatwo

sprawdzić, JT ak Ф

. Gdyby liczba £, będąca zerem /' (z), a nie będąca k=l

zerem f(z), leżała poza wielokątem W, mielibyśmy

(3) F (C) = ^ m kf ( C- z k) =

*=i

Bys. 1

i kąt <p, pod którym widać wielokąt W z punktu £ (rys.

), byłby mniejszy od n, tzn. byłoby

mk /

a -<C a rg ---< a Ą-w < a -\-

, Z- Zh

gdzie a oznacza pewną stalą.

Zatem

p

^ mkJ(C - zk) Ф

, wbrew (3). Punkt £ nie może więc leżeć poza wielokątem W.

Analogiczne rozumowanie prowadzi do wniosku, że jeżeli wielomian f{z) nie ma zer

wielokrotnych, to wszystkie zera jego pochodnej muszą leżeć wew­

nątrz W.

Z twierdzenia Lucasa łatwo wynika następujące twierdzenie Jen- tzscha (1917):

Jeżeli f(z) jest wielomianem i zbiór wartości z, dla których f(z) = a (a zespolone) , jest owalem, to odpowiedni zbiór wartości a jest także owalem ([

], rozdział Y, zadanie 126). 3

3. T w ierdzenie Jensena. Jeżeli f(z) jest wielomianem o współczyn­

nikach rzeczywistych (krótko: wielomianem rzeczywistym), to jego zera nierzeczywiste są, jak wiadomo, sprzę­

żone parami. Nazwijmy kolami Jensena wielomianu koła, których średnicami są odcinki łączące pary zer nierzeczywistych wielomianu. Udowodnimy następujące twierdzenie Jensena (1913):

Zera nierzeczywiste pochodnej wielo­

mianu rzeczywistego leżą w obszarze, który

jest sumą domkniętych wnętrz wszystkich kół

Jensena tego wielomianu.

D o w ó d . Niech zk = -xk-\-iyk (k = 1, 2 n) oznaczają, zera f(z) i niech £ = u-\-iv Ф zk, v Ф

, będzie zerem pochodnej logarytmicznej wielomianu; zatem

П

^(C) =

'-

/(С-г„) =

.

*=1

П

Wobec symetrii zer f(z) mamy także /(£ — «*) =

, zatem k= i

n

(

) ^ [ l l ( C - z k) + l H ( - z k) ] = U .

& =

Prosty rachunek pokazuje, że dla dowolnego zk jest

im 2v

и - ч т - ч ) \ '

Gdyby £ leżało na zewnątrz koła Jensena o średnicy (гл, żA), wy­

rażenie w nawiasie { ) byłoby ujemne, gdyż wtedy oczywiście

< yk <

< |£ — %|-(rys.

). Mielibyśmy więc П

sgnim jJT [l/(£ -3 * ) + l/(£ -ż * )]} = - sgnv, fe=i

skąd wobec założenia v Ф

wynika sprzeczność z (4); twierdzenie Jen­

sena jest więc prawdziwe. 4

4. Twierdzenie Laguerre’a. Jeżeli £ jest dowolną liczbą zespoloną, to 'pochodną polarną wielomianu f(z) (stopnia n) względem £, lub krótko:

pochodną polarną f{z) ([

], str. 61), nazywamy wielomian stopnia n —1 /i(z) = nf ( z ) ^( C- z ) f ' ( z ) .

Jeżeli w szczególności £->oo, to lim f1(z)/(C—z) = f{z), pochodna polarna f

jest więc w tym przypadku równa zwykłej pochodnej. Łatwo sprawdzić, że zerami pochodnej polarnej są:

° zera wielokrotne wielomianu f{z),

2

° liczby zespolone £, jeżeli /(£) =

,

° zera funkcji /i (»)/(« — £)/(«).

Wzajemne położenie zer wielomianu i jego pochodnej polarnej określa twierdzenie Laguerre’a :

Jeżeli a jest 'zerem pochodnej polarnej wielomianu f(z) stopnia n, przy czym f(a)f'(a) фО, to każdy okrąg przechodzący przez punkty a i £ =

= a —nf(a)/f'(a) rozdziela zera f(z), tzn. wnętrze i zewnętrze okręgu zawie­

rają co najmniej po jednym zerze f ( z), albo wszystkie zera f(z) leżą na tym okręgu.

Roczniki P. T. W.-Praco Matematyczne II

1

D o w ó d ( 3). Zauważmy najpierw; że wszystkie zera wielomianu

leżą po obu stronach dowolnej prostej p, przechodzącej przez punkt

—a1/na0, tj. przez środek ciężkości tych zer, albo wszystkie leżą na tej prostej.

Przekształcenie ц — 1 / | przeprowadza prostą p w okrąg K , przecho­

dzący przez punkty

i —na^ja^ a zera щ, rj2, . . . , rj n w zera £1? | 2, •••? In wielomianu

Okrąg К rozdziela więc zera | 1? | 2, . . . , | n.

Przyjmijmy £ = z-\-a i zastosujemy otrzymany wynik do wielo­

mianu

każdy okrąg przechodzący przez punkty

i — nf(a)lf'{a) rozdziela więc zera F(z), stąd zaś wynika, że dowolny okrąg przechodzący przez punkty a i a —nf ( a) l f (a) rozdziela zera wielomianu F ( z —a), tj. wielo­

mianu f(z), co należało udowodnić.

Twierdzenie Laguerre’a można inaczej sformułować tak:

Jeżeli a jest zerem pochodnej polarnej wielomianu f(z), to wnętrze i zewnętrze każdego okręgu, przechodzącego przez punkty a i a — nf{a)/f'(a), zawiera co najmniej jedno zero f(z), chyba że wszystkie zera f(z) leżą na tym okręgu.

Przypuśćmy, że wszystkie zera f(z) leżą wewnątrz okręgu Jf; z twier­

dzenia Laguerre’a wynika, że wtedy

1

° przy dowolnym a okrąg К rozdziela punkty a i a —nf ( a) j f (a)]

2

° jeżeli £ jest dowolnym punktem leżącym na zewnątrz K , to wszystkie zera pochodnej polarnej wielomianu f(z) względem £ leżą także wewnątrz okręgu К (w szczególności, dla £ — oo, otrzymujemy twierdzenie równo­

ważne twierdzeniu Lucasa).

5. W ielom iany apolarne; tw ierdzenie Grace’a. Dwa wielomiany stopnia n

< p { r j )

—

* + ••• +^n

/(£) — >•• +^n£n-

f(z + a) = / ( « )+ / ' (« ) * + ... + / (n)( a ) ^ = F(z)-,

(5)

(

6

(3) Dowód, Knoppa. Por. [1], str. 207.

nazywamy apolarnymi względem siebie, jeżeli ich współczynniki są zwią­

zane zależnością

—. . . + ( —l ) n«»&o = °-

Związkowi (7) można nadać inną postać, jeżeli przez £x, £2, £n ozna­

czymy zem wielomianu g(z), a przez

—

, . . . , Sn funkcje syme­

tryczne podstawowe tych zer. Mamy, jak wiadomo, (

) /

f „ = ( - l ) M

Wprowadzając wielkości 8 n_ v do związku (7) otrzymamy następujący warunek apolarności

aO/

o“bttl^'l + * • • — b.

U wa ga . Jeżeli współczynniki wielomianu f ( z ) = a 0-]-a1z-\-...-\-anzn spełniają zależność liniową /с

яи + &1«№ _ 1-{-... -Ą-kna0 =

, to wielomian postaci

g{z) = к0- к г ^ ^ + **(

)

“ - - - + ( - г ) Х « п jest, jak łatwo sprawdzić, apolarny względem f(z).

O wielomianach apolarnych dowiódł Grace (1902), że

Jeżeli dwa wielomiany są apolarne względem siebie, to każde kolo К , zawierające wszystkie zera jednego z nich, zawiera co najmniej jedno zero drugiego.

D o w ó d . Oznaczmy, jak wyżej, przez £* (k = 1 , 2 , __ , n) zera g(z) i przez 8 k (k =

,

, . . . , n) funkcje symetryczne podstawowe tych zer.

Twierdzenie udowodnimy przez indukcję.

1° Dla n = 1 mamy f(z) = а0-\-а^, g(z) — Ь0 + Ь^. Z warunku apolarności a

$ o + a].$i =

wynika, że a0/a1 = Ь01Ьг , więc zera obu wie­

lomianów są identyczne. Twierdzenie jest zatem prawdziwe.

2

° Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianów stopnia n —1 i niech zera wielomianu f(z) leżą w kole K. Można przyjąć, że co najmniej jedno z zer wielomianu g(z), np. £n = £, leży na zewnątrz К (w przeciwnym razie koło К zawierałoby wszystkie zera g{z) i dowód byłby zbyteczny).

Pomiędzy funkcjami symetrycznymi podstawowymi sk (k =

,

, . . . , n —l) zer Ci, C2? • • • > Cn

a takimi funkcjami 8 k (k —

,

, . . . , n) zer Cu C2? ••■?£» zachodzą związki '8k = dla к —

,

, . . . , n,

P = 0 , 1 , n.

(

7

a$ bn l ) « А -

+ ("

7*

gdzie $__! = 0 i sn =

. Warunek apolarności a

$

+ a

+ . . . + a n$ w =

przybierze postać

albo

<*oSo-b<*l(Sl + Sot)'"b* • • + ansn—l£

(ft0 + a! 0 S0+ ( a 1+ ft2C)Si + . . . + f«n_ l+ « n C )S » -l — b, co oznacza, że wielomian stopnia n —

(p(z) — (a

-f-flb£)-f- n —

{a1-\-ai £)

-f-... -)- (<*„__!

jest apolarny względem wielomianu, którego zerami są £u £2? ■ • • ? £n- i • Proste przekształcenia dają

<p(z) =

/ (

) + ( £ -

)/'(

)]/^ = /i(«)M,

gdzie / x (г) jest pochodną polarną wielomianu f(z). Zera

są więc identyczne z zerami /

(

); ppnieważ £ leży na zewnątrz K, wszystkie zera (

) muszą leżeć wewnątrz К (twierdzenie Laguerre’a, wniosek

).

Koło К zawiera zatem wszystkie zera

wielomian

i wielomian, którego zerami są £x, £2, •••? £»_i, są wielomianami stopnia w—-

, więc na mocy założenia indukcyjnego można do nich zastosować twierdzenie Grace’a; wewnątrz К znajduje się więc co najmniej jeden z punktów ь

> £

? •••> i? c. n. d.

P

. Wielomiany

П

f(z) — \ — z-\-czn i g(z) = jTJ { 2 —(1 —e2,wA:/w)}

*=1

są apolarne względem siebie. Przyjmując

mamy

a

I’т Ь

О 2

O

2

^

bn =

, bn_i

, • • • ? &o b,

więc warunek (7) jest spełniony. Wszystkie zera g(z) leżą w kole \z\ < 2, zatem / (

) ma w tym kole co najmniej jedno zero. Podobnie sprawdzamy, że /(

) ma co najmniej jedno zero w kole (

—

[ <

.

Z twierdzenia Grace’a wynika, że jeżeli /

(

) i f 2{z) są wielomianami apolarnymi względem siebie, to każdy obszar wypukły JD1, zawierający wszystkie zera h(z), ma co najmniej jeden punkt wspólny z każdym obsza­

rem wypukłym Do, zawieraiacym wszystkie zera f2(z).

W zastosowaniach twierdzenie Grace’a zastępuje się często równo­

ważnym z nim twierdzeniem Walsha (1922), którego dowód pomijam, fJeżeli F( z lt z 2, zn) jest funkcją symetryczną zmiennych zlf z2, . . . , zn, liniową względem każdej z nich i К jest kołem (w sensie szerszym, tj. wnę­

trzem lub zewnętrzem koła wzgłędnie półpłaszczyzną) , zawierającym punkty Ci, • ••> £»» to istnieje w kole К co najmniej jeden taki punkt £, że

Jeżeli więc np. dane pnnkty £

, £

> •••>£« należą do koła K , to istnieje w tym kole taki punkt £ (zależny od z), że

( * - ? ! ) ( « - £ , ) . . . («-С*) = (*-£)".

6

. Zera w ielom ianów złożonych. Mając dane wielomiany (9) utwórz­

my wielomian złożony

Szegó (1922) udowodnił, że

Jeżeli wszystkie zera wielomianu f(z) leżą w kole К , to każde zero у wielomianu h(z) jest postaci у — — afij, gdzie jest jednym z zer wielomianu g{z), a a odpowiednio dobranym punktem w kole K.

D o w ó d . Z tożsamości

h{y) = <»o&o+ ^ j « i & i y + ••• +a>nhYn=

wynika, że wielomiany f(z) i

k= 0 '

są apolarne względem siebie. Wielomian p(z) ma więc w kole К co naj­

mniej jedno zero a. Jeżeli zerami g(z) są /?й (к — 1, 2, . . . , n), to zera zng { —ylz) są równe — (k = 1, 2 n). Jedno z nich — y/fa = a, skąd у = —afij, c. n. d.

JeżeU wszystkie zera f(z) leżą w kole \z\ < r1} a wszystkie zera g(z) w kole \z\ < r2, to wszystkie zera h(z) leżą w kole |г[ < rxr2-, nierówności

|ot| < rx i \(lk\ < r 2, & =

,

, . . . , n, pociągają bowiem za sobą \y\ =

= < г гг2.

W szczególności, jeżeh wszystkie zera f(z) i g(z) leżą wewnątrz (na zewnątrz) lub na brzegu koła jednostkowego, to i zera h(z) leżą wewnątrz (na zewnątrz) lub na brzegu tego koła. Jeżeli wreszcie wszystkie zera.

f(z) i g(z) są rzeczywiste, przy czym zera g(z) są tego samego znaku, to

jak udowodnił już dawniej Mało (1895), wszystkie zera h(z) są także rze­

czywiste.

?. Tw ierdzenie Grace’a-Heawooda. Uogólnieniem twierdzenia Eolle’a jest w pewnym sensie, w dziedzinie zespolonej twierdzenie Grace’a- -Heawooda (1902, 1907):

Jeżeli zx i z 2 są dowolnymi zerami wielomianu f(z) stopnia n, to w Jcole К o środku \ { z x-\-z2) i promieniu s2| ctg(jrjn) znajduje się co najmniej jedno zero pochodnej f'(z).

D o w ó d . Przyjmując zx = —1, z 2 = -f-1 nie zmniejszymy ogólności rozumowania. №ech f'(z) = b0-\-bxz-\- ... +&n_i^n-1. Z założenia / ( - f i ) —

- / ( -

) =

, więc

+ i ,

J f'(z)dz =

, - i

skąd otrzymujemy zależność liniową pomiędzy współczynnikami f'(z)

2

&o d

H

~f • • • =

.

Stosując uwagę podaną na stronicy 99 tworzymy wielomian -f

g(z) — J {x—z)n~ldx = ((l — z)n—( — l — z)n)[n,

- 1

apolarny względem pochodnej f'(z). Jego zera £k są pierwiastkami równa­

nia [ ( * - l) /( * + l) ] n = l , zatem ( & -

)/(С*+

) - е2Ш'п, fc = l ,

, . . . , n - l , skąd Ck — ictg{kn/n), k — 1 , 2 , . . . , n —

. Wobec |C*| <ctg(jr/^) wszystkie zera g{z) leżą na średnicy koła o środku 0 i promieniu ctg(7i/n); z twier­

dzenia Grace’a wynika, że pochodna f'(z), apolarna względem g(z), ma w tym kole, a nawet w każdym kole, którego okrąg przechodzi przez punkty ±^ctg(jr/^), co najmniej jedno zero, c. n. d.

Podany wyżej promień jest możliwie najlepszy, jak wskazuje przy­

kład wielomianu

f(z) = [ ( z- i ct g( j i l n) ) n- ( - l - i Q t g ( n l n ) ) n]ln-,

zerami jego są z x = —

, з

= +

, a wszystkie zera jego pochodnej f'(z) — [z—ictg{njn))n~l zbiegają się w punkcie

= ictg(n/n).

Dla każdej pary zer zx i z

wielomianu f(z), leżących wewnątrz lub na brzegu koła o środku

i promieniu В , twierdzenie Grace’a-Heawooda pozwala wyznaczyć odpowiednie koło К zawierające co najmniej jedno zero f'(z). Weźmy pod uwagę obwiednię okręgów wszystkich kół К łatwo przekonać się, że wystarczy znaleźć tę obwiednię dla \zx\ = \z2\ = R.

W takim razie dla dowolnego punktu £ na brzegu K' mamy

C —

(^

U ^

) +

l^i — ^

! etęatg(л fn) .

, Jeżeli zx — z 2elv, otrzymamy

Id < ||1 + e%v\ + |1 — e%w\ ctg(7r/ti)} < -|E(cos(y/2)+ sin(ę>/2)ctg(Tr/w)) <

< R$in(y)/2 -\-л /п) /вт{л jn) < В / 8 т ( л / п ) .

Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie:

Jeżeli koło o promieniu R zawiera dwa zera wielomianu f(z) stopnia n, to koło współśrodkowe o promieniu R / s m^ / n ) zawiera co najmniej jedno zero pochodnej f'{z).

Z twierdzenia tego wynikają natychmiast wnioski następujące:

1° Jeżeli w kole |s| < R pochodna wielomianu f(z) nie ma zer, to f(z) ma co najwyżej jedno zero w kole \z\ < В&т(л[п).

2° Wielomian, którego pochodna jest różna od zera w kole \z\ < R, jest jednolistny w kole |я| < Впп( л/ п) (wystarczy bowiem zastosować wniosek

° do wielomianu f( z) —A {A dowolne)).

Kakeya (1912) postawił następujące ogólniejsze zagadnienie: Znając promień R koła K, zawierającego p zer wielomianu f(z) stopnia n (p < n), obliczyć promień R' najmniejszego koła K ' , współśrodkowego z K, zawie­

rającego co najmniej p —1 zer pochodnej. Autor ten pokazał, że istnieje funkcja cp{n, p), zależna wyłącznie od n i p, taka że R' = cp (n, p ) R ‘, w przy­

padku p =

otrzymał, zgodnie z twierdzeniem podanym wyżej, <p(n,

) =

= 1/sin ( л/n). M. Marden (1939) udowodnił, że

<p(n, p) <

sin [ л/2 ( n— p - \-

)] ’ M. Biernacki (1915) znalazł, że

n —p

<p(n,p) < f j (n-\-k)/(n— k).

k=i

Ani jeden, ani drugi z tych rezultatów nie jest definitywny, tzn. możliwie najlepszy. 8

8

. Jw ierd zenie W alsha o dwu kołach. Weźmy pod uwagę wielo­

mian

f(z) = (z—ax)ni{z—а2)щ, nx, n2 >

, ax, a2 dowolne.

Zerami jego pochodnej są

° punkty ax i a2,

° punkt £ spełniający warunek /'(£)//(£) = % / ( £ - «i) + n2l ( C - a 2) =

,

tzn. punkt £ = {пха2-\-n2ax)l(nx-\-n2). Jest to, jak wiadomo, punkt dzie­

lący odcinek (ax, a2) w stosunku nx:n2.

Przypuśćmy teraz, że punkty ax i a2 poruszają, się w pewnych kołach K x i K 2, dla każdej pary (ax, a2) wyznaczmy punkt £ dzielący odcinek (ax, a2) w stosunku nx:n2. Znajdziemy miejsce geometryczne punktu £.

Promienie kół K x i K 2 oznaczmy przez rx, r 2, ich środki przez sx, s2, wreszcie niech r = {nxr 2-\-n2r x)f{nx-\-n2), s — (nxs2-\-n2sx)/(nxJr n2). Mamy więc |ax— 8X\ < f x, |a

—e2| Stąd wynika, że

1 C—«I = (nxa2-\- П2ах) ^

Sl)

nx + n2 < nxr 2Ą-n2r x nx + n2 — r.

Oznaczmy symbolicznie przez К — (пхК 2-\-п2К х) 1(7гх-\-п2) koło o środku s i promieniu r; punkt £ należy więc do koła K.

Na odwrót, jeżeli £ jest dowolnym punktem koła K , to możemy określić ax i a2 z równań

(«i Sl)lr i —

S2)lr 2 — (£ S)/f .

Wynika stąd, że |ax—sx| < rx i \a2—s2| < r 2, więc ax i a2 należą do K x i K 2 oraz że £ = (nxa2-\- n2ax) /(% + n2) , tzn. że £ dzieli odcinek (ax, a 2) w stosunku nx:n2 Szukanym miejscem geometrycznym punktu £ jest więc koło K .

M e trudno przekonać się, że koła K x, K 2 i К mają wspólny środek jednokładności.

Walsh (1920) udowodnił następujące twierdzenie:

Jeżeli wszystkie zera wielomianu fx(z) lub f 2(z), stopnia nx lub n2, leżą w kole K x lub K 2, to zera pochodnej wielomianu f(z) = fx{z)f2(z) leżą w obszarze złożonym z kół K x, K 2 i К = (nxK 2-\-n2K x)j(nx-\-n2). Jeżeli w szczególności K x, K 2 i К nie mają punktów wspólnych, to K x lub K 2 za­

wiera nx—1 lub n2—1 zer, а К jedno zero pochodnej wielomianu f(z).

D o w ó d . Niech £ będzie zerem pochodnej f'(z), leżącym poza K x i K 2', mamy

( 10 ^{) '} /'(£) = f i i Oh i O + IAOfziC) = o, przy czym /i(£)/

(£)/i(£)/2(£)

*

. Oznaczmy

«i = C—wi/i(C)Ifi(C), ■

=' C - n 2f2(C)lf2(C).

i*

Ponieważ £ leży poza kołami K x i K 2, więc ax leży wewnątrz K x, a a2 wewnątrz K 2 (twierdzenie Laguerre’a, wniosek

°). Mamy więc

nxa2+ n 2ax = £(% + % ) - %

2[/1(£)//;(£)+/2(£)//;(£)],

skąd wobec (10), £ = (%a

+ n2ax)l(nxĄ- n2). Zatem £ leży w kole K.

Jeżeli koła K x, K 2 i К nie mają punktów wspólnych, można wyzna­

czyć liczbę zer pochodnej wielomianu f(z) w każdym z nich. Przypuśćmy,

że nx zer f(z) porusza się w sposób ciągły, pozostając w kole K x, i zbiega w punkcie sx; pozostałe n 2 zer, analogicznie, zbiega się w punkcie s2 nie opuszczając koła K 2. W końcowym położeniu liczba zer pochodnej wynie­

sie nx—

zer w punkcie slf n2

zer w s2, wreszcie jedno zero w punkcie (nxs2-\-n2sx)/(nx-\-n2) — s. Zera f'(z) poruszają się w sposób ciągły, ża­

dne z nich nie może opuścić koła, do którego należy, ani wejść do innego. Liczba zer pochodnej w kołach K x, K 2 i К nie mogła się zmienić wskutek ciągłej zmiany ich położenia, wynosi więc nx—1 zer w kole K x, n

zer w kole K 2, jedno zero w kole К , c. n. d.

9. Oszacowania dla m odułów zer. Twierdzenia podane w poprze­

dnich paragrafach określają wzajemne położenie zer wielomianu i zer pewnych wielomianów związanych z nim (pochodna, pochodna polarna, wielomiany apolarne). Zajmiemy się teraz wyznaczeniem, w zależności od wszystkich współczynników, promienia koła zawierającego wszystkie zera wielomianu bądź też tylko pewną ich liczbę.

Jednym z najstarszych wyników w tym zakresie jest twierdzenie Cauchy’ego (1829):

Wszystkie zera wielomianu f(z) = axz-\r ... + anzn leżą w kole

\z\ ^ r, gdzie r jest jedynym dodatnim zerem wielomianu '

Jeżeli bowiem z0 jest dowolną liczbą zespoloną, taką że \z0\ = r0 > r, to wobec y n(0) = |«0| >

i

^ (

) — oo, mamy

Z nierówności (11) i z nierówności

l/(«o)l I^J^o (l^ol ~Hai!г о~\~ • • • ro *) — —<Pn(ro) > h wynika natychmiast, że f(z0) Ф

, czego należało dowieść.

Uogólnieniem tego wyniku jest twierdzenie Pelleta (1881):

Jeżeli wielomian ,

(pp (z) = K | + |«h|

+ ... + \ap_x\zv- l — \ap\zp+ ... + \an\zn

ma dwa zera dodatnie r i R (r < R), to wielomian f ( z ) — a0Jr axz-\--’- ... -f anzn ma dokładnie p zer w kole \z\ ^ r, a nie ma zer w pierścieniu r < \z\ < R.

D o w ó d . Z założenia jest <pp (r) = <pp (R) =

; ponieważ <^(

) =

= l^ol >

,

?p(oo) — oo, więc dla dowolnej liczby dodatniej

, takiej że r <

< R, mamy <

{

) < 0, to znaczy

<Pn(z) = \a0\ + \ax\ z + . . . + \an_x\zn l — \an\zn.

( U ) <Pn( r ^{o ) —} \a e \ J r \ a, i \ r QJ r - - - J r \ a n - i \ r Q

П

(12)

Oznaczmy £ akzk — f x(z), apzp = /

(г); nierówność (12) wyraża, że na

k = 0 , k ^ p

kole |s| =

, na którym \f2{z)\ Ф 0, mamy jfx{z)\ < \f2{z)\. Stąd na mocy twierdzenia Eouchego wynika, że wielomian f x{z) Ą-f ^{z) = f(z) ma we­

wnątrz koła \z\ <

tyle zer, co wielomian f 2(z), to jest dokładnie p. Po­

nieważ liczba

zawarta między r a В jest dowolna, f(z) ma p zer w kole

\z\ < r, a nie ma ich w pierścieniu r < \z\ < B, c. n. d.

Dla

, к = p + 1 , p +

, . . . , n, otrzymujemy, jako przypadek graniczny, twierdzenie Cauchy’ego.

Dalsze uogólnienia podali Lipka (1941) i Marden (1948).

Innego rodzaju oszacowanie kresu górnego modułów wszystkich zer wielomianu znalazł Cauchy (1829):

Wszystkie zera wielomianu f(z) = a0-\-a1z Jr . . . Jranzn leżą w kole

\z\ < 1 + J f , gdzie M = тлх\ак/ап\, к — 0, 1, . . . , n —1.

Istotnie, z oczywistej nierówności

тг—1

l/(»)l > K I N ”— M N *

k= o

wynika wobec \ak\ < M\an\ nierówność П —

i

/

> i « j i * r { i - j i f y ; i / i « r - * } . o

Jeżeli |г| > 1 + M > 1, to

ft—

^ l l \ z \ n- k < У )1/|г|* = 1/(|г| —1),

k —0 f c = 1

zatem

l/(*)l > |а „ ||г Г Ц -Ж /(|г| -

)] >

,

co oznacza, że w obszarze \z\ >

+ Ж wielomian / (

) nie może mieć zer.

Oszacowanie to jest wprawdzie gorsze od podanego wyżej (str. 105), jednak prowadzi do interesujących uogólnień. Oto jedno z nich (Kuniyeda 1916, Montel 1931, Toya 1933):

Jeżeli p i ąsą dowolnymi liczbami większymi od 1, takimi że 1/p -f l j q = 1, to wszystkie zera wielomianu f(z) leżą w kole

\z\ < (1 + n9!pM a)1,Q, gdzie M = m a x \ak/an\, к — 0,1, . . . , n —1.

W tzw. zagadnieniu Landaua-Montela chodzi o wyznaczenie pro­

mienia koła, zawierającego p (p < n) zer wielomianu stopnia щ przy czym promień ten zależy tylko od pewnej liczby współczynników wielomianu, a nie zależy od pozostałych (4). .Montel wykazał np. że jeżeli ustalimy

(4) Z zagadnieniem Landaua-Montela wiążą się prace M. Biernackiego [2] oraz

W. Jankowskiego [6].

współczynniki a0, ax, . . . , av_x i ah dla pewnego h

^ h ^ n - P ) ,

istnieje koło o żądanej własności, zawierające p zer wielomianu f(z) = П

= J£ akzk• W szczególności Montel (1934) udowodnił twierdzenie nastę- fc

pujące:

Wielomian f(z) ma co najmniej p zer w kole

\z\ <

+ max \а^/ап\11(-п~р+1\ j =

,

, p . D o w ó d . Jeżeli a

, a

, . . . , a w są zerami wielomianu

f(z) = а0+ а ^ + ... + anzn,

przy czym [ctj| > |a2| ^ ... ^ \an\, to zera wielomianu pomocniczego v

f n - p { z )

= /(» )/(« !-« ) (aa—«)• ••{«»_»-«)

k=

uporządkowane według modułów

\a n —p + \ I ^ la n —PĄ-2 I ^ ^ la » l J

leżą wszystkie w kole \z\ = \an_p+x | = rv . Koło to zawiera więc p zer wielomianu f(z). Oszacujemy teraz jego promień rp . Mamy

f n —p( Z ) ---

1

« X « 2 • • • ® n —p

______________________f i ? )______________ ____

( 1

—

— «/«2) •••

—я/Ол-р)

ах a2 M

п - P

я к г ■

Ponieważ dla \z\ < rp < |ал| (к —

,

, . . . , n —p) jest

( 1

— «/«*)

= J £ («/<**)*>

?=o więc

Lecz

f n —p (z )

(lx0.2 ••• On_p ■Hz)

n~p °° I w П

1 Ш

'

n— p oo

f ] X № * ) ’=

fe = l 7 = 0

= [1 + 2 /« 1 +( г / а 1)2 + ...] [1 +^/«2 + (^/ a 2)2 + ...]... [1 +^/ an_p + ( s / an _; P ) 2 - f -...]

00

—

+

^ +

Z2 -f- • . . — $kZk j

fc

gdzie

=

,

$ 1

— 3

+

+ -• •+ l / an-p>

$2 = l/« l + l / a2 + • • • + l/a » _ 2) + 3

+ l / al a3 + - • *

Zatem

fn-p(z) — --- --- {a{jJr a1z - \- ...Jranzn)(l-\r S 1z Jr S i z 2Jr ...).

«1®2

• • • @-n— p

Ponieważ jednak fn_p{z) jest wielomianem stopnia p, po wykonaniu mnożenia po prawej stronie najwyższą potęgą

jest zp, więc

fn-p(Z) = --- [ttoJr ( ai Jr ao^l)^Jjr- • • + (№2> + «p_i^i + . . . -)r(l0Sp)ZP~\ = Ctj Ct

. . • O-n— p

= 4 n~P4 4 l~P)S + . . . + < ~

V , czyli

P) = ---“ (йй; + йЛ;-

$

+ - ~\~0/

Sfc)) Ti =

, 1, . .., p.

(Xl (Х

2

Dla Tc = p znajdujemy bezpośrednio

(13) =

Wobec \ax\ > |a2| > ... > larfc_23| ^ mamy więc

|4 " -p,l < rp(n- v,J ^ \a k-i\ IĄI ■

?= 0

Suma 8j, której każdy składnik jest iloczynem j czynników postaci l / a s (s =

,

, ...., n —p), zawiera tyle składników, ile jest kombinacji z po­

wtórzeniami z n —p elementów po j, to jest

l « s l

> rp (s =

,

, . . . , n —p), mamy

« Г ^{' , 1}

Ponieważ

zatem

<

n- !”i У \ а к^ 1 п v + i ’ j - L .

f z

f rP

Oznaczając Mp = max|a?-/aJ (j = 0, 1, . .., p) otrzymujemy więc

< M n\a„\r - ( n - v ) y l n ~ V ^ j =

' У

? - l \ ±

Г nr.

Różniczkując n —p — 1 razy szereg (zbieżny dla |г| <

) l + 2!+«a4- - - . =

—Z),

otrzymujemy łatwo к

2 ( n - p t ’ =

3 = 0 ' ^

a zatem dla г =

jrp, gdy rp >

, jest

§ г т % < § Г ' ; т ~ ( ’ - ь )

1 \ - ( n ~ p )

skąd

lub wreszcie, wobec (13),

l4 n“p>I < M p\ a f - p)\{rv - l ) ~ (n~p\ czyli |4"“p)/ 4 n~P)l < Mp( r „ - l) - t n- p>.

Możemy teraz zastosować poprzednie twierdzenie Cauchy’ego do wielomianu

Wszystkie jego zera leżą w kole

|z| <

+ т а х |4 и-Р)/4Г-г5)1 » czyli N <

+ .Мр(гр —i )-(»-»).

W szczególności jest

% = l«n—

+

I < 1 + Мр{гр - 1 ) - ( п~р\

zatem (rp—l ) n~p+1< M p , więc rp <

+ -Mp/(n-p+1), co dowodzi twier­

dzenia w przypadku, gdy rp >

; jeżeli <

, nierówność ta jest oczywista.

Łatwo spostrzec, że ten wynik Montela jest uogólnieniem wspo­

mnianego twierdzenia Cauchy’ego.

10. Kryterium Hurwitza. Wielomianem Hurwitza nazywamy wie­

lomian f(z), którego wszystkie zera leżą w półpłaszczyźnie ге(г) <

, i piszemy f(z)eH, gdzie H oznacza klasę wielomianów Hurwitza.

Znajdziemy warunek konieczny i dostateczny na to, by wielomian o współczynnikach rzeczywistych

П П

/(*) = £ 4 z k = an n ^ z ~ Zk )

k = 0 k = l

był wielomianem Hurwitza(5). W tym celu wykażemy najpierw, że 1. Jeżeli f ( z ) eH i £ = a-\-{U jest dowolną liczbą zespoloną, to

s g n { | / ( C ) | - ! / ( - O l ) = sgnre(£).

Istotnie, jeżeli zk jest zerem rzeczywistym f(z) (zk < 0), to

\ £ ~ zk\2 — a2+j^ J- zl— 2azk, | — £— zk\% = a2 -\-^2 -\-z\-ir 2azk, więc |£—

fc|ig | — £ — zk\ zależnie od tego, czy a ==re( £) ig

.

Jeżeli zaś zm — am +г/?т , żm — am~i f i m, arn <

, jest parą, zer sprzężonych f(z), to

1C— s j 2 = ( a — u,„)2+ (/?— Pm)2, \£ — Źm\2 = ( « — «m)2+ (/^+^m)2j oraz

\—£—zm\2 = ( a + a m)2+ ( ^ + / ? m)2, | — C -

wj

= (« + am)2+

Lecz ( a— am)2 i= (a-f am)2 zależnie od tego, czy a i= 0. Ostatecznie więc dla każdego zera zk mamy \£ — zk\ ^ \ —£—zk\, czyli

n n

1

/ (

) ! — I a n ^j J ^{I !}

% к I ^ I i I J ^I

^

* I = ! / (

fc=i *=i

zależnie od tego, czy r e ( £ ) i g

.

Mech teraz £ oznacza dowolną liczbę dodatnią; utwórzmy wielo­

mian

iy>(z) = a0a1-j-£(a1a2 — a0a3) z + a0a3z2+ £(а1ал —a0ab)z3-f ...

i przyjmijmy

F{z) = a0( l — £/z) + аг £, <P(z) = a0(l — £/z) — at £.

Łatwo otrzymujemy tożsamość

(14) zip {z) = F ( z ) f { z ) - 0 { z ) f { — z).

Jeżeli a0 > 0, > 0 ( 6), to wobec £ > 0 mamy

(15) \F(z)\ > \Ф(*)\,

jeżeli tylko re(£/z) <

, z Ф

.

(5) Podany tutaj dowód kryterium Hurwitza pochodzi od I. Schura [9].

(6) Można zawsze założyć, że a0 > 0; jeżeli

to w rozkładzie

na czyn­

niki występują czynniki postaci z + a i z2 + pz + y, gdzie a, у są dodatnie. Wszystkie

współczynniki

muszą więc być tego samego znaku, tj.

> 0.

Położenie zer wielomianu %p(z) zależy oczywiście od £, wykażemy jednak, że

2. Liczbę dodatnią £ można tak dobrać, by dla każdego zera £ wielomianu y(z) było R(£/£) <

.

Istotnie, prosty rachunek dowodzi, że wielomian y) (z) jest stopnia n —1. Liczba

/£, jako odwrotność zera tego wielomianu, czyni zadość równaniu

Jeżeli przyjmiemy, że £ jest ograniczone, na przykład £ <

, to każdy współczynnik tego równania, a tym samym iloraz l/£ jest ograniczony:

|1/£| < M, gdzie Ш jest pewną stałą dodatnią. Obierając £ <

(M otrzy­

mamy więc rzeczywiście re(£/£) = £re(l/£) < ( l f M) M = 1.

W dalszym ciągu zakładać będziemy, że a0 > 0, аг >

, re(£/£) <

i udowodnimy, że

3. Jeżeli f(z)eH, to \p(z)eH i na odwrót.

Przypuśćmy najpierw, że f ( z ) e H; gdyby istniało zero £ wielomianu ip (z) o części rzeczywistej nieujemnej, mielibyśmy

W ) = Р ( £ ) / ( £ ) - Ф ( £ ) / ( - £ ) =

, zatem ,F(£) = Ф(£)/(- £ ) / / ( £ ) . Lecz re(£/£) <

pociąga za sobą |F(£)| > |Ф(£)| (wzór (15)), co jest niemożliwe wobec re(£) >

.

Przypuśćmy, na odwrót, że £ Ф 0 jest zerem wielomianu j(z) i że re(£) > 0. Podstawiając w tożsamości (14) —

! zamiast z, mamy

Rozwiązujemy układ równań (14) i (15) względem f(z) _ z F ( - z ) f { z ) — z 0 ( z ) y ) ( - z )

4:а0аг С

Wobec /(£)== 0 i £ Ф 0 mamy więc F ( — £)y(£) = Ф(С)у>(— £). Lecz

|F(-£)la-|<Z>(OI 2 = 4 e 0 f((e,/|f|«)a+e1).

Jeżeli więc a = re(t) > 0, to wobec au >

. >

mamy \F( — t) >

> |<P(f)|, czyli

\v (z)\ = W - f ) l l ® ( f ) l / l ^ ( - O I < M - O I , co jest niemożliwe, gdyż y){z)eH.

(16) z y { - z ) = < L { - z ) f { z ) - F ( - z ) f { - z ) .

Utwórzmy ze współczynników wielomianu f{z) wyznaczniki

ax ao

...

a3 a2

...

, к =

a2k- a2k-2

... ak

i, analogicznie, ze współczynników wielomianu y>{z) wyznaczniki

£ (ai a2 ао®з) a0dy

...

А к — £(«i a

Й

Й5) a0as a0%)

£(«i <*

fc «

«

fc+l) aoa2k

£ (% o2k_2 a0a2k-l)

к =

,

, . . . , n rachunek (7) wykazuje że

a0 dy

...

A. — a0as

_ ! К f)(t+

,,

Ą

(fc nieparzyste)

^ к "

• Ak

dy (fc parzyste),

tzn. że wyznaczniki Ak i D k+x mają, wobec

> О, ax >

i £ >

ten sam znak.

Możemy teraz udowodnić za pomocą indukcji następujące twierdze­

nie, zwane kryterium Hurwitza (1895):

П

Na to, by wielomian = akzk, a0 >

, był wielomianem Hur-

k= 0

witza, potrzeba i wystarcza, by było Dk > 0, к = 1 , 2 , . . . , n.

Dla n — 2 sprawdzamy bezpośrednio, że zespół nierówności a0 >

, B x = ax > 0, B 2 — axa2 > 0 (tj. a2 >

) jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by f(z) — a0-\-axzĄ-a2z2eH. Załóżmy, że kryterium jest słuszne dla wielomianów stopnia n —

.

Przypuśćmy, że B k > 0, 1c = 1, 2, n. Stąd wynika, jak widzie­

liśmy, że Ak >

, к = 1 , 2 , . . . , n —1; zatem w myśl założenia indukcyj­

nego, y( z ) eH (%p{z) jest wielomianem stopnia n —1), co jak wiemy, pociąga za sobą f(z)eH. Warunek jest więc dostateczny.

Przypuśćmy, na odwrót, że f ( z ) e H• wobec a0 > 0 wynika stąd, że a1 — B 1 > 0 oraz że ip(z)eH. Zatem z założenia indukcyjnego mamy

(7) Pierwszą kolumnę dodajemy do drugiej, trzecią do czwartej, itd.

Ak > О, к — 1 , 2 , . .. , n — \, czyli Dk > O, к = 1 , 2 , . .., n. Warunek jest więc także konieczny.

Ogólniejsze kryterium dla przypadku, kiedy f(z) jest wielomianem 0 współczynnikach zespolonych, podali Bilharz i Frank (por. [4]).

Kryterium Hurwitza odgrywa ważną rolę w różnych zagadnieniach mechaniki, w szczególności w zagadnieniu stabilności ruchu.

11. Liczba zer wielomianu w danym kole. Problem wyznaczenia liczby zer wielomianu w danym kole sprowadzić można za pomocą prze­

kształcenia ułamkowo-liniowego do wyznaczenia liczby zer w półpłasz- czyźnie re(z) < 0 , tj. do problemu Hurwitza. Podamy tu inny sposób, polegający na pewnym algorytmie rekurencyjnym i przyjmiemy, że danym kołem jest koło \z\ < 1, co nie wpływa na ogólność rozumowania.

П

Zera wielomianu f(z) = JP akzk oznaczmy przez zk (k = 1 , 2 , . . . , n) 1 utwórzmy wielomian

П

f* («) =

n/ ( l /

) = ^ c i n_kzk.

k^{= 0}

Łatwo sprawdzić, że zerami wielomianu f*{z) są liczby zk l (k = 1 , 2 , . . . , n) , tj. że zera obu wielomianów położone są symetrycznie względem okręgu \z\ = 1. Jeżeli więc f(z) ma p zer w kole |г| < 1, to liczba zer f*{z) w tymże kole wynosi n —p.

Utwórzmy dalej ciąg wielomianów określony wzorem rekurencyjnym (17) /*+i(z) = a{k)fk( z ) - a %l kfUz), к =

,

, . .. , n ~ l ,

przy czym f0(z) s=/(a),

n —k

/*(«) = £

i = 0

n— k

tl(z) = z n kfk(l/z) = ^ a ^ l k_iZ\

i

Ostatni wielomian ciągu, fn(z), jest stopnia

, a więc jest pewną stałą.

Pomiędzy współczynnikami dwu kolejnych wielomianów ciągu zachodzi zależność

jfc+i) - /*<*) , ż#)

,

, . f c - 1 ) ; w szczególności współczynniki

i f +l) = ■ a(k) , 7j(k) , О'п — к un— k ilfc)|2_!«(*) J

są liczbami rzeczywistymi; oznaczmy je przez = d,k

• 1922, Marden następujące twierdzenie Cohna-Mardena (Cohn

Jeżeli fk(z) ma pk zer w kole \z\ < 1 , fk(z) Ф

na okręgu i ók+1 Ф 0, to fk+i{z) =£

na tymże okręgu, a liczba zer fk+i(z)

\z\ <

wynosi

Mamy 1948):

И =

w kole

(18) p*+i = | { w - & - [ ( n - f c ) -

p/c]sgn

+1).

Roczniki P. T. M.-Praco Matematyczne П 8

D o w ód . Na okręgu \z\ = 1 mamy z = егв,- zatem fl(eie) = {е{Г - кЫе~1в) = е ^ ° } л( е % . Stąd wynika, że |/й (ег0)| = \~fk(eie)\ = |/*(e,fl)|.

Jeżeli <5й+1 = l4fc)|2— l»n-fc|2 > 0, to |a f | > 14*1*1» więc \Т^^к{е1в)\ >

> la»l*/*(e1,e)l- Na mocy twierdzenia Eouchego wielomian fk+\(z), okre­

ślony wzorem (17), ma w kole \z\ < 1 tyle zer, co fk{z), to jest pk. Wobec sgn<5A+1 = 1 , wzór (18) jest w ięc: prawdziwy.

Jeżeli ók+1 < 0, to l4*}/* (O l < 1ап1*/*(е<в)|. Z twierdzenia Eou­

chego wynika, że fk+i(z) ma w kole \z\ < 1 tyle zer, co fk(z), tj. n — k — pk (gdyż liczba zer fk(z) w tym kole jest równa pk). Ponieważ s g n ó ^ = —1, wzór (18) jest prawdziwy,także w tym przypadku. Twierdzenie jest więc

udowodnione. .v

Niech p oznacza liczbę zer f(z) w kole \z\ < 1. Na podstawie wzoru (18) możemy obliczyć kolejno p lr p 2, ... , pn. Za pomocą indukcji łatwo otrzy­

mujemy wzór

Pk = H(w —fc+ 1)— (^-SpjsgnCójóa... <y + sgn(<32ó3 ... <5*)+ ... + sgnó*], к = 1, 2, . . . , n . ■ ' \ Ł W szczególności dla к = n jest fn(z) = const, zatem pn = 0; po odrzuceniu czynnika \ mamy więc

( n—p + 1) —(ri—2p)sgn(ó1<5a ... ón)+ s g n ( ó 1ós ... d„)+ ... + sgnóB = Or Przyjmując ... dk — P k, k = l , 2 , . . . , n , i biorąc pod uwagę, że sgn(Pn/Pfc) = sgnPfc/sgnPn, otrzymujemy

n — 1

1 - ( n - 2 p ) s g n P M + (JT sgnР й)/ sgnP„ = 0,

*=i czyli

n

P = i [n —£ s&nP*|-

*=i

Oznaczmy wreszcie przez v liczbę wyrazów ujemnych w ciągu P x, P 2, . . . , P n; liczba wyrazów dodatnich wynosi wówczas n — v i mamy

П

sgnPfc = n — 2'v, a zatem

*=i

p = \ \ n — ( n—2v)~\ — v.

Otrzymaliśmy w ten sposób twierdzenie Mardena (1948):

Jeżeli liczba wyrazów ujemnych w ciągu P 1(P 2, . . . , P n wynosi p,

liczba dodatnich n —p , to f(z) wewnątrz okręgu |z| < 1 ma p zer, na zewnątrz

n —p zer, a na samym okręgu f(z) Ф 0.

Tenże autor znalazł uogólnienie powyższego wyniku na przypadek, gdy f(z) ma zera na okręgu \z\ —

.

Korzystając z twierdzenia Bouchego można z łatwością udowodnić twierdzenie Scłiura (1917):

Jeżeli \a0\ < \an\, wszystkie zera f(z) leżą w kole \z\ < .1 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zera fl (z) leżą w tymże kole.

Dowód pomijam. '

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu f(z) są dodatnie i nadto a0 > « i > . . . > an >

, to

— ój = \a0\2 — \a

= a l—a2 n >

oraz

= а0аа—апап_а > a0as+1—апап_3_г = <

+i dla s =

,

, n —

, czyli

> af* > . . . > >

.

Podobnie, z nierówności «(0fc) > a p > ... > a{k)_k > 0 wynika, że <5

=

= aj,fe+1) > a f +1) > ... > a^Żk

> 0. Liczby ók — a $ \ к = 1 , 2 , . . . , n, o których mowa w twierdzeniu Cohna-Mardena, są wszystkie dodatnie,

П %

więc sgnPj; = n, tzn. p =

. Otrzymujemy w ten sposób twierdzenie

&=i

Enestróma-Kakeyi (Enestróm 1893, Kakeya 1912):

Jeżeli a0 > ax > ... > an > 0, to wszystkie zera wielomianu f(z) — to

= £ a kzk leżą na zewnątrz okręgu \z\ =

. fc =

Wynik ten można zresztą łatwo otrzymać bezpośrednio. Mamy bowiem

( l - z ) f ( z ) = а0 — [{а0—аг)я + K ~ a

)s

+ ... -f (an_1- a n)zn^ a nzn+1], zatem

| 1

—z\\f(z)\ > a0- { a Q—a1)\z\—. . . - { a n_l —an)\z\n- a n\z\n+l, przy czym znak = ma miejsce tylko dla г >

.

Jeżeli \z\ < 1, lecz z ФО i z Ф 1, to

|

—*ll/(*)l > =

.

Wobec / (

) >

jest / (

) >

, wszędzie więc w kole N < i mamy f(z) Ф0, c. n. d.

8 *

Prace cytowane

[1] B ieb erb a ch -B a u er, Vorlesungen iiber Algebra, Lipsk-Berlin 1933.

[2] M. B iern ack i, Sur les equations algebriques contenant des paramdtres arbi­

trages, Bulletin International de l’Academie Polonaise des Sciences et des Lettres, Classe des Sc. Math, et Natur., Ser. A, 1928, str. 541-685.

[3] — Nowsze badania nad geometrią zer wielomianów, Referat na VI Zjeździe Matematyków Polskich, Warszawa 1948, Dod. do Rocznika P.T.M. t. XXXII, Kraków 1950, str. 8 - 16.

[4] H. Г. Ч еботарев, H. M. Нейман, Проблема Гауса-Гурвица для поли­

номов и целых функций, Москва-Ленинград 1949.

[5] J. D ieudonnó, La theorie analytique des polynomes d ’une variable, Memorial des Sciences Mathematiques 93 (1938).

[6] W. Jan k o w sk i, Sur les zeros des polynomes contenant des parametres arbi­

trages, Annales Universitatis M. Curie-Skłodowska, Sectio A, 5 (1951), str. 31-92.

[7] M. Mar den, The Geometry of the Zeros of a Polynomial in a Complex Va­

riable, Mathematical Surveys 3, New York 1949.

[8] G. P ó ly a und G. Szego, Aufgaben und Lehrsdtze aus der Analysis, t. II, Berlin 1925.

[9] I. Schur, fiber algebraische Gleiehungen, die nur Wurzeln mit negativen Eealteilen besitzen, Zeitschrift f. angewandte Mathematik und Mechanik 1 (1921), str. 307-311.

С.

(Люблин)

О ГЕОМЕТРИИ НУЛЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ

Р Е З Ю М Е

В статье дается обзор нескольких основных теорем, касающихся взаимного размещения нулей многочлена и его производной (или некоторых других частных многочленов) и определения — в зависимости от коэффици­

ентов многочлена — областей, содержащих все его нули, либо только определенное число этих нулей.

S.

(Lublin)

ON THE GEOMETRY OF THE ZEROS OF POLYNOMIALS

S U M M A R Y

The paper gives information on a few basic theorems concerning the relative positions of zeros of a polynomial and its derivative, or some other particular poly­

nomials, and the determination, according to the coefficients of the polynomial, of

the regions containing all its zeros or only a given number of them.