Problemy szeregowania zadań na jednej maszynie z rozdziałem zasobów

ZESZYTY KAUKOY/B POŁITBCKiriKI ŚLĄSKIEJ S e r i a : AUTOMATYKA z . 84-

_______12S5

Nr k o l . 894

Adam J a n i a k

P o l i t e c h n i k a Y/rocławska

PROBLEMY SZEREGOWANIA ZADAŃ HA JEDNEJ MASZYNIE Z ROZDZIAŁEM ZASOBÓW

S t r e s z c z e n i e . W p ra c y dokonano p r z e g l ą d u k l a s y c z n y c h jednomaszyno­

wych problemów s z e r e g o w a n i a zadań przy k r y t e r i a c h : maksymalny k o a z t wykonywania za d ań , makaytnalny cza3 z a k o ń c z e n i a z a d a ń , maksymalna n i e ­ te rm inow ość wykonywania z a d a ń , makoynalne o p ó ź n i e n i e wykonania zadań, ważona 3uma czasów z a k o ń c z e n i a z a d a ń , ważona aucia o p ó ź n ie ń wykonania z a d a ń . Problemy t e u o g ó ln io n o na p r z y p a d e k , gdy czagy t r w a n ia zadań z a l e ż ą l i n i o w o od i l o ś c i l o k a l n i e i g l o b a l n i e o g r a n ic z o n y c h zasobów.

Dla w i ę k s z o ś c i z t y c h problemów z n a l e z i o n o efe k ty w n e /w ie lo m ia n o w e/

a lg o ry tm y s t e r o w a n i a . Wykazano, że pewne problemy aą H P - tr u d n e .

1 . W stęp. P r z e g l ą d l i t e r a t u r y .

7/ w i e l u g a ł ę z i a c h p r z e m y s łu , w s z c z e g ó l n o ś c i w ty c h g a ł ę z i a c h , w k t ó ­ r y c h many do c z y n i e n i a z d y s k r e tn y m i p r o c e s a m i przemysłowymi, np. w p r z e ­ myśle m e ta l u r g ic z n y m , maszynowym, samochodowym, p o j a w i a j ą a i ę problemy s z e r e g o w a n i a o p e r a c j i / z a d a ń / na maszynach i równoczesnego r o z d z i a ł u o g r a ­ n ic z o n y c h zasobów ró ż n e g o r o d z a j u . W w i e l u t a k i c h p ro d u k c y jn y c h p r o c e s a c h c z ę s t o w y s t ę p u j e t y l k o je d n a k r y t y c z n a maszyna / n p . z dużym kosztem zaku­

pu lu b e k s p l o a t a c j i . / , na k t ó r e j problem sz e r e g o w a n i a zadań / o p e r a c j i / i r o z d z i a ł u zasobów j e s t r z e c z y w i ś c i e i s t o t n y m problemem. Natomiast z punk­

t u w i d z e n i a r o z p a tr y w a n y c h k r y t e r i ó w o p ty m a ln o śc i^ problemy sz e re g o w a n ia na p o z o s t a ł y c h maszynach aą p r a k t y c z n i e n i e i s t o t n e i można w p r z y b l i ż e n i u r o z p a t r y w a ć t e maszyny j a k o maszyny o n i e o g r a n i c z o n e j p r z e p u s t o w o ś c i . Zatem, w w i e l u p r a k t y c z n y c h p rzy p a d k a c h można o g r a n i c z y ć s i ę do problemu s z e r e g o w a n i a o p e r a c j i i r o z d z i a ł u zasobów t y l k o na j e d n e j k r y t y c z n e j ma­

s z y n i e , a c z a s y o b r ó b k i r o z p a try w a n y c h elementów na w c z e ś n i e j s z y c h maszy­

n ach mogą być u w z g lę d n io n e w tzw. n a j w c z e ś n i e j s z y c h momentach d o s t ę p n o ś c i do o b r ó b k i danych elementów na m aszynie k r y t y c z n e j .

N i n i e j s z a p r a c a d o ty c z y w ł o ś n i e wspomnianych powyżej jednomaszynonych problemów s z e r e g o w a n i a . Przy czym z a k ł a d a s i ę , że cz asy t r w a n i a o p e r a c j i z a l e ż ą l i n i o w o od l o k a l n i e i g l o b a l n i e o g r a n i c z o n y c h , n ie o d n a w ia ln y c h , p o d z i e l n y c h w s p o só b c i ą g ł y zasobów, np. e n e r g i a , t l e n , su ro w ce, p aliw o / p i e n i ą d z e / . Z każ dą o p e r a c j ą związany j e s t n a j w c z e ś n i e j s z y moment r o z p o ­ c z ę c i a wykonywania t e j o p e r a c j i or3Z żądany t e r m i n j e j z a k o ń c z e n i a . U w zględniono t a k ż e m ożliwość w ystępow anie pewnych te c h n o l o g i c z n y c h uwarun­

kowań k o l e j n o ś c i o w y c h między o p e r a c j a m i . R o z p a t rz o n o n a s t ę p u j ą c e k r y t e r i e

82 A . J a n i bk

o p ty r a a ln o ś c i:

- maksymalny k o s z t wykonywania o p e r a c j i , - maksymalny c z a s z a k o ń c z e n i a o p e r a c j i ,

- maksymalna n ie te r m in o w o ś ć w ykonania o p e r a c j i , - maksymalne o p ó ź n i e n i e wykonania za d ań ,

- ważona suma czasów z a k o ń c z e n i a o p e r a c j i , - ważona suma o p ó ź n i e ń wykonywania o p e r a c j i .

ii p ra c y s t a r a n o s i ę Z n a l e ź ć j a k n a j s z e r s z ą k l a s ę jednomeszynowych p r o b l e ­ mów s z e r e g o w a n i a zadań z równoczesnym r o z d z i a ł e m z a s o b ó w ,d l a k t ó r y c h

i s t n i e j ą wielomianowe alg o ry tm y s t e r o w a n i a .

R o z p a try w a n ie jednomoszynowych problemów s z e r e g o w a n i a zadań z r o z d z i a ­ łem zasobów, i s t o t n a j e s t t a k ż e z t e o r e t y c z n e g o p unktu w i d z e n i a , p o n i e ­ waż problemy t e p o j a w i a j ą s i ę j a k o problemy w y z n a c z a n ie d o ln y c h o g r a n i ­ cz eń w nielom aszynow ych p r o b lem ach s z e r e g o w a n i a zadań i r o z d z i a ł u zasobów.

Jedncmaszynowe problemy s z e r e g o w a n i a zadań przy z a ł o ż e n i u , żc c z a s y t r w a n i a o p e r a c j i s ą z góry z a d a n e , m ają b o g a t ą l i t e r a t u r ę . J l a dość l i c z ­ n e j k l a s y ty c h problemów z n a l e z i o n o e f e k ty w n e /w ie lo m ia n o w e / alg o ry tm y / d e f i n i c j a n p . w / " ? ] / . Czas o b l i c z e ń / l u b i n a c z e j l i c z b a o b l i c z e n i o w y c h kroków/ t a k i c h algorytmów j e s t o g r a n i c z o n a wielomianem n / n ) , g d z i e n j e s t - w tym wypadku - l i c z b ą s z e r e g o w a n y c h z a d a ń . W d a l s z e j c z ę ś c i prec y b ę ­ dziemy m ó w ili, że z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a t a k i c h algorytm ów /p ro b le m ó w / j e s t 0(w (n)). N a to m ia s t pewna c z ę ś ć r o z p a t r y w a n y c h n l i t e r a t u r z e problemów jednomaszynowych n a l e ż y do k l a s y problemów 3 iP -t ru ć n y c h [ ? ] , d o k ł a d n i e j d e c y z y j n a w e r s j a ty c h o p t y m a l i z a c y j n y c h problemów je d n o n asz y n o w y ch j e s t H P -z u p e łn s { 7 j . To z n a c z y , s ą one równoważno d u ż e j l i c z b i e znanych k o n b i - n a t o r y c z n y c h problemów ( 7j w tyra s e n s i e , że z n a l e z i e n i e wielomianowego a l g o ry tm u d l a k t ó r e g o k o l w i e k problem u z t e j k l a s y spowodowałoby z n a l e z i e ­ n i e podobnych /w ie lo m ia n o w y o h / algorytmów d l a w s z y s t k i c h problemów z t e j k l a s y . P rzy ozym w k l a s i e t e j w y r ó ż n ia s i ę p o d k i a s ę problemów s i l n i e I ff- - z u p e ł n y c h / s n g . unary K P - c o a p l e t e / , problem y t e naw et w przy p a d k u kodo­

w ania przy p o d s ta w ie 1 p o z o s t a j ą problem am i K P - z u p e ł n y a i . .

Zw ięzły p r z e g l ą d l i t e r a t u r y d o t y c z ą c e j jednomaszynowych problemów s z e ­ re g o w a n ie z u s t a l o n y m i c z a s a m i wykonywania o p e r a c j i , p r z y wspomnianych powyżej k r y t e r i a c h o p t y n a l n o ś c i , można p r z e d s t a w i ć o s p o s ó b n a s t ę p u j ą c y . .

Dla problemu z k r y t e r i u m będącym maksymalną n i e t e r m i n o w o ś c i ą 'wykonywa­

n i a o p e r a c j i , p rz y z a ł o ż e n i u , że w s z y s t k i e te rm in y d o s t ę p n o ś c i o p e r a c j i s ą jednakow e, z n a l e z i o n y z o s t a ł p r z e z J a c k s o n a / I 9 5 5 / w [ t r y w i a l n y a l g o r y t m o z ł o ż o n o ś c i o ( n * l o g n) / g d z i e n j e 3 t i l o ś c i ą z a d a ń / . N a t o m i a s t , przy z a ł o ż e n i u , że te rm in y d o s t ę p n o ś c i z a d a ń s ą r ó ż n e , pz-oblea. t e n 3 t a j e s i ę s i l n i e N P - tr u d n y , co z o s t a ł o wykazane n [ 1 2 ] / L e n s t r a , Rinnooy Kan, Brucker 1 9 7 7 / . Do r o z w ią z a n ie t e g o problemu zaproponowano a l g o ry tm y o p a r ­

t e o metodę p o d z ia łu i o g r a n ic z e ń : Baker i Su / 1 9 7 4 / t o - , licilahon i

P r o blem y s z e r o g o w a n i a 8 3

F l o r i a n / 1 9 7 5 / [ 2 0 ] ; Lageweg, l e n s t r a i Ronnooy Kan / 1 9 7 6 / f 13j o r a z C a r l i e r / 1 9 S 0 / [ 6 ] . n a t o m i a s t d l a p r zypa dku je d n o s tk o w y c h czasów wykony­

wania o p e r a c j i Horn 7 1 9 7 4 / w [ 5} za proponow a ł a l g o r y t m o z ł o ż o n o ś c i O ( n - l o g n) .

Problem z k r y t e r i u m będącym maksymalnym kosztem wykonywania o p e r a c j i /k o s z t e m związanym z term in em z a k o ń c z e n i a o p e r a c j i / z o s t a ł rozw ią zany p r z e z L a w ie m / 1 973/ w [ 1 4 ] w wielomianowym c z a s i e 0 ( n 2) / p r z y je d n a k o ­ wych t e r m i n a c h d o s t ę p n o ś c i n i e p o d z i e l n y c h o p e r a c j i / . Algorytm Lawlera

z o s t a ł u o g ó ln io n y p r z e z Bakera L a n l e r a , L e n a t r a , Rinnooy Kar.a . / 1 9 8 3 / w (2] na p r z y p a d e k z różnym i te r m in a m i d o s t ę p n o ś c i p o d z i e l n y c h o p e r a c j i 0 ( n 3) .

P roblem z k r y t e r i u m będącym ważoną 3uną czasów z a k o ń c z e n i a o p e r a c j i , p r z y b ra k u r e l a c j i p o p r z e d z a n i a i przy z a ł o ż e n i u r ó w n o ś ci w s z y 3 t k io h n a j ­ w c z e ś n i e j s z y c h momentów d o s t ę p n o ś c i o p e r a c j i , z o s t a ł rozw iązany w w i e l o ­ mianowym c z a a i e O^n*logn) p r z e z Sm itha / 1 9 5 6 / [ 2 4 ] , R e z u l t a t t e n z o s t a ł u o g ó l n i o n y , na p r z y p a d e k gdy j e 3 t Z3dana r e l a c j a p o p r z e d z a n i a wśród ope­

r a c j i p r z e z Horns. / 1 9 7 2 / (_’4 j , S idneyá / 1 9 7 5 / [ 23] - d l a r e l a c j i w p o s t a ­ c i drzew a, o r a z p r z e z Lo w l e r a . / 1 9 7 8 / f 163 - d l a szeregow o ró w n o l e g ły c h r e l a c j i p o p r z e d z a n i a . Dla przy p a d k u dow olnej r e l a c j i p o p r z e d z a n i a problem t e n s t a j e s i ę I iP - tru d n y nawet d l a je d n o s tk o w y c h czasów tr w a n i a o p e r a c j i a l b o j e d n o s tk o w y c h wag / L o w l e r / 1 9 7 8 / [ 1 6 } , L e n s t r a i Rinnooy Kan / 1 9 7 8 /

[ 1 3 3 . H a to m io s t d l a j e d n o s tk o w y c h wag, a l e przy z a ł o ż e n i u dowolnych n a j ­ w c z e ś n i e j s z y c h momentów d o s t ę p n o ś c i o p e r a c j i , problem t e n s t a j e s i ę s i l ­ n i e l i ? - t r u d n y . J e d n a k ż e d l a o p e r a c j i p o d z i e l n y c h o s t a t n i p r zy p a d ek noże być ro z w ią z a n y za pomocą p r o s t e g o r o z s z e r z e n i a a l g o r y t m u Smitha. ; n a t o ­ m i a s t w p rzy p a d k u r ó ż n y c h wag s t a j e s i ę on s i l n i e H P-tru d n y / L a b e t o u l l e , L a w le r , L e n s t r a , Rinnooy Kan / 1 9 7 9 / [ 1 2 ] / .

Jedr."maszynowy probiera s z e r e g o w a n i a o p e r a c j i przy k r y t e r i u m wożona s u ­ ma o p ó ź n i e ń w ykonania o p e r a c j i n a l e ż y do k l a s y problemów s i l n i e K ? - t r u d - nych / L a w l e r / 1 9 7 7 / [ 1 5 ] , L e n s t r a , Rinnooy Kan, B r u c k e r / 1 9 7 7 / f 1 S ] / - Dla p rzy p a d k u z je d n o stk o w y m i wagami z n a l e z i o n y z o s t a ł p r z e z Lawlera. / 1 977/

[15J P3eudowielomianowy a l g o r y t m / d e f i n i c j a w L 7 ] / o z ł o ż o n o ś c i

O f n ^ y 1? . P - \ / g d z i e p., j e s t czasem t r w a n i a j - t e j o p e r a c j i / , . J e d n a k ż e

^ J~ I 0. / j

z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a wspomnianego przy p a d k u p o z o s t a j e n a d a l otw artym problemem /w obec z n a l e z i e n i a d l a n ie g o .p s e u d o w ie lo m ia n o w e g o a l g o ry tm u wiadomo t y l k o , że' problem t e n n i e j e s t s i l n i e K P - t r u d n y / .

Problemy s z e r e g o w a n i a zadań na m aszynach z równoczesnym r o z d z i a ł e m z a ­ sobów b y ły t a k ż e r o z p a t r y w a n e w l i t e r a t u r z e , i t a k : p roblem gniazdowy i taśmowy przy z a ł o ż e n i u , że c z a s y t r w a n i a p r a c z a l e ż ą l i n i o w o od p o d z i e l ­ nych w s p o só b c i ą g ł y , o g r a n i c z o n y eh zasobów b y ły r o z p a tr y w a n e p r z e z Grabow­

s k i e g o i J a n i a k a np. / 1 9 8 0 / w [ l 0 , 8 j . Problem s z e r e g o w a n i a podzi.e lnych o p e r a c j i przy z a ł o ż e n i u r ó ż n ic z k o w y c h m o d e li o p e r a c j i d l a p rzypadku i d e a -

Ok

•tycznych ró w n o leg ły ch maazyn b y ł rozpatrywany p r z e z Węglarza / 1 9 7 9 / a : [3 0 ], Problemy szeregow ania zadań przy z a ł o ż e n i u d yskr etnyc h żądań z a s o ­ bowych / t z n . z pewnego sk ończonego zb io r u możliwych przyd ziałów zasobów/,

■były rozpatrywane p r z e z B ł a ż e w i c z s i w spółautorów , np. w ( 3] oraz przy p o d e j ś c i u w ie io k r y te r ia ln y m p rz e z S ło w i ń s k i e g o , np. w [ 25j .

Jednomaszynowy problem sz er egow an ia o p e r a c j i ze sterowalnym i czasami wykonywania o p e r a o j i i l i n i o w ą z a l e ż n o ś c i ą k o sz tu wykonania o p e r a c j i od je j . czasu zakońcżenib przy kryterium będącym suną k osztu związanego z c z a ­ sami zak oń czenia wykonywania o p e r a c j i i k o s z t u wykonania w s z y s t k i c h ope­

r a c j i b ył rozpatrywany p rz e z Vickaona / 1 9 8 0 / w [ 2 8 j n a t o m i a s t problem t e n w przypadku, gdy pierwszy s k ła d n ik wspomnianego kryterium b y ł kosztem proporcjonalnym do maksymalnego o p ó ź n ie n ia o p e r a c j i , b y ł rozpatrywany w

£293 /V ic k s o n 1 9 8 0 / . n a s t ę p n i e Howicki i Zdrzałka /1 9 8 5 A w [ 22} r o z s z e r z y ­ l i bad8nia z C 28} na przypadek dwumaazynowy.

Jednomaszynowy problem sz er eg o w a n ia o p e r a c j i ze ster ow aln ym i czasami wykonywania o p e r a c j i przy dwukryterialnym p o d e j ś c i u i przy pewnych i s t o t ­ nych z a ł o ż e n i a c h .odnośnie w ł a s n o ś c i f u n k c j i kosztowych b y ł rozpatrywany p rz e z Van Wasaenhove i Bakera / 1 9 8 2 / w [27j. Badania t e z o s t a ł y n a s tę p n ie u o g ó ln i o n e p r z e z Tuzikova / 1 9 S 4 / w [26].

Obecnie przejdziemy do p r e c y z y j n e g o sform ułowania problemów r o z p a t r y ­

wanych w p r a c y . ' '

Dany j e s t z b i ó r zadań J^ J^, . . . , J n , k t ó r e mają być wykonane przy u ż y c i u j e d n e j maszyny, s t a n o w ią c e j gn ia zd o k r y t y c z n e . . Zakłada s i ę , że w danej c h w i l i cz a su maszyna może wykonywać t y l k o j ed n o zad an ie i , że zada­

n ia są n i e p o d z i e l n e , t z n . j e ś l i maszyna z a c z n i e r e a l i z o w a ć dane zadanie t o musi j e sk ończyć bez przerwań. D alej będziemy z a k ł a d a l i , że modele z a ­ dań / o p e r a c j i - każde zad an ie s k ła d a s i ę t y l k o z j e d n e j o p e r a c j i / aą n aatgp ująoes

pj S pj ( uj> “ bj ” aj uj * - / 1 /

g d z i e ; j e s t czasem wykonywania zadania J ^ , u^ - i l o ś c i ą zasobćw p rzy­

d z i e l o n y c h do wykonania zadania J . , n a to m ia s t b .> 0, a . > 0 3ą znanymi pa-

•J -J u

r a a e t r a n i . Ponadto zakła da s i ę , że i l o ś ć zasobos u^' p r z y d z i e l o n a do zada­

n ia J^ s p e ł n i a n a s t ę p u j ą c e o g r a n i c z e n i a :

i Uj i ^ , j = 1 , 2 , . . . , n , / 2 /

Z U u j * ® » / 3 /

gdsierO j e s t g lo b a l n ą dysponowaną do r o z d z i a ł u i l o ś c i ą zasobów, e ć \ , są zadanymi t e c h n o lo g ic z n y m i o g r a n ic z e n ia m i / p a r a m e t r a m i/, zwykle zakła da s i ę , i e «Aj o O /A j s bj ^ aj / *

S i e c h U oznacza z b i ó r w s z y s t k i c h d o p u s z c z a ln y c h / t ż n . s p e ł n i a j ą c y c h o g r a ­

P r o b le m y s z e r e g o w a n i a . . . _________ 8 5

n i c z e n i a / 2 / i / 3 / / r o z d z i a ł ó w zasobów u =■ f u . j , . . . , u . j u J .

Dla każdego z a d a n i a J \ może być zadany n a j w c z e ś n i e j s z y możliwy c z a s d o s ­ t ę p n o ś c i t e g o z a d a n i a do wykonania r^ / n p . b ę d z i e t o suna czasów t r w a n ia te g o z a d a n i a na maszynach p o p r z e d z a j ą c y c h r o z p a t r y w a n ą maszynę k r y t y c z n ą / o r a z może być zadany pożądany t e r m i n z a k o ń c z e n i a te g o z a d a n i a d.,.

Pomiędzy z a d a n ia m i mogą być zadane t e c h n o l o g i c z n e uwarunkowania k o l e j n o ś - c i o w e . Zwykle s ą one r e p r e z e n t o w a n e za pomocą n a s t ę p u j ą c y c h zbiorów :

Aj “ Î 1 * J j < J i } ' j “ 1 » 2 , . . . , n , / 4 /

l u b równoważnie za pomocą zbiorów

B j “ 1 I ^ i < J j } * > 1 . 2 " , / 5 /

g d z i e ; J j < o z n a c z a , że wykonywanie z a d a n i a n i e może ro z p o c z ą ć 3ię zanim n i e z o s t a n i e zakończone z a d a n i e .

K iec h TT - Ctt (1) , . . . , n ( j ) , . . . , t(n)] b ę d z i e dowolną p e r m u t a c j ą i n d e k ­ sów z a d a ń , t z n . l i c z b "[ 1 , . . . , j , . . . ,n^ . Każda p e r m u t a c j a tr o k r e ś l a k o l e j ­ ność wykonywania zadań <( ‘ ' ’ ^w /j) > * * * ' J ir(n)^ nQ r o z Pa t r -Vwane j ma­

s z y n i e . H ie c h TT b ę d z i e zbiorom w s z y s t k i c h p e r m u t a c j i s p e ł n i a j ą c y c h z a ­ dane o g r a n i c z e n i a k o l e j n o ś c i o w e / 4 / / l u b / 5 / / .

Dla z a d a n e j d o p u s z c z a l n e j p e r m u t a c j i zadań tt e Tf o r a z zadanego dopu­

s z c z a l n e g o r o z d z i a ł u zasobów u € U można wyznaczyć d l a każdego z a d a n i a J..

- c z a s z a k o ń c z e n i a wykonywania . C . (tt ,u) , v

- n i e t e r m i n o w o ś ć w ykonania li^frr , u ) = C1 (tt ,u) - d. ,

/ r \

- o p ó ź n i e n i e (tt , u ) = max(0,L.j(TT , u ) .

P e r m u t a c j a zadań i r e TT w raz z r o z d z i a ł e m zasobów u f U noże być o c e n ia n a względem r ó ż n y c h k r y t e r i ó w ; w p r e z e n to w a n e j pracy będą m in im al!-.cwane n a s t ę p u j ą c e k r y t e r i a »

-, maksymalny c z a s z a k o ń c z e n i a wykonywania za d ań : . Cmax “ Cmax (n *u ) “

1

Lmax ” B m a x ^ ' 11^ “ ;,®®x

i

Tm a x 4 Tmax (n >u ^ " r0ZdZiQł 2 , 3 ;

- maksymalny k o s z t w ykonania zadań:

f â f (TT ,u) i max Ii, ( c , ( t t , u m , max max’- ’ > i <r j<n ^ 2 J

g d z i e : f . ( t ) j e s t pewną m o n o to n i o z n ie n i e m a l e j ą c ą f u n k c j ą względem c z a s u

•t» - r o z d z i a ł 2 . 4 ;

£ 6 A . J a n i a k

- nażona suma czasów zak oń czenia wykonywania żadań:

^ Bj Cj “ Z! j=1 "j ° j O1- >u) * gdzie 0 Óeot pewną wagą. p rzy p isa n ą do zad ania Jj - r o z d z i a ł 2 . 5 ;

- ważona suma opóźnień wykonywania zadań;

£ "j Tj "'Z 5 = 1 * J Tj (T , U ^ " rozdział 2*6;

- c a łk o w it y k o s z t wykonania zadań;

Z

Z

W. d a l s z e j c z ę ś c i pracy b ę d z ie stosowany pow szechnie używany schemat k r ó t k i e j . n o t a c j i problemów szeregow ania [ 1 7 ] - J3\t', ' g d z ie oC c h a r a k t e r y z u je z a ł o ż e n i a d o ty o z ą c e maszyn, d la jednomaszynowych problemów szeregow ania przyjmuje s i ę , że °ć = 1; . ,

P C ^ preo, r j , p^(ujl^ - c h a r a k t e r y z u je z a ł o ż e n i a d o ty c z ą c e zadań, przy ćzyra :

p rec / a n g . p reced en ce c o n s t r a i n t s / - o zn a cz a , że są zadane o g r a n ic z e n ia k o le j n o ś o io w e pomiędzy zadanism i /b r a k "prec" oznacza brak ty ch o g r a n i c z e ń /

Tj - o zn acz a, ż e n a j w c z e ś n i e j s z e momenty d o s t ę p n o ś c i zadań n i e są jed na­

kowe /b r a k - o zn acz a, że w s z y s t k i e r^ są s o b i e równe/;

P j ( uj) - o zn acz a, ż e c z s s y wykonywania zadań l i n i o w o z a l e ż ą od i l o ś c i p r z y d z i e lo n y c h im zasobów /b r a k P ^ u . ) - ozn acza, że cz asy wyko-

u <J '

nywania zadań są zadane / n i e z a l e ż ą od z a s o b ó w / / ; n atom iast Y' p r e c y z u j e kryterium o p ty m a ln o ś c i.

2 . Jednoma3zy'nowe p r o b l e m y . s z e r e g o w a n i a zadań i r o z d z i a ł u zaąobów 2'. 1 . P roble m 1 | p r e c , r j . p ^ C ^ V CQax

Można ł a tw o wykazać n a s t ę p u j ą c ą w ł s s n o ś ć ; . Y/łasność 2 . 1 .

P roble m Tl p reo »r j >p ;j( u j) i c nax Q0Ż“ a r o z w i ą z a ć w 0 ( n 2) k r o k a c h s z e r e g u j ą c z a d a n i a z g o d n i e z r e g u ł ą J a c k s o n ’ a [ s 3 - 7T+eTP / t z n - z g o d n i e z r o s n ą c y m i r ^ p r z y równoozesnym u w z g l ę d n i e n i u z a d an y c h o g r a n i c z e ń k o l e j n o ś c i o w y c h / o r a z r o z d z i e l a j ą c z a soby z g o d n i e z n a s t ę p u j ą c ą p r o c e d u r ą :

P r o c e d u r a 2 . 1 .

Krok 1 . Podstaw u^ := 0, j ° 1 , 2 , . . . , n , o r a z 1 : = 1 . Z n a jd ź momenty r o z p o - . c z ę c i a wykonywania z a d a ń uży w a ją c n a s t ę p u j ą c y c h r e k u r e n c y j n y c h wzorów:

S _ : = r „ , S „ ;= max r ^ ,S _ + b „ I ,

^ * ( 1 ) 7TH(1) Vs (¡) L 7Ts / j ) TTH( j - l ) 7 1 ^ 0 - 1 ) j = 2 , 3 , . . . , n i p r z e j d ź do Kroku 2;

P r o b le m y s z e r e g o w a n i a 87

Krok 2 . Z n a j d ź n a jw ię k s z y in d e k 3 z a d a n i a k , l , < k i n , k t ó r y s p e ł n i a n a s t ę ­ p u j ą c ą równość: r = S „ . N a s t ę p n i e z n a jd ź z b i ó r :

J H , " i k >H ^ ( k)

P :=»-fir ( j) [ k i" j < n , u <r a X - J e ś l i z b i ó r P j e s t pusty

_

l u b U » O, wówczas S to p - u . , j = 1 , 2 , . . . , n , j e s t optymalnym r o z -

J

d z i a łe m zasobow, w przeciwnym wypadku p r z e j d ź do Kroku 3.

Krok 3 . Z n ajd ź in d e k a z a d a n i a t , d la k t ó r e g o a = max a i

” W TT*(j)fP * * « > ' n a s t ę p n i e podstaw d :=» min (S „ - r 1 ,

t < i i n v ir* (i) Tr*Cir

z :=> min \ a , U, d / a _ l . N a s t ę p n i e u a k t u a l n i j r o z d z i a ł ■

TT ( t) TTS Ct)J

zaaobón i momenty r o z p o c z ę c i a wykonywania zadań p r z e z p o d s ta w ie ­ n i e : u* :=. u* + z , U :=» U - z ,

TT (t) TT*(t)

S s » S „ - z . a „ d l a t < i i n.

ir« Ci) n * ( t )

O s t a t e c z n i e podstaw 1 ; = k i p r z e j d ź do Kroicu '2. . .

2 . 2 . P roble m y; 1 1 p r e c . p ^ . u ^ | L ^ , 1 ( ^ . P ^ u ^ | L max

A n a l o g i c z n i e j a k w kla sycz nym p rzy p a d k u / t z n . b e z r o z d z i a ł u zasobów Cl ?] / problem 1| p r e c . p . C u A I L można p o tr a k t o w a ć ja k o "odw rotną w e r s j ę "

J J ' I HlcJA

problem u 11 p r e c , r^ , p^(u^) | Cn a x . Zatem problem 1| p r e c , P j ( u ^ | Lmav. można r o z w i ą z a ć w O(n^) k r o k a c h p r z e z u s z e r e g o w a n i e zadań z g odnie z r o s n ą c y n i' żądanym i ’te r m in a m i z a k o ń c z a n i a wykonywania z a d a ń , przy równoczesnym u w z g l ę d n i e n i u zadanych o g r a n i o z e ń k o l e j n o ś o i o w y c h , o r a z p r z e z z a s to s o w a ­ n i e p r o c e d u ry g e n e r u j ą c e j optymalny r o z d z i a ł zasobów a n a l o g i c z n e j do P ro c e d u ry 2 . 1 .

N astęp ująca w ła sn o ść wynika z f a k t u , że k lasycz ny NP-trudny .problem 1^ j l Lmas j e s t szczególn ym przypadkiem problemu

i | r j . P j ( u j ) l W ! W łasność 2 . 2 .

P r o b l e m ’ 1| r ^ . p ^ (u..) | Lnax j e a t I I P - t ru d n y .

ho r o z w i ą z a n i a problemu 1 jr ^ , p ^ ( u . . j | La a x można za sto so w a ć podobny a l g o r y t m do a l g o r y t m u , k t ó r y za stosow a no do r o z w i ą z a n i a ogóln ego problemu gniazdowego z r o z d z i a ł e m , zasobów. Algorytm t e n w p i e r w o t n e j w e r s j i z o s t a ł z a p reze n to w an y w £83» a n a s t ę p n i e z n a c z n i e udoskonalony w Ci)J* Udoskona­

lony a l g o r y t m - b y ł w s t a n i e rozwiązywać p r z y k ła d y problemów gniazdowych z z a so b a m i, k o n stru o w an y c h na b a z i e znanego / n i e r o z w i ą z a n e g o do t e j p o ry / problem u o 10 z a d a n i a c h wykonywanych na 10 maszynach / 1 0 0 o p e r a c j i / /s f o r m u ło w a n e g o w [ 2 l j / .

aa.

2 . 3 . P rob le a 1 |p r e o , P j ( u ^ | Tnax .

Łatwo nożna wykazać n aatę p u jąc ą w ła sn o ść : Własność 2 . 3 .

Optjnalne r o z w ią z a n ie / t z n . permutacjo i r o z d z i a ł zaoobów/ problenu 1 1 P ie o .P jfU j) | Łn)ax J e s t . j e d n o c z e ś n i e optymalnym rozwiązaniem problenu .t I p r e o .p jf u j )

Oba problemy, jec^nakże, n i e są równoważne, t z n . odwrotna właBnośó n ie zawsze j e s t prawdziwa.

A n a l o g ic z n ie do W łasn ości 2 . 2 może być wykazana n a s tę p u ją c a w ła sn o ść : Własność 2 . 3 * .

Problem 1 l'rj vp^ ( uj) I ^nax j e s t IlP-trudny.

P rob le a ^ I r j >Pj ( uj) I ^max można roz w iązać bądź p rz e z r o z w ią z s n ie odpowiada­

j ą c e g o mu problemu' 1 1 r^ ,Pj (Uj') | Ln ax, bądź p r z e z sk onstru ow anie algorytmu w sp osób podobny jak d la problemu 1 ( , Pj ( | Ln ax.

2 . 4 . Problem 1 [ prec ,p^ (u^) | f max Możno wykazać n a s tę p u ją c ą w ła sn o ść : Własność 2 . 4 .

J e ś l i dla w s z y s t k i c h m odeli zadań a . , * a, j » 1 , 2 , . . . , n , wówozas n a s t ę p u -

O J

» , .p.

j ą c a procedura g e n e r u je w 0 (n ) krokach r o z w ią z a n ie optymalne / t z n . "W e™

or a z u * t U/:

Prooedura 2 . 4 :

Krok 1 . PodstBW S :« j 1 , 2 , . . . , n j , k :■* n,

0 :» ^ ¿ „ i bj " 0 * ^ j ’ i p r z e j d ź do Kroku .2;

Krok 2 . Znajdź z b i ó r Q :■»{ h | h f S ,. A^/>..S - o raz zn ajdź in d e k s i f d la k tó r e g o X . ( 0 ) » min I. ( C) , n a s t ę p n i e podstaw: ir *(k )':*s i ,

q a y 7 i

S :» S - i i$ i u* :■» min { /S ^ m o s •[ 0 , U - JJ , U «- U - h", C : - C - ( b ± - e * u " j ; k : - k - 1

1 p r z e jd ź do Kroku 3;

Krok 3 . J e ś l i S / fi, wówczas p r z e j d ź do Kroku 2 , w przeoiwnyn wypadku Stop - TT* i u* są optymalnym rozw ią zanie m .

Złożoność ob liozeniowD powyższego problemu d la przypadku z różnymi współczynnikam i a^, j e 1 , 2 , . . . , n p o z o s t a j e otwartym problemem.

2 . 5 . Problem 1 j (u^) | £ w j Cj

W p roblem ie 1 | P j ( U j ) | 2 c j będziemy m ó w i li, że zad an ie J j "dominu­

je" zadonio J^, oznaozająo J^ J y wówczas gdy b^ i bj a a^ a

a a w^ vr, ,

■ (ProbTeiny s z e r e

p,

:Łatwo można zweryfik ow ać n a s t ę p u j ą c ą w ł a s n o ś ć : Własność 2.5»

. J e ś l i d l a k aż dych dwcdi .zadań J i o r a z J ^ , i = 1 , 2 , . . . , n , j = 1 , 2 , . . . , n , d / j , a l b o dom in uje J ^ , t z n . J Ł <■ a l b o o d w r o t n i e : J i domin uje J . ,

t z n . Jj.<* J - , t o wówczas problem 1 | P j ( u ^ | Z w.. C.. można ro z w ią z a ć w J O ( n . lo g n ) k r o k a c h s z e r e g u j ą c z a d a n i a z g o d n ie z r e l a c j ą d o m in a c j i

/ o t r z y m u j ą c p e r m u t a c j ę TT * / i r o z d z i e l a j ą c zasoby U zgodnie z n a s t ę ­ p u j ą c ą p r o c e d u r ą :

P r o c e d u r a 2 . 5 :

Krok 1 . Od i := 1 do n wykonaj Krok 2 .

Krok 2 . N iec h u* :=■ min V fl' , U $ , U ;= U - u* „ .

* (U 1 TT* (i) J TT ( i)

Z ło ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a ro z p a try w a n e g o problemu d l a p r z y p a d k u , - gdy n i e .z a c h o d z i r e l a o j a d o m i n a c j i d l a kBżdych dnMi z a d a ń , p o z o s t a j e o t w a r t ą

k w e s t i ą . .

2 . 6 . Problemy 1 | P.j (u^) I I T . , | T t y 1 l r jVp jCu j') I

1 l r j-, p j ( u j) l Tj . l l P r e o . P j f u ^ | £ Gj o r a z i j p r e ć .p ^ (u,.) ] J T , ..

P o d o b n ie j a k Własność 2 . 2 może być wykazana n a s t ę p u j ą c a w ła s n o ś ć : . W ła sn o ść 2 . 6 .

N a s t ę p u j ą c e problemy s ą N P - tr u d n e : r l pd<u j ) ( wj * j >

1 ' pj ( u j \ i £ f j • 1 l r j - pj i uj ’) l Z c j •

.

1 l r j » p j ( u j ) l — Tj 1 I p r e c / P j f u ^ ) ! Z Cj » 1 l p r e o , P j ( u . ) I I i , . -

R o z w ią z a n ie powyższych problemów wymaga oprac ow a nia o d d z i e l n y c h a l g o ­ rytmów o p ty m a ln y c h l u b ćfe k ty w n y c h / z dobrymi o s z a c o w a n ia m i/ algorytmów p r z y b l i ż o n y c h , k t ó r e w w i e l u p rzy p a d k a c h pogą być z powodzeniem u ż y t e , z a ­ m i a s t c z ę s t o d o ść c z a s o c h ło n n y c h algorytmów d o k ła d n y c h .

3 . Zakońozenie

Podobne rozważania n a r t o byłoby przeprowadzić d la innych kryteriów o p t^ n a l n o ś c i o raz d la problemów dwuaeazynoaych, n s z o z e g ó l n o ś o i dla t y c h , d la k tó r y c h w k l a s y c z n e j w e r s j i / b e z zasobów/ i s t n i e j ą wielomianowe / e f e k ­ tyw n e/ alg o r y tm y .

go

LITERATURA

[13 B a ker K .R ., Su Z . S . : S e q u e n c in g w i t h d u e - d a t e s and e a r l y s t a r t t i n e s t o m in im iz e maximum t a r d i n e s s . E a v a l R e s . L o g i s t . Q u a r t . 21, 1974, s t r . 171r-17b.

[2] B a k e r K .R ., L a w le r E . L . , L e n 3 t r a J . K . , Rinnooy Ran A.K .G.: P r e e m p t i v e s c h e d u l i n g of a s i n g l e machine t o m in im iz e maximum c o s t s u b j e c t to r e l e a s e d a t e s and p r e c e d e n c e c o n s t r a i n t s . 0 ? c r . R e s . 3 1 , 1 9 8 3 , s . 3 3 1 -3 8 6 . [3] B ła ż e w ic z J . , L e n s t r a J . K . , Rinnooy Kan A .H .G .: S c h e d u l i n g s u b j e c t to

r e s o u r c e c o n s t r a i n t s : C l a s s i f i c a t i o n and C o m p le x i ty , D i s c r e t e A ppl.

l i a r t h . 5, 1933, s t r . 1 1 -2 4 .

[4] Horn IV.A.: S in g l e - m a c h i n e j o b s e q u e n c i n g w i t h t r e e l i k e p r e c e d e n c e o r d e r i n g and l i n e a r d e l a y p e n a l t i e s . SIAM. J . A p p l . H a t h . 23, 1972, s t r . '1 8 9 -2 0 2 .

[5 ] Horn W.A.; Some s i m p l e s c h e d u l i n g a l g o r i t h m s , E a v a l R e s . L o g i s t .

Q u a r t . 21, 1974, s t r . 1 7 7 -1 8 5 . • ■

[6] Ć a r l i e r J . , The o n e - n s c h i n e s e q u e n c i n g p ro b le m . E u r o p . J . O p er. R e s . 11, 1980, s t r . 4 2 - 4 7 .

[7] Garey fu.R ., Jo h n so n D .S .: Computei'3 and I n t r a c t a b i l i t y : a Guide to th e Theory o f H P - C o m p le te n e s s , Freem an, San F r a n c i s c o 1379.

[8] Grabowski J . , J s n i o k A ., J o b - s h o p s c h e d u l i n g w i t h r e s o u r c e - t i m e models o f o p e r a t i o n s , E u ro p . J . Opor. R e s . 1986 /w d r u k u / .

[9] J s o k 3 o n J . R . : S c h e d u l i n g a p r o d u c t i o n l i n e t o m in im ise maximum t a r d i ­ n e s s . R e s e a r o h R e p o r t 43, Management S c i e n c e R e s e a r c h P r o j e c t ,

U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , Los A n g e l e s , 1355*

fioł J s n i a k A ., Grabowski J . : O p t i n i z a c i j a p r o b lie m y p o s l i e d o v a t i e l n o s t i o p i e r a o i j s r a s p i i e d i e l i e n i j e a r i e 3 u r s o v v d i s k r i e t n y c h p r o i z v o a s t - v i e n n y c h s i s t i e m a c h , P r a c e IBS PAIJ, 53, 1980, s t r . 1 2 9-138.

[11] J a n i a k A.: G e n e ra l s e q u e n c i n g problem w i t h t r a n s f e r a b l e r e s o u r c e s , R a p o r t ICT P o l i t e c h n i k i W r o c ł a w s k i e j , 12, 1986.

[12] L a b e t o u l l e J . , L a w le r E . L . , L e n s t r a J . K . , Rinnooy Kan A.H .G.:

P r e e m p t i v e s c h e d u l i n g o f u n i f o rm m a ch in e s s u b j e c t t o r e l e a s e d a t e 3 . R e p o r t BW 99, M a t h e n a t i s c h C entrum , Amsterdam 1979.

[13] Lageweg B . J . , L e n 3 t r a J . K . , Rinnooy Kan A .H .G .: m i n i m iz in g maximum l a t e n e s s on one m a ch in e : c o m p u t a t i o n a l e x p e r i e n c e and some a p p l i c a ­ t i o n s . S t a t i s t . I i e e r l a n d i c a , 30, 1976, s t r . 2 5 - 4 1 .

543 L a w le r E . L . : O ptim a l s e q u e n c i n g o f a s i n g l e machine s u b j e c t t o p r e c e ­ denc e c o n s t r a i n t s , Management S c i . , 19, 1973, s t r . 5 4 4 - 5 4 6 .

¡15] L aw le r E . L . : A " p s e u d o p o l y n o m i a l " a l g o r i t h m f o r s e q u e n c i n g j o b s to m in im iz e t o t a l t a r d i n e s s . Ann. D i s c r e t e Math. 1 , 1 9 7 7 , s t r . 3 3 1 - 3 4 2 . [16] L aw le r E . L . : S e q u e n c in g j o b s t o m inim ize t o t a l w e ig h t e d c o m p le t io n

tim e s u b j e c t t o . p r e c e d e n c e c o n s t r a i n t s . Ann. D i s c r e t e H a th . 2 , 1978,

s t r . 7 5 - 9 0 . 0

[17] L aw ler E . L . , L e n s t r a J . K», Rinnooy Kan A .H .G .: R e c e n t d ev e lo p m e n ts i n d e t e r m i n i s t i c s e q u e n c i n g and s c h e d u l i n g ; s s u r v e y , w: D e n p o te r M .A .H ., L e n s t r a J . K . , Rinnooy Kan A.H.G. / e d 3 . / : D e t e r m i n i s t i c and S t o c h a s t i c S c h e d u l i n g , R e i d e l , D o r d r e c h t , 19S2, s t r . 3 5 - 7 3 .

[is] L e n s t r a J . K . , Rinnooy Kan, A .H . G . : C o m plexity o f s c h e d u l i n g u n d e r p r e c e d e n c e c o n s t r a i n t s . O per. R e s . 2 6 , 1973, s t r . 22-35*

[19] L e n 3 t r e J . K . , Rinnooy Kan A .H .G ., B r u c k e r P . : C o m plexity of machine s c h e d u l i n g p r o b l e m s . A n n .D is c .M a th . 1, 1977, s t r . 3 4 3 - 3 6 2 .

? r o b 'ie n y s z e r e g o w a n ia . 91

[2Cl I.'c Liahcn G . 3 . , F l o r i a n i i . : Gn s c h e d u l i n g w i t h reody t i n e s and due d o t e s t o n i n i n i z e a a x i n u u l a t e n e s s . O n e r .R e s . 23, 1975, s t r . 4 7 5 - 4 3 2 .

[21] :.!uth J . F . , Thompson G .L . : I n d u s t r i a l S c h e d u l i n g , Englewood C l i f f s , hew J e r s e y , P r e n t i c e - K a l l , 1963.

[22] jlow ic ki B . , Z d r z a ł k a S . : Dwur.aszynowy p r o b l e n przepływowy ze z n ie r .- n y a i o z a a a n i wykonywania z a d a ń , Zeszyty Hau k on o A.G.H. w Krakowie, Automatyka 39, 1985, a t r . 161-169.

[233 S idney J . 3 . : j c c o n p o s i t i o n a l g o r i t h m s f o r o i n g l e - n a c h i n e se q u e n c in g w i t h p r e c e d e n c e r e l a t i o n s and d e f e r r a l C 03t3. O per. R e s . 23, 1975,

o t r . 2 8 3 -2 3 6 .

[24] Sm ith >7.2.: V a r i o u s o p t i m i z e r s f o r s i n g l e - s t a g e p r o d u c t i o n . Ilaval R e a . L o g i a t . Q u a r t . , 3, 1956, s t r . 5 9 - 6 6 .

[25l S ł o w i ń s k i I!.: Uultiobjectivo network 3Choduling with efficient uoe of renewable and nonrenewable resources, Euroo. j. O per, R e s. 7, 1981, otr. 265-273.

[26]. Tyzikov A.V/.s 0 u w u o h k r i t i e r i a l n o j z a d a c i e t i e o r i i r a s o i s a n i j s u c i o t o n i z n i e t i i c n i j a d l i t i e l u 0 3 t i e j o b 3 ł u ż i v a n i j a , Ż u rn a ł w y c z i g l i - t i o l n o j n a t i e n a t i k i i n a t i e n a t i c z i e a k o j f i z i k i , 24, 1934, o t r . 1 5 6 5 - 1 5 9 0 .

[27] Van V/oooenhove L . H . , B a k e r K .R .: A b i c r i t e r i o n a p p r o a c h t o t i n e / c o s t t r a d e - o f f o i n s e q u e n c i n g , E u r o p . J . O p e r . R e a , 1, 1362, s t r . 4 3 - 5 4 . [26^ Vickaon R . G . : C hoosin g t h e jo b s e q u e n c e and p r o c e s s i n g t i n e to

m in i m iz e t o t a l p r o c e s s i n g p l u a flow c o s t on a s i n g l e s a c h i n e . O p e r . R e s . , 28, 1380, a t r . 1155-1167.

(29] V ickaon R . G .: Two s i n g l e machine s e q u e n c i n g problem s i n v o l v i n g c o n t r o l l a b l e j o b p r o c e s s i n g t i n e . AIXX T r a n s a c t i o n , 12, 1530, a t r . 2 5 8 -2 6 2 .

HO} W ę g la rz J . : P r o j e c t s c h e d u l i n g w i t h d i s c r e t e and c o n t i n u o u s r e s o u r ­ c e s , ' IEEE- T r a n s . 3I.IC-9, 1979, s t r . 6 4 4 -6 5 0 .

R ecen zent: P r o f .dr i n ż . Henryk Kowalewski Wpłynęło do R ed ak c ji do 1 9 8 6 . 0 4 .3 0

OJIBOUPKBOPHHE IiPOBJEEMi PA CIffiCA H M C PACnPRHEJIEHKEM PECyPCOB

P e a d m e

B paO ote flan oflaop KzaocireecKHX o^Honp^dopKHZ npDÓJiew p a c c a c a iia a co ozeffirm awa KpETepaaMH opeinni: MaKCHMajn>ffił2 nrrpa$ , uaKCHNajitKaH z-tZTecrb- HOOTŁ npozo2tneH2H , ■ «aKCHMEazbHoe BpeaeEHoe cwsnjeHHe , mskchvsjibhog 3 a n a a - nasaR H e, cyKMapaaa jpnrreJibHOCTb npoxosmeKaa , cywMapsoe 3ana3;dB aH Be, 3 th npofijiesci oOofiąeHH jpm czyaavi, Korjta jyiHTeJiŁHOCTH bhiiojieghbh onepannS z h - hg&ho aasacH T o t jio e sjilh o h coBOKynHO orpaHtPieHHBX p e c y p c o s . JUa OojttraHH- OTBa 8 th x npodnew aaft^aHH naiEsoiasązŁHEe aarbpaTMH . HeKOTopae ns a r a z n p o d z e a P - ?pyflHH6.

9?

S u'n> i s a r y .

I n t h e p a p e r ' t h e ' a c t u a l - s t a t e : o f t h e c l a s s i c a l s i n g l e machine sched-Jlirw?

p roblem s u n d e r c r i t e r i a : t h e c s a x iw p c o a t , t h e r.ayinun c o m p le t io n t i n e , t b e , a a x i.tu n l a t e n e s s , t h e TMxirun t a r d i n e s s , t h e w e ig h te d s s n o f .com ple tf oh t i n e s and t h e w e ig h te d sun o f t a r d i n e s s e s , i s p r e s e n t e d . T h e s e p r o b l e - r . a r e g e n e r a l i s e d on. t h e c a s e When-Job p r o c e s s i n g t i m e s - d e p e n d l i n c e r y or. amounts o f l o c a l l y and g l o b a l l y . c o n s t r a i n e d r e s o u r c e s . F o r t h e r o o t o f t h e above p r o ­ blems p o l y n o t i a l - t i r e a l g o r i t h m s a r e -'.found-,It i s •shown t h a t . c e r t a i n , prorilgr.s a r e i P - h a r d .