Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚLĄ SK IEJ i 994
Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r kol. 1230
Jó z e f P IE T R U C H A
Instytut T echniki Lotniczej i M echaniki Stosow anej P olitech n ik a W arszaw ska
O S IĄ G A N IE K R Z E P K O Ś C I S T E R O W A N Y C H O B IE K T Ó W L A T A JĄ C Y C H
JA K O Z A D A N IE T E O R II M O D Y F IK A C JI
S treszczen ie. C elem głównym niniejszej pracy je st prezen tacja zarysu teorii m odyfikacji. P raca kieruje uwagę na nowy aspekt D ynam iki L o t u / nazwany tu taj "zagadnieniem krzepkości1. W ykazano, że zagadnienie to m ożna rozw iąz
ać na gruncie teorii modyfikacji - m e m a zatem potrzeby tw orzenia tzw. teorii krzepkości.
A T T A IN M E N T O F R O B U S T N E S S O F C O N T R O L L E D FL Y IN G O B JEC T S
AS A P R O B L E M O F T H E M O D IF IC A T IO N T H E O R Y
S um m ary. T h e prim ary aim o f the p a p e r is to p re se n t a g eneral outline of th e theory o f m odification. This p a p e r addresses a new aspect o f Flight D ynam ics, designated h ere as the "R obust Problem ". It has b een p roved th at this p ro b lem can b e solved in the field o f th e th eo ry of m odification.
T h e re fo re , no theory o f robustness is needed.
flO C T M E H H E POBACTHOCTH YnPABJIflEMIiX JIETA TEJlbH H X A iiriAPATOB KAK 3 All AH A TEOPHH MOflHiHKAUHH
Pe3ioMe .OcxoBHa uenb 3toB paôoTH - npencTaBHTfc oqec:-.
reopnH mohh^hksuhh . PaôoTa oSpamaeT bhhmqhhs hs hobéiî:
acneKT HHHaMHKH noneTa, HMeHOBam-ibih cjona k'sk "npoônai.ta pooacTKOCTH ". floka3 aHo, u t o 3 Ta npoôneMa noster 5 ar=
oameHa c noMoutbio MeTonoB Teopnn MoiiHtjmKau.HH v. h c t: :.:v H9 Ky»Ha HHKaKan T e o p n a poôacTHocTH.
1. W ST ĘP
O bserw acja kierunków rozwojowych techniki lotniczej w skazuje, że w dziedzinie dynam iki sterow anych obiektów latających (SO L) stosunkow o niedaw no pojaw iła się i intensyw nie się rozw ija now a g ru p a zagadnień, której hasłem wywoławczym je st "ro- bustness" (w różnych konfiguracjach słownych). W ydaje się, że polskie słowo "krzep- kość" je st b ard zo dobrym odpow iednikiem tego pojęcia i nie m a żadnego pow odu posługiw ania się tłum aczeniem dosłownym , ja k to się stało w języku rosyjskim
( " p o S a c T H O C T b " ) . Sprawy związane z pojęciem krzepkości będziemy nazywali "zagad
n ieniem krzepkości". C elem niniejszego re fe ra tu je s t w ykazanie, że krzepkość stanow i w ażną, ale je d n ą z wielu własności dynamicznych SO L, a jej osiągnięcie może być trak to w an e ja k o zad an ie teorii modyfikacji własności dynam icznych złożonych ukła-
316
dów m echanicznych. N ie istnieje więc konieczność pow oływ ania now ego bytu pn.
te o ria krzepkości.
2. E L E M E N T Y T E O R II M O D Y F IK A C JI
N a pierwszy rzu t oka wydaje się, że z m odyfikacją je st tro ch ę tak, ja k z p an em Jo u rd in em , który nie w iedział, że mówi prozą. T ru d n o sobie przecież w yobrazić inżyniera, który nie dokonyw ałby p rzeró b ek jakiegoś urządzenia, o niezadow alającym go zachow aniu. P rzez m odyfikację rozum iem y zatem , zgodnie zresztą ze znaczeniem słownikowym i potocznym , takie działania, jak: przeróbka, zm iana, przekształcenie. Z reguły w ykonuje się je m eto d ą p rób i błędów . T utaj n ato m iast chcem y omówić podstaw y m atem atyczne modyfikacji racjonalnej; nadajem y im nazw ę T eorii modyfikacji (TM odyf).
P rzez T M o d y f w ogóle będziem y rozum ieli w iedzę obejm ującą teo rie m odelow ania, stateczności, wrażliwości i sterow ania, a więc teo rie m ające ju ż ustalone "praw a oby
w atelskie". Oczywiście, od razu nasuw a się pytanie, czem u m a służyć tak a hybryda?.
Aby odpow iedzieć na to pytanie trzeb a rozważyć po kolei najistotniejsze cechy poszczególnych teorii. A by nie spraw iać w rażenia now ego Snerga [1], rozw ażania będziem y odnosić nie "do wszystkiego", a tylko do szeroko pojętej M echaniki Lotu.
A u to r m a w szakże nadzieję, że p ró b a szerszego spojrzenia na w ym ienione teo rie, które sam e w sobie nie są niczym nowym, m oże być pożyteczna także w innych dyscyplinach inżynierskich. W każdym razie pierw sza p ró b a była u dana [2].
2.1. Teoria modelowania
N ajłatw iej m o żn a by określić T eo rię m odelow ania (T M odel) jak o to, co zostaje przez K o m itet O rganizacyjny Sym pozjonu "M odelow anie w M echanice" przydzielone do te m a tu 4 (te o ria i m etody m odelow ania). Z achodzi je d n a k obaw a, że nie jest to ok reślen ie satysfakcjonujące. Tym bardziej, że rzadko trafiają się referaty z tej p roblem atyki (np. [3]). N iew iele daje rów nież p arafraza słynnego pow iedzenia F ey n m an n a, że T M o d el to to, o czym myśli m odelarz, gdy nie m oże spać. Spraw ę u tru d n ia fakt, że nie m a praktycznie żadnej m onografii na ten tem at, jeśli nie liczyć książki (4). W tej sytuacji za T M odel w ypada uznać to, co je s t ta m przedstaw ione.
N ależy przy tym odnotow ać znaczące sukcesy szkoły gliwickiej w zakresie m etody grafów (np. [5]).
G dyby trz e b a było jednym zdaniem scharakteryzow ać najw ażniejszy rys T M odel, to byłoby o no takie: decydujący wpływ na w ybór m odelu fizycznego, a w konsekw encji na p o stać m odelu m atem atycznego, m a sform ułow anie celu m odelow ania.
2.2. Teoria stateczności ruchu
P ozornie w ygląda na to, że pojęcie stateczności je st ta k dob rze zn an e m echanikom , że pisanie o nim je s t stra tą czasu. Tym nie m niej p o d an ie kilku uwag m oże być rzeczą pożyteczną.
P rzez T e o rię stateczności rozum ie się na ogół teo rię pośw ięconą klasycznem u p o ję ciu stateczości ruchu w sensie L apunow a (np. [6]). P am iętam y jed n ak ,ż e za punkt wyjścia przyjm uje się tam zapis m acierzow o-w ektorow y układów rów nan różniczko
O siąganie krzepkości 317 wych. O zn acza to, że b ad an ia w ym agają zbudow ania odpow iedniego m odelu m atem atycznego. Pojęcie stateczności nie jest więc charakterystyczne dla pew nego zjawiska fizycznego, lecz dla jego m odelu i w obec tego podlega o no zdefiniow aniu w zależności od tego, jakich cech żądam y od tego m odelu.
W zag ad n ien iach technicznych często poszukuje się tzw. p a ra m e tró w krytycznych, dla których w ystępuje niedopuszczalny przez przepisy w zrost rozw iązania m odelu m atem atycznego. Przykładem klasycznym takiego p a ra m e tru w M echanice L otu je st prędkość flatteru , któ rą wyznacza się albo na podstaw ie m odelu liniowego, albo nieliniow ego. O tó ż w takich sytuacjach badanie stateczności w sensie L apunow a i w yznaczanie p aram etró w krytycznych m ogą różnić się w sposób istotny (zob.[7j, str. 8 ).
Istnieje w iele pojęć stateczności, niekiedy dość odległych od "m acierzystego" pojęcia L apunow a. N ależy więc zachow ać ostrożność przy staw ianiu różnych zadań stabilizacji.
2.3. Teoria wrażliwości
Z auw ażm y najpierw , że teo ria wrażliwości (T W raż), zw łaszcza na początkow ym e ta p ie rozw oju, byw ała utożsam iana z analizą wrażliwości: it "studies the effects o f p a ra m e te r v ariations on the behavior o f dynam ic systems." ([8], s tr.l) . N ależy podkreślić, że w rażliw ość rozw iązań m odelu m atem atycznego na zm iany jego współczynników jest w łasnością o d m ien n ą od stateczności w sensie Lapunow a, gdyż w tym przypadku nie ulegają zm ianie w arunki początkow e i brzegowe.
W T W raż pojaw ia się now a jakość nieznana na gruncie teorii stateczności, a m ian o wicie tzw. zag ad n ien ie odw rotne. Polega ono na w yznaczeniu zm ian p a ra m e tró w o b ie
k tu n om inalnego przy postulow anych zm ianach w łasności dynam icznych obiektu zm odyfikow anego. Z ag ad n ien ie takie nosi także nazwę syntezy m odyfikacyjnej [2].
W T W raż istnieje p o trzeb a precyzyjnego rozróżnienia m iędzy dw om a m odelam i:
nom inalnym i "niedokładnościow ym " (dalej zwanym "m odelem niedokładności", gdyż opisuje on odchylenia od m odelu nom inalnego). Uważam y, że o dpow iadają one m o d e
lom: podstaw ow em u i rozszerzonem u (wg [9], str.13).
2.4. Teoria sterowania
T e o ria sterow ania (T S ter) bywa uw ażana za wynik połączenia trzech oddzielnych elem entów : teorii serw om echanizm ów , rachunku w ariacyjnego i techniki obliczeniow ej (wg [10], str.21). T ak ie określenie, którego istotnym elem en tem je st rach u n ek wariacyjny, sugeruje, że T S ter zam yka się w kręgu Z asady M aksim um P ontriagina i P rogram ow ania D ynam icznego B ellm ana. Tym sposobem tak cenna, z p u n k tu w idzenia kształtow ania w łasności dynamicznych SO L, T S ter m odalnego ( n p .[ llj ) pozostaje p o n iek ąd za b u rtą. P odobnie wygląda spraw a z teo rią 1-momentów K rejna, a w arto zaznaczyć, że m ożna ją stosow ać do m odeli o stałych rozłożonych (n p .[12]).
T rz e b a jeszcze zwrócić uwagę, że zagadnienie odw rotne w T S te r m a zupełnie inny sens niż w T W raż: najpierw przyjm uje się pew ne praw o sterow ania, a p o tem szuka się takiego w skaźnika jakości, który to praw o spełnia.
2.5. Wnioski
T M odyf w M echanice L otu nie jest m echanicznym zlepkiem różnych teorii, ale ich spójnym uogólnieniem , gdzie dokonuje się konfrontacja tych teorii i ich w zajem ne
318
w spom aganie. Pogląd ten m ożna już teraz (tzn. p rzed p o daniem przykładu) poprzeć dw iem a prostym i ilustracjam i; pierw sza dotyczy konfrontacji, d ruga w spom agania.
1) N a gruncie T S te r zn an e je st pojęcie sterow ania p rogram ow anego ([13], str. 139).
W zw iązku z tym zasadne byłoby używanie tam pojęcia ruchu program ow anego.
O k azało się je d n ak , że w m echanice analitycznej istnieje praw ie identyczne pojęcie, ale o znaczające co innego, a m ianowicie postulat, który d o p iero m a być zrealizow any [14].
2) W dynam ice m aszyn w ażnym zagadnieniem je st w ibroizolacja, k tó ra w T M odyf m oże stanow ić cel modyfikacji. W ram ach w ibroizolacji p e r se trzeb a ju ż d o b rać k on
k retn ą funkcję celu (np. ciśnienie akustyczne). Zwykle chodzi o redukcję tego ciśnienia, co m ożna zrealizow ać m etodam i biernym i (T W raż) lub czynnymi (T S ter).
3. K R Z E P K O Ś Ć S T E R O W A N Y C H O B IE K T Ó W L A T A JĄ C Y C H
Nie je st rzeczą łatw ą ustalić, kiedy pojęcie krzepkości pojaw iło się w literaturze, choć od kilku lat istnieje ju ż m onografia [15], A le jeszcze trudniej je st znaleźć definicję tego pojęcia, naw et w zacytow anej pracy. W tej sytuacji podam y określen ia opisow e, któ re um ożliw ią przynajm niej pew ną orientację.
3.1. Krzepkość a wrażliwość i niezm ienniczość
N ależy tu w yraźnie podkreślić, że w literaturze rosyjskiej w ogóle nie używa się słowa " p o ó a c T H o c T b " (pojawia się ono raczej w tłumaczeniach z j. ang. w tygodniku
" A B H a c T p o e H H e " ) . W powszechnym użytku znajduje się natomiast wyrażenie odpowia
dające polskiemu "mala wrażliwość na zmiary parametrów!1 ■ M a r to u y B C T B H T e J ib H O C T b
(np.[16], c.421).
N iektórzy autorzy am erykańscy posługują się słowem "robustness" w szacow aniu zm iany jakości sterow ania spow odow anej niedokładnością m odelu, rezerw ując słowo
"sensitivity" dla analizy wpływu zakłóceń zew nętrznych ([15], p.43). T u w szakże pojaw ia się konfuzja, gdyż w b .Z S R R w tym w ypadku stosuje się słow o niezm ienniczość
(HHBapHaHTHOCTb - [17]). Co więcej, w monografii [15] czytamy, że "while sensitivity analysis considers very small p ertu rb atio n s of the p a ra m e te rs aro u n d a given nom inal value, ro b u stn ess analysis concerns large perturbations." (p. 44). Tym czasem w o p ra c o w aniu [2] takie d uże zm iany wiąże się z analizą m odyfikacyjną globalną.
3.2. Sterowanie krzepkie a sterowanie adaptacyjne
W bieżącej literatu rze na tem at dynam iki SO L często pojaw ia się zw rot "sterow anie krzepkie" (th e ro b u st control). Odczytawszy je ja k o takie sterow anie, które nadaje obiektow i stero w an em u w łasność krzepkości w rozum ieniu niezm ienniczości, pow in
niśmy zapytać o różnicę ze sterow aniem od zakłóceń, którego celem je st u n ieza le
żnienie o b iek tu sterow anego od wpływu tych zakłóceń ([18], s.200).
W yłania się tutaj je d n a k spraw a m erytoryczna o znaczeniu niebagatelnym . O tóż sterow anie adaptacyjne też m a m.in. do spełnienia podobny cel ja k sterow anie od zakłóceń, ale za p o m o cą zm ian struktury lub p aram etró w reg u lato ra [19], Z achodzi teraz pytanie: czy i pod jakim i w arunkam i drogi reg u lato r adaptacyjny m ożna zastąpić prostszym reg u lato rem krzepkim , o ile krzepkość zinterpretujem y jak o niew rażliw ość?.
O siąganie krzepkości 319 3.3. C zym je s t krzepkość?
M ożna by jeszcze próbow ać szukać innych relacji krzepkości, np. z autonom icznpścią czy niezaw odnością, lub sterow ania krzepkiego ze statecznością k rzep k ą (th e robust stability), ale ju ż te ra z w yłania się pytanie, czym właściwie je st sam a krzepkość?. Czy w ażną w łasnością dynam iczną (jak w p. 3.1), czy (tylko) e p ite te m określającym w ażne działania (jak w p. 3.2)?. Rozstrzygnięcie tej kwestii nie je st istotne z p u n k tu w idzenia teorii modyfikacji, gdyż radzi sobie w obu przypadkach; w pierwszym po zdefiniow aniu stosow nej m iary krzepkości; w drugim - po zastosow aniu adekw atnej m etody.
3.4. P rzykład
Z e w zględu na b rak m iejsca, tutaj przytoczymy tylko szkic przykładu, a szczegóły zo stan ą p o d a n e w trak cie referow ania.
Przykład dotyczy oszacow ania zm ian w skaźnika jakości sterow ania spow odow anych pom inięciem różnego rodzaju nieliniwości aerodynam icznych (zagadnienie w rażliwości).
M odelem fizycznym je st sam olot nieodkształcalny o trzech stopniach swobody, a zm ien n ą steru jąc ą - kąt wychylenia steru wysokości (sterow anie czynne).
R ozw iązanie zad an ia było prezentow ane na sem inarium w L ab o rato riu m M echaniki Stosow anej w B esancon 24. paźdz. 1978r. W świetle dotychczasowych ustaleń m ożna stw ierdzić, że uzyskano je na gruncie teorii modyfikacji.
4. P O D S U M O W A N IE
1) Nie m a precyzyjnej definicji pojęcia krzepkości, k tó ra byłaby ogólnie przyjęta.
M ożna je d n a k ż e ustalić, że pojęcie to stosuje się w tych sytuacjach, gdzie m odel m a te m atyczny je st niepełny.
2) C elem b ad a n ia krzepkości je st opracow anie m etod p rojektow ania regulatorów z uw zględnieniem m odelu niedokładności.
3) Spraw ą kluczow ą je st budow a adekw atnego m odelu niedokładności i sfo rm u ło w anie m iary krzepkości.
4) T e o ria m odyfikacji dostarcza dogodnych m etod realizacjii zadanych ch arak tery styk dynam icznych, w tym osiąganie krzepkości sterow anych obiektów latających.
W ydaje się zatem , że tzw. "R obust Theory" je st bytem p o n a d m iarę.
P re z e n to w a n a p ra c a została w ykonana w ram ach tzw. w łasnej pracy badaw czej - um ow a nr 503/790/3.
L IT E R A T U R A
[1] W iśniewski A .-Snerg: Jednolita teo ria czosoprzestrzeni. "Pusty O błok", W arszaw a, 1990.
[2] S praw o zd an ie z pracy badaw czej: B ierna i czynna m odyfikacja w łasności w idm o
wych obiektów odkształcalnych. ITLiM S PW , W arszaw a 1984.
[3] D ietrych J.: D ośw iadczenie - m odel - odpow iedzialność - eksperym ent. Z b. ref.
X X V III Symp. "M odel, w Mech.", PTM TS, Gliwice, 1989, s.9-16.
320
[4] A rczew ski K., P ietru ch a J.: M athem atical M odelling of C om plex M echanical Sys
tem s. C hichister: Ellis H orw ood, 1993.
[5] W ojnarow ski J. i inni: M odelow anie drgań układów m echanicznych m etodam i grafów i liczb strukturalnych. : Skrypt uczelniany n r 1266, G liw ice 1986.
[6] D em idow icz B.P.: M atem atyczna teo ria stabilności. W N T W arszaw a, 1972.
[7] G utow ski R.: Podstaw y teorii stateczności ruchu układów dyskretnych i ciągłych.
W arszaw a:M ateriały pom ocnicze dla SD i MS, 1981.
[8] T om ovic R ., V ukobratovic M.: G en eral Sensitivity T heory. NY: Elsevier, 1972.
[9] W ierzbicki A.: M odele i wrażliwość układów sterow ania. W N T, W arszaw a, 1977.
[10] A th an s M., F alb P.L.: S terow anie optym alne. W arszaw a: W N T, 1969.
[11] L eitm an n G.: W prow adzenie do teorii sterow ania optym alnego. W N T W arszaw aw a, 1971.
[12] P ietru ch a J., Szewczyk Z.: M eto d a sterow ania m odalnego i jej zastosow anie do ustateczn ian ia lotu śmigłowca. "Mech. T eo ret. i Stos.", N r 4, 1976, ss.571-584.
[13] M aroński R ., P ietru ch a J.: Porów nanie m eto d sterow ania m od aln eg o i 1- m o m en tó w ja k o sposobów stabilizacji ciągłych układów drgających. "ZN PRz.", N r 31, M echanika, z. 12, ss.53-56.
[14] G utow ski R.: M ech an ik a analityczna. PW N , W arszaw a, 1971.
[15] L unze J.: R o b u st M ultivariable F eed b ack C ontrol. Berlin: A k ad em ie Verlag,1988.
[16] F f c a s H B c c o e p E F E G byroB IM Ft/B 3X B m eriLj-rD C X B c te c rre M y n p B B O S H ra ;
" H a y K a " , Mo c k b s l 1981.
[17] nstB T E B E S U ł m a p r e t m o c r i Ł m a B i a - E w c c i b H Sjm i-EflHH ix a t r r e t v i y n p a B t i e H H a . " H a y K O B a H y M K a " , Km s b 1971.
[18] N iederlinski A.: U kłady w ielowymiarowe autom atyki. W N T, W arszaw a, 1974.
[19] G ała] J.: A naliza wpływu zm ienności p aram etró w a u to p ilo ta adaptacyjnego na j a kość stero w an ia śm igłowcem w ruchu podłużnym . Pr. dokt., M E iL , W arszaw a, 1979.
R ecenzent: D r hab.inż. A ndrzej B uchacz W płynęło do R edakcji w grudniu 1993r
Abstract
T h e m ain p u rp o se o f the p a p e r is to p resen t an unified a p p ro a c h to the dynam ic p ro p e rtie s fo rm ed o f com plex m echanical systems. This a p p ro a c h th a t unites the know n th eo ries o f m odelling, stability, sensitivity, and control, is called th e "Theory of M odification". T h e n a tu ra l question w hich im m ediately arises is: w hat such hybrid is c re a te d for?. W ell, such a co h eren t generalization is m otivated by th e fact th a t both th e sensitivity th eo ry and the control theory tre a te d the p roblem o f dynam ic p ro p ertie s fo rm ed as a m arginal problem . Besides, the p ro p o sed a p p ro a c h em ployes bo th the m odelling th eo ry and the stability theory in an integral m anner.
In o rd e r to characterize th e a re a o f the theory o f m odification, we give very b rief co m m en ts every o f th e se p a ra te theory (Secs. 2.1-2.4; Refs. [1] - [14]).
O siąganie krzepkości 321 T his p a p e r addresses a new aspect of Flight D ynamics, designated h ere as the
"R obust P roblem ". It is not an entirely unknow n p roblem in the lite ra tu re on dynam ics of c o n tro led systems. B ut to date, this problem is still at a stage of intensive research, so th e re a re m any confusions ab o u t it. T h erefo re, the au th o r has m erely a tte m p te d to describe th e fu n d am en tal relations betw een the notion "robustness" and the know n notions o f stability, sensitivity, etc. (Secs. 3.1-3.3; Refs. [15] - [19]).
G en eral considerations are illustrated by an exam ple concerning the rigid m odel of an aircraft w ith th ree degrees o f freedom (Sec. 3.4).
Finally, it is concluded th a t th e theory of m odification constitutes a convenient base fo r fo rm ulations and solutions of various specific engineering problem s. T he "R obust Problem " can be also solved in the field of this theory. T h erefo re, no extra theory of robustness is needed.
