ZESZYTY N A UK O W E P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J Seria s A O T O M i T m . z . 9 ł
________ 1 9 8 8 H r k o l . 9 7 0
Eugeniusz N o w i c k i Czesław S m u t n i c k i Politechnika W r o c ław s k a
Instytut C y b e r n e t y k i T e c h n i c z n e j
ALGORYTMY P R ZY B LIŻ ON E RO ZW IĄZY W AN IA ZA G A D N IE N IA KOLEJN03CI OWEGO P O S TA C I 1 ) |If j * /
S t r e s z c z e n i e . W p r a c y r o z w a ż a n y j e s t jedn o m a szy n o w y problem s z e r e g ow ania z k r y t e r iu m w p o s t a c i sumy k o s z t ó w . Z a k ł a d a s i ę , ż e k o s z t wy
ko n a n ia z a d a n i a j e s t n i e m a l e j ą c ą -funkcją j e g o te r m in u z a k o ń c z e n i a . Do r o z w i ą z a n i a t e g o p r o b le m u p r o p o n o w a n e są c z t e r y a lg o r y tm y aproksym a
c y jn e o r a z p r z e p r o w a d z a n a j e s t d l a n i c h a n a l i z a e k s p e r y m e n t a ln a .
LHsteo
W pracy r o z w a ż a s i ę je d n o m a s z y n o w y p r o b le m s z e r e g o w a n i a z k r y t e r iu m w postaci sumy k o s z t ó w w y k o n a n ia z a d a ń . P r z y jm u je m y , ż e k o s z t w y k o n a n ia z a d a nia zależy w y ł ą c z n i e od t e r m in u j e g o z a k o ń c z e n i a i j e s t f u n k c j ą n i e m a l e j ą —
Problem t e n n o t u je m y , z a p r a c ą C 3 3 , j a k o 1 | |~f ^ - W ogólnym p r z y p a d k u Jest on s i l n i e N P- trudny* C 6 I . W c e l u j e g o r o z w i ą z a n i a proponow ane s ą w literaturze dwa p o d e j ś c i a . P i e r w s z e p o l e g a n a z a s t o s o w a n i u m etody p r o g r a mowania d y n a m ic zn e g o . tnp. E S I ) , z a ś d r u g i e n a z a s t o s o w a n i u m etody p o d z i a ł u i ograniczeń ( n p . C i i , C 9 I ) . O b a p o d a n e p o d e j ś c i a pozw ał a j ą n a r o z w i ą z a n i e
" "rozsądnym" c z a s i e p r z y k ł a d ó w o r o z m i a r z e n i 5 0 . D l a t e g o t e ż w y d a je s i ę , dla z a g a d n i e ń o w ię k s z y c h r o z m ia r a c h jed y n y m sensow nym p o d e j ś c i e ® j e s t zastosowanie alg orytm ó w a p r o k s y m a c y jn y c h ( p r z y b l i ż o n y c h ) . A k t u a l n y s t a n badań d o ty czą cych z a g a d n i e ń je d n o a a s z y n o w y e h , o p ra c o w a n y n a p o d s t a w ie 2 0 4 Pozycji l i t e r a t u r o w y c h , p r z e d s t a w i o n o w p r a c y E 4 I . Z p r a c y t e j w y n i k a , ż e oi« są znan e ż a d n e a lg o r y tm y a p r o k s y m a c y jn e d l * om aw ianego prob lem u z c?Mną p o s t a c ią f u n k c j i k o s z t u .
W p r ezentow an ej p r a c y fo r m u łu jem y c z t e r y a lg o r y tm y a p r o k sy m a c y jn e r o z kazujące p rob le m l | | 2 f ^ . N a s t ę p n i e p r z e d s t a w ia m y d o l n e o g r a n i c z e n i e m in i—
wlnej w arto ści f u n k c j i c e l u o p a r t e tst z a g a d n i e n i e p r z y d z i a ł u p r a c y <AP>.
PI* sformułowanych algorytm ów p r z e p r o w a d z a n y s z c z e g ó ł o w ą a n a l i z ę skspe c y- yntalną.
^ Praca b y ł a c z ę ś c i o w o f i n a n s o w a n a p r z e z R P . 1 . 0 2 " T e o r i a s t e r o w a n i a i op- tyealisao^i u f c ł a d & f d y B a a i f t E a y e b i proeosót? « Jja k r e tu jr o h ".
202 E . N ow icki , C.Smutnie
2 . S fo r m u ł o w a n ie p r ó b Ig a u
Z a g a d n i e n i e k o l e j n o ś c i owe p o s t a c i 1 | |If ^ formułuje s i ę n a s t ę p u ją c o . Da», j e s t z b i ó r n n i e z a l e ż n y c h z a d a ń J = ( 1 , 2 , . . . , n > , k t ó r e n a l e ż y wykonać na j e d n e j m a s z y n ie . D l a ka ż d eg o z a d a n i a o k r e ś l o n y j e s t c z a s w yko nyw ania Pj ) or a z n i e m a ł e ję c a -funkcja f j i R ' u (03. ■* R , j e J . F u n k c ja f j reprezentuj!
k o s z t z w ią z a n y z w ykonaniem z a d a n i a J c J . M i a n o w i c i e , j e ż e l i wykonywanie z a d a n i a J z o s t a ł o z a k o ń c z o n e w c h w i l i C j , t o j e s t k o s zte m wykonani!
t eg o z a d a n i a . P r z y j m u j e s i ę , ż e w k a ż d e j c h w i l i c z a s o w e j m as zy n a może rei- 1 i z owad co n a j w y ż e j j e d n o z a d a n i e o r a z r e a l i z a c j i z a d a n i a n i e można przer
w a ć . P ro b lem p o l e g a n a z n a l e z i e n i u u s z e r e g o w a n i a (r e p r e z e n t o w a n e g o prze:
z e s t a w term inów z a k o ń c z e n i a C j , J c J ) , k t ó r e m i n i m a l i z u j e sumaryczny k o s z t w y k o n a n ia z a d a ń . Ł atw o p o k a z a ć , i ż w z b i o r z e u s z e r e g o w a ć optymalnyć i s t n i a j e u s z e r e g o w a n i e , w którym n i e w y s t ę p u ję p r z e r w y p o m ię d zy kolejno »i konywanyml z a d a n i a m i . Zatem p o w y ż s z y p r o b le m f o r m u ł u j e s i ę następująco.
Z n a l e ź ć k o l e j n o ś ć w y k o n y w a n ia z a d a ń n * c n , d l a k t ó r e j
F ( n S > «* m in F(fi) , II
nen g d z i e
n j
F< n) " l f n<j>< l P n ( i , >
J-l 1-1
o r a z tr « (n (1 ) , n (2> , . . . , n (n ) ) J e s t p e r s u t a c j ą ele m e n tó w z b i o r u J , zat D j e s t z b io r o m w s z y s t k i c h t a k i c h p e r o u t a c j i .
J a k J u t w sp o m in a liśm y we w s t ę p i e , p r o b le m (1 ) J e s t s i l n i e NP-trudny. “ p r a c a c h ( 2 3 o r a z ( 7 3 p o d a n o o d p o w i e d n io a lg o r y t m y a p r o k s y m a c y jn e d la tej!
p ro ble m u p r z y z a ł o ż e n i u , t e f u n k c j e k o s z t u oą p o s t a c i i f j ( t ) « oaKCO.t-dj1 J t J i f j t t ł • W j a ax ( O , t-cfcjJ, j e j . U n a s tę p n y m r o z d z i a ł a przedstaw im y rytm y tp r o k o y m a c y jn a d l a p r z y p a d k u do w o ln y ch f u n k c j i k o s z t u f j ( t ) .
2 . felpcrytey aproi a y a a c y jn e
O g ó ln a i d e a p r z e d s t a w ia n y c h alg o r y tm ó w a p r o k s y m a c y jn y c h p o l e g a na Pr,r g l g d m a u t y l k o p sw n eg o p o d z b i o r u z b i o r u H . P o d z b i ó r to n J e s t k o n s t r u o w ^ ' o p a r c i u o daną p o c zą tk o w ą p e re su tae ję e r a * postać- f u n k c j i k o s z t u . Jako r « '
Algorytoy przybliżon e? ^ 05
wiązanie a lg o r y tm y p r z y jm u ją por m u t a c ję o n a j m n i e j s z e j w a r t o ś c i f u n k c j i c a lu z tego p o d z b i o r u . P r z e d i c h p r e z e n t a c j ą z d e f i n i u j e a y k i l k a n i e z b ę d n y c h wielkości. D l a k a ż d e j p e r o u t a c j i n e U o r a z z a d a n i a j e 3 a zn a c z n y p r z e z 0(ti,j) p o d z b ió r 13 t a k i , ż e
C < j , ti ( i ) , . . . , n l k - l } ,n (k - M n ( n l ) , (n <11 , j , e <21 , . . . ,tr <k-ll , n ( k + 1 1 , -- , n ( n ) < n ( 1 ) , . . . , n t k - 1 ) , n < k + l ) _____, n ( n ) , j » > , tZi
k
1
n<kl=>j.Zbiór 0 C r ,j > z a w i e r a n p erstu tacji i ą c z n i o z n . Z d e f i n i c j i <21 w y n i k a , s a otrzymujemy go p r z e z k o l e j n e u s t a w i a n i e z a d a n i a j n a p o z y c j a c h 1 , 2 , . . . , n w perautacji n . P r z y k ż a d o w o , d l a n = 4 o r a z n = ( 4 , 1 , 3 , 2 1 i j = 1 z b i ó r t e n zawiera c z t e r y p e r m u t a c je < 1 , 4 , 3 , 2 1 , < 4 , 1 , 3 , 2 1 , < 4 , 3 , 1 , 2 1 , < 4 , 3 , 2 , 1 1 .
Wprowadzimy d a l e j f u n k c j ę Hsll * n . W ie l k o ś ć H (n i j e s t w y zn a c za n a w n a s tępujący s p o s ó b
5
(i) Podstaw F**:*= o , n .
(ii) Dla k a ż d e g o i <-> i , 2 , . . . , n w y zn a c z p e r m u t a c ję e Q<ni _ 1 , n < i ) } apeŁ- n iają cą
F < n ,l = m in FCpl
pcO(fTi _ J ,il <i 11
oraz j e ż e l i F ( n ^ l < F*% to p o d s t a w H ( n l s = n ^ , F ^ s ** F ( n ^ l .
Złuwainy, ż e po z a k o ń c z e n i u w y z n a c z a n i a w a r t o ś c i H ( n ) z a c h o d z i «>
F<H(nJ1. w t r a k c i e j e j w y z n a c z a n i a p r z e g lą d a m y z b i ó r 0 < n , n ( l l l w y b i e r a j ą c n»jiep&zą z e w z g l ę d u n a w a r t o ś ć f u n k c j i c e l u p e r m u t a c ję n ^ . N a s t ę p n i e p r z e glądamy z b ió r D < n 1 ,n < 2 1 1 w y b i e r a j ą c p e r a u t a c j ę n 2 < i t d . W o s t a t n im <n-tya) troku pr zeg lą d an y z b i ó r 0 (tin _ 1 , n (nl 1 wyb i s r a j ą c p e r o u t a c j ę i»n . Ł ą c z n i e w e
**zystkich k r o k a c h p r z e g l ą d a m y z b i ó r (J 0 < n i _ 1 ,n < i l l z a w i e r a j ą c y n i e
"lęcsj n iż n " p e r a u t a c j i . W k o n s e k w e n c ji w y z n a c z o n a p a r m u t a c ja H<nl aut Pijoniajszą w a r to ś ć f u n k c j i c e l u n a t y » z b i o r z e .
Rsalizując o g ó ln ą i d e ę p r z e d s t a w i o n ą n a p o c z ą t k u r o z d z i a ł u p r o p o n u je sz / l'*, tąpujący a l g c r y t « .
&ła°ryta h i
frok 1 . W y z n a c z p e r o u t a c J ę n c B , d l a k t ó r e j P a { i , 1 S»n « 2 > 1 S e e t n ł * Krok 2. W y licz H (n ł o r a z p o d s t a w nH
1
• H t n l .0 <n,j1 =
gdzie
2 0 ¡j E.N ow i C ki , C.' Smuthick
Algo rytm HI w y z n a c z a p e r o u t a c j ę n , k t ó r ą t r a k t u je m y j a k o p r z y b l i ż o n e rozH
w i ą z a n i e problem u <11. Z ło ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a kr o k u 1 j e s t r z ę d u O(nlogn)j z a ś krok 2 ma z ł o ż o n o ś ć 0< n 3 ) , j e d n a k ż e może on by ć im plem entow an y w foraii p r o c e d u r y o z ł o ż o n o ś c i 0 ( n ) . S t ą d c a ł k o w i t a z ł o ż o n o ś ć a lg o r y tm u j e s t rjęi2
□ ( n " ) .
. i
Z a n a l i z y A lg o rytm u H I w y n i k a , ż e a lg o r y tm t e n m ożna p r o s t o zmodyfiko
w a ć . M o d y f i k a c j a t a p o l e g a n a w ie lo k r o t n y m w y k o n a n iu k r o k u 2 . Otrzymamy w te d y n a s t ę p u j ą c y a l g o r y t m .
A lg o r y tm H 2
Kro k 1 . W yznacz p e r m u t a c ję n c n , d l a k t ó r e j i P n ( 2 ) * s ptr(n)' P o d s ta w i t « 1 , “ n .
K ro k 2 . W y l i c z H ( n ) o r a z .p o d s t a w H ( n ) . J e ż e l i F ( n ^ ) < F < n ) , t o p o d sta w t r ^ i “ n*^.
Krok 3 . J e ż e l i F ( n ) i F ( n H ) lu b i - n , t o s t o p . P o d e ta w n i « tiH , i z “ i+ 1 o r a z i d ż do K ro ku 2 .
UO f ' P o d o b n ie J a k d l a A lg o r y tm u H i , A lg o r y tm H 2 w y z n a c z a p e r m u t a c j ę n ktdn t r a k t u je m y j a k o p r z y b l i ż o n e r o z w i ą z a n i e p r o b le m u ( 1 ) . Z ł o ż o n o ś ć obliczenie w a t e g o a lg o r y tm u J e s t r z ą d u 0<n k ) , g d z i e k - l i c z b a r e a l i z a c j i kroku 3 2
<fc i n > . .
3 . P o l n e o g r a n i c z e n i e
D l a p r o b le m u ( 1 ) d o l n e o g r a n i c z e n i e L.B w a r t o ś c i f u n k c j i c e l u będziesy w y z n a c z a ć p o p r z e z r o z w i ą z a n i e o d p o w i e d n io s fo r m u ło w a n e g o z a g a d n i e n i a przy d z i a ł u p r a c y ( A P ) . M eto da t a b y ł a z . p o w o d ze n ie m s t o s o w a n a m . i n . w pracach t l i , t ł l . P o n i ż e j p r z e d s t a w im y J e j o p i s .
N ie c h a b ę d z i e p e r mu tac ją elem entów z b i o r u J t a k ą , ż e P CT( j ) - P a (2) ' i . . . i P 0 jn j- Ozn a c zm y p r z e z s tj sumą c z a s ó w w y k o n y w a n ia i-1 z a d a ń , wyi>^, n y c h k o l e j n o z p e r m u t a c ji o , p o c z y n a j ą c Dd z a d a n i a c ( l ) i n i e u w z g lę d n ia j*
z a d a n i a J , i c J , J c J . J a k o d o l n e o g r a n i c z e n i e p r z y jm u je m y
U • o i n
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1
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g d z i e wicslkości a
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J c J s ą o k r e ś l o n a n a s t ę p u j ą c aa U “ ^ ‘ “ i j * *>Jł * ł » J c J * (»
Algorytay p r z y b li ż o n e . 205
Hspólczynni ki a i j s ą ró w n e m in im a l n e j w a r t o ś c i k o s z t u z w i ą z a n e j z w ykonywa
nie« zadania j- t e g o j a k o i —t e g o w k o l e j n o ś c i , i , j c J .
U celu w y k a z a n i a , ż e w i e l k o ś ć o k r e ś l o n a w zorem (3 ) j e s t dolnym c g r a n i- czenien( zauw ażm y, i ż d l a k a ż d e g o n e tl o r a z i c J z a c h o d z i
■ i —1
2 p n ( k l * s iti <i ) * k « l
Stąd. z d e f i n i c j i F (t x ), z (4 ) o r a z z f a k t u , ź e f u n k c j e f j są n ie t n a l e ją c e , otrzymujemy
n i —1
F<"> -
l
f n U ) {1
P n ( j ) + P n i i ) > 2i = l j ~ i
n h
ł I f n ( i ) { B iti(i> + p n ( i ) } " £ a in ( i ) *
i=»l i ” l
Ostatecznie d o s t a je m y n a s t ę p u j ą c ą n ie r ó w n o ś ć
n
m in F<n) i min V * LB
s e n s e n i n , i )
di potwierdza, ż e w i e l k o ś ć LB j e s t d oln y m o g r a n i c z e n i e m d l a pr o b le m u 1 1 ) .
■lak już w s p o m in a liś m y , z a g a d n i e n i e k o l e j n o ś c i o w e d e f i n i u j ą c e LB z n a n e Jest w l i t e r a t u r z e j a k o p r o b le m p r z y d z i a ł u p r a c y <AP> z m a c ie r z ą ko sztó w określoną p r z e z ( 4 ) . Do w y z n a c z a n i a w s p ó ł c z y n n ik ó w a ^ j , i , j c J p ro p o n u jmy zasto so w an ie n a s t ę p u j ą c e g o a l g o r y t m u .
jlgorytm A
^ok 1. Wyznacz p e r m u t a c ję a ele m e ntó w z b i o r u J t a k ą , ż e P CT<i) s p a<2> *
■' S pcT<n)-
^ok 2. Dla k a ż d e g o z a d a n i a j c J w y zn a c z p o z y c j ę p j , n a k t ó r e j z a d a n i e to w y stęp u je w p e r m u t a c ji a . W tym c e l u w y k o n aj p o d s t a w i e n i a (j ) ł“ J»
j “ l , 2 , . . . n .
^°k 3, Podstaw s i > O o r a z i i ” 1 .
Kook ł. D la k a ż d e g o J » 1 , 2 , . . . , n w y k o n a j]
j e ż e l i p j ł i , to p o d s ta w «j j* “ f j » J e ż e l i p j < i , t o p o d ż t a w ł j ta* P c < i p • k ** 5« J e ż e li i w n ^ t o s t o p .
206 E. Nowi c k i , C. Smutnie!
W p r z e c i w n y m p r z y p a d k u p o d s t a w s : = s + P a ^ ) * i : i + i o r a z przejdi d o k r o k u 4 .
P o w y ż s z y a l g o r y t m z o s t a ł o p a r t y n a s p o s t r z e ż e n i u , ż e z g o d n i e z d e f i n i c j ą 5 i i 9 G J z a c h o d z i
i-1 2 p c tk >
k n l
i- 1
X p c <k) p j + p o ( i >
j e ś l i p.j i i,
j e ś l i n j < i .
W k o n s e k w e n c j i d r o g ą p r o s t y c h p r z e k s z t a ł c e ń ł a t w o o t r z y m a ć z a l e ż n o ś ć reku- r e n c y j n ą w y k o r z y s t y w a n ą w A l g o r y t m i e A . A l g o r y t m t e n , w y z n a c z a j ą c y n x lici , ma z ł o ż o n o ś ć o b 1 i c z e n i o w ą r z ą d u OCn*- ). 2 k o l e i z ł o ż o n o ś ć obliczenie«O
2 5
z a g a d n i e n i a {AP> w y n o s i 0 ( n * ) . O s t a t e c z n i e z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a metod) w y z n a c z e n i a d o l n e g o o g r a n i c z e n i a J e s t r z ę d u 0 ( n ^ " ^ ) .
A. I J /n i k i o b l i c z e ń
A l g o r y t « y H I i H 2 z o s t a ł y z a i m p l e m e n t o w a n e w J ę z y k u F O R T R A N i przetester w & n e n a m in i k o m p u t e r z e IB M P C / X T . W y l i c z e n i e w a r t o ś c i
H (
tt)
w y s t ę p u j ą c e w K r o k u 2 t y c h a l g o r y t m ó w z o s t a ł o z a i m p l e m e n t o w a n e w f a r m i e p r o c e d u r y o zlc z o n o ć c i o b l i c z e n i o w e j r z ę d u 0 ( n “" ) . W p r o c e d u r z e k o r z y s t a s i ę z f a k t u , że z a m i a n a d w ó c h s ą s i e d n i c h z a d a ń < w y s t ę p u j ę c a p r z y b a d a n i u p e r m u t a c j i ze z b i o r u O , n ( i >) ) n i c z m i e n i a t e r m i n ó w z a k o ń c z e n i a w y k o n y w a n i a wszystk i c h p o z o s t a ł y c h z a d a ń . W k o n s e k w e n c j i d o w y l i c z a n i a w a r t o ś c i F ( p ) , dla ko*
l e j n y c h f c 0 ( n ^ _ j , n ( i > > # m o żna z a s t o s o w a ć o d p o w i e d n i ą f o r m u ł ę rekurencyj"
n ą , z a m i a s t a l g o r y t m u o z ł o ż o n o ś c i 0 ( n ) . U z y s k u j e m y w t e n s p o s ó b złożoność c a ł e j p r o c e d u r y 0 ( n 2 ) z a o i a s t o c z e k i w a n e j 0 < n 3 >.
D o t e s t o w a n i a p r z y j ę t o - funkcję k o s z t u w y k o n a n i a z a d a n i a w p o s t a c i -fjW
” W j aaii CO, t-d j J , J t J . W y k o r z y s t u j ą c j e j s p e c y f i k ą z a p r o p o n o w a n o dwa der d a t k o w o w a r i a n t y H 2 . 1 o r a z H 2 . 2 A l g o r y t m u H 2 . W A l g o r y t m i e H 2 . 1 p eroutaW * n c H z k r o k u l j e s t w y z n a c z a n a wg n i e m a l s j ą c y c h w a r t o ś c i W j . W A l g o r r teiie K 2 . 2 p e r o u t a c j a n c U j e s t w y z n a c z a n a w e d ł u g n i e m a l e j ą c y c h w artości
w j / p J - ttj / d j •
D l a ' a z d e g o « « 2 0 , 5 0 , 8 0 , 1 0 0 o r a : t = 0 . 2 , 0 . 4 , 0 . 6 , 0 . S wylosowano 1 0 p r z y k ł a d ó w p roblsM su 1 1 ) . D a n o d a p r z y k ł a d ó w ! W j , p ^ , d j , j e j wylosowani j a k o l i c z b y c a łk o w it e ? o d p o w i e d n i o p r z e z s
Algorytmy p r z y b li ż o n e .
(a) g e n e r a t o r o r o z k ł a d z i e r ó w n o m i e r n y m n a p r z e d z i a l e [ 4 , 1 5 1 ,
(b) g e n e r a t o r o r o z k ł a d z i e r ó w n o m i e r n y m z e ś r e d n i ą r ó w n ą l O O n ( l - t ) i w a r i a n c j ą 4 n ,
(c) g e n e r a t o r o r o z k ł a d z i e n o r m a l n y m z e ś r e d n i ą 1 0 0 i w a r i a n c j ą 2 5 . Podany s p o s ó b l a s o w a n i a p r z y j ę t o z a p r a c ą [ 8 1 . D l a k a ż d e g o w y l o s o w a n e g o przykładu w y z n a c z a n o L B wg ( 3 ) , F C n 1^) o r a z b ł ą d
F ( n H ) —L B w
H — f 7 ~ — * 1 0 0 7" ’ 9 d y F } * ° *
O 7. , g d y F ( n H > = O ,
Ht [ H I , H 2 , H 2 . 1 , H 2 . 2 J . P o w y ż s z a d e f i n i c j a b ł ę d u z o s t a ł a z a c z e r p n i ę t a z pracy [ 2 1 i r e p r e z e n t u j e w i e l k o ś ć o k r e ś l a j ą c ą “ p o t e n c j a l n ą " m o ż l i w o ś ć zm niejszenia w a r t o ś c i - fun kcji c e l u d l a o t r z y m a n e g o u s z e r e g o w a n i a , O < <
i 100 (i)^= O d l a u s z e r e g o w a n i a o p t y m a l n e g o ) . W y n i k i o b l i c z e ń p r z e d s t a w i o n o
* Tabeli 1 .
A n a liz a w y n i k ó w z T a b e l i 1 p r o w a d z i d o n a s t ę p u j ą c y c h s p o s t r z e ż e ń :
<i) ś r e d n i a w a r t o ś ć b ł ę d u w a h a s i ę w g r a n i c a c h 3 . 3 8 % * 7 . 8 5 % , z a ś m ak s y m a l n a w a r t o ś ć b ł ę d u w g r a n i c a c h 5 . 4 1 % + 1 3 . 5 1 % ,
(ii) ś r e d n i a w a r t o ś ć b ł ę d u m a l e j e z e w z r o s t e m t d l a u s t a l o n e g o n ; n i e o b s e r w u j e s i ę n a t o m i a s t w p ł y w u zm i'a n y n p r z y u s t a l o n y m t n a t ę ś r e d n i ą ,
liii) m a k s y m a ln a w a r t o ś ć b ł ę d u m a l e j e z e w z r o s t e m n p r z y u s t a l o n y m t , (iv) we w s z y s t k i c h b a d a n y c h p r z y k ł a d a c h A l g o r y t m H I d a w a ł t y l k o n i e w i e l e
g o r s z e r e z u l t a t y (w s e n s i e w a r t o ś c i ij ) o d p o z o s t a ł y c h a l g o r y t m ó w ,H
(v) t y l k o d l a n = 2 0 A l g o r y t m H I g e n e r o w a ł c z a s a m i t a k d o b r e r o z w i ą z a n i a (w s e n s i e w a r t o ś c i 1 ) j a k i n n e a l g o r y t m y ; d l a p o z o s t a ł y c h n w p ł y w
“z a p ę t l e n i a ” k r o k u 2 A l g o r y t m u H I J e s t z n a c z ą c y d l a w a r t o ś c i 1 , (vi> r ó ż n i c e , w s e n s i e w a r t o ś c i i)*’' o r a z 1 , p o m i ę d z y A l g D r y t o a o i K 2 , H 2 . 1 ,
H 2 . 2 s ą n i e w i e l k i e , .
Iv‘ i) A lg o r y t m y H 2 , H 2 . 1 , H 2 . 2 r e a l i z o w a ł y c o n a j w y ż e j 5 r a z y K r o k 2 ( w y n i ka t o z p o d a n y c h c z a s ó w o b l i c z e ń ) , m im o i ż t e o r e t y c z n i e m o g ł y g o wy
konywać n r a z y .
O g l ę d n i a j ą c p o w y ż s z e u w a g i ( w y c i ą g a m y n a s t ę p u j ą c e w n i o s k i :
‘'siystkie za p r o p o n o w a n e A lg o r y t m y są “ z a d o w a l a j ą c o d o b r e " d l a t e s t o w a n e j k lasy p r z y k ł a d ó w lo s o w y c h ,
KPlyw per m u t a c ji p o c zą tk o w ej" j e s t n i e z n a c z n y ; w y n ik a t o z e s p o s t r z e ż e n i a
“ V) i < v i ) .
200 £ . Nowi c k i , C. Smitnicki
T a b e l a 1 . W y n i k i e k a p e r y a a n t ó w n u a e r y c z n y e b
H I H2 H 2 1 H2 .2
n t av ssax av ma« av <nax av au
2 0 . 2 7 . 8 5 1 3 .5 1 7 . 1 5 1 1 . 5 5 7 . 3 0 1 1 . 5 5 7 . 15 11.3
-fi 3 . 9 4 1 1 . 4 8 5 . 3 3 1 1 . 4 5 5 . 3 0 1 1 . 5 4 5 . 2 4 11.«
. 6 3 . 13 1 0 . 3 4 4 . 5 7 9 . 7 2 4 . 5 7 9 . 7 0 4 . 5 6 9.72
. 6 3 . 3 5 6 . 4 2 3 . 4 0 6 . 4 2 3 . 3 8 6 . 3 4 3 . 3 9 6.»
5 0 . 2 7 . 3 2 1 1 . 2 2 6 . 8 1 1 0 . 5 0 6 . 7 7 1 0 . 5 0 6 . 7 4 10.»
. 4 7 . 5 8 9 . 2 9 7 . 3 7 9 . 2 6 7 . 3 9 • 9 . 2 6 7 . 3 8 . 9.21
. 6 7 . 1 6 8 . 8 8 6 . 5 2 7 . 7 9 , 6 . 5 2 7 . 8 1 6 . 5 3 7.K
. 8 4 . 6 3 6 . 3 1 4 . 0 3 3 . 4 1 4 . 0 2 3 . 4 0 4 . 0 2 5.41
8 0 . 2 6 . 9 8 . 1 0 . 5 6 6 . 6 7 1 0 .1 8- 6 . 6 9 , 1 0 . 3 3 6 . 6 6 10.21
, . 4 7 . 6 1 9 . 6 0 7 . 4 9 9 . 4 6 7 . 5 0 9 . 4 6 7 . 5 1 9.«
. 6 5 . 8 9 7 . 7 9 3 . 5 2 ’ 7 . 7 3 5 . 3 2 7 . 7 3 5 . 3 2 7.73
. 8 5 . 2 6 6 . 6 8 4 . 7 7 6 . 2 7 4 . 7 7 6 . 2 7 4 . 7 6 6.27
1 00 . 2 7 . 2 6 8 . 5 9 6 . 9 5
8 : 23
6 . 8 8 8 . 2 0 6 . 8 9 8.23. 4 7 . 3 6 8 . 7 6 7 . 2 7 B i 7 1 7 . 2 7 8 . 7 4 • 7 . 2 6 8.72
. 6 6 . 1 7 7 . 0 1 5 . 6 9 >• 6 . 7 3 3 . 6 9 6 . 7 3 . 3 . 6 9 6.73
' . B 3 . 9 3 6 . 8 1 5 . 5 2 6 . 12 5 . 5 2 6 . 1 2 5 . 4 9
6.12
n t 1 c pu 1 c pu 1 * c p u 1.
"!K ■ cpu
2 0 . 2 7 1 . 0 10 ' 2 . 3 9 1 . 4 I O 1.6
. 4 1 1 . 0 8 2 . 3 6 1 . 7 9 1.7
. 6 1 0 . 9 8 2 . 3 9 2 . 1 9 ; i.!
•B 3 1 . 0 8 2 ^ 3 8 , 1 . 9 9
2.1
5 0 • *-n 0 3 . 8 7 1 3 . 3 8 1 2 . 6 9
11.8
. 4 0 3 . 6 9 1 7 . 5 7 1 5 . 6 - 8 13.5
. 6 0 3 . 7 8 2 3 . 3 B 1 6 . 0 ’ 7 14.1
. 8
o
3 . 6 6 2 1 . 2 . 7 1 5 . 4 6 15.2BO . 2 0 1 4 . 3 4 4 8 . 0 . 4 2 9 . 2 4 44.1
. 4 0 1 4 .4 7 ' 4 6 . 7 6 3 7 . 0
4 .
30.6. 6 0 1 4 .1 6 5 9 . 9 2 4 1 . 4 7 53.1
.
0
0 1 4 . 3 6 6 9 . 5 5 4 9 . 6 8 46.7to o
. 2 0 2 2 . 1 4 ' 7 0 . 2 8 7 2 . 6 5 60.4. 4 0 2 2 . 2 5 8 3 . 4 5 '• 6 2 . 3 9 68.5
. 0 0 2 2 . 1 5 1 0 2 . 2 6 7 4 . 9 6 79.1
. 8
o
2 2 . 2 3 1 0 5 . 3 3 B O . 1 6 85.2• v , m x - ć r e d n i a a r y t m e t y c z n a o r a z M k a y a a l n a z 1 0 w y z n a c z o n y c h w a r t o ś c i biifdu t>“ | w X ,
1 “ l i c z b a p r z y k ł a d ó w , d l a k t ó r y c h d a n y a lg o r y t m z n a l a z ł rozwiązani*
o w a r t o ś c i f u n k c j i c a l u r ó w n e j
m in CFin“ 1 ) , F i n “ 2 ) , F i n “ 2 * 1 ) , F i n “ 2 * 2 ) ! , c p u - Ś r e d n i c z a s a b l i c z e ó n a IBfl P C /X T | w « e c .
‘Algorytmy p r z y b l i ż o n e . 209
- f a k t , ż e l i c z b a p o w t ó r z e ń K r o k u 2 w A l g o r y t m a c h H 2 , H 2 . 1 , H 2 . 2 j e s t n i e -
" LI
w ie lk a o r a z r ó ż n i c a w o c e n i e i) j e s t w z g l ę d n i e n a l a j s u g e r u j e , ż e w w i e l u p r a k t y c z n y c h s y t u a c j a c h w y s t a r c z a j ą c e j e s t u ż y c i e A l g o r y t m u H I .
5. Uwagi końcow e
P r z e d s t a w i o n e w p r a c y a l g o r y t m y a p r o k s y m a c y j n e m ogą b y ć ł a t w o r o z s z e r z e ni na j e d n o m a s z y n o w e p r o b l e m y z d o d a t k o w y m i o g r a n i c z e n i a m i k o l e j n o ś c i o w y a i lub n ie z e r o w y m i t e r m i n a m i g o t o w o ś c i z a d a ń d o w y k o n y w a n i a , t z n . p r o b l e m y p o staci l | p r e c | r f j o r a z 1 \r ■ |£ f j -. W p r z y p a d k u p i e r w s z e g o p r o b l e m u p o c z ą t k o w a pernutacja n e n p o w i n n a b y ć ;; d o d a t k o w o ,, d o p u s z c z a l n a j t z n . z g o d n a z w y s t ę pującymi o g r a n i c z e n i a m i k o l e j n o ś c i o w y m i . P o n a d t o w z b i o r z e 0 < rr^_j, n ( i ) ) badane są t y l k o p e r m u t a c j e d o p u s z c z a l n e . K o n t r o l a d o p u s z c z a l n o ś c i p e r o u t a - cji n ie i w i ę k s z a z ł o ż o n o ś c i a l g o r y t m ó w . Z k o l e i w p r z y p a d k u ' d r u g i e g o z w y mienionych p r o b l e m ó w z m i a n i e u l e g a s p o s ó b w y l i c z a n i a w a r t o ś c i F ( n ) o r a z Krok 2 a l g o r y t m ó w n i e m o ż e b y ć i m p l e m e n t o w a n y w f o r m i e p r o c e d u r y o z ł o ż o ności 0 ( n ^ > . Z a t e m z ł o ż o n o ś ć A l g o r y t m u ,H i j e s t w t e d y r z ę d u a A l g o r y tm H2 0 ( n 3 k> .
Algorytm y H ł o r a z H 2 m o gą b y ć t e ż . s t o s u n k o w o ł a t w o z a a d a p t o w a n e d o r o z —
•dożywania p r o b l e m ó w w i e l M a s z y n o w y c h , t a k i c h j a k n p . p r o b l e m y p r z e p ł y w o w e c z y t e ż p r o b l e m y g n i a z d o w e J | |£ f j' .
UTEfcATURA
111 A d r a b iń s k i A . , G r a b o w s k i J . ' , W o d e c k i M . ; A l g o r y t m r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e nia k o l e j n o ś c i o w e g o p o s t a c i n | l | Z w ;iT^ , R a p o r t I n s t y t u t u C y b e r n e t y k i T e c h n i c z n e j P o l i t e c h n i k i W r o c ł a w s k i e j , S e r i a P r e p r i n t y n r 7 9 / 8 7 , W y d a w nictwo P o l i t e c h n i k i W r o c ł a w s k i e j , W r o c ł a w 1 9 8 7 .
121 Baker K . R . , M a r t i n J . B . : A n e x p e r i m e n t a l c o m p a r i s o n o f s o l u t i o n a l g o rithms f o r s i n g l e m a c h i n e t a r d i n e s s p r o b l e m , N a v a l R e s . L e g i s t . E k ia r t . 21» 1 9 7 4 , 1 8 7 - 1 9 9 .
131 Graham R . L . e t a l . x O p t i m i z a t i o n a n d a p p r o x i m a t i o n i n d e t e r m i n i s t i c s e quencing a n d s c h e d u l i n g : a s u r v e y , A n n . D i s c r e t e N a t h . 5 , 1 9 7 9 , 2 8 7 —
326. •
Hi Gupta S . K . , K y p a r i s i s J . : S i n g l B m a c h i n e s c h e d u l i n g r e s e a r c h , O t E E A I n t . of Mgnt S c i . 1 5 < 3 > , 1 9 8 7 , 2 0 7 - 2 2 7 .
131 Lawler E . L . s O n s c h e d u l i n g p r o b l e m s w i t h d e f e r r a l c o s t s , Ngm t S c i . 1 1 , 1964, 2 8 0 —2 8 8 .
Ibl tensora J . K ., R i n n o o y K a n A . H . 6 . , D r u c k e r P . I C o m p l e x i t y o f m a c h i n o io h e d u lin g p r o b l e m s , A n n . D i s c r e t e H a t h . 1 , 1 9 7 7 , 3 4 3 - 3 A 2 .
IT! Montague E . R . J r * S e q u e n c i n g w i t h t i m e d e l a y c o s t s , A r i z o n a S t a t o U n i-
E .N o w ick l , C.Srautnicki
v a r s i t y I n d u s t r i a l E n g i n e e r i n g R e s e a r c h B u l l e t i n 5 » 1 7 6 9 , 2 0 - 3 1 . 1 8 3 R i n n o o y K a n A . H . B . s M a c h i n e S c h e d u l i n g P r o b l e m s : C l a s s i f i c a t i c n , Cott-
p l e x i t y a n d C o m p u t a t i o n s , N i j h o f f T h e H a g u e 1 9 7 6 .
£ 93 R i n n o o y K a n A . H . B . , L a g e w e g B . J . , L e n s t r a J . K . : M i n i m i z i n g t o t a l costs i n o n e - ra a c h in e s c h e d u l i n g , O p e r . R e s . 2 3 , 1 9 7 5 , 9 0 8 - 9 2 7 .
R e c s n s o n t i D o c .d r h a b . i n ä . J . S l a a k a W p l y s $ l o d o K o d s k o ^ l d o 19B8-Q4-JO<>
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M »f*0X IttA T IO M ALGORITHM S OF 1 J | I f j SEOU EM C INB PROBLEM
8 ffi m a a s y
T h e p a p e r d e a l s w i t h one-raachins s c h e d u l i n g p r o b le m w it h t o t a l c o s t c r i t e r i o n . It i s a ssu m ed t h a t t h e Jo b p r o c e s s i n g c o s t IB .g iv e n b y a n o o d p c r earn rip f u n c t i o n isnd d e p e n d s o n l y on Jo b c o m p le t io n t im e , fo u r a p p r o x iR a tic in a l g o r i t h e e s r s p r o p o s e d f o r t h i s p r o b le m . The e x p e r t p e n t a J a n a l y s i s of t h e a l g o r i t h m s i s a l s o e a r n e d o u t .
;
/ .
