WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII GRAFÓW wykład 7
Zliczanie grafów izomorficznych
Problem:
Ile jest grafów oznaczonych (zaetykietowanych, grafów na zbiorze [n]) izomorficznych z danym?
Przykład:
Niech H - grupa bijekcji działających w zbiorze X (tzn. α ∈ H ⇔ α : X −−→1−1
na X), działaniem w tej grupie jest złożenie funkcji ◦.
Przypomnienie:
Grupą nazywamy parę (H, ◦), taką, że
◦ : H × H → H (działanie dwuargumentowe)
oraz
1. ∀x, y, z ∈ H x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z (łącznosć), 2. ∃1 ∈ H taki, że ∀x ∈ H 1 ◦ x = x ◦ 1 = x (jedność), 3. ∀x ∈ H ∃x−1 ∈ H x ◦ x−1 = x−1◦ x = 1 (odwrotność).
vspace1cm
Zdefiniujmy w zbiorze X relację równoważności ∼ w następujący sposób:
x ∼ y ⇔ ∃α ∈ H : α(x) = y
Klasy abstrakcji relacji ∼ = orbity grupy H Orbitę, do której należy element x ∈ X oznaczamy < x >.
Stabilizatorem elementu x ∈ X w grupie H nazywamy zbiór:
H(x) = {α ∈ H : α(x) = x}
Automorfizmem grafu oznaczonego G nazywamy izomorfizm G z nim samym, czyli permutację α zbioru V (G) taką, że α(G) = G (w sensie grafu oznaczonego).
Własność Dla dowolnego x ∈ X :
| < x > | · |H(x)| = |H|.
Niech X zbiór grafów o zbiorze wierzchołków [n], a H = Sn grupa wszystkich permutacji zbioru [n].
Wtedy dla dowolnego grafu G: | < G > | = liczba grafów izmorficznych z G na zbiorze wierzchołków [n].
Niech Aut(G) będzie zbiorem automorfizmów grafu G.
Wtedy
|Aut(G)| = |H(G)|
Z własności wynika, że :
| < G > | = |H|
|H(G)| = |G|!
|Aut(G)|.
Przykład V (G) = {1, 2, 3, 4}, E(G) = {12, 23, 34, 41, 13}
|Aut(G)| = 4 gdyż
Aut(G) = {(1, 2, 3, 4), (3, 2, 1, 4), (1, 4, 3, 2), (3, 4, 1, 2)}
Zatem grafów izomorficznych z G jest :
| < G > | = 4!
4 = 6
TAK ( bo w tym grafie dokładnie jedna para wierzchołków nie jest połączona krawędzia) ! Dowód Własności:
Niech H(x, y) = {α ∈ H : α(x) = y}.
Dla ustalonego x ∈ X rodzina {H(x, y) : y ∈< x >} składa się z rozłącznych zbiorów. Co więcej:
H = [
y∈<x>
H(x, y)
Wystarczy pokazać, że dla dowolnego (ale ustalonego) y ∈< x >:
|H(x, y)| = |H(x)|
Dla ustalonego y ∈< x >, niech y = β(x).
Wtedy
H(x, y) = {α ∈ H : α(x) = β(x)} = {α ∈ H : β−1◦ α ∈ H(x)} = {α ∈ H : α : β ◦ γ, γ ∈ H(x)}
czyli
|H(x, y)| = |H(x)|
Zatem
|H| = X
y∈<x>
|H(x, y)| = | < x > | · |H(x)|
Zadania domowe:
1. Znajdź liczbę automorfizmów grafu a) K3∪ K1 b) K1,4. (po 1 pkt) 2. Ile drzew rozpinających ma graf K2,5? (2pkt)
3. Ile jest drzew na zbiorze [n], w których wierzchołek 1 jest liściem ? (2 pkt)
