M ETODY D OWODZENIA T WIERDZE ´ N I A UTOMATYZACJA R OZUMOWA ´ N
K ONWERSATORIUM 8:
K OLOKWIUM
V rok kognitywistyki UAM
Podajemy rozwi ˛azania wszystkich zada´n z kolokwium przeprowadzonego 1 grudnia 2015.
Zgodnie z ustaleniami podanymi w syllabusie przedmiotu, za poprawne od- powiedzi na wszystkie pytania mo˙zna było uzyska´c maksymalnie 30 punktów.
Uzyskanie ł ˛acznie co najmniej 15 punktów oznacza zaliczenie kolokwium.
Za poprawne rozwi ˛azanie zadania: 1 2 3 4 5 Mo˙zna otrzyma´c punktów: 5 6 8 6 5 Przypominamy zasady tworzenia składników α-formuł oraz β-formuł:
α α1 α2
ϕ ∧ ψ ϕ ψ
¬(ϕ ∨ ψ) ¬ϕ ¬ψ
¬(ϕ → ψ) ϕ ¬ψ
¬(ϕ ← ψ) ¬ϕ ψ
¬(ϕ ↑ ψ) ϕ ψ
ϕ ↓ ψ ¬ϕ ¬ψ
ϕ 9 ψ ϕ ¬ψ
ϕ 8 ψ ¬ϕ ψ
β β1 β2
¬(ϕ ∧ ψ) ¬ϕ ¬ψ
ϕ ∨ ψ ϕ ψ
ϕ → ψ ¬ϕ ψ
ϕ ← ψ ϕ ¬ψ
ϕ ↑ ψ ¬ϕ ¬ψ
¬(ϕ ↓ ψ) ϕ ψ
¬(ϕ 9 ψ) ¬ϕ ψ
¬(ϕ 8 ψ) ϕ ¬ψ
Imi˛e i Nazwisko . . . ZESTAW A 1. Dokonaj przekładu z notacji infiksowej na prefiksow ˛a oraz narysuj drzewo skła- dniowe formuły:
¬(p ∨ q) → (¬¬r ∧ s) 2. Znajd´z koniunkcyjn ˛a posta´c normaln ˛a formuły:
(r ∨ s) → (¬p ∧ q)
3. Ustal czy zdanie ∃x(S(x) ∧ P (x)) wynika tablicowo ze zdania:
∀x(M (x) → P (x)) ∧ ∃x(S(x) ∧ M (x)) 4. Ustal czy jest rezolucyjnie sprzeczny zbiór formuł:
{ q → p, ¬r ∨ q, s → r, ¬(s → p) } 5. Podaj definicj˛e zdaniowego zbioru Hintikki.
R OZWI ˛ AZANIA
1. Formuła ¬(p ∨ q) → (¬¬r ∧ s) przekształcona do postaci prefiksowej wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: CN ApqKN N rs.
Pełne drzewo składniowe tej formuły (w notacji infiksowej) wygl ˛ada nast˛epu- j ˛aco:
¬(p ∨ q) → (¬¬r ∧ s)
H HH
¬(p ∨ q) p ∨ q
HH
p q
¬¬r ∧ s
HH
¬¬r
¬r r
s
Skrócone drzewo składniowe tej formuły (w notacji prefiksowej) wygl ˛ada na- st˛epuj ˛aco:
C
HH H N A
HH
p q
K
HH N N r
s
2. Działamy wedle podanego algorytmu:
h[(r ∨ s) → (¬p ∧ q)]i h[¬(r ∨ s), ¬p ∧ q]i
h[¬(r ∨ s), ¬p], [¬(r ∨ s), q]i h[¬r, ¬p], [¬s, ¬p], [¬(r ∨ s), q]i h[¬r, ¬p], [¬s, ¬p], [¬r, q], [¬s, q]i
Zauwa˙zmy, ˙ze badana formuła nie jest tautologi ˛a KRZ, poniewa˙z nie jest tak, i˙zby ka˙zda alternatywa elementarna wchodz ˛aca w skład powy˙zszej koniunkcji zawierała par˛e literałów komplementarnych.
3. Budujemy tablic˛e analityczn ˛a rozpoczynaj ˛ac ˛a si˛e od przesłanki oraz zaprzeczo- nego wniosku:
∀x(M (x) → P (x)) ∧ ∃x(S(x) ∧ M (x)) 1.∧
¬∃x(S(x) ∧ P (x)) 3.∗a (1g) ∀x(M (x) → P (x)) 4.∗a
(1d) ∃x(S(x) ∧ M (x)) 2.
√a
(2) S(a) ∧ M (a) 5.∧ (3) ¬(S(a) ∧ P (a)) 7.¬∧
(4) M (a) → P (a) 6.→ (5g) S(a) (5d) M (a)
H HH HH (6l) ¬M (a)
×5d,6l
(6p) P (a)
HH HH (7l) ¬S(a)
×5g,7l
(7p) ¬P (a)
×6p,7p
Poniewa˙z tablica analityczna dla przesłanki oraz zaprzeczonego wniosku jest zamkni˛eta, wi˛ec wniosek wynika tablicowo z przesłanki.
4. Poka˙zemy, ˙ze z podanego zbioru formuł mo˙zna wyprowadzi´c rezolucyjnie klau- zul˛e pust ˛a:
1. [q → p]
2. [¬r ∨ q]
3. [s → r]
4. [¬(s → p)]
5. [¬q, p] β,1 6. [¬r, q] β,2 7. [¬s, r] β,3
8. [s] α,4
9. [¬p] α,4
10. [r] RR:7,8
11. [¬q] RR:5,9
12. [¬r] RR:6,11
13. [ ] RR:10,12
5. Zbiór H formuł j˛ezyka KRZ nazywamy zdaniowym zbiorem Hintikki, je´sli:
1. Dla dowolnej zmiennej zdaniowej p, zachodzi co najmniej jedno z dwojga:
p /∈ H lub ¬p /∈ H.
2. ⊥ /∈ H oraz ¬> /∈ H.
3. Je´sli ¬¬ψ ∈ H, to ψ ∈ H.
4. Je´sli α ∈ H, to α1 ∈ H oraz α2 ∈ H.
5. Je´sli β ∈ H, to β1 ∈ H lub β2 ∈ H.
Imi˛e i Nazwisko . . . ZESTAW B 1. Dokonaj przekładu z notacji infiksowej na prefiksow ˛a oraz narysuj drzewo skła- dniowe formuły:
¬(p → q) ∧ (s ∨ ¬¬r) 2. Znajd´z koniunkcyjn ˛a posta´c normaln ˛a formuły:
¬(r → s) ∨ (p ∧ ¬q)
3. Ustal czy zdanie ∃x(Q(x) ∧ M (x)) wynika tablicowo ze zdania:
∃x(¬P (x) ∧ Q(x)) ∧ ∀x(¬M (x) → P (x)) 4. Ustal czy jest rezolucyjnie sprzeczny zbiór formuł:
{ ¬q ∨ p, s ∧ ¬p, r → q, s → r } 5. Podaj definicj˛e zdaniowej własno´sci niesprzeczno´sci.
R OZWI ˛ AZANIA
1. Formuła ¬(p → q) ∧ (s ∨ ¬¬r) przekształcona do postaci prefiksowej wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: KN CpqAsN N r.
Pełne drzewo składniowe tej formuły (w notacji infiksowej) wygl ˛ada nast˛epu- j ˛aco:
¬(p → q) ∧ (s ∨ ¬¬r)
HH H
¬(p → q) p → q
HH
p q
s ∨ ¬¬r
HH s ¬¬r
¬r r
Skrócone drzewo składniowe tej formuły (w notacji prefiksowej) wygl ˛ada na- st˛epuj ˛aco:
K
HH H N C
HH
p q
A
HH
s N
N r
2. Działamy wedle podanego algorytmu:
h[¬(r → s) ∨ (p ∧ ¬q)]i h[¬(r → s), p ∧ ¬q]i
h[¬(r → s), p], [¬(r → s), ¬q]i h[r, p], [¬s, p], [¬(r → s), ¬q]i h[r, p], [¬s, p], [r, ¬q], [¬s, ¬q]i
Zauwa˙zmy, ˙ze badana formuła nie jest tautologi ˛a KRZ, poniewa˙z nie jest tak, i˙zby ka˙zda alternatywa elementarna wchodz ˛aca w skład powy˙zszej koniunkcji zawierała par˛e literałów komplementarnych.
3. Budujemy tablic˛e analityczn ˛a rozpoczynaj ˛ac ˛a si˛e od przesłanki oraz zaprzeczo- nego wniosku:
∃x(¬P (x) ∧ Q(x)) ∧ ∀x(¬M (x) → P (x)) 1.∧
¬∃x(Q(x) ∧ M (x))3.∗a (1g) ∃x(¬P (x) ∧ Q(x)) 2.
√a
(1d) ∀x(¬M (x) → P (x)) 4.∗a (2) ¬P (a) ∧ Q(a) 5.∧ (3) ¬(Q(a) ∧ M (a)) 6.¬∧
(4) ¬M (a) → P (a) 7.→ (5g) ¬P (a)
(5d) Q(a)
H HH HH H (6l) ¬Q(a)
×5d,6l
(6p) ¬M (a)
HH HH (7l) ¬¬M (a)
×6p,7l
(7p) P (a)
×5g,7p
Poniewa˙z tablica analityczna dla przesłanki oraz zaprzeczonego wniosku jest zamkni˛eta, wi˛ec wniosek wynika tablicowo z przesłanki.
4. Poka˙zemy, ˙ze z podanego zbioru formuł mo˙zna wyprowadzi´c rezolucyjnie klau- zul˛e pust ˛a:
1. [¬q ∨ p]
2. [s ∧ ¬p]
3. [r → q]
4. [s → r]
5. [¬q, p] β,1
6. [s] α,2
7. [¬p] α,2
8. [¬r, q] β,3 9. [¬s, r] β,4
10. [r] RR:6,9
11. [q] RR:8,10
12. [p] RR:5,11
13. [ ] RR:7,12
5. Niech C b˛edzie rodzin ˛a zbiorów formuł j˛ezyka KRZ. Mówimy, ˙ze C jest zda- niow ˛a własno´sci ˛a niesprzeczno´sci, je´sli dla ka˙zdego zbioru S ∈ C:
1. Dla ka˙zdej zmiennej zdaniowej p: albo p /∈ S albo ¬p /∈ S.
2. ⊥ /∈ S oraz ¬> /∈ S.
3. Je´sli ¬¬ψ ∈ S, to S ∪ {ψ} ∈ S.
4. Je´sli α ∈ S, to S ∪ {α1, α2} ∈ C.
5. Je´sli β ∈ S, to S ∪ {β1} ∈ C lub S ∪ {β2} ∈ C.
Imi˛e i Nazwisko . . . ZESTAW C 1. Dokonaj przekładu z notacji infiksowej na prefiksow ˛a oraz narysuj drzewo skła- dniowe formuły:
¬(p ∨ q) ∧ (¬¬r → s) 2. Znajd´z koniunkcyjn ˛a posta´c normaln ˛a formuły:
¬(p → r) ∨ ¬(q ∨ s)
3. Ustal czy zdanie ∃x(S(x) ∧ P (x)) wynika tablicowo ze zdania:
¬∀x(M (x) → ¬P (x)) ∧ ¬∃x(¬S(x) ∧ M (x)) 4. Ustal czy jest rezolucyjnie sprzeczny zbiór formuł:
{ s ∧ ¬p, ¬q ∨ p, ¬r ∨ q, ¬s ∨ r } 5. Podaj definicj˛e zbioru Hintikki pierwszego rz˛edu.
R OZWI ˛ AZANIA
1. Formuła ¬(p ∨ q) ∧ (¬¬r → s) przekształcona do postaci prefiksowej wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: KN ApqCN N rs.
Pełne drzewo składniowe tej formuły (w notacji infiksowej) wygl ˛ada nast˛epu- j ˛aco:
¬(p ∨ q) ∧ (¬¬r → s)
H HH
¬(p ∨ q) p ∨ q
HH
p q
¬¬r → s
HH
¬¬r
¬r r
s
Skrócone drzewo składniowe tej formuły (w notacji prefiksowej) wygl ˛ada na- st˛epuj ˛aco:
K
HH H N A
HH
p q
C
HH N N r
s
2. Działamy wedle podanego algorytmu:
h[¬(p → r) ∨ ¬(q ∨ s)]i h[¬(p → r), ¬(q ∨ s)]i
h[¬(p → r), ¬q], [¬(p → r), ¬s]i h[p, ¬q], [¬r, ¬q], [¬(p → r), ¬s]i h[p, ¬q], [¬r, ¬q], [p, ¬s], [¬r, ¬s]i
Zauwa˙zmy, ˙ze badana formuła nie jest tautologi ˛a KRZ, poniewa˙z nie jest tak, i˙zby ka˙zda alternatywa elementarna wchodz ˛aca w skład powy˙zszej koniunkcji zawierała par˛e literałów komplementarnych.
3. Budujemy tablic˛e analityczn ˛a rozpoczynaj ˛ac ˛a si˛e od przesłanki oraz zaprzeczo- nego wniosku:
¬∀x(M (x) → ¬P (x)) ∧ ¬∃x(¬S(x) ∧ M (x)) 1.∧
¬∃x(S(x) ∧ P (x)) 3.∗a (1g) ¬∀x(M (x) → ¬P (x)) 2.
√a
(1d) ¬∃x(¬S(x) ∧ M (x)) 4.∗a (2) ¬(M (a) → ¬P (a)) 5.¬→
(3) ¬(S(a) ∧ P (a)) 6.¬∧
(4) ¬(¬S(a) ∧ M (a)) 7.¬∧
(5g) M (a) (5d) ¬¬P (a)
H HH HH H (6l) ¬S(a)
H HH H (7l) ¬¬S(a)
×6l,7l
(7p) ¬M (a)
×5g,7p
(6p) ¬P (a)
×5d,6p
Poniewa˙z tablica analityczna dla przesłanki oraz zaprzeczonego wniosku jest zamkni˛eta, wi˛ec wniosek wynika tablicowo z przesłanki.
4. Poka˙zemy, ˙ze z podanego zbioru formuł mo˙zna wyprowadzi´c rezolucyjnie klau- zul˛e pust ˛a:
1. [s ∧ ¬p]
2. [¬q ∨ p]
3. [¬r ∨ q]
4. [¬s ∨ r]
5. [s] α,1
6. [¬p] α,1
7. [¬q, p] β,2 8. [¬r, q] β,3 9. [¬s, r] β,4 10. [¬q] RR:6,7 11. [¬r] RR:8,10 12. [¬s] RR:9,11
13. [ ] RR:5,12
5. Zbiór H formuł j˛ezyka L logiki pierwszego rz˛edu nazywamy zbiorem Hintikki pierwszego rz˛edu(dla L), je´sli:
1. Dla dowolnej zmiennej zdaniowej p, zachodzi co najmniej jedno z dwojga:
p /∈ H lub ¬p /∈ H.
2. ⊥ /∈ H oraz ¬> /∈ H.
3. Je´sli ¬¬ψ ∈ H, to ψ ∈ H.
4. Je´sli α ∈ H, to α1 ∈ H oraz α2 ∈ H.
5. Je´sli β ∈ H, to β1 ∈ H lub β2 ∈ H
6. Je´sli γ ∈ H, to γ(t) ∈ H, dla ka˙zdego termu domkni˛etego j˛ezyka L.
7. Je´sli δ ∈ H, to δ(t) ∈ H, dla pewnego termu domkni˛etego j˛ezyka L.
Imi˛e i Nazwisko . . . ZESTAW D 1. Dokonaj przekładu z notacji infiksowej na prefiksow ˛a oraz narysuj drzewo skła- dniowe formuły:
¬(p → q) ∨ (s ∧ ¬¬r) 2. Znajd´z koniunkcyjn ˛a posta´c normaln ˛a formuły:
(r ∨ s) → (q ∧ ¬p)
3. Ustal czy zdanie ∃x(P (x) ∧ ¬M (x)) wynika tablicowo ze zdania:
∀x(M (x) → Q(x)) ∧ ∃x(¬Q(x) ∧ P (x)) 4. Ustal czy jest rezolucyjnie sprzeczny zbiór formuł:
{ s → r, q → p, ¬(s → p), q ∨ ¬r } 5. Podaj definicj˛e własno´sci niesprzeczno´sci pierwszego rz˛edu.
R OZWI ˛ AZANIA
1. Formuła ¬(p → q) ∨ (s ∧ ¬¬r) przekształcona do postaci prefiksowej wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco: AN CpqKsN N r.
Pełne drzewo składniowe tej formuły (w notacji infiksowej) wygl ˛ada nast˛epu- j ˛aco:
¬(p → q) ∨ (s ∧ ¬¬r)
HH H
¬(p → q) p → q
HH
p q
s ∧ ¬¬r
HH s ¬¬r
¬r r
Skrócone drzewo składniowe tej formuły (w notacji prefiksowej) wygl ˛ada na- st˛epuj ˛aco:
A
HH H N C
HH
p q
K
HH
s N
N r
2. Działamy wedle podanego algorytmu:
h[(r ∨ s) → (q ∧ ¬p)]i h[¬(r ∨ s), q ∧ ¬p]i
h[¬(r ∨ s), q], [¬(r ∨ s), ¬p]i h[¬r, q], [¬s, q], [¬(r ∨ s), ¬p]i h[¬r, q], [¬s, q], [¬r, ¬p], [¬s, ¬p]i
Zauwa˙zmy, ˙ze badana formuła nie jest tautologi ˛a KRZ, poniewa˙z nie jest tak, i˙zby ka˙zda alternatywa elementarna wchodz ˛aca w skład powy˙zszej koniunkcji zawierała par˛e literałów komplementarnych.
3. Budujemy tablic˛e analityczn ˛a rozpoczynaj ˛ac ˛a si˛e od przesłanki oraz zaprzeczo- nego wniosku:
∀x(M (x) → Q(x)) ∧ ∃x(¬Q(x) ∧ P (x)) 1.∧
¬∃x(P (x) ∧ ¬M (x)) 3.∗a (1g) ∀x(M (x) → Q(x)) 4.∗a (1d) ∃x(¬Q(x) ∧ P (x)) 2.
√a
(2) ¬Q(a) ∧ P (a) 5.∧ (3) ¬(P (a) ∧ ¬M (a)) 7.¬∧
(4) M (a) → Q(a) 6.→
(5g) ¬Q(a) (5d) P (a)
H HH HH H (6l) ¬M (a)
HH HH (7l) ¬P (a)
×5d,7l
(7p) ¬¬M (a)
×6l,7p
(6p) Q(a)
×5g,6p
Poniewa˙z tablica analityczna dla przesłanki oraz zaprzeczonego wniosku jest zamkni˛eta, wi˛ec wniosek wynika tablicowo z przesłanki.
4. Poka˙zemy, ˙ze z podanego zbioru formuł mo˙zna wyprowadzi´c rezolucyjnie klau- zul˛e pust ˛a:
1. [s → r]
2. [q → p]
3. [¬(s → p)]
4. [q ∨ r]
5. [¬s, r] β,1 6. [¬q, p] β,2
7. [s] α,3
8. [¬p] α,3
9. [q, ¬r] β,4
10. [r] RR:5,7
11. [q] RR:9,10
12. [p] RR:6,11
13. [ ] RR:8,12
5. Niech C b˛edzie rodzin ˛a zbiorów formuł j˛ezyka logiki pierwszego rz˛edu L oraz niech Lpar b˛edzie rozszerzeniem j˛ezyka L o zbiór parametrów par. Mówimy,
˙ze C jest własno´sci ˛a niesprzeczno´sci pierwszego rz˛edu, je´sli dla ka˙zdego zbioru S ∈ C:
1. Dla ka˙zdej zmiennej zdaniowej p: albo p /∈ S albo ¬p /∈ S.
2. ⊥ /∈ S oraz ¬> /∈ S.
3. Je´sli ¬¬ψ ∈ S, to S ∪ {ψ} ∈ S.
4. Je´sli α ∈ S, to S ∪ {α1, α2} ∈ C.
5. Je´sli β ∈ S, to S ∪ {β1} ∈ C lub S ∪ {β2} ∈ C.
6. Je´sli γ ∈ S, to S ∪ {γ(t)} ∈ C dla ka˙zdego termu domkni˛etego j˛ezyka Lpar. 7. Je´sli δ ∈ S, to S ∪ {δ(a)} ∈ C dla pewnego parametru a j˛ezyka Lpar.
Jerzy Pogonowski Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/Dydaktyka pogon@amu.edu.pl
